Lihat sumber Bukti bahwa e irasional

[[File:Euler's_formula.svg|thumb|right|280px|Euler's formula]]

[[E (konstanta matematika)|Bilangan <math>e</math>]] diperkenalkan oleh [[Jacob Bernoulli]] pada tahun 1683. Lebih dari setengah abad kemudian, [[Leonhard Euler|Euler]] (yang merupakan murid dari adiknya Jacob, [[Johann Bernoulli|Johann]]) berhasil membuktikan bahwa <math>e</math> adalah [[bilangan irasional]]; yang berarti, bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai [[rasio]] dari dua [[bilangan bulat]].

== Bukti Euler ==
Euler menulis bukti pertama mengenai keirasionalan <math>e</math> pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian).<ref>Leonhard Euler. [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E071.pdf De fractionibus continuis dissertatio]. ''Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae''. 1744. Vol. 9. hlm. 98–137.</ref><ref>Leonhard Euler. [https://kb.osu.edu/dspace/handle/1811/32133 An essay on continued fractions]. ''Mathematical Systems Theory''. 1985. Vol. 18. hlm. 295–398. doi:10.1007/bf01699475.</ref><ref>C. Edward Sandifer. ''How Euler did it''. Mathematical Association of America. 2007. hlm. 185–190. ISBN 978-0-88385-563-8.</ref> Ia menghitung <math>e</math> sebagai [[pecahan berlanjut]], yaitu
<math display="block">e = \left[ 2; \, 1, \, 2, \, 1, \, 1, \, 4, \, 1, \, 1, \, 6, \, 1, \, 1, \, 8, \, 1, \, 1, \, \ldots, \, 2n, \, 1, \, 1, \, \ldots \right]</math>

Terdapat bukti singkat dari kesamaan di atas.<ref>Henry Cohn. ''A short proof of the simple continued fraction expansion of ''e''''. ''The American Mathematical Monthly''. 2006. Vol. 113 (1). hlm. 57–62. doi:10.2307/27641837.</ref> Oleh karena pecahan berlanjut ini tidak berhenti dan setiap [[bilangan rasional]] memiliki pecahan berlanjut yang berhenti, maka <math>e</math> merupakan bilangan irasional. Perhatikan bahwa pecahan berlanjut dari <math>e</math> tidak bersifat [[Pecahan berlanjut periodik|periodik]]. Akibatnya, <math>e</math> bukanlah akar dari [[polinomial]] kuadratik dengan koefisien rasional; lebih lanjut, <math>e^2</math> merupakan bilangan irasional.

== Bukti Fourier ==
Bukti yang paling terkenal ialah [[pembuktian melalui kontradiksi]] oleh [[Joseph Fourier]],<ref>Janot de Stainville. ''Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie''. Veuve Courcier. 1815. hlm. 340–341.</ref> yang didasarkan pada persamaan
<math display="block">e = \sum_{n \, = \, 0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math>

Pada awalnya, <math>e</math> diasumsikan sebagai [[bilangan rasional]] dengan bentuk <math>\tfrac{a}{b}</math>. Idenya ialah menganalisis selisih yang diperbesar (pada artikel ini ditulis sebagai <math>x</math>) antara representasi deret dari <math>e</math> dengan jumlahan parsial ke-<math>b</math>. Dengan memilih [[faktorial]] dari <math>b</math> sebagai faktor skalanya, pecahan <math>\tfrac{a}{b}</math> dan jumlahan parsial ke-<math>b</math> akan berubah menjadi [[bilangan bulat]], sehingga <math>x</math> haruslah bilangan bulat positif. Akan tetapi, kekonvergenan yang cepat dari representasi deretnya mengakibatkan <math>x</math> haruslah kurang dari 1. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka dapat disimpulkan bahwa <math>e</math> merupakan bilangan irasional.

Jika <math>e</math> merupakan [[bilangan rasional]], maka terdapat [[bilangan asli]] <math>a</math> dan <math>b</math> sedemikian sehingga <math>e = \tfrac{a}{b}</math>. Didefinisikan bilangan
<math display="block">x := b! \left( e - \sum_{n \, = \, 0}^b \dfrac{1}{n!} \right)</math>

=== Klaim 1 ===
Akan dibuktikan bahwa <math>x \in \mathbb{Z}</math>. Dengan menggunakan asumsi bahwa <math>e = \tfrac{a}{b}</math>, maka didapatkan
<math display="block">\begin{align}
x &= b! \left( e - \sum_{n \, = \, 0}^b \dfrac{1}{n!} \right) \\
&= b! \left( \dfrac{a}{b} - \sum_{n \, = \, 0}^b \dfrac{1}{n!} \right) \\
&= a(b - 1)! - \sum_{n \, = \, 0}^b \dfrac{b!}{n!}
\end{align}</math>

Perhatikan bahwa <math>a</math> dan <math>b - 1</math> merupakan bilangan asli, sehingga <math>a(b - 1)!</math> merupakan bilangan bulat. Lebih lanjut, setiap pecahan di dalam notasi Sigmanya juga merupakan bilangan bulat, sebab nilai <math>n \leq b</math> pada setiap sukunya. Akibatnya, dengan asumsi bahwa <math>e</math> merupakan bilangan rasional, maka <math>x</math> merupakan bilangan bulat.

=== Klaim 2 ===
Akan dibuktikan bahwa <math>0 < x < 1</math>. Pertama, akan ditunjukkan bahwa <math>x > 0</math> dengan menggunakan definisi dari <math>x</math> beserta representasi deret dari <math>e</math>. Perhatikan bahwa
<math display="block">x = b! \left( \sum_{n \, = \, 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} - \sum_{n \, = \, 0}^{b} \dfrac{1}{n!} \right) = \sum_{n \, = \, b + 1}^{\infty} \dfrac{b!}{n!} > 0</math>
sebab setiap suku pada jumlahan di atas bernilai [[Tanda (matematika)|positif]].

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa <math>x < 1</math>. Perhatikan bahwa
<math display="block">\begin{align}
x &= \sum_{n \, = \, b + 1}^{\infty} \dfrac{b!}{n!} \\
&= \dfrac{b!}{(b + 1)!} + \dfrac{b!}{(b + 2)!} + \dfrac{b!}{(b + 3)!} + \dfrac{b!}{(b + 4)!} + \, \ldots \\
&= \dfrac{1}{b + 1} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)(b + 3)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)(b + 3)(b + 4)} + \, \ldots \\
&< \dfrac{1}{b + 1} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 1)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 1)(b + 1)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 1)(b + 1)(b + 1)} + \, \ldots \\
&= \dfrac{1}{b + 1} + \left( \dfrac{1}{b + 1} \right)^{\! 2} + \left( \dfrac{1}{b + 1} \right)^{\! 3} + \left( \dfrac{1}{b + 1} \right)^{\! 4} + \, \ldots \\
&= \dfrac{\tfrac{1}{b + 1}}{1 - \tfrac{1}{b + 1}} \\
&= \dfrac{1}{b} \leq 1
\end{align}</math>
Baris keenam diperoleh melalui rumus [[deret geometrik]]. Berdasarkan hasil di atas, maka terbukti bahwa <math>x < 1</math>.

Berdasarkan kedua uraian sebelumnya, klaim 2 menimbulkan [[kontradiksi]] dengan klaim 1. Akibatnya, asumsi di awal (bahwasanya <math>e</math> merupakan bilangan rasional) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa <math>e</math> merupakan bilangan irasional. [[Q.E.D.]]

== Bukti alternatif ==
Bukti lain<ref>A. R. G. MacDivitt. ''An elementary proof that ''e'' is irrational''. ''The Mathematical Gazette''. Mathematical Association. 1987. Vol. 71 (457). hlm. 217. doi:10.2307/3616765.</ref> dapat diperoleh dengan memperhatikan bahwa
<math display="block">\begin{align}
x &= \dfrac{1}{b + 1} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)(b + 3)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)(b + 3)(b + 4)} + \, \ldots \\
(b + 1)x &= 1 + \dfrac{1}{b + 2} + \dfrac{1}{(b + 2)(b + 3)} + \dfrac{1}{(b + 2)(b + 3)(b + 4)} + \, \ldots \\
(b + 1)x &< 1 + \dfrac{1}{b + 1} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)} + \dfrac{1}{(b + 1)(b + 2)(b + 3)} + \, \ldots \\
(b + 1)x &< 1 + x \\
bx &< 1
\end{align}</math>

Hal ini mustahil terjadi, sebab <math>b</math> dan <math>x</math> merupakan bilangan bulat positif.

== Perumuman ==
Pada tahun 1840, [[Joseph Liouville|Liouville]] mempublikasikan bukti bahwa <math>e^2</math> merupakan bilangan irasional,<ref>Joseph Liouville. ''Sur l'irrationalité du nombre ''e'' = 2,718…''. ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées''. 1840. Vol. 5. hlm. 192.</ref> disusul dengan bukti bahwa <math>e^2</math> bukanlah akar dari [[polinomial]] derajat dua dengan koefisien rasional.<ref>Joseph Liouville. ''Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre ''e''''. ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées''. 1840. Vol. 5. hlm. 193–194.</ref> Informasi tersebut mengakibatkan bahwa <math>e^4</math> irasional. Isi buktinya mirip dengan bukti Fourier mengenai keirasionalan <math>e</math>. Pada tahun 1891, [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]] menjelaskan bahwa gagasan serupa juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa <math>e</math> bukanlah akar dari polinomial derajat tiga dengan koefisien rasional, yang mengakibatkan bahwa <math>e^3</math> irasional.<ref>Adolf Hurwitz. ''Mathematische Werke''. Birkhäuser. 1933. Vol. 2. hlm. 129–133.</ref> Secara umum, bilangan <math>e^q</math> merupakan bilangan irasional, untuk sembarang bilangan rasional tak [[0 (angka)|nol]] <math>q</math>.<ref>Martin Aigner. ''Proofs from THE BOOK''. Springer-Verlag. 1998. hlm. [https://archive.org/details/proofsfrombook0000aign/page/27 27]–36. doi:10.1007/978-3-642-00856-6. ISBN 978-3-642-00855-9.</ref>

Pada tahun 1873, [[Charles Hermite]] membuktikan bahwa <math>e</math> merupakan [[bilangan transendental]], yang berarti bahwa <math>e</math> bukanlah akar dari polinomial dengan koefisien rasional, dan begitu juga dengan bilangan <math>e^{\alpha}</math> untuk setiap [[bilangan aljabar]] tak nol <math>\alpha</math>.<ref>C. Hermite. ''Sur la fonction exponentielle''. ''Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris''. 1873. Vol. 77. hlm. 18–24.</ref>

== Lihat pula ==
* [[Karakterisasi fungsi eksponensial]]
* [[Bilangan transendental]], termasuk [[Bilangan transendental#Bukti bahwa e transendental|bukti bahwa ''e'' transendental]]
* [[Teorema Lindemann–Weierstrass]]
* [[Bukti bahwa π irasional|Bukti bahwa  irasional]]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti+bahwa+e+irasional&oldid=29217321 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29217321 (2026-05-12T01:55:28Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->