Bukti bahwa e irasional

Euler's formula

Bilangan $e$ diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683. Lebih dari setengah abad kemudian, Euler (yang merupakan murid dari adiknya Jacob, Johann) berhasil membuktikan bahwa $e$ adalah bilangan irasional; yang berarti, bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat.

Bukti Euler

Euler menulis bukti pertama mengenai keirasionalan $e$ pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian). Ia menghitung $e$ sebagai pecahan berlanjut, yaitu $$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\dots ,2n,1,1,\dots ]$$

Terdapat bukti singkat dari kesamaan di atas. Oleh karena pecahan berlanjut ini tidak berhenti dan setiap bilangan rasional memiliki pecahan berlanjut yang berhenti, maka $e$ merupakan bilangan irasional. Perhatikan bahwa pecahan berlanjut dari $e$ tidak bersifat periodik. Akibatnya, $e$ bukanlah akar dari polinomial kuadratik dengan koefisien rasional; lebih lanjut, $e^2$ merupakan bilangan irasional.

Bukti Fourier

Bukti yang paling terkenal ialah pembuktian melalui kontradiksi oleh Joseph Fourier, yang didasarkan pada persamaan $$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$$

Pada awalnya, $e$ diasumsikan sebagai bilangan rasional dengan bentuk $\frac{a}{b}$. Idenya ialah menganalisis selisih yang diperbesar (pada artikel ini ditulis sebagai $x$) antara representasi deret dari $e$ dengan jumlahan parsial ke-$b$. Dengan memilih faktorial dari $b$ sebagai faktor skalanya, pecahan $\frac{a}{b}$ dan jumlahan parsial ke-$b$ akan berubah menjadi bilangan bulat, sehingga $x$ haruslah bilangan bulat positif. Akan tetapi, kekonvergenan yang cepat dari representasi deretnya mengakibatkan $x$ haruslah kurang dari 1. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka dapat disimpulkan bahwa $e$ merupakan bilangan irasional.

Jika $e$ merupakan bilangan rasional, maka terdapat bilangan asli $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $e=\frac{a}{b}$. Didefinisikan bilangan $$x:=b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})$$

Klaim 1

Akan dibuktikan bahwa $x\in \mathbb{Z}$. Dengan menggunakan asumsi bahwa $e=\frac{a}{b}$, maka didapatkan $$\begin{array}{cc}x& =b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})\\ & =b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})\\ & =a(b-1)!-\sum _{n=0}^b\frac{b!}{n!}\end{array}$$

Perhatikan bahwa $a$ dan $b-1$ merupakan bilangan asli, sehingga $a(b-1)!$ merupakan bilangan bulat. Lebih lanjut, setiap pecahan di dalam notasi Sigmanya juga merupakan bilangan bulat, sebab nilai $n\le b$ pada setiap sukunya. Akibatnya, dengan asumsi bahwa $e$ merupakan bilangan rasional, maka $x$ merupakan bilangan bulat.

Klaim 2

Akan dibuktikan bahwa $0<x<1$. Pertama, akan ditunjukkan bahwa $x>0$ dengan menggunakan definisi dari $x$ beserta representasi deret dari $e$. Perhatikan bahwa $$x=b!(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}>0$$ sebab setiap suku pada jumlahan di atas bernilai positif.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa $x<1$. Perhatikan bahwa $$\begin{array}{cc}x& =\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}\\ & =\frac{b!}{(b+1)!}+\frac{b!}{(b+2)!}+\frac{b!}{(b+3)!}+\frac{b!}{(b+4)!}+\dots \\ & =\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)(b+4)}+\dots \\ & <\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(b+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(b+1)(b+1)(b+1)}+\dots \\ & =\frac{1}{b+1}+{\left(\frac{1}{b+1}\right)}^2+{\left(\frac{1}{b+1}\right)}^3+{\left(\frac{1}{b+1}\right)}^4+\dots \\ & =\frac{\frac{1}{b+1}}{1-\frac{1}{b+1}}\\ & =\frac{1}{b}\le 1\end{array}$$ Baris keenam diperoleh melalui rumus deret geometrik. Berdasarkan hasil di atas, maka terbukti bahwa $x<1$.

Berdasarkan kedua uraian sebelumnya, klaim 2 menimbulkan kontradiksi dengan klaim 1. Akibatnya, asumsi di awal (bahwasanya $e$ merupakan bilangan rasional) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa $e$ merupakan bilangan irasional. Q.E.D.

Bukti alternatif

Bukti lain dapat diperoleh dengan memperhatikan bahwa $$\begin{array}{cc}x& =\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)(b+4)}+\dots \\ (b+1)x& =1+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{(b+2)(b+3)}+\frac{1}{(b+2)(b+3)(b+4)}+\dots \\ (b+1)x& <1+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)}+\dots \\ (b+1)x& <1+x\\ bx& <1\end{array}$$

Hal ini mustahil terjadi, sebab $b$ dan $x$ merupakan bilangan bulat positif.

Perumuman

Pada tahun 1840, Liouville mempublikasikan bukti bahwa $e^2$ merupakan bilangan irasional, disusul dengan bukti bahwa $e^2$ bukanlah akar dari polinomial derajat dua dengan koefisien rasional. Informasi tersebut mengakibatkan bahwa $e^4$ irasional. Isi buktinya mirip dengan bukti Fourier mengenai keirasionalan $e$. Pada tahun 1891, Hurwitz menjelaskan bahwa gagasan serupa juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa $e$ bukanlah akar dari polinomial derajat tiga dengan koefisien rasional, yang mengakibatkan bahwa $e^3$ irasional. Secara umum, bilangan $e^q$ merupakan bilangan irasional, untuk sembarang bilangan rasional tak nol $q$.

Pada tahun 1873, Charles Hermite membuktikan bahwa $e$ merupakan bilangan transendental, yang berarti bahwa $e$ bukanlah akar dari polinomial dengan koefisien rasional, dan begitu juga dengan bilangan $e^{\alpha }$ untuk setiap bilangan aljabar tak nol $\alpha$.

Lihat pula

• Karakterisasi fungsi eksponensial
• Bilangan transendental, termasuk bukti bahwa e transendental
• Teorema Lindemann–Weierstrass
• Bukti bahwa irasional

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29217321 (2026-05-12T01:55:28Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.