Lihat sumber Irisan (teori himpunan)

[[File:Venn0001.svg|thumb|right|280px|Irisan dari dua himpunan A dan B , dinyatakan melalui lingkaran. Warna merah menyatakan anggota dari A \cap B]]

Dalam matematika, '''irisan''' dari dua [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>A</math> dan <math>B</math> adalah himpunan yang memuat semua anggota dari <math>A</math> juga milik <math>B</math> (atau, semua anggota dari <math>B</math> yang juga milik <math>A</math>).<ref>[http://people.richland.edu/james/lecture/m170/ch05-rul.html Stats: Probability Rules]. People.richland.edu.</ref> Irisan dari kedua himpunan tersebut dinyatakan secara matematis:<ref>[https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/set-theory-symbols/ Comprehensive List of Set Theory Symbols]. ''Math Vault''. 2020-04-11.</ref><ref>[http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S3/Intersection4.htm Intersection of Sets]. ''web.mnstate.edu''.</ref>
: <math>A \cap B</math>,

== Notasi dan istilah ==
Irisan ditulis menggunakan simbol "∩" di antara ekspresi berupa kumpulan anggota-anggota, dalam [[notasi infiks]]. Berikut adalah contoh-contohnya:

: <math>\{1,2,3\}\cap\{2,3,4\}=\{2,3\}</math>
: <math>\{1,2,3\}\cap\{1,5,10\}\cap\{1,4,9\}=\{1\}</math>
: <math>\{1,2,3\}\cap\{4,5,6\}=\emptyset</math>
: <math>\mathbb{Z}\cap\mathbb{N}=\mathbb{N}</math>
: <math>\{x\in\mathbb{R}:x^2=1\}\cap\mathbb{N}=\{1\}</math>

Ketika irisan terjadi lebih dari dua himpunan (irisan yang diperumum), notasinya mirip seperti [[notasi Sigma]], yang ditulis sebagai

: <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>.

== Definisi ==
Irisan dari dua himpunan <math>A</math> dan <math>B</math>, dilambangkan dengan <math>A \cap B</math>,<ref>[https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/set-theory-symbols/ Comprehensive List of Set Theory Symbols]. ''Math Vault''. 2020-04-11.</ref><ref>[https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php Set Operations Union Intersection Complement Difference Mutually Exclusive Partitions De Morgan's Law Distributive Law Cartesian Product]. ''www.probabilitycourse.com''.</ref> merupakan himpunan dari semua objek yang merupakan anggota dari kedua himpunan <math>A</math> dan <math>B</math>. Secara matematis, ditulis

: <math>A \cap B = \{ x: x \in A \text{ dan } x \in B\}.</math>
Hal ini mengartikan bahwa <math>x</math> adalah anggota dari irisan <math>A \cap B</math> [[jika dan hanya jika]] <math>x</math> adalah anggota dari <math>A</math> dan anggota dari <math>B</math>.<ref>[https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php Set Operations Union Intersection Complement Difference Mutually Exclusive Partitions De Morgan's Law Distributive Law Cartesian Product]. ''www.probabilitycourse.com''.</ref> Sebagai contohː

* Irisan dari himpunan <math>\{1,2,3\}</math> dan <math>\{2,3,4\}</math> adalah <math>\{2,3\}</math>.
* Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan [[bilangan prima]] <math>\{2,3,5,7,11,\dots\} </math> dan himpunan [[bilangan ganjil]] <math>\{1,3,5,7,9,11,\dots\}</math>, karena 9 bukanlah bilangan prima.

=== Himpunan beririsan dan saling lepas ===
Himpunan <math>A</math> dikatakan ''beririsan'' dengan himpunan <math>B</math> jika terdapat <math>x</math> yang merupakan anggota dari himpunan <math>A</math> dan <math>B</math>.

Himpunan <math>A</math> dan <math>B</math> dikatakan ''[[Himpunan saling lepas|saling lepas]]'' jika <math>A</math> tidak beririsan dengan <math>B</math>. Penjelasan yang lebih sederhananya, kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama. Himpunan <math>A</math> dan <math>B</math> saling lepas jika irisannya adalah [[Himpunan kosong|kosong]], dilambangkan <math>A\cap B=\varnothing</math>.

Sebagai contoh, himpunan <math>\{1,2\}</math> dan <math>\{3,4\}</math> saling lepas, sedangkan himpunan bilangan genap beririsan dengan himpunan [[Kelipatan (matematika)|kelipatan]] dari 3 di himpunan kelipatan 6.
== Sifat aljabar ==
* Irisan adalah operasi yang bersifat [[Sifat komutatif|komutatif]]; yaitu, untuk setiap himpunan <math>A</math> dan <math>B</math>, berlaku:<br /><math>A \cap B = B \cap A</math>.
* Irisan adalah operasi yang bersifat [[Sifat asosiatif|asosiatif]]; yaitu, untuk setiap himpunan <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math>, berlaku:<br /><math>A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C</math>. <br />Berdasarkan sifat ini, penulisan lambang kurung boleh diabaikan sama sekali tanpa mengubah makna; sehingga bentuk di atas dapat ditulis sebagai <math>A \cap B \cap C</math>.
*Irisan bersifat idempoten; yakni, untuk sebarang himpunan <math>A</math> berlaku <br /> <math>A \cap A = A</math>
Sifat-sifat tersebut bersesuaian dengan [[logika konjungsi]]
*Irisan bersifat [[Sifat distributif|distributif]] terhadap gabungan dan [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]] bersifat distributif terhadap irisan; yaitu, untuk setiap himpunan <math>A</math> dan <math>B</math>, berlaku:<br /><math>A \cup ( B \cap C )= ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )</math>.<br /><math>A \cap ( B \cup C )= ( A \cap B ) \cup ( A \cap C )</math>.
*Dalam semesta <math>U</math>, [[Komplemen (teori himpunan)|komplemen]] <math>A^\complement</math> dari himpunan <math>A</math> dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua anggota dari <math>U</math> yang tidak termuat dalam <math>A</math>. Selanjutnya, irisan dari <math>A</math> dan <math>B</math> dapat ditulis sebagai komplemen dari [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari [[hukum de Morgan]]ː <math display="block">A \cap B = \left(A^{c} \cup B^{c}\right)^c.</math>

== Irisan sebarang ==
Perumuman gagasan irisan adalah irisan sebarang ''kumpulan'' ''takkosong'' himpunan-himpunan. Jika <math>M</math> adalah himpunan [[Himpunan kosong|bukan kosong]] yang anggotanya adalah himpunan juga, maka <math>x</math> adalah anggota dari irisan dari <math>M</math> jika dan hanya jika untuk [[Kuantifikasi universal|setiap anggota]] <math>A</math> dari <math>M</math>, <math>x</math> adalah sebuah anggota dari <math>A</math>. Secara matematis ditulisː

: <math>\left( x \in \bigcap_{A \in M} A \right) \Leftrightarrow \left( \forall A \in M, \ x \in A \right)</math>.

Notasi mengenai konsep terakhir ini dapat ditulis dengan berbagai cara. Sebagian pakar teori himpunan terkadang menulis <math display="inline">\bigcap M</math>, sementara yang lainnya menulis <math display="inline">\bigcap_{A \in M} A</math>. Penulisan notasi terakhir dapat diperumum menjadi <math display="inline">\bigcap_{i \in I} A_i</math>, yang mengacu pada irisan kumpulan <math>\{A_i : i \in I\}</math>. Dalam notasi terakhir itu, <math>I</math> adalah himpunan takkosong, dan <math>A_i</math> adalah sebuah himpunan dari setiap <math>i</math> dalam <math>I</math>.

Pada sebuah kasus bahwa [[himpunan indeks]] <math>I</math> adalah himpunan [[bilangan asli]], notasi irisan sembarang mirip dengan notasi [[darab takterhingga]].

: <math>\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i</math>.

Notasi tersebut juga dapat ditulis <math>A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \dots</math>.

== Irisan kosong ==
Perhatikan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus untuk <math>M</math> adalah [[himpunan kosong]] (<math>\varnothing</math>). Alasannya  adalah bahwa Irisan dari kumpulan <math>M</math> didefinisikan sebagai himpunan (lihat [[notasi ungkapan himpunan]])

: <math>\bigcap_{A \in M} A = \{x : \forall A \in M, x \in A\}.</math>

Jika <math>M</math> kosong, maka tidak ada himpunan <math>A</math> dalam <math>M</math>. Hal ini memunculkan sebuah pertanyaan: "<math>x</math> manakah yang memenuhi syarat yang disebutkan?". Jawabannya bisa saja untuk setiap kemungkinan <math>x</math>. Ketika <math>M</math> kosong, syarat yang disebutkan di atas merupakan sebuah contoh dari [[kebenaran yang hampa]]. Jadi, irisan dari keluarga kosong harus berupa [[himpunan semesta]] ([[Elemen identitas|anggota identitas]] untuk operasi dari irisan),<ref>Robert E. Megginson. ''An introduction to Banach space theory''. Springer-Verlag. 1998. Vol. 183. hlm. xx+596. ISBN 0-387-98431-3.</ref> tetapi dalam teori himpunan ([[Teori himpunan Zermelo-Fraenkel|Zermelo-Fraenkel]]) standar, himpunan semesta tidak ada.

== Lihat pula ==
* [[Aljabar himpunan]]
* [[Beda setangkup]]
* [[Gabungan (teori himpunan)|Gabungan]]
* [[Irisan Graf|Irisan graf]]
* [[Kardinalitas]]
* [[Komplemen (teori himpunan)|Komplemen]]
* [[Logika konjungsi]]
* [[MinHash]]
* [[Operasi biner teriterasi]]
* [[Teori himpunan naif]]

== Bacaan lanjutan ==
* 
* 
* 

== Pranala luar ==
* Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Irisan+%28teori+himpunan%29&oldid=29459878 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29459878 (2026-07-15T02:15:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->