Lihat sumber Luas lingkaran

[[File:Stereographic_projection_in_3D.svg|thumb|right|280px|Stereographic projection in 3D]]

Dalam [[geometri]], '''luas lingkaran''' adalah daerah yang dilingkupi oleh kurva yang melengkung sehingga berupa [[lingkaran]], dan galibnya, luas lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut.

:<math>A = \pi r^2</math>.

Pada rumus di atas, simbol <math>A</math> adalah luas lingkaran, <math>r</math> adalah [[jari-jari]] atau dikenal sebagai [[radius]], dan <math>\pi</math> ([[huruf Yunani]] yang dibaca [[pi]]) adalah [[konstanta Archimedes]] yang diaproksimasikan sebagai <math>3.1415\dots</math>.

== Sejarah ==
Matematika modern dapat memperoleh luas menggunakan metode [[Integral|kalkulus integral]] atau turunan yang lebih canggih, [[analisis riil]]. Namun luas cakram dipelajari oleh [[Yunani Kuno]]. [[Eudoxus dari Cnidus]] pada abad kelima SM, telah menemukan bahwa luas cakram sebanding dengan radius kuadratnya.<ref>James Stewart. [https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3 Variabel tunggal transendental awal kalkulus]. Brook/Cole. 2003. hlm. [https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3 3]. ISBN 0-534-39330-6.</ref> [[Archimedes]] menggunakan perkakas [[geometri Euklides]] untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luas [[segitiga siku-siku]] yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran dalam bukunya '' [[Pengukuran Lingkaran]]''. Kelilingnya <math>2 \pi r</math>, dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luas <math>\pi r^2</math>untuk cakram. Sebelum Archimedes, [[Hippocrates dari Chios|Hippocrates]] adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram sebanding dengan kuadrat diameternya, sebagai bagian dari kuadraturnya dalam [[bulan sabit Hippocrates]],<ref>Thomas L. Heath. [https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121 Manual Matematika Yunani]. Courier Dover Publications. 2003. hlm. 121–132. ISBN 0-486-43231-9..</ref> tetapi tidak mengidentifikasi [[konstanta proporsionalitas]].

== Bukti rumus luas lingkaran ==
=== Bukti melalui poligon ===
Selama lebih dari 2000 tahun yang silam, [[Archimedes]] menyediakan kunci untuk suatu penyelesaian.<ref>Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). ''Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1''. hlm. 213. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)</ref>

Dengan memperhatikan poligon dalam yang mengaproksimasi daerah melengkung dan pendekatan geometris (anggap lingkaran berjari-jari 1), kita perhatikan poligon dalam beraturan <math>P_1, P_2, P_3, \dots</math> dengan 4 sisi, 8 sisi, 16 sisi, dst. Luas lingkaran adalah limit ketika <math>n \to \infty</math> dari luas-luas <math>P_n</math>. Misal <math>A</math> menyatakan luas suatu daerah, maka

:<math>A(\text{lingkaran}) = \lim_{n \to \infty} A(P_n)</math>.<ref>Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). ''Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1''. hlm. 213. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)</ref>

Hal yang serupa untuk pendekatan geometris terhadap poligon luar.

=== Bukti melalui semilingkaran ===
Tinjau daerah dengan selang <math>[-r,r]</math>, maka kita bisa menghitung luas setengah lingkaran dengan <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math>.

:<math>A_\text{setengah lingkaran} = \int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2} \, \mathrm dx = \left.\frac{r^2}{2} \arcsin \frac{x}{r} + \frac{x}{2} \sqrt{r^2 - x^2}\right|^r _{-r} = \frac{r^2}{2}\left[\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right] = \frac{\pi r^2}{2}</math>.<ref>Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). ''Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 2''. hlm. 19. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)</ref>

Luas lingkaran, ialah dua kali dari luas semilingkaran, maka kita tuliskan

:<math>A_\text{lingkaran} = 2 A_\text{setengah lingkaran} = \pi r^2</math>.

=== Bukti melalui estimasi dari luas persegi panjang ===
Bukti yang sederhana adalah melalui luas persegi panjang (sebagai estimasi saja). Dengan memotong lingkaran sehingga masing-masing luas juring adalah sama, serta transfigurasi melalui penyusunan luas juring tersebut (dengan warna putih dan kuning, lihat gambar) menjadi [[persegi panjang]], maka kita dapat mengeksploitasi luas persegi panjang untuk mencari luas lingkaran.<ref>Umi Salamah. ''Berlogika dengan Matematika untuk Kelas VIII SMP dan MTs''. 2015. hlm. 130. ISBN 978-979-018-702-3.</ref>

Luas lingkaran yang diperoleh sama dengan luas persegi panjang, yaitu setengah keliling lingkaran dikali dengan [[jari-jari]].

:<math>A = \frac{1}{2}\cdot C \cdot r = \frac{1}{2}\cdot (2\pi r)\cdot r = \pi r^2</math>.<ref>Umi Salamah. ''Berlogika dengan Matematika untuk Kelas VIII SMP dan MTs''. 2015. hlm. 130. ISBN 978-979-018-702-3.</ref>

=== Bukti melalui segitiga ===
Selain pembuktian melalui estimasi terhadap luas persegi panjang sebagai pencarian luas lingkaran, kita dapat membuktikannya melalui luas segitiga siku-siku. Dengan memperhatikan gambar bahwa luas lingkaran divisualisasikan melalui animasi, maka kita dapat memisalkan masing-masing [[jari-jari]] dan keliling lingkaran sebagai alas dan tinggi pada [[segitiga siku-siku]].
:<math>A = \frac{1}{2}\cdot C \cdot r = \frac{1}{2}\cdot (2\pi r)\cdot r = \pi r^2</math>

== Lihat pula ==
* [[Diameter]], dua kalinya [[jari-jari]].
*[[Lingkaran]]
* [[Bulan sabit Hippocrates]]

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Luas+lingkaran&oldid=22563160 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22563160 (2023-01-05T18:57:35Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->