Logaritma

Dalam matematika, logaritma adalah fungsi invers dari eksponensiasi. Dengan kata lain, logaritma dari adalah eksponen dengan bilangan pokok yang dipangkatkan dengan bilangan konstan lain agar memperoleh nilai . Kasus sederhana dalam logaritma adalah menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh, dibaca, "logaritma 1000 dengan bilangan pokok 10 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai . Logaritma dari dengan bilangan pokok dilambangkan . Terkadang logaritma dilambangkan sebagai atau tanpa menggunakan tanda kurung, , atau bahkan tanpa menggunakan bilangan pokok khusus, .

Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma dengan bilangan pokok () disebut sebagai logaritma umum, yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Logaritma dengan dengan bilangan pokok bilangan () disebut sebagai logaritma alami, yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika, karena dapat mempermudah perhitungan integral dan turunan. Logaritma dengan bilangan pokok () disebut sebagai logaritma biner, yang sering kali dipakai dalam ilmu komputer.

Logaritma diperkenalkan oleh John Napier pada tahun 1614 sebagai alat yang menyederhanakan perhitungan. Logaritma dipakai lebih cepat dalam navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya untuk lebih mempermudah perhitungan nilai yang sangat akurat. Dengan menggunakan tabel logaritma, cara yang membosankan seperti mengalikan digit yang banyak dapat digantikan dengan melihat tabel dan penjumlahan yang lebih mudah. Ini dapat dilakukan karena logaritma dari hasil kali bilangan merupakan logaritma dari jumlah faktor bilangan:

${}^b\log (xy)={}^b\log x+{}^b\log y,$

asalkan bahwa , dan bilangan positif dan . Mistar hitung yang juga berasal dari logaritma dapat mempermudah perhitungan tanpa menggunakan tabel, tetapi perhitungannya kurang akurat. Leonhard Euler mengaitkan gagasan logaritma saat ini dengan fungsi eksponensial pada abad ke-18, dan juga memperkenalkan huruf sebagai bilangan pokok dari logaritma alami.

Penerapan skala logaritmik dipakai dalam mengurangi kuantitas yang sangat besar menjadi lebih kecil. Sebagai contoh, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan rasio sebagai logaritma, sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (contoh umumnya pada tekanan suara). Dalam kimia, pH mengukur keasaman dari larutan berair melalui logaritma. Logaritma umumnya dipakai dalam rumus ilmiah, dalam pengukuran kompleksitas algoritma dan objek geometris yang disebut sebagai fraktal. Logaritma juga membantu untuk menjelaskan frekuensi rasio interval musik, ditemukan di rumus yang menghitung bilangan prima atau hampiran faktorial, memberikan gambaran dalam psikofisika, dan dapat membantu perhitungan akuntansi forensik.

Konsep logaritma sebagai invers dari eksponensiasi juga memperluas ke struktur matematika lain. Namun pada umumnya, logaritma cenderung merupakan fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, logaritma kompleks merupakan invers dari fungsi eksponensial pada bilangan kompleks. Mirip dengan contoh sebelumnya, logaritma diskret dalam grup hingga, merupakan invers fungsi eksponensial bernilai banyak yang memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik.

Alasan

Operasi aritmetika yang paling dasar adalah penambahan, perkalian, dan eksponen. Kebalikan dari penambahan adalah pengurangan, dan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Mirip dengan contoh sebelumnya, logaritma merupakan kebalikan (atau invers) dari operasi eksponensiasi. Eksponensiasi adalah bilangan bilangan pokok yang ketika dipangkatkan dengan memberikan nilai . Ini dirumuskan sebagai

$b^y=x.$

Sebagai contoh, pangkat memberikan nilai . Secara matematis, $2^3=8$.

Logaritma dengan bilangan pokok adalah operasi invers yang menyediakan nilai keluaran dari nilai masukan . Hal ini mengartikan bahwa ekuivalen dengan , jika bilangan real positif. (Jika bukanlah bilangan real positif, eksponensiasi dan logaritma dapat terdefinisi tetapi membutuhkan beberapa nilai, sehingga definisi darinya semakin rumit.)

Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus

${}^b\log (xy)={}^b\log x+{}^b\log y,$

yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat tabel logaritma. Perhitungan ini dipakai sebelum komputer ditemukan.

Definisi

Diberikan bilangan real positif sehingga , maka logaritma dari bilangan real positif terhadap bilangan pokok adalah eksponen dengan bilangan pokok yang dipangkatkan bilangan agar memperoleh nilai . Dengan kata lain, logaritma bilangan pokok dari adalah bilangan real sehingga . Logaritma dilambangkan sebagai (dibaca "logaritma dengan bilangan pokok "). Terdapat definisi yang mirip dan lebih ringkas mengatakan bahwa fungsi invers dengan fungsi .

Sebagai contoh, , karena . Logaritma juga dapat bernilai negatif, contohnya , karena . Logaritma juga berupa nilai desimal, sebagai contoh kira-kira sama dengan 2,176 karena terletak di antara 2 dan 3, dan begitupula 150 terletak antara dan . Adapun sifat logaritma bahwa untuk setiap , karena , dan karena .

Identitas logaritma

Ada beberapa rumus penting yang mengaitkan logaritma dengan yang lainnya.

Hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan akar

Logaritma dari hasil kali merupakan jumlah logaritma dari bilangan yang dikalikan, dan logaritma dari hasil bagi dari dua bilangan merupakan selisih logaritma. Logaritma dari bilangan pangkat ke- sama dengan ' dikali logaritma dari bilangan tersendiri, dan logaritma bilangan akar ke- sama dengan logaritma dibagi dengan . Tabel berikut memuat daftar sifat-sifat logaritma tersebut beserta contohnya. Masing-masing identitas ini diperoleh dari hasil substitusi dari definisi logaritma $x=b^{{}^b\log x}$ atau $y=b^{{}^b\log y}$ pada ruas kiri persamaan.

Mengubah bilangan pokok

Logaritma dapat dihitung sebagai hasil bagi logaritma dengan logaritma terhadap bilangan pokok sembarang . Secara matematis dirumuskan sebagai:

<math> {}^b\!\log x = \frac

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29568597 (2026-08-13T00:19:35Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.