Lompat ke isi

0 (angka): Perbedaan antara revisi

Ensiklopedia Pengetahuan Universitas Islam Sultan Agung
← Revisi sebelumnya

Maintenance script (bicara | kontrib)

37.956 suntingan
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Pembersihan konten sesuai kebijakan Wiki Unissula
 
(1 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan)
Baris 25: Baris 25:
Pada tahun 150, [[Ptolemy]] menggunakan simbol untuk nol ()<ref>Otto Neugebauer. [https://archive.org/details/exactsciencesina0000neug_j9e8 The Exact Sciences in Antiquity]. Dover Publications. 1969. hlm. [https://archive.org/details/exactsciencesina0000neug_j9e8/page/13 13]–14, plate 2. ISBN 978-0-486-22332-2.</ref><ref>Raymond Mercier. [http://www.raymondm.co.uk/prog/GreekZeroSign.pdf Consideration of the Greek symbol 'zero']. ''Home of Kairos''.</ref> dalam karyanya di [[Astronomi teoretis|astronomi matematika]], ''Syntaxis Mathematica'' (juga dikenal sebagai ''[[Almagest]]''). Ia mendapat pengaruh dari [[Hipparkhos]] dan [[Babilonia|bangsa Babilonia]].<ref>Ptolemy. ''Ptolemy's Almagest''. Princeton University Press. 1998. hlm. 306–307. ISBN 0-691-00260-6.</ref> [[Angka Yunani#Nol|Nol Helenistik]] ini mungkin adalah catatan tertua penggunaan angka untuk mewakili nol di [[Dunia Lama]].<ref>J J O'Connor. [http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html A history of Zero]. MacTutor History of Mathematics.</ref> Ptolemy banyak menggunakannya dalam buku ''Almagest''-nya (VI.8), untuk menyatakan [[Magnitudo gerhana|magnitudo]] dari [[gerhana bulan]] dan [[Gerhana matahari|matahari]]. Simbol Ptolemy digunakan sebagai penanda-tempat sekaligus sebagai angka dalam dua [[Fungsi (matematika)|fungsi matematika]], jadi simbol ini mewakili nol, bukan kosong. Seiring waktu, simbol nol Ptolemy cenderung membesar dan kehilangan garis atas, sehingga terlihat seperti omikron besar "O" panjang mirip-0, atau sebagai omikron dengan garis atas "ō", ketimbang versi aslinya yang berupa titik dengan garis atas.<ref>[https://www.unicode.org/L2/L2004/04054-greek-zero.pdf Proposal to encode the Greek Zero in the UCS]. 2024-07-31.</ref>
Pada tahun 150, [[Ptolemy]] menggunakan simbol untuk nol ()<ref>Otto Neugebauer. [https://archive.org/details/exactsciencesina0000neug_j9e8 The Exact Sciences in Antiquity]. Dover Publications. 1969. hlm. [https://archive.org/details/exactsciencesina0000neug_j9e8/page/13 13]–14, plate 2. ISBN 978-0-486-22332-2.</ref><ref>Raymond Mercier. [http://www.raymondm.co.uk/prog/GreekZeroSign.pdf Consideration of the Greek symbol 'zero']. ''Home of Kairos''.</ref> dalam karyanya di [[Astronomi teoretis|astronomi matematika]], ''Syntaxis Mathematica'' (juga dikenal sebagai ''[[Almagest]]''). Ia mendapat pengaruh dari [[Hipparkhos]] dan [[Babilonia|bangsa Babilonia]].<ref>Ptolemy. ''Ptolemy's Almagest''. Princeton University Press. 1998. hlm. 306–307. ISBN 0-691-00260-6.</ref> [[Angka Yunani#Nol|Nol Helenistik]] ini mungkin adalah catatan tertua penggunaan angka untuk mewakili nol di [[Dunia Lama]].<ref>J J O'Connor. [http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html A history of Zero]. MacTutor History of Mathematics.</ref> Ptolemy banyak menggunakannya dalam buku ''Almagest''-nya (VI.8), untuk menyatakan [[Magnitudo gerhana|magnitudo]] dari [[gerhana bulan]] dan [[Gerhana matahari|matahari]]. Simbol Ptolemy digunakan sebagai penanda-tempat sekaligus sebagai angka dalam dua [[Fungsi (matematika)|fungsi matematika]], jadi simbol ini mewakili nol, bukan kosong. Seiring waktu, simbol nol Ptolemy cenderung membesar dan kehilangan garis atas, sehingga terlihat seperti omikron besar "O" panjang mirip-0, atau sebagai omikron dengan garis atas "ō", ketimbang versi aslinya yang berupa titik dengan garis atas.<ref>[https://www.unicode.org/L2/L2004/04054-greek-zero.pdf Proposal to encode the Greek Zero in the UCS]. 2024-07-31.</ref>


Penggunaan nol tertua dalam [[Computus|perhitungan tanggal Paskah]] dilakukan sebelum tahun 311, pada entri pertama dalam tabel [[epak]] yang tersimpan dalam suatu dokumen [[Etiopia]] untuk tahun 311-369. Tabel ini  menggunakan kata [[Ge'ez]] untuk "kosong" bersama dengan angka-angka Ge'ez (yang didasarkan pada angka Yunani), dan merupakan terjemahan dari tabel serupa yang diterbitkan oleh [[Gereja Aleksandria]] dalam [[Bahasa Yunani Abad Pertengahan|bahasa Yunani Pertengahan]].<ref>Otto Neugebauer. ''Ethiopic Astronomy and Computus''. Red Sea Press. 2016. hlm. 25, 53, 93, 183, Plate I. ISBN 978-1-56902-440-9.. The pages in this edition have numbers six less than the same pages in the original edition.</ref> Nol ini digunakan kembali tahun 525 dalam tabel serupa, yang diterjemahkan dari kata Latin ''nulla'' ("kosong") oleh [[Dionysius Exiguus]], bersama dengan [[Angka Romawi|angka-angka Romawi]].<ref>Michael Deckers. [http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm Cyclus Decemnovennalis Dionysii]. 2003.</ref> Ketika pembagian tidak menghasilkan sisa, kata ''nihil'' (yang berarti tidak ada) digunakan. Nol abad pertengahan ini selanjutnya digunakan oleh para [[Computus|penghitung tanggal Paskah]] abad pertengahan. Awalan "N" digunakan sebagai simbol nol dalam suatu tabel angka Romai oleh [[Bede]] (atau koleganya) sekitar tahun 725.<ref>C. W. Jones, ed., ''Opera Didascalica'', vol. 123C in ''Corpus Christianorum, Series Latina''.</ref>


=== China ===
=== China ===
Baris 37: Baris 36:
Konsep nol sebagai angka dalam [[Notasi posisional|notasi nilai-tempat]] ''desimal'' dikembangkan di [[India]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=0+%28angka%29&oldid=29448282 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Simbol nol berupa titik besar digunakan di keseluruhan [[manuskrip Bakhshali]], suatu panduan praktis tentang [[aritmetika]] untuk para pedagang.<ref>Ittay Weiss. [https://theconversation.com/nothing-matters-how-the-invention-of-zero-helped-create-modern-mathematics-84232 Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics]. ''The Conversation''. 20 September 2017.</ref> Pada tahun 2017, para peneliti di [[Bodleian Library]] melaporkan hasil [[penanggalan radiokarbon]] untuk tiga sampel dari manuskrip tersebut, dan mengindikasikan bahwa manuskrip tersebut berasal dari tiga abad yang berbeda: dari 224-383 Masehi, 680-779 Masehi, dan 885-993 Masehi. Tidak diketahui alasan fragmen-fragmen kulit [[Burja|kayu burja]] (''birch'') dari abad yang berbeda-beda dapat dikemas bersama untuk membentuk manuskrip tersebut. Jika tulisan pada fragmen-fragmen kulit kayu burja tertua sama tuanya dengan usia kulit kayu tersebut, ini menunjukkan penggunaan tertua yang tercatat dari simbol nol di [[Asia Selatan]]. Jika tulisan pada fragmen kulit kayu burja tertua sama tuanya dengan fragmen-fragmen tersebut, maka ini merupakan penggunaan simbol nol tertua yang tercatat di Asia Selatan. Namun, ada kemungkinan bahwa tulisan tersebut berasal dari periode waktu fragmen termuda, yaitu 885-993 Masehi. Penanggalan yang terakhir ini dianggap lebih konsisten dengan penggunaan nol yang canggih di dalam dokumen tersebut, karena beberapa bagian dari dokumen tersebut tampak menunjukkan bahwa nol digunakan sebagai angka, dan bukan hanya sebagai penanda posisi.<ref>Hannah Devlin. [https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol]. ''The Guardian''. 13 September 2017.</ref><ref>[http://www.bodleian.ox.ac.uk/bodley/news/2017/sep-14 Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero']. ''Bodleian Library''. 14 September 2017.</ref><ref>Kim Plofker. [https://journals.library.ualberta.ca/hssa/index.php/hssa/article/view/22 The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library's Radiocarbon Dating]. ''History of Science in South Asia''. 2017-10-06. Vol. 5 (1). hlm. 134–150. doi:10.18732/H2XT07.</ref>
Konsep nol sebagai angka dalam [[Notasi posisional|notasi nilai-tempat]] ''desimal'' dikembangkan di [[India]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=0+%28angka%29&oldid=29448282 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Simbol nol berupa titik besar digunakan di keseluruhan [[manuskrip Bakhshali]], suatu panduan praktis tentang [[aritmetika]] untuk para pedagang.<ref>Ittay Weiss. [https://theconversation.com/nothing-matters-how-the-invention-of-zero-helped-create-modern-mathematics-84232 Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics]. ''The Conversation''. 20 September 2017.</ref> Pada tahun 2017, para peneliti di [[Bodleian Library]] melaporkan hasil [[penanggalan radiokarbon]] untuk tiga sampel dari manuskrip tersebut, dan mengindikasikan bahwa manuskrip tersebut berasal dari tiga abad yang berbeda: dari 224-383 Masehi, 680-779 Masehi, dan 885-993 Masehi. Tidak diketahui alasan fragmen-fragmen kulit [[Burja|kayu burja]] (''birch'') dari abad yang berbeda-beda dapat dikemas bersama untuk membentuk manuskrip tersebut. Jika tulisan pada fragmen-fragmen kulit kayu burja tertua sama tuanya dengan usia kulit kayu tersebut, ini menunjukkan penggunaan tertua yang tercatat dari simbol nol di [[Asia Selatan]]. Jika tulisan pada fragmen kulit kayu burja tertua sama tuanya dengan fragmen-fragmen tersebut, maka ini merupakan penggunaan simbol nol tertua yang tercatat di Asia Selatan. Namun, ada kemungkinan bahwa tulisan tersebut berasal dari periode waktu fragmen termuda, yaitu 885-993 Masehi. Penanggalan yang terakhir ini dianggap lebih konsisten dengan penggunaan nol yang canggih di dalam dokumen tersebut, karena beberapa bagian dari dokumen tersebut tampak menunjukkan bahwa nol digunakan sebagai angka, dan bukan hanya sebagai penanda posisi.<ref>Hannah Devlin. [https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol]. ''The Guardian''. 13 September 2017.</ref><ref>[http://www.bodleian.ox.ac.uk/bodley/news/2017/sep-14 Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero']. ''Bodleian Library''. 14 September 2017.</ref><ref>Kim Plofker. [https://journals.library.ualberta.ca/hssa/index.php/hssa/article/view/22 The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library's Radiocarbon Dating]. ''History of Science in South Asia''. 2017-10-06. Vol. 5 (1). hlm. 134–150. doi:10.18732/H2XT07.</ref>


Teks [[Jainisme]] tentang [[kosmologi]] ''[[Lokavibhaga|Lokavibhāga]]'' yang ditulis tahun 458&nbsp;M ([[era Saka]] 380) menggunakan sistem nilai-tempat desimal, termasuk nol. Dalam teks ini, ''[[Śūnyatā|śūnya]]'' ("hampa, kosong") juga digunakan untuk merujuk pada nol.


Aturan terkait penggunaan nol muncul dalam ''[[Brāhmasphuṭasiddhānta|Brahmasputha Siddhanta]]'' (abad ke-7) karya [[Brahmagupta]], yang menyatakan bahwa penambahan nol dengan dirinya sendiri sama dengan nol, dan secara salah menjelaskan [[pembagian oleh nol]] sebagai berikut:<ref>[https://archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft Algebra, with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara]. John Murray. 1817.</ref><blockquote>Sebarang bilangan positif atau negatif ketika dibagi oleh nol menghasilkan suatu pecahan dengan nol sebagai penyebut. Nol dibagi dengan bilangan negatif atau positif menghasilkan antara nol atau dapat dituliskan sebagai pecahan dengan nol sebagai pembilang dan suatu besaran hingga sebagai penyebut. Nol dibagi dengan nol menghasilkan nol.</blockquote>
Aturan terkait penggunaan nol muncul dalam ''[[Brāhmasphuṭasiddhānta|Brahmasputha Siddhanta]]'' (abad ke-7) karya [[Brahmagupta]], yang menyatakan bahwa penambahan nol dengan dirinya sendiri sama dengan nol, dan secara salah menjelaskan [[pembagian oleh nol]] sebagai berikut:<ref>[https://archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft Algebra, with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara]. John Murray. 1817.</ref><blockquote>Sebarang bilangan positif atau negatif ketika dibagi oleh nol menghasilkan suatu pecahan dengan nol sebagai penyebut. Nol dibagi dengan bilangan negatif atau positif menghasilkan antara nol atau dapat dituliskan sebagai pecahan dengan nol sebagai pembilang dan suatu besaran hingga sebagai penyebut. Nol dibagi dengan nol menghasilkan nol.</blockquote>
Baris 44: Baris 42:
Berdasarkan [[epigrafi]], cabang ilmu [[arkeologi]] yang meneliti benda-benda tertulis masa lampau, titik hitam digunakan sebagai penanda-tempat desimal dalam [[manuskrip Bakhshali]], yang sebagiannya tertanggal dari tahun 224–993&nbsp;M.<ref>Hannah Devlin. [https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol]. ''The Guardian''. 13 September 2017.</ref> Ada banyak prasasti lempengan [[tembaga]] dengan simbol o kecil yang sama, beberapa di antaranya mungkin berasal dari abad ke-6, tetapi tanggal atau keasliannya masih diragukan.
Berdasarkan [[epigrafi]], cabang ilmu [[arkeologi]] yang meneliti benda-benda tertulis masa lampau, titik hitam digunakan sebagai penanda-tempat desimal dalam [[manuskrip Bakhshali]], yang sebagiannya tertanggal dari tahun 224–993&nbsp;M.<ref>Hannah Devlin. [https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol]. ''The Guardian''. 13 September 2017.</ref> Ada banyak prasasti lempengan [[tembaga]] dengan simbol o kecil yang sama, beberapa di antaranya mungkin berasal dari abad ke-6, tetapi tanggal atau keasliannya masih diragukan.


Sebongkah lauh (''inscription'') batu ditemukan di reruntuhan kuil dekat Sambor di [[Mekong]], [[Provinsi Kratié]], [[Kamboja]], memuat tulisan "605" dalam [[angka Khmer]] (seperangkat glif untuk [[sistem bilangan Hindu-Arab]]). Angka tersebut adalah tahun prasasti pada [[era Saka]], yang setara dengan tanggal 683&nbsp;M.<ref>George Cœdès. ''A propos de l'origine des chiffres arabes''. ''Bulletin of the School of Oriental Studies, University of London''. Cambridge University Press. 1931. Vol. 6. hlm. 323–328. doi:10.1017/S0041977X00092806.</ref><ref>Anthony Diller. [sealang.net/sala/archives/pdf8/diller1996new.pdf New Zeros and Old Khmer]. ''Mon-Khmer Studies''. 1996. Vol. 25. hlm. 125–132.</ref>
Penggunaan [[glif]] khusus yang tak-terbantahkan untuk angka-angka desimal meliputi simbol untuk angka nol (berupa lingkaran kecil), muncul dalam lauh batu yang ditemukan di [[Kuil Chaturbhuj]], [[Gwalior]], di India, dengan bertanggal 876 Masehi.<ref>Bill Casselman. [http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-india-zero All for Nought]. ''ams.org''. University of British Columbia), American Mathematical Society.</ref>


=== Abad Pertengahan ===
=== Abad Pertengahan ===
==== Penyebaran ke budaya Islam ====
==== Penyebaran ke budaya Islam ====
Ilmu pengetahuan di lingkungan berbahasa [[Bahasa Arab|Arab]] sebagian besar merupakan warisan dari [[Yunani Kuno|Yunani]],<ref>Anton Pannekoek. [https://archive.org/details/bwb_T4-AKA-928 A History of Astronomy]. George Allen & Unwin. 1961. hlm. [https://archive.org/details/bwb_T4-AKA-928/page/n164 165]. ISBN 9780045200023.</ref> lalu diikuti oleh pengaruh Hindu.<ref>Will Durant. [https://archive.org/details/ageoffaithpartiv0000will The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300]. Simon & Schuster. 1950. ISBN 978-0-9650007-5-8.</ref> Pada tahun 773&nbsp;M, atas perintah [[Al-Mansur]], dilakukan penerjemahan terhadap berbagai risalah kuno, termasuk dari bahasa Yunani, Romawi, India, dan lainnya.
Ilmu pengetahuan di lingkungan berbahasa [[Bahasa Arab|Arab]] sebagian besar merupakan warisan dari [[Yunani Kuno|Yunani]],<ref>Anton Pannekoek. [https://archive.org/details/bwb_T4-AKA-928 A History of Astronomy]. George Allen & Unwin. 1961. hlm. [https://archive.org/details/bwb_T4-AKA-928/page/n164 165]. [https://archive.org/details/ageoffaithpartiv0000will The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300]. Simon & Schuster. 1950. ISBN 978-0-9650007-5-8.</ref> Pada tahun 773&nbsp;M, atas perintah [[Al-Mansur]], dilakukan penerjemahan terhadap berbagai risalah kuno, termasuk dari bahasa Yunani, Romawi, India, dan lainnya.


Pada tahun 813&nbsp;M, seorang ahli matematika [[Suku Persia|Persia]] bernama [[Al-Khawarizmi|Muhammad bin Musa al-Khawarizmi]] membuat tabel astronomi menggunakan angka-angka Hindu;<ref>Will Durant. [https://archive.org/details/ageoffaithpartiv0000will The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300]. Simon & Schuster. 1950. ISBN 978-0-9650007-5-8.</ref> dan sekitar tahun 825, ia menerbitkan sebuah buku yang menggabungkan pengetahuan Yunani dan Hindu, serta kontribusinya sendiri dalam matematika termasuk penjelasan tentang penggunaan nol.<ref>Corona Brezina. [https://books.google.com/books?id=955jPgAACAAJ Al-Khwarizmi: The Inventor of Algebra]. The Rosen Publishing Group. 2006. ISBN 978-1-4042-0513-0.</ref> Buku ini kemudian diterjemahkan ke dalam [[bahasa Latin]] pada abad ke-12 dengan judul ''Algoritmi de numero Indorum''. Judul ini berarti “al-Khawarizmi tentang Bilangan India”. Kata “Algoritmi” adalah [[Latinisasi (bahasa)|Latinisasi]] penerjemah dari nama Al-Khawarizmi, yang perkembangan selanjutnya menyebabkan kata  “[[Algoritma]]” atau “[[Algorisma]]” mulai memiliki arti aritmetika apa pun yang didasarkan pada desimal.<ref>Will Durant. [https://archive.org/details/ageoffaithpartiv0000will The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300]. Simon & Schuster. 1950. ISBN 978-0-9650007-5-8.</ref>
[https://archive.org/details/ageoffaithpartiv0000will The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300]. Simon & Schuster. 1950. [https://books.google.com/books?id=955jPgAACAAJ Al-Khwarizmi: The Inventor of Algebra]. The Rosen Publishing Group. 2006. ISBN 978-1-4042-0513-0.</ref> Buku ini kemudian diterjemahkan ke dalam [[bahasa Latin]] pada abad ke-12 dengan judul ''Algoritmi de numero Indorum''. Judul ini berarti “al-Khawarizmi tentang Bilangan India”. Kata “Algoritmi” adalah [[Latinisasi (bahasa)|Latinisasi]] penerjemah dari nama Al-Khawarizmi, yang perkembangan selanjutnya menyebabkan kata  “[[Algoritma]]” atau “[[Algorisma]]” mulai memiliki arti aritmetika apa pun yang didasarkan pada desimal.<ref>Will Durant. [https://archive.org/details/ageoffaithpartiv0000will The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300]. Simon & Schuster. 1950. ISBN 978-0-9650007-5-8.</ref>


[[Muhammad bin Ahmad al-Khawarizmi]] pada tahun 976 menyatakan bahwa jika tidak ada angka yang muncul di tempat puluhan dalam perhitungan, suatu lingkaran kecil harus digunakan “untuk menjaga (bentuk) barisan”. Lingkaran ini disebut ''ṣifr''.<ref>: "In 976, Muhammad ibn Ahmad, in his ''Keys of the Sciences'', remarked that if, in a calculation, no number appears in the place of tens, a little circle should be used "to keep the rows". This circle the Mosloems called ''ṣifr'', "empty" whence our cipher."</ref>
[[Muhammad bin Ahmad al-Khawarizmi]] pada tahun 976 menyatakan bahwa jika tidak ada angka yang muncul di tempat puluhan dalam perhitungan, suatu lingkaran kecil harus digunakan “untuk menjaga (bentuk) barisan”. Lingkaran ini disebut ''ṣifr''.<ref>: "In 976, Muhammad ibn Ahmad, in his ''Keys of the Sciences'', remarked that if, in a calculation, no number appears in the place of tens, a little circle should be used "to keep the rows". This circle the Mosloems called ''ṣifr'', "empty" whence our cipher."</ref>


==== Penyebaran ke Eropa ====
[[Sistem bilangan Hindu-Arab]] (basis 10) sampai ke Eropa Barat pada abad ke-11, melalui daerah [[Al-Andalus]], melalui para [[Muslim]] Spanyol dan [[Moor]], dan bersama pengetahuan terkait [[Sejarah astronomi|astronomi klasik]] dan instrumen-instrumen seperti [[astrolabe]]. [[Paus Silvester II|Gerbert d'Aurillac]] dianggap berjasa dalam memperkenalkan kembali ajaran-ajaran yang hilang ke lingkungan Katolik di Eropa. Karena alasan ini, angka-angka tersebut kemudian dikenal di Eropa sebagai “angka Arab”. Matematikawan [[Italia]], [[Leonardo da Pisa|Leonardo dari Pisa]] (juga dikenal sebagai Fibonacci), berperan penting dalam membawa sistem bilangan ini ke dalam matematika Eropa pada tahun 1202.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=0+%28angka%29&oldid=29448282 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>


Semenjak abad ke-13, panduan-panduan cara berhitung (penjumlahan, perkalian, mengambil akar, dll.) menjadi umum di Eropa dan disebut sebagai algorismus; dari nama matematikawan Persia [[Al-Khawarizmi]]. Salah satu panduan yang populer ditulis oleh [[Johannes de Sacrobosco]] pada awal tahun 1200-an, dan menjadi salah satu buku ilmu pengetahuan pertama yang [[Sejarah percetakan|dicetak]], pada tahun 1488.<ref>D. E. Smith. [https://archive.org/stream/hinduarabicnume02karpgoog#page/n145/mode/1up The Hindu–Arabic Numerals]. Ginn and Company. 1911. hlm. 134–136.</ref><ref>Olaf Pedersen. ''In Quest of Sacrobosco''. ''Journal for the History of Astronomy''. 1985. Vol. 16 (3). hlm. 175–221. doi:10.1177/002182868501600302.</ref> Praktik menghitung di kertas menggunakan angka Hindu-Arab baru secara perlahan menggantikan perhitungan menggunakan [[abakus]] dan pencatatan menggunakan [[angka Romawi]]. Pada abad ke-16, angka Hindu-Arab menjadi angka yang paling umum digunakan di Eropa.<ref>D. E. Smith. [https://archive.org/stream/hinduarabicnume02karpgoog#page/n145/mode/1up The Hindu–Arabic Numerals]. Ginn and Company. 1911. hlm. 134–136.</ref>
Semenjak abad ke-13, panduan-panduan cara berhitung (penjumlahan, perkalian, mengambil akar, dll.) menjadi umum di Eropa dan disebut sebagai algorismus; dari nama matematikawan Persia [[Al-Khawarizmi]]. Salah satu panduan yang populer ditulis oleh [[Johannes de Sacrobosco]] pada awal tahun 1200-an, dan menjadi salah satu buku ilmu pengetahuan pertama yang [[Sejarah percetakan|dicetak]], pada tahun 1488.<ref>D. E. Smith. [https://archive.org/stream/hinduarabicnume02karpgoog#page/n145/mode/1up The Hindu–Arabic Numerals]. Ginn and Company. 1911. hlm. 134–136.</ref><ref>Olaf Pedersen. ''In Quest of Sacrobosco''. ''Journal for the History of Astronomy''. 1985. Vol. 16 (3). hlm. 175–221. doi:10.1177/002182868501600302.</ref> Praktik menghitung di kertas menggunakan angka Hindu-Arab baru secara perlahan menggantikan perhitungan menggunakan [[abakus]] dan pencatatan menggunakan [[angka Romawi]]. Pada abad ke-16, angka Hindu-Arab menjadi angka yang paling umum digunakan di Eropa.<ref>D. E. Smith. [https://archive.org/stream/hinduarabicnume02karpgoog#page/n145/mode/1up The Hindu–Arabic Numerals]. Ginn and Company. 1911. hlm. 134–136.</ref>
Baris 64: Baris 57:
Saat ini, nol sebagai angka numerik umumnya ditulis dalam bentuk lingkaran atau elips. Secara tradisional, banyak [[Typeface|rupa huruf]] cetak membuat versi huruf kapital [[O]] lebih bundar daripada angka 0 yang lebih elips dan ramping.<ref>R. W. Bemer. [https://archive.org/details/sim_association-for-computing-machinery-communications_1967-08_10_8/page/513 Towards standards for handwritten zero and oh: much ado about nothing (and a letter), or a partial dossier on distinguishing between handwritten zero and oh]. ''Communications of the ACM''. 1967. Vol. 10 (8). hlm. 513–518. doi:10.1145/363534.363563.</ref> [[Mesin tik]] pada awalnya tidak membuat perbedaan bentuk antara O dan 0; beberapa model bahkan tidak memiliki tuts untuk angka 0. Pembedaan baru muncul pada masa [[Monitor komputer|monitor]].<ref>R. W. Bemer. [https://archive.org/details/sim_association-for-computing-machinery-communications_1967-08_10_8/page/513 Towards standards for handwritten zero and oh: much ado about nothing (and a letter), or a partial dossier on distinguishing between handwritten zero and oh]. ''Communications of the ACM''. 1967. Vol. 10 (8). hlm. 513–518. doi:10.1145/363534.363563.</ref>
Saat ini, nol sebagai angka numerik umumnya ditulis dalam bentuk lingkaran atau elips. Secara tradisional, banyak [[Typeface|rupa huruf]] cetak membuat versi huruf kapital [[O]] lebih bundar daripada angka 0 yang lebih elips dan ramping.<ref>R. W. Bemer. [https://archive.org/details/sim_association-for-computing-machinery-communications_1967-08_10_8/page/513 Towards standards for handwritten zero and oh: much ado about nothing (and a letter), or a partial dossier on distinguishing between handwritten zero and oh]. ''Communications of the ACM''. 1967. Vol. 10 (8). hlm. 513–518. doi:10.1145/363534.363563.</ref> [[Mesin tik]] pada awalnya tidak membuat perbedaan bentuk antara O dan 0; beberapa model bahkan tidak memiliki tuts untuk angka 0. Pembedaan baru muncul pada masa [[Monitor komputer|monitor]].<ref>R. W. Bemer. [https://archive.org/details/sim_association-for-computing-machinery-communications_1967-08_10_8/page/513 Towards standards for handwritten zero and oh: much ado about nothing (and a letter), or a partial dossier on distinguishing between handwritten zero and oh]. ''Communications of the ACM''. 1967. Vol. 10 (8). hlm. 513–518. doi:10.1145/363534.363563.</ref>


Simbol nol dengan garis miring (<math>0\!\!\!{/}</math>) juga umum digunakan untuk membedakan angka dari huruf (contoh umumnya dalam perhitungan, navigasi, dan militer). Angka nol dengan titik di tengah sepertinya muncul sebagai opsi pada tampilan [[IBM 3270]], dan terus berlanjut ke beberapa rupa huruf komputer modern seperti [[Andalé Mono]] dan sistem reservasi penerbangan. Salah satu varian menggunakan garis di atas 0 ketimbang [[tanda titik]].
Simbol nol dengan garis miring (<math>0\\!\\!\\!{/}</math>) juga umum digunakan untuk membedakan angka dari huruf (contoh umumnya dalam perhitungan, navigasi, dan militer). Angka nol dengan titik di tengah sepertinya muncul sebagai opsi pada tampilan [[IBM 3270]], dan terus berlanjut ke beberapa rupa huruf komputer modern seperti [[Andalé Mono]] dan sistem reservasi penerbangan. Salah satu varian menggunakan garis di atas 0 ketimbang [[tanda titik]].


Di beberapa penerapan/sistem, hanya salah satu dari huruf O dan angka 0 (atau malah tidak keduanya) yang boleh digunakan untuk menghindari kerancuan.
Di beberapa penerapan/sistem, hanya salah satu dari huruf O dan angka 0 (atau malah tidak keduanya) yang boleh digunakan untuk menghindari kerancuan.
Baris 83: Baris 76:
* [[Penambahan]]: <math>x+0=0+x=x.</math> Artinya, 0 adalah [[unsur identitas]] terhadap penambahan.
* [[Penambahan]]: <math>x+0=0+x=x.</math> Artinya, 0 adalah [[unsur identitas]] terhadap penambahan.
* [[Pengurangan]]: <math>x-0=x</math> dan <math>0-x=-x.</math>
* [[Pengurangan]]: <math>x-0=x</math> dan <math>0-x=-x.</math>
* [[Perkalian]]: <math>x\cdot0=0\cdot x = 0.</math>
* [[Perkalian]]: <math>x\\cdot0=0\\cdot x = 0.</math>
* [[Pembagian]]: <math>\tfrac{0}{x}=0</math>, untuk <math>x</math> bukan bernilai nol. Namun [[Pembagian oleh nol|Pembagian oleh nol]] [[Takterdefinisi (matematika)|tidak terdefinisi]] karena 0 tidak memiliki [[invers perkalian]] berdasarkan aturan sebelumnya di atas (tidak ada bilangan yang menghasilkan 1 ketika dikali dengan 0).
* [[Pembagian]]: <math>\ frac{0}{x}=0</math>, untuk <math>x</math> bukan bernilai nol. Namun [[Pembagian oleh nol|Pembagian oleh nol]] [[Takterdefinisi (matematika)|tidak terdefinisi]] karena 0 tidak memiliki [[invers perkalian]] berdasarkan aturan sebelumnya di atas (tidak ada bilangan yang menghasilkan 1 ketika dikali dengan 0).
* [[Perpangkatan]]: <math>x^0=\tfrac{x}{x}=1,</math> kecuali [[Nol pangkat nol|kasus ketika ''x'' = 0]] yang dianggap takterdefinisi dalam beberapa konteks. Untuk semua bilangan rill positif <math>x</math>, <math>0^x=0.</math>
* [[Perpangkatan]]: <math>x^0=\ frac{x}{x}=1,</math> kecuali [[Nol pangkat nol|kasus ketika ''x'' = 0]] yang dianggap takterdefinisi dalam beberapa konteks. Untuk semua bilangan rill positif <math>x</math>, <math>0^x=0.</math>


Ekspresi <math>\tfrac{0}{0}</math>, yang dapat dihasilkan saat mencoba menentukan [[Limit (matematika)|limit]] dari ekspresi berbentuk <math display="inline">\tfrac{f(x)}{g(x) }</math>, dengan menerapkan operator <math>\lim</math> secara terpisah ke kedua fungsi, dikenal sebagai "[[bentuk tak tentu]]." Hal ini tidak mengartikan limit yang dicari tidak terdefinisi; melainkan limit dari <math display="inline">\tfrac{f(x)}{g(x) }</math>, jika ada, harus ditentukan dengan cara-cara lain, contohnya [[aturan L'Hôpital]].<ref>Edwin Herman. [https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1 Calculus]. OpenStax. 2017. Vol. 1. hlm. 454–459. ISBN 978-1-938168-02-4.</ref>
Ekspresi <math>\ frac{0}{0}</math>, yang dapat dihasilkan saat mencoba menentukan [[Limit (matematika)|limit]] dari ekspresi berbentuk <math display="inline">\ frac{f(x)}{g(x) }</math>, dengan menerapkan operator <math>\\lim</math> secara terpisah ke kedua fungsi, dikenal sebagai "[[bentuk tak tentu]]." Hal ini tidak mengartikan limit yang dicari tidak terdefinisi; melainkan limit dari <math display="inline">\ frac{f(x)}{g(x) }</math>, jika ada, harus ditentukan dengan cara-cara lain, contohnya [[aturan L'Hôpital]].<ref>Edwin Herman. [https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1 Calculus]. OpenStax. 2017. Vol. 1. hlm. 454–459. ISBN 978-1-938168-02-4.</ref>


Penjumlahan dari 0 bilangan (''[[jumlah kosong]]'') adalah 0, dan perkalian dari 0 bilangan (''[[perkalian kosong]]'') adalah 1. [[Faktorial]] <math>0!</math> sama dengan 1, sebagai kasus khusus dari perkalian kosong.<ref>Ronald L. Graham. ''Concrete Mathematics''. Addison-Wesley. 1988. hlm. 111. ISBN 0-201-14236-8.</ref>
Penjumlahan dari 0 bilangan (''[[jumlah kosong]]'') adalah 0, dan perkalian dari 0 bilangan (''[[perkalian kosong]]'') adalah 1. [[Faktorial]] <math>0!</math> sama dengan 1, sebagai kasus khusus dari perkalian kosong.<ref>Ronald L. Graham. ''Concrete Mathematics''. Addison-Wesley. 1988. hlm. 111. ISBN 0-201-14236-8.</ref>
Baris 95: Baris 88:


Dalam [[teori himpunan]], 0 adalah [[kardinalitas]] dari [[himpunan kosong]]: jika seseorang tidak memiliki apel, maka dia memiliki 0 apel. Faktanya, dalam beberapa perkembangan matematika aksiomatik dari teori himpunan, 0 ''[[Definisi|didefinisikan]]'' sebagai himpunan kosong. Jika itu dilakukan, himpunan kosong menjadi [[penetapan kardinal]] von Neumann untuk himpunan tanpa anggota; akibatnya fungsi kardinalitas yang diterapkan pada himpunan kosong selanjutnya menghasilkan himpunan kosong sebagai nilai. Bilangan nol juga menjadi [[bilangan ordinal]] terkecil, selaras dengan pandangan himpunan kosong sebagai [[Urutan rapi|himpunan terurut-rapi]]. Dalam [[Teori urutan|teori tatanan]] (khususnya subcabang [[Kekisi (tatanan)|teori kekisi]]), 0 dapat mewakili [[Elemen terkecil dan terbesar|elemen terkecil]] suatu [[Kekisi (grup)|kekisi]] atau [[himpunan terurut parsial]] lainnya.
Dalam [[teori himpunan]], 0 adalah [[kardinalitas]] dari [[himpunan kosong]]: jika seseorang tidak memiliki apel, maka dia memiliki 0 apel. Faktanya, dalam beberapa perkembangan matematika aksiomatik dari teori himpunan, 0 ''[[Definisi|didefinisikan]]'' sebagai himpunan kosong. Jika itu dilakukan, himpunan kosong menjadi [[penetapan kardinal]] von Neumann untuk himpunan tanpa anggota; akibatnya fungsi kardinalitas yang diterapkan pada himpunan kosong selanjutnya menghasilkan himpunan kosong sebagai nilai. Bilangan nol juga menjadi [[bilangan ordinal]] terkecil, selaras dengan pandangan himpunan kosong sebagai [[Urutan rapi|himpunan terurut-rapi]]. Dalam [[Teori urutan|teori tatanan]] (khususnya subcabang [[Kekisi (tatanan)|teori kekisi]]), 0 dapat mewakili [[Elemen terkecil dan terbesar|elemen terkecil]] suatu [[Kekisi (grup)|kekisi]] atau [[himpunan terurut parsial]] lainnya.
Peran 0 sebagai identitas penambahan dapat diperumum di luar aljabar dasar. Dalam [[aljabar abstrak]], 0 umumnya digunakan untuk mewakili [[elemen nol]], yang merupakan [[unsur identitas]] untuk penambahan (jika terdefinisi pada struktur yang bersangkutan) dan [[elemen penyerap]] untuk perkalian (jika terdefinisi). Beberapa contohnya meliputi [[elemen identitas]] dari [[Grup aditif|grup-grup aditif]] dan [[Ruang vektor|ruang-ruang vektor]]. Contoh lainnya adalah fungsi nol (atau peta nol) pada domain <math>D.</math> Ini adalah [[fungsi konstan]] dengan 0 sebagai nilainya; yakni fungsi yang didefinisikan sebagai <math>f(x)=0</math> untuk semua <math>x\in D.</math> Dalam konteks fungsi dari bilangan riil ke bilangan riil, fungsi nol adalah satu-satunya fungsi yang berupa [[fungsi genap]] sekaligus [[Fungsi ganjil dan genap|ganjil]].
Peran 0 sebagai identitas penambahan dapat diperumum di luar aljabar dasar. Dalam [[aljabar abstrak]], 0 umumnya digunakan untuk mewakili [[elemen nol]], yang merupakan [[unsur identitas]] untuk penambahan (jika terdefinisi pada struktur yang bersangkutan) dan [[elemen penyerap]] untuk perkalian (jika terdefinisi). Beberapa contohnya meliputi [[elemen identitas]] dari [[Grup aditif|grup-grup aditif]] dan [[Ruang vektor|ruang-ruang vektor]]. Contoh lainnya adalah fungsi nol (atau peta nol) pada domain <math>D.</math> Ini adalah [[fungsi konstan]] dengan 0 sebagai nilainya; yakni fungsi yang didefinisikan sebagai <math>f(x)=0</math> untuk semua <math>x\\in D.</math> Dalam konteks fungsi dari bilangan riil ke bilangan riil, fungsi nol adalah satu-satunya fungsi yang berupa [[fungsi genap]] sekaligus [[Fungsi ganjil dan genap|ganjil]].


Bilangan 0 juga digunakan dalam beberapa hal lainnya di banyak cabang matematika, beberapanya meliputi:
Bilangan 0 juga digunakan dalam beberapa hal lainnya di banyak cabang matematika, beberapanya meliputi:

Revisi terkini sejak 9 September 2026 09.09

0 (nol atau sifar) adalah bilangan yang digunakan untuk mewakili suatu besaran yang kosong. Menambahkan 0 ke sebarang bilangan tidak akan mengubah bilangan tersebut. Dalam terminologi matematika, 0 adalah identitas penambahan dari bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, bilangan kompleks, dan banyak struktur aljabar lainnya. Mengalikan sebarang bilangan dengan 0 akan menghasilkan 0, dan sebagai akibatnya, pembagian oleh nol tidak memiliki makna dalam aritmetika.

Sebagai angka, 0 memainkan peran penting dalam notasi desimal, yakni untuk menyatakan perpangkatan bilangan sepuluh yang tidak digunakan dalam menentukan total. Sebagai contoh, "205" dalam desimal mengartikan dua sebagai ratusan, tidak ada puluhan, dan lima sebagai satuan. Prinsip yang sama juga digunakan notasi-notasi nilai-tempat yang menggunakan basis selain sepuluh, seperti biner dan heksadesimal. Penggunaan bilangan 0 secara modern ini didasarkan dari matematika India yang disebarkan ke Eropa lewat para matematikawan Islam abad pertengahan dan dipopulerkan oleh Fibonacci. Konsep nol juga digunakan secara independen oleh peradaban Maya.

Sejarah

Timur Dekat Kuno

Angka Mesir kuno menggunakan basis 10,[1] dengan hieroglif digunakan untuk mewakili angka, tapi tidak menggunakan konsep posisional (nilai-tempat). Dalam satu papirus yang ditulis sekitar 1770SM dan berisi catatan pemasukan dan pengeluaran harian dari istana firaun, hieroglif nfr digunakan untuk menandakan keadaan jumlah bahan makanan yang diterima sama persis dengan jumlah yang dihabiskan. Seorang ahli Mesir, Alan Gardiner, berpendapat bahwa hieroglif nfr digunakan sebagai simbol untuk angka nol. Simbol yang sama juga digunakan untuk menunjukkan tingkat dasar dalam gambar makam-makam dan piramida-piramida; jarak diukur relatif terhadap tingkat dasar ini (berada di atas atau di bawah).[2]

Pada kisaran masa 1500 SM, matematika Babilonia memiliki sistem bilangan posisional basis 60 yang canggih. Tidak adanya nilai posisi (atau nol) ditunjukkan dengan adanya jarak di antara angka-angka seksagesimal. Sistem bilangan ini berbeda dengan sistem bilangan Hindu-Arab yang berkembang nantinya, dalam hal tidak dinyatakannya besaran (magnitudo) dari digit seksadesimal; jadi sebagai contoh, digit 1 () tunggal dapat mewakili 1, 60, 3600 = 602, dst., dan hanya dapat dipahami secara tersirat dari konteks. penanda-tempat mirip-nol hanya digunakan di antara angka-angka, tapi tidak pernah digunakan sendirian atau diakhir dari suatu bilangan.

Amerika pra-Kolombus

Kalender Hitung Panjang Mesoamerika yang dikembangkan di Meksiko bagian selatan-tengah dan Amerika Tengah, memerlukan penggunaan nol sebagai penanda-tempat dalam sistem angka posisional vigesimal (basis 20). Banyak glif, termasuk quatrefoil parsial digunakan sebagai simbol nol untuk tanggal Hitung Panjang, dengan yang paling lawas memiliki tanggal 36 SM (pada Stela 2 di Chiapa de Corzo, Chiapas).[3]

Karena delapan dari tanggal-tanggal Hitung Panjang terlawas terletak di luar daerah Maya, umum dipercaya bahwa penggunaan nol di Amerika sudah ada sebelum Maya, dan mungkin penemuan dari Olmek.[4] Banyak tanggal Hitung Panjang masa awal berada di daerah Olmek, walaupun peradaban Olmek telah berakhir abad ke-4 SM,[5] beberapa abad sebelum tanggal-tanggal Hitung Panjang.[6]

Walau nol menjadi bagian penting dalam angka Maya, dengan simbol mirip batok bagian bawah kura-kura untuk mewakili angka nol, hal ini dianggap tidak memengaruhi sistem-sistem bilangan di Dunia Lama.

Quipu, suatu perangkat tali yang bersimpul, yang digunakan di Kekaisaran Inca dan masyarakat pendahulunya di wilayah Andes untuk mencatat akuntansi dan data lainnya, dikodekan dalam sistem posisi basis sepuluh. Nol diwakili oleh ketiadaan simpul pada posisi yang bersangkutan.[7]

Zaman Klasik

Peradaban Yunani Kuno tidak memiliki simbol maupun penanda-tempat angka untuk nol (μηδέν, dilafalkan midén).[8] Menurut matematikawan Charles Seife, bangsa Yunani Kuno baru mulai mengadopsi penanda-tempat nol versi Babilonia untuk menyelesaikan masalah terkait astronomi setelah 500 SM, yang diwakili dengan huruf kecil Yunani ό (όμικρον: omikron). Akan tetapi, setelah menggunakan penanda-tempat nol dalam perhitungan astronomi, mereka umumnya mengubah hasil kembali ke angka Yunani. Bangsa Yunani Kuno sepertinya memiliki penolakan filosofis untuk menggunakan nol sebagai bilangan.[9] Para ahli lain menetapkan tanggal yang lebih muda terkait adopsi parsial Yunani terhadap nol Babilonia, dengan ahli saraf Andreas Nieder menentukan setelah 400 SM, dan ahli matematika Robert Kaplan memberikan tanggal setelah perang Aleksander.[10]

Banga Yunani Kuno terlihat bimbang terkait status nol sebagai bilangan. Beberapa mempertanyakan, "Bagaimana yang tidak ada menjadi ada?", yang mengarah pada argumen-argumen filosofis, dan pada periode abad pertengahan, argumen-argumen religius terkait alam, keberadaan nol, dan ruang hampa. Paradoks-paradoks oleh Zeno dari Elea sebagian besar bergantung pada ketidakjelasan cara mengartikan nol.[11]

Pada tahun 150, Ptolemy menggunakan simbol untuk nol ()[12][13] dalam karyanya di astronomi matematika, Syntaxis Mathematica (juga dikenal sebagai Almagest). Ia mendapat pengaruh dari Hipparkhos dan bangsa Babilonia.[14] Nol Helenistik ini mungkin adalah catatan tertua penggunaan angka untuk mewakili nol di Dunia Lama.[15] Ptolemy banyak menggunakannya dalam buku Almagest-nya (VI.8), untuk menyatakan magnitudo dari gerhana bulan dan matahari. Simbol Ptolemy digunakan sebagai penanda-tempat sekaligus sebagai angka dalam dua fungsi matematika, jadi simbol ini mewakili nol, bukan kosong. Seiring waktu, simbol nol Ptolemy cenderung membesar dan kehilangan garis atas, sehingga terlihat seperti omikron besar "O" panjang mirip-0, atau sebagai omikron dengan garis atas "ō", ketimbang versi aslinya yang berupa titik dengan garis atas.[16]


China

Sunzi Suanjing, yang diperkirakan berasal dari sekitar abad ke-1 sampai ke-5 Masehi), dan catatan-catatan Jepang dari abad ke-18, menjelaskan cara sistem tongkat penghitung China abad ke-4 SM memungkinkan penghitungan desimal. Seperti yang dicatat dalam Xiahou Yang Suanjing (425-468 M), untuk mengalikan (atau membagi) sebuah angka dengan 10, 100, 1000, atau 10,000, yang perlu dilakukan dengan tongkat-tongkat di papan hitung, adalah memindahkannya ke depan (atau ke belakang) sebanyak 1, 2, 3, atau 4 tempat.[17] Tongkat-tongkat tersebut memberikan representasi desimal dari sebuah angka, dengan ruang kosong yang mewakili nol.[18][19] Sistem tongkat penghitung adalah sistem notasi posisional.[20][21]

Nol tidak dianggap sebagai angka pada masa itu, tapi sebagai "posisi kosong".[22] Karya Qin Jiushao Risalah Matematika dalam Sembilan Bab tahun 1247 adalah teks matematika China tertua yang selamat, yang menggunakan simbol bulat 〇 untuk nol.[23] Asal-usul dari simbol ini tidak jelas; mungkin dibawa dari India, atau dihasilkan dengan mengubah simbol persegi.[24] Risalah tersebut juga menunjukkan bahwa penulis-penulis China sudah familiar dengan konsep bilangan negatif pada masa dinasti Han (abad ke-2).[25]

India

Seorang cendekiawan sajak Sanskerta bernama Pingala (sekitar abad ke-3 atau ke-2 SM),[26][27] menggunakan barisan biner dalam bentuk suku kata pendek dan suku kata panjang (yang setara dengan dua suku kata pendek) untuk menentukan metrum Sanskerta yang valid; suatu notasi yang mirip dengan kode Morse.[28] Pingala menggunakan kata Sanskerta śūnya secara eksplisit untuk merujuk nol.[29]

Konsep nol sebagai angka dalam notasi nilai-tempat desimal dikembangkan di India.[30] Simbol nol berupa titik besar digunakan di keseluruhan manuskrip Bakhshali, suatu panduan praktis tentang aritmetika untuk para pedagang.[31] Pada tahun 2017, para peneliti di Bodleian Library melaporkan hasil penanggalan radiokarbon untuk tiga sampel dari manuskrip tersebut, dan mengindikasikan bahwa manuskrip tersebut berasal dari tiga abad yang berbeda: dari 224-383 Masehi, 680-779 Masehi, dan 885-993 Masehi. Tidak diketahui alasan fragmen-fragmen kulit kayu burja (birch) dari abad yang berbeda-beda dapat dikemas bersama untuk membentuk manuskrip tersebut. Jika tulisan pada fragmen-fragmen kulit kayu burja tertua sama tuanya dengan usia kulit kayu tersebut, ini menunjukkan penggunaan tertua yang tercatat dari simbol nol di Asia Selatan. Jika tulisan pada fragmen kulit kayu burja tertua sama tuanya dengan fragmen-fragmen tersebut, maka ini merupakan penggunaan simbol nol tertua yang tercatat di Asia Selatan. Namun, ada kemungkinan bahwa tulisan tersebut berasal dari periode waktu fragmen termuda, yaitu 885-993 Masehi. Penanggalan yang terakhir ini dianggap lebih konsisten dengan penggunaan nol yang canggih di dalam dokumen tersebut, karena beberapa bagian dari dokumen tersebut tampak menunjukkan bahwa nol digunakan sebagai angka, dan bukan hanya sebagai penanda posisi.[32][33][34]


Aturan terkait penggunaan nol muncul dalam Brahmasputha Siddhanta (abad ke-7) karya Brahmagupta, yang menyatakan bahwa penambahan nol dengan dirinya sendiri sama dengan nol, dan secara salah menjelaskan pembagian oleh nol sebagai berikut:[35]

Sebarang bilangan positif atau negatif ketika dibagi oleh nol menghasilkan suatu pecahan dengan nol sebagai penyebut. Nol dibagi dengan bilangan negatif atau positif menghasilkan antara nol atau dapat dituliskan sebagai pecahan dengan nol sebagai pembilang dan suatu besaran hingga sebagai penyebut. Nol dibagi dengan nol menghasilkan nol.

Epigrafi

Berdasarkan epigrafi, cabang ilmu arkeologi yang meneliti benda-benda tertulis masa lampau, titik hitam digunakan sebagai penanda-tempat desimal dalam manuskrip Bakhshali, yang sebagiannya tertanggal dari tahun 224–993 M.[36] Ada banyak prasasti lempengan tembaga dengan simbol o kecil yang sama, beberapa di antaranya mungkin berasal dari abad ke-6, tetapi tanggal atau keasliannya masih diragukan.


Abad Pertengahan

Penyebaran ke budaya Islam

Ilmu pengetahuan di lingkungan berbahasa Arab sebagian besar merupakan warisan dari Yunani,[37] Pada tahun 773 M, atas perintah Al-Mansur, dilakukan penerjemahan terhadap berbagai risalah kuno, termasuk dari bahasa Yunani, Romawi, India, dan lainnya.

The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300. Simon & Schuster. 1950. Al-Khwarizmi: The Inventor of Algebra. The Rosen Publishing Group. 2006. ISBN 978-1-4042-0513-0.</ref> Buku ini kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12 dengan judul Algoritmi de numero Indorum. Judul ini berarti “al-Khawarizmi tentang Bilangan India”. Kata “Algoritmi” adalah Latinisasi penerjemah dari nama Al-Khawarizmi, yang perkembangan selanjutnya menyebabkan kata “Algoritma” atau “Algorisma” mulai memiliki arti aritmetika apa pun yang didasarkan pada desimal.[38]

Muhammad bin Ahmad al-Khawarizmi pada tahun 976 menyatakan bahwa jika tidak ada angka yang muncul di tempat puluhan dalam perhitungan, suatu lingkaran kecil harus digunakan “untuk menjaga (bentuk) barisan”. Lingkaran ini disebut ṣifr.[39]


Semenjak abad ke-13, panduan-panduan cara berhitung (penjumlahan, perkalian, mengambil akar, dll.) menjadi umum di Eropa dan disebut sebagai algorismus; dari nama matematikawan Persia Al-Khawarizmi. Salah satu panduan yang populer ditulis oleh Johannes de Sacrobosco pada awal tahun 1200-an, dan menjadi salah satu buku ilmu pengetahuan pertama yang dicetak, pada tahun 1488.[40][41] Praktik menghitung di kertas menggunakan angka Hindu-Arab baru secara perlahan menggantikan perhitungan menggunakan abakus dan pencatatan menggunakan angka Romawi. Pada abad ke-16, angka Hindu-Arab menjadi angka yang paling umum digunakan di Eropa.[42]

Simbol dan representasi

Saat ini, nol sebagai angka numerik umumnya ditulis dalam bentuk lingkaran atau elips. Secara tradisional, banyak rupa huruf cetak membuat versi huruf kapital O lebih bundar daripada angka 0 yang lebih elips dan ramping.[43] Mesin tik pada awalnya tidak membuat perbedaan bentuk antara O dan 0; beberapa model bahkan tidak memiliki tuts untuk angka 0. Pembedaan baru muncul pada masa monitor.[44]

Simbol nol dengan garis miring (Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 0\\!\\!\\!{/}} ) juga umum digunakan untuk membedakan angka dari huruf (contoh umumnya dalam perhitungan, navigasi, dan militer). Angka nol dengan titik di tengah sepertinya muncul sebagai opsi pada tampilan IBM 3270, dan terus berlanjut ke beberapa rupa huruf komputer modern seperti Andalé Mono dan sistem reservasi penerbangan. Salah satu varian menggunakan garis di atas 0 ketimbang tanda titik.

Di beberapa penerapan/sistem, hanya salah satu dari huruf O dan angka 0 (atau malah tidak keduanya) yang boleh digunakan untuk menghindari kerancuan.

Matematika

Konsep nol digunakan pada banyak hal dalam matematika: sebagai angka, nol menjadi bagian penting dalam notasi posisional (nilai-tempat) untuk mewakli bilangan, sekaligus memainkan peran sebagai bilangan tersendiri dalam banyak konteks aljabar.

Sebagai angka

Dalam sistem bilangan posisional (contohnya notasi desimal untuk menyatakan bilangan), angka 0 digunakan sebagai penanda tempat, yang mengartikan perpangkatan dari basis tidak digunakan dalam menyatakan bilangan. Sebagai contoh, bilangan desimal 205 adalah hasil penjumlahan dari dua seratus dan lima satu; angka nol mengartikan tidak ada sepuluh yang ditambahkan. Angka nol juga digunakan dengan tujuan serupa dalam menyatakan pecahan desimal dan representasi desimal dari bilangan-bilangan riil lainnya (menunjukkan apabila persepuluh, perseratus, dst. ada), maupun di basis-basis selain 10 (sebagai contoh, dalam biner menunjukkan perpangkatan-perpangkatan 2 yang tidak digunakan).

Aljabar dasar

Bilangan 0 adalah bilangan bulat taknegatif terkecil, sekaligus bilangan bulat takpositif terbesar. Bilangan asli tepat setelah 0 adalah 1 dan tidak ada bilangan asli sebelum 0. Bilangan 0 dapat dianggap atau tidak dianggap sebagai bilangan asli;[45] setidaknya 0 adalah bilangan bulat, sehingga juga merupakan bilangan rasional dan bilangan riil. Semua bilangan rasional merupakan bilangan aljabar, termasuk 0. Ketika bilangan-bilangan riil diperluas untuk membentuk bilangan-bilangan kompleks, 0 menjadi titik asal dari bidang kompleks.

Bilangan nol dapat dianggap bukan positif maupun negatif,[46] atau alternatif lain, sekaligus positif dan negatif;[47] umumnya 0 digambarkan di tengah garis bilangan. Nol adalah bilangan genap[48] (artinya kelipatan 2), dan juga kelipatan dari sebarang bilangan bulat, rasional, dan riil lainnya. Nol bukan bilangan prima maupun bilangan komposit: bukan prima karena bilangan prima bernilai lebih besar daripada 1 berdasarkan definisinya, dan bukan komposit karena tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua bilangan asli yang lebih kecil.[49]

Berikut adalah beberapa aturan dasar saat berurusan dengan bilangan 0. Aturan-aturan ini berlaku untuk sebarang bilangan riil maupun kompleks x, kecuali dinyatakan lainnya:

  • Penambahan: x+0=0+x=x. Artinya, 0 adalah unsur identitas terhadap penambahan.
  • Pengurangan: x−0=x dan 0−x=−x.
  • Perkalian: Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle x\\cdot0=0\\cdot x = 0.}
  • Pembagian: Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \ frac{0}{x}=0} , untuk x bukan bernilai nol. Namun Pembagian oleh nol tidak terdefinisi karena 0 tidak memiliki invers perkalian berdasarkan aturan sebelumnya di atas (tidak ada bilangan yang menghasilkan 1 ketika dikali dengan 0).
  • Perpangkatan: Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle x^0=\ frac{x}{x}=1,} kecuali kasus ketika x = 0 yang dianggap takterdefinisi dalam beberapa konteks. Untuk semua bilangan rill positif x, 0x=0.

Ekspresi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \ frac{0}{0}} , yang dapat dihasilkan saat mencoba menentukan limit dari ekspresi berbentuk Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \ frac{f(x)}{g(x) }} , dengan menerapkan operator Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lim} secara terpisah ke kedua fungsi, dikenal sebagai "bentuk tak tentu." Hal ini tidak mengartikan limit yang dicari tidak terdefinisi; melainkan limit dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \ frac{f(x)}{g(x) }} , jika ada, harus ditentukan dengan cara-cara lain, contohnya aturan L'Hôpital.[50]

Penjumlahan dari 0 bilangan (jumlah kosong) adalah 0, dan perkalian dari 0 bilangan (perkalian kosong) adalah 1. Faktorial 0! sama dengan 1, sebagai kasus khusus dari perkalian kosong.[51]

Kegunaan lainnya dalam matematika

Peran bilangan 0 sebagai bilangan cacah terkecil dapat diperumum maupun diperluas dalam banyak cara.

Dalam teori himpunan, 0 adalah kardinalitas dari himpunan kosong: jika seseorang tidak memiliki apel, maka dia memiliki 0 apel. Faktanya, dalam beberapa perkembangan matematika aksiomatik dari teori himpunan, 0 didefinisikan sebagai himpunan kosong. Jika itu dilakukan, himpunan kosong menjadi penetapan kardinal von Neumann untuk himpunan tanpa anggota; akibatnya fungsi kardinalitas yang diterapkan pada himpunan kosong selanjutnya menghasilkan himpunan kosong sebagai nilai. Bilangan nol juga menjadi bilangan ordinal terkecil, selaras dengan pandangan himpunan kosong sebagai himpunan terurut-rapi. Dalam teori tatanan (khususnya subcabang teori kekisi), 0 dapat mewakili elemen terkecil suatu kekisi atau himpunan terurut parsial lainnya. Peran 0 sebagai identitas penambahan dapat diperumum di luar aljabar dasar. Dalam aljabar abstrak, 0 umumnya digunakan untuk mewakili elemen nol, yang merupakan unsur identitas untuk penambahan (jika terdefinisi pada struktur yang bersangkutan) dan elemen penyerap untuk perkalian (jika terdefinisi). Beberapa contohnya meliputi elemen identitas dari grup-grup aditif dan ruang-ruang vektor. Contoh lainnya adalah fungsi nol (atau peta nol) pada domain D. Ini adalah fungsi konstan dengan 0 sebagai nilainya; yakni fungsi yang didefinisikan sebagai f(x)=0 untuk semua Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle x\\in D.} Dalam konteks fungsi dari bilangan riil ke bilangan riil, fungsi nol adalah satu-satunya fungsi yang berupa fungsi genap sekaligus ganjil.

Bilangan 0 juga digunakan dalam beberapa hal lainnya di banyak cabang matematika, beberapanya meliputi:

Sains komputer

Komputer modern menyimpan informasi dalam biner, yakni sistem penulisan yang terdiri hanya dari dua simbol, umumnya dipilih "0" dan "1". Kode biner cocok digunakan untuk elektronika digital, karena "0" dan "1" dapat diartikan ketiadaan atau keberadaan arus listrik dalam kabel. Pemrogram komputer umumnya menggunakan bahasa pemrograman tingkat-tinggi yang lebih mudah dipahami manusia ketimbang instruksi-instruksi biner yang dapat langsung diproses oleh Unit Pemroses Sentral. Simbol 0 digunakan dalam aspek-aspek penting di bahasa tingkat-tinggi. Sebagai contoh, variabel Boolean digunakan untuk menyimpan nilai antara benar atau salah, dan 0 sering dipilih sebagai representasi numerik dari salah.

Simbol 0 juga berperan dalam pengindeksan larik. Satu praktik umum sepanjang sejarah manusia adalah menghitung dari satu, dan ini diterapkan dalam bahasa pemrograman klasik seperti Fortran dan COBOL.[52] Namun di akhir tahun 1950-an, LISP memperkenalkan penomoran berbasis-nol untuk larik, sedangkan Algol 58 memperkenalkan indeks yang fleksibel untuk larik (memungkinkan bilangan positif, nol, dan negatif, untuk indeks dari larik); yang membuat bahasa-bahasa pemrograman masa selanjutnya memilih salah satu dari dua sudut pandang tersebut. Sebagai contoh, elemen-elemen larik di C dinomori dari 0; sehingga untuk larik dengan n elemen, indeks larik berada di interval nilai 0 sampai n-1.[53] Kerancuan terkait indeks berbasis-0 dan berbasis-1 dapat terjadi. Sebagai contoh, parameter indeks JDBC di Java dimulai dari 1, sedangkan Java sendiri menggunakan indeks berbasis-0.[54]

Dalam basis data, suatu medan (field) mungkin tidak memiliki nilai; dan dalam kasus seperti itu disebut memiliki nilai null.[55] Untuk medan numerik nilai ini bukanlah bilangan 0, dan untuk medan teks bukanlah teks kosong. Keberadaan nilai null menghasilkan logika tiga-nilai. Dalam logika ini, kondisi juga dapat bernilai tak tentu, selain bernilai benar atau salah. Semua perhitungan yang menyertakan nilai null menghasilkan nilai null.[56]

Dalam representasi bilangan bertanda di beberapa perangkat keras komputer, nol memiliki dua representasi berbeda: +0 yang dikelompokkan bersama dengan bilangan-bilangan positif, dan -0 yang dikelompokkan dengan yang negatif. Representasi ini dikenal dengan nol bertanda, dan bentuk kedua sebelumnya terkadang disebut sebagai nol negatif. Representasi ini meliputi representasi biner besaran bertanda, komplemen satu (tapi tidak bentuk biner komplemen dua yang digunakan di sebagian besar komputer modern), dan sebagian besar representasi bilangan titik kambang (seperti format titik kambang IEEE 754 dan IBM S/390).

Dalam istilah komputasi, kurun adalah tanggal dan waktu yang diasosiasikan dengan stempel waktu (timestamp) nol. Kurun Unix dimulai pada tengah malam sebelum 1 Januari 1970.[57][58][59] Kurun Mac OS Klasik dan kurun Palm OS dimulai pada tengah malam sebelum 1 Januari 1904.[60]

Di C, suatu bita yang mengandung nilai 0 digunakan untuk menandakan akhir dari karakter untaian. Simbol 0 juga digunakan sebagai cara standar untuk merujuk null pointer di kode.[61] Banyak API dan sistem operasi mengharuskan aplikasi menghasilkan nilai bilangan sebagai nilai keluar, umumnya nol untuk menandakan sukses dan tak-nol untuk menandakan suatu galat spesifik atau pesan peringatan.[62]

Pranala luar

Daftar pustaka

Penelitian terkait sejarah

Referensi

  1. ↑ J J O'Connor. Egyptian numerals. mathshistory.st-andrews.ac.uk. University of St Andrews. 2000.
  2. ↑ Beatrice Lumpkin. Mathematics Used in Egyptian Construction and Bookkeeping. The Mathematical Intelligencer. 2002. Vol. 24. hlm. 20–25. doi:10.1007/BF03024613.
  3. ↑ Cyclical views of time. www.mexicolore.co.uk.
  4. ↑ Véronique Mortaigne. The golden age of Mayan civilisation – exhibition review. The Guardian. 28 November 2014.
  5. ↑ Ann Cyphers. The Olmec, 1800–400 bce. The Cambridge World Prehistory. Cambridge University Press. 2014. hlm. 1005–1025. ISBN 978-0-521-11993-1.
  6. ↑ Expedition Magazine Time, Kingship, and the Maya Universe Maya Calendars. Expedition Magazine.
  7. ↑ Manuel de Leon. Knots representing numbers: The mathematics of the Incas. EL PAÍS English. 2022-12-20.
  8. ↑ Nils-Bertil Wallin. The History of Zero. YaleGlobal online. The Whitney and Betty Macmillan Center for International and Area Studies at Yale. 19 November 2002.
  9. ↑ Charles Seife. Zero: The Biography of a Dangerous Idea. Penguin. 1 September 2000. hlm. 39. ISBN 978-0-14-029647-1.
  10. ↑ Andreas Nieder. A Brain for Numbers: The Biology of the Number Instinct. MIT Press. 19 November 2019. hlm. 286. ISBN 978-0-262-35432-5.
  11. ↑ Nick Huggett. Zeno's Paradoxes. Metaphysics Research Lab, Stanford University. 2019.
  12. ↑ Otto Neugebauer. The Exact Sciences in Antiquity. Dover Publications. 1969. hlm. 13–14, plate 2. ISBN 978-0-486-22332-2.
  13. ↑ Raymond Mercier. Consideration of the Greek symbol 'zero'. Home of Kairos.
  14. ↑ Ptolemy. Ptolemy's Almagest. Princeton University Press. 1998. hlm. 306–307. ISBN 0-691-00260-6.
  15. ↑ J J O'Connor. A history of Zero. MacTutor History of Mathematics.
  16. ↑ Proposal to encode the Greek Zero in the UCS. 2024-07-31.
  17. ↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
  18. ↑ Luke Hodgkin. A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press. 2005. hlm. 85. ISBN 978-0-19-152383-0.
  19. ↑ Chinese numerals. Maths History.
  20. ↑ : "the ancient Chinese system is a place notation system"
  21. ↑ Andrea Eberhard-Bréard. Mathematics in China. Springer Netherlands. 2008. hlm. 1371–1378. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9453. ISBN 978-1-4020-4425-0.
  22. ↑ Kangshen Shen. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. 1999. hlm. 35. ISBN 978-0-19-853936-0.
  23. ↑ Mathematics in the Near and Far East. grmath4.phpnet.us. hlm. 262.
  24. ↑ Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer. 2007. hlm. 208. ISBN 978-3-540-33783-6.
  25. ↑ Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. pp. 32–33. "In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."
  26. ↑ Kim Plofker. Mathematics in India. Princeton University Press. 2009. hlm. 54–56. ISBN 978-0-691-12067-6.
  27. ↑ Vaman Shivaram Apte. The Student's Sanskrit-English Dictionary. Motilal Banarsidass. 1970. hlm. 648–649. ISBN 978-81-208-0045-8.
  28. ↑ Rachel Hall. Math for Poets and Drummers: The Mathematics of Rhythm. Saint Joseph's University. February 15, 2005.
  29. ↑ Kim Plofker. Mathematics in India. Princeton University Press. 2009. hlm. 54–56. ISBN 978-0-691-12067-6.
  30. ↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
  31. ↑ Ittay Weiss. Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics. The Conversation. 20 September 2017.
  32. ↑ Hannah Devlin. Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol. The Guardian. 13 September 2017.
  33. ↑ Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero'. Bodleian Library. 14 September 2017.
  34. ↑ Kim Plofker. The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library's Radiocarbon Dating. History of Science in South Asia. 2017-10-06. Vol. 5 (1). hlm. 134–150. doi:10.18732/H2XT07.
  35. ↑ Algebra, with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. John Murray. 1817.
  36. ↑ Hannah Devlin. Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol. The Guardian. 13 September 2017.
  37. ↑ Anton Pannekoek. A History of Astronomy. George Allen & Unwin. 1961. hlm. 165. The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300. Simon & Schuster. 1950. ISBN 978-0-9650007-5-8.
  38. ↑ Will Durant. The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300. Simon & Schuster. 1950. ISBN 978-0-9650007-5-8.
  39. ↑ : "In 976, Muhammad ibn Ahmad, in his Keys of the Sciences, remarked that if, in a calculation, no number appears in the place of tens, a little circle should be used "to keep the rows". This circle the Mosloems called ṣifr, "empty" whence our cipher."
  40. ↑ D. E. Smith. The Hindu–Arabic Numerals. Ginn and Company. 1911. hlm. 134–136.
  41. ↑ Olaf Pedersen. In Quest of Sacrobosco. Journal for the History of Astronomy. 1985. Vol. 16 (3). hlm. 175–221. doi:10.1177/002182868501600302.
  42. ↑ D. E. Smith. The Hindu–Arabic Numerals. Ginn and Company. 1911. hlm. 134–136.
  43. ↑ R. W. Bemer. Towards standards for handwritten zero and oh: much ado about nothing (and a letter), or a partial dossier on distinguishing between handwritten zero and oh. Communications of the ACM. 1967. Vol. 10 (8). hlm. 513–518. doi:10.1145/363534.363563.
  44. ↑ R. W. Bemer. Towards standards for handwritten zero and oh: much ado about nothing (and a letter), or a partial dossier on distinguishing between handwritten zero and oh. Communications of the ACM. 1967. Vol. 10 (8). hlm. 513–518. doi:10.1145/363534.363563.
  45. ↑ Lucas Nicolaas Hendrik Bunt. The historical roots of elementary mathematics. Courier Dover Publications. 1976. hlm. 254–255. ISBN 978-0-486-13968-5., Extract of pp. 254–255
  46. ↑ Weisstein, Eric W. Zero. Wolfram.
  47. ↑ André Weil. Number Theory for Beginners. Springer Science & Business Media. 2012-12-06. ISBN 978-1-4612-9957-8.
  48. ↑ Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd, in Robert C. Penner. Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures. World Scientific. 1999. hlm. 34. ISBN 978-981-02-4088-2.
  49. ↑ Constance Reid. From zero to infinity: what makes numbers interesting. Mathematical Association of America. 1992. hlm. 23. ISBN 978-0-88385-505-8.
  50. ↑ Edwin Herman. Calculus. OpenStax. 2017. Vol. 1. hlm. 454–459. ISBN 978-1-938168-02-4.
  51. ↑ Ronald L. Graham. Concrete Mathematics. Addison-Wesley. 1988. hlm. 111. ISBN 0-201-14236-8.
  52. ↑ Brian Overland. C++ Without Fear: A Beginner's Guide That Makes You Feel Smart. Pearson Education. 2004-09-14. hlm. 132. ISBN 978-0-7686-8488-9.
  53. ↑ Suely Oliveira. Writing Scientific Software: A Guide to Good Style. Cambridge University Press. 2006-09-07. hlm. 64. ISBN 978-1-139-45862-7.
  54. ↑ ResultSet (Java Platform SE 8 ). docs.oracle.com.
  55. ↑ X. Wu. Knowledge-Base Assisted Database Retrieval Systems. World Scientific. 25 October 1996. ISBN 978-981-4501-75-0.
  56. ↑ Null values and the nullable type. IBM. 12 December 2018.
  57. ↑ Paul DuBois. "MySQL Cookbook: Solutions for Database Developers and Administrators" 2014. p. 204.
  58. ↑ Arnold Robbins; Nelson Beebe. "Classic Shell Scripting" . 2005. p. 274
  59. ↑ Iztok Fajfar. "Start Programming Using HTML, CSS, and JavaScript" . 2015. p. 160.
  60. ↑ Darren R. Hayes. "A Practical Guide to Computer Forensics Investigations" . 2014. p. 399
  61. ↑ Richard M. Reese. Understanding and Using C Pointers: Core Techniques for Memory Management. O'Reilly Media. 2013. ISBN 978-1-449-34455-9.
  62. ↑ Marc J. Rochkind. Advanced UNIX Programming. Prentice Hall. 1985. ISBN 0-13-011818-4. Here: Sect.5.5 "Exit system call", p.114.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29448282 (2026-07-12T10:18:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Diperoleh dari "https://wiki.unissula.ac.id/index.php?title=0_(angka)&oldid=37735"