Klosur aljabar: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 22.59

Dalam matematika, khususnya dalam aljabar abstrak, klosur aljabar (ketertutupan aljabar) dari suatu lapangan K merupakan ekstensi aljabar dari lapangan K yang bersifat tertutup. Klosur aljabar adalah salah satu dari banyak sifat ketertutupan dalam matematika.

Dengan menggunakan lemma Zorn^[1]^[2]^[3] atau lemma ultrafilter yang lebih lemah,^[4]^[5] dapat didemonstrasikan bahwa setiap lapangan memiliki penutup aljabar, dan bahwa ketertutupan aljabar dari medan K bersifat unik hingga mencapai suatu isomorfisme yang menjadi titik tetap setiap dari anggota K. Karena keunikan esensial ini, istilah yang lebih sering digunakan adalah penutupan aljabar K, daripada suatu penutup aljabar K.

Ketertutupan aljabar dari suatu lapangan K dapat dianggap sebagai ekstensi aljabar terbesar dari K. Untuk melihat ini, perhatikan bahwa jika L adalah ekstensi aljabar apa pun dari K, maka ketertutupan aljabar dari L juga merupakan ketertutupan aljabar dari K, dan dengan demikian L juga terkandung dalam ketertutupan aljabar dari K. Ketertutupan aljabar dari K juga merupakan lapangan aljabar tertutup terkecil yang memuat K, karena jika M adalah lapangan aljabar tertutup apa pun yang memuat K, maka elemen-elemen M yang memberikan ekstensi aljabar atas K, juga membentuk ketertutupan aljabar dari K.

Ketertutupan aljabar suatu lapangan K mempunyai kardinalitas yang sama dengan K jika K tak terhingga, dan terhitung tak terhingga jika K berhingga.^[6]

Contoh

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa ketertutupan aljabar dari lapangan bilangan riil adalah lapangan bilangan kompleks .
Ketertutupan aljabar dari lapangan bilangan rasional adalah lapangan bilangan aljabar.
Ada banyak lapangan aljabar tertutup yang dapat dihitung dalam bilangan kompleks, dan secara ketat memuat bidang bilangan aljabar; ini adalah ketertutupan aljabar dari ekstensi transendental bilangan rasional, misalnya ketertutupan aljabar Q (π).
Untuk medan berhingga dengan orde pangkat prima q, ketertutupan aljabarnya adalah medan tak terhingga terhitung yang memuat salinan medan dengan orde q ⁿ untuk setiap bilangan bulat positif n (dan sebenarnya merupakan gabungan dari salinan-salinan ini).^[7]

Eksistensi penutupan aljabar dan pemisahan lapangan

Suatu himpunan $S = {f_{λ} | λ \in Λ}$ adalah himpunan semua polinomial monik tak tereduksi di K [ x ]. Untuk setiap $f_{λ} \in S$ , ditetapkan variabel baru $u_{λ, 1}, \dots, u_{λ, d}$ Di mana $d = d e g r e e (f_{λ})$ . Suatu ring R menjadi ring polinomial di atas K yang dihasilkan oleh $u_{λ, i}$ untuk semua $λ \in Λ$ dan semuanya $i \leq d e g r e e (f_{λ})$ . Dituliskan sebagai

f_{λ} - \prod_{i = 1}^{d} (x - u_{λ, i}) = \sum_{j = 0}^{d - 1} r_{λ, j} \cdot x^{j} \in R [x]

dengan $r_{λ, j} \in R$ . I adalah ideal di R yang dihasilkan oleh $r_{λ, j}$ . Karena I secara ketat lebih kecil dari R, lemma Zorn menyiratkan bahwa ada ideal maksimal M di R yang memuat I. Medan K ₁ = R / M mempunyai sifat bahwa setiap polinomial $f_{λ}$ dengan koefisien dalam K split sebagai produk dari $x - (u_{λ, i} + M),$ dan karenanya memiliki semua akar di K ₁ . Dengan cara yang sama, perluasan K ₂ dari K ₁ dapat dibangun, dan seterusnya. Gabungan dari semua perluasan ini adalah ketertutupan aljabar dari K, karena setiap polinomial dengan koefisien di medan baru ini mempunyai koefisiennya di beberapa K _n dengan n yang cukup besar, dan kemudian akar-akarnya ada di K _{n +1}, dan dengan demikian di dalam gabungan itu sendiri.

Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara yang sama bahwa untuk setiap subset S dari K [ x ], terdapat medan pemisah dari S atas K .

Ketertutupan yang dapat dipisahkan

Ketertutupan aljabar K ^alg dari K mengandung suatu ekstensi terpisah unik K ^sep dari K yang memuat semua ekstensi (aljabar) terpisah dari K dalam K ^alg . Subekstensi ini disebut penutupan yang dapat dipisahkan dari K. Karena suatu perluasan yang dapat dipisahkan dari suatu perluasan yang dapat dipisahkan juga dapat dipisahkan, maka tidak ada perluasan yang dapat dipisahkan yang terbatas dari K ^sep, dengan derajat > 1. Dengan kata lain, K terkandung dalam medan ekstensi aljabar tertutup terpisah . Ini unik ( hingga mencapai isomorfisme).^[8]

Ketertutupan yang dapat dipisahkan adalah ketertutupan aljabar penuh jika dan hanya jika K adalah medan sempurna . Misalnya, jika K adalah medan karakteristik p dan jika X transendental terhadap K, $K (X) (\sqrt[p]{X}) \supset K (X)$ adalah perluasan bidang aljabar yang tidak dapat dipisahkan.

Secara umum, grup Galois absolut K adalah grup Galois K ^sep atas K.^[9]

Lihat juga

Ekstensi aljabar

Referensi

↑ Paul J. McCarthy. Algebraic Extensions of Fields. Courier Corporation. 1991-04-01. ISBN 978-0-486-66651-8.
↑ M. F. Atiyah. Introduction To Commutative Algebra. Avalon Publishing. 1994-02-21. ISBN 978-0-8133-4544-4.
↑ Irving Kaplansky. Fields and Rings. University of Chicago Press. 1972. ISBN 978-0-226-42451-4.
↑ Bernhard Banaschewski. Algebraic closure without choice. Z. Math. Logik Grundlagen Math. 1992. Vol. 38. hlm. 383–385. doi:10.1002/malq.19920380136.
↑ Is the statement that every field has an algebraic closure known to be equivalent to the ultrafilter lemma?. MathOverflow.
↑ Irving Kaplansky. Fields and Rings. University of Chicago Press. 1972. ISBN 978-0-226-42451-4.
↑ Joel V. Brawley. Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields. American Mathematical Society. 1989. Vol. 95. hlm. 22–23. ISBN 978-0-8218-5428-0..
↑ Paul J. McCarthy. Algebraic Extensions of Fields. Courier Corporation. 1991-04-01. ISBN 978-0-486-66651-8.
↑ Michael D. Fried. Field arithmetic. Springer-Verlag. 2008. Vol. 11. hlm. 12. ISBN 978-3-540-77269-9.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27243449 (2025-05-08T00:28:25Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Paul J. McCarthy. Algebraic Extensions of Fields. Courier Corporation. 1991-04-01. ISBN 978-0-486-66651-8.

[2] M. F. Atiyah. Introduction To Commutative Algebra. Avalon Publishing. 1994-02-21. ISBN 978-0-8133-4544-4.

[3] Irving Kaplansky. Fields and Rings. University of Chicago Press. 1972. ISBN 978-0-226-42451-4.

[4] Bernhard Banaschewski. Algebraic closure without choice. Z. Math. Logik Grundlagen Math. 1992. Vol. 38. hlm. 383–385. doi:10.1002/malq.19920380136.

[5] Is the statement that every field has an algebraic closure known to be equivalent to the ultrafilter lemma?. MathOverflow.

[6] Irving Kaplansky. Fields and Rings. University of Chicago Press. 1972. ISBN 978-0-226-42451-4.

[7] Joel V. Brawley. Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields. American Mathematical Society. 1989. Vol. 95. hlm. 22–23. ISBN 978-0-8218-5428-0..

[8] Paul J. McCarthy. Algebraic Extensions of Fields. Courier Corporation. 1991-04-01. ISBN 978-0-486-66651-8.

[9] Michael D. Fried. Field arithmetic. Springer-Verlag. 2008. Vol. 11. hlm. 12. ISBN 978-3-540-77269-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
 Dalam [[matematika]], khususnya dalam [[aljabar abstrak]], '''klosur aljabar (ketertutupan aljabar)''' dari suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]] ''K'' merupakan [[ekstensi aljabar]] dari lapangan ''K'' yang bersifat tertutup. Klosur aljabar adalah salah satu dari banyak sifat [[Ketertutupan (matematika)|ketertutupan]] dalam matematika.
-Dengan menggunakan [[lemma Zorn]] atau lemma ultrafilter yang lebih lemah, dapat didemonstrasikan bahwa setiap lapangan memiliki penutup aljabar, dan bahwa ketertutupan aljabar dari medan ''K'' bersifat unik hingga mencapai suatu [[isomorfisme]] yang [[Titik tetap (matematika)|menjadi titik tetap]] setiap dari anggota ''K.'' Karena keunikan esensial ini, istilah yang lebih sering digunakan adalah ''penutupan'' aljabar ''K'', daripada ''suatu penutup'' ''aljabar'' ''K.''
+Dengan menggunakan [[lemma Zorn]]<ref>Paul J. McCarthy. [https://books.google.com/books/about/Algebraic_Extensions_of_Fields.html?id=p-8WAgAAQBAJ Algebraic Extensions of Fields]. Courier Corporation. 1991-04-01. ISBN 978-0-486-66651-8.</ref><ref>M. F. Atiyah. [https://books.google.com/books/about/Introduction_To_Commutative_Algebra.html?id=HOASFid4x18C Introduction To Commutative Algebra]. Avalon Publishing. 1994-02-21. ISBN 978-0-8133-4544-4.</ref><ref>Irving Kaplansky. [https://books.google.com/books/about/Fields_and_Rings.html?id=_KHjPspACS4C Fields and Rings]. University of Chicago Press. 1972. ISBN 978-0-226-42451-4.</ref> atau lemma ultrafilter yang lebih lemah,<ref>Bernhard Banaschewski. ''Algebraic closure without choice''. ''Z. Math. Logik Grundlagen Math''. 1992. Vol. 38. hlm. 383–385. doi:10.1002/malq.19920380136.</ref><ref>[https://mathoverflow.net/questions/46566/is-the-statement-that-every-field-has-an-algebraic-closure-known-to-be-equivalent Is the statement that every field has an algebraic closure known to be equivalent to the ultrafilter lemma?]. ''MathOverflow''.</ref> dapat didemonstrasikan bahwa setiap lapangan memiliki penutup aljabar, dan bahwa ketertutupan aljabar dari medan ''K'' bersifat unik hingga mencapai suatu [[isomorfisme]] yang [[Titik tetap (matematika)|menjadi titik tetap]] setiap dari anggota ''K.'' Karena keunikan esensial ini, istilah yang lebih sering digunakan adalah ''penutupan'' aljabar ''K'', daripada ''suatu penutup'' ''aljabar'' ''K.''
 Ketertutupan aljabar dari suatu lapangan ''K'' dapat dianggap sebagai ekstensi aljabar terbesar dari ''K.'' Untuk melihat ini, perhatikan bahwa jika ''L'' adalah ekstensi aljabar apa pun dari ''K'', maka ketertutupan aljabar dari ''L'' juga merupakan ketertutupan aljabar dari ''K'', dan dengan demikian ''L'' juga terkandung dalam ketertutupan aljabar dari ''K.'' Ketertutupan aljabar dari ''K'' juga merupakan lapangan aljabar tertutup terkecil yang memuat ''K'', karena jika ''M'' adalah lapangan aljabar tertutup apa pun yang memuat ''K'', maka elemen-elemen ''M'' yang [[Ekstensi aljabar|memberikan ekstensi aljabar atas]] ''K,'' juga membentuk ketertutupan aljabar dari ''K.''
-Ketertutupan aljabar suatu lapangan ''K'' mempunyai [[Bilangan kardinal|kardinalitas]] yang sama dengan ''K'' jika ''K'' tak terhingga, dan [[Himpunan terhitung|terhitung tak terhingga]] jika ''K'' berhingga.
+Ketertutupan aljabar suatu lapangan ''K'' mempunyai [[Bilangan kardinal|kardinalitas]] yang sama dengan ''K'' jika ''K'' tak terhingga, dan [[Himpunan terhitung|terhitung tak terhingga]] jika ''K'' berhingga.<ref>Irving Kaplansky. [https://books.google.com/books/about/Fields_and_Rings.html?id=_KHjPspACS4C Fields and Rings]. University of Chicago Press. 1972. ISBN 978-0-226-42451-4.</ref>
 == Contoh ==
 * [[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa ketertutupan aljabar dari lapangan [[bilangan riil]] adalah lapangan [[bilangan kompleks]] .
 * Ketertutupan aljabar dari lapangan [[bilangan rasional]] adalah lapangan [[bilangan aljabar]].
 * Ada banyak lapangan aljabar tertutup yang dapat dihitung dalam bilangan kompleks, dan secara ketat memuat bidang bilangan aljabar; ini adalah ketertutupan aljabar dari ekstensi transendental bilangan rasional, misalnya ketertutupan aljabar '''Q''' (π).
-* Untuk [[Medan hingga|medan berhingga]] dengan orde pangkat [[Bilangan prima|prima]] ''q'', ketertutupan aljabarnya adalah medan [[Himpunan terhitung|tak terhingga terhitung]] yang memuat salinan medan dengan orde ''q'' <sup>''n''</sup> untuk setiap [[bilangan bulat]] positif ''n'' (dan sebenarnya merupakan gabungan dari salinan-salinan ini).
+* Untuk [[Medan hingga|medan berhingga]] dengan orde pangkat [[Bilangan prima|prima]] ''q'', ketertutupan aljabarnya adalah medan [[Himpunan terhitung|tak terhingga terhitung]] yang memuat salinan medan dengan orde ''q'' <sup>''n''</sup> untuk setiap [[bilangan bulat]] positif ''n'' (dan sebenarnya merupakan gabungan dari salinan-salinan ini).<ref>Joel V. Brawley. [https://books.google.com/books?id=0HNfpAsMXhUC&pg=PA22 Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields]. American Mathematical Society. 1989. Vol. 95. hlm. 22–23. ISBN 978-0-8218-5428-0..</ref>
 == Eksistensi penutupan aljabar dan pemisahan lapangan ==
@@ Baris 24: / Baris 23: @@
 == Ketertutupan yang dapat dipisahkan ==
-Ketertutupan aljabar ''K <sup>alg</sup>'' dari ''K'' mengandung suatu ekstensi terpisah unik ''K <sup>sep</sup>'' dari ''K'' yang memuat semua ekstensi (aljabar) terpisah dari ''K'' dalam ''K <sup>alg</sup>'' . Subekstensi ini disebut '''penutupan yang dapat dipisahkan''' dari ''K.'' Karena suatu perluasan yang dapat dipisahkan dari suatu perluasan yang dapat dipisahkan juga dapat dipisahkan, maka tidak ada perluasan yang dapat dipisahkan yang terbatas dari ''K <sup>sep</sup>'', dengan derajat > 1. Dengan kata lain, ''K'' terkandung dalam medan ekstensi aljabar ''tertutup terpisah'' . Ini unik ( hingga mencapai isomorfisme).
+Ketertutupan aljabar ''K <sup>alg</sup>'' dari ''K'' mengandung suatu ekstensi terpisah unik ''K <sup>sep</sup>'' dari ''K'' yang memuat semua ekstensi (aljabar) terpisah dari ''K'' dalam ''K <sup>alg</sup>'' . Subekstensi ini disebut '''penutupan yang dapat dipisahkan''' dari ''K.'' Karena suatu perluasan yang dapat dipisahkan dari suatu perluasan yang dapat dipisahkan juga dapat dipisahkan, maka tidak ada perluasan yang dapat dipisahkan yang terbatas dari ''K <sup>sep</sup>'', dengan derajat > 1. Dengan kata lain, ''K'' terkandung dalam medan ekstensi aljabar ''tertutup terpisah'' . Ini unik ( hingga mencapai isomorfisme).<ref>Paul J. McCarthy. [https://books.google.com/books/about/Algebraic_Extensions_of_Fields.html?id=p-8WAgAAQBAJ Algebraic Extensions of Fields]. Courier Corporation. 1991-04-01. ISBN 978-0-486-66651-8.</ref>
 Ketertutupan yang dapat dipisahkan adalah ketertutupan aljabar penuh jika dan hanya jika ''K'' adalah medan sempurna . Misalnya, jika ''K'' adalah medan karakteristik ''p'' dan jika ''X'' transendental terhadap ''K'', <math>K(X)(\sqrt[p]{X}) \supset K(X)</math> adalah perluasan bidang aljabar yang tidak dapat dipisahkan.
-Secara umum, [[grup Galois]] absolut ''K'' adalah grup Galois ''K <sup>sep</sup>'' atas ''K''.
+Secara umum, [[grup Galois]] absolut ''K'' adalah grup Galois ''K <sup>sep</sup>'' atas ''K''.<ref>Michael D. Fried. ''Field arithmetic''. Springer-Verlag. 2008. Vol. 11. hlm. 12. ISBN 978-3-540-77269-9.</ref>
 == Lihat juga ==
 * [[Ekstensi aljabar]]
 == Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Klosur+aljabar&oldid=27243449 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27243449 (2025-05-08T00:28:25Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->