Lompat ke isi

Bilangan segitiga: Perbedaan antara revisi

Ensiklopedia Pengetahuan Universitas Islam Sultan Agung

Maintenance script (bicara | kontrib)

37.956 suntingan
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28412578; atribusi sumber disertakan.
 
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi
 
Baris 1: Baris 1:
[[File:First_six_triangular_numbers.svg|thumb|right|280px|First six triangular numbers]]
'''Bilangan segitiga''' menghitung benda yang diatur dalam [[segitiga sama sisi]]. Angka segitiga <math>n</math> adalah jumlah titik dalam pengaturan segitiga dengan titik <math>n</math> di satu sisi, dan sama dengan jumlah dari [[bilangan asli]] <math>n</math>, yaitu dari <math>1</math> hingga <math>n</math>. Urutan angka segitiga , mulai dari [[jumlah kosong|angka segitiga ke-0]], adalah
'''Bilangan segitiga''' menghitung benda yang diatur dalam [[segitiga sama sisi]]. Angka segitiga <math>n</math> adalah jumlah titik dalam pengaturan segitiga dengan titik <math>n</math> di satu sisi, dan sama dengan jumlah dari [[bilangan asli]] <math>n</math>, yaitu dari <math>1</math> hingga <math>n</math>. Urutan angka segitiga , mulai dari [[jumlah kosong|angka segitiga ke-0]], adalah
: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 120, 136, 153, 171, 190, 190, 210, 231, 253, 276, 300 , 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...
: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 120, 136, 153, 171, 190, 190, 210, 231, 253, 276, 300 , 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...


[[Wacław Sierpiński]] mengajukan pertanyaan tentang keberadaan empat bilangan segitiga yang berbeda dalam [[Barisan dan deret geometri|perkembangan geometris]]. Hal itu dikira tidak mungkin oleh ahli matematika Polandia [[Kazimierz Szymiczek]] dan kemudian dibuktikan oleh Fang dan Chen pada 2007.
[[Wacław Sierpiński]] mengajukan pertanyaan tentang keberadaan empat bilangan segitiga yang berbeda dalam [[Barisan dan deret geometri|perkembangan geometris]]. Hal itu dikira tidak mungkin oleh ahli matematika Polandia [[Kazimierz Szymiczek]] dan kemudian dibuktikan oleh Fang dan Chen pada 2007.<ref>[http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/h19/h19.pdf Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression]</ref><ref>[http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/h57/h57.pdf Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers]</ref>


Variasi dari bilangan ini disebut bilangan segitiga berkorelasi secara Smarandache, yaitu jika <math>T(a,b,c)</math> dan <math>T(a_1,b_1,c_1)</math> berkorelasi secara Smarandache, maka <math>Z(a) = Z(a_1)</math>, <math>Z(b) = Z(b_1)</math> dan <math>Z(c) = Z(c_1)</math> dengan <math>Z(\dots)</math> sebagai [[fungsi Smarandache]].
Variasi dari bilangan ini disebut bilangan segitiga berkorelasi secara Smarandache, yaitu jika <math>T(a,b,c)</math> dan <math>T(a_1,b_1,c_1)</math> berkorelasi secara Smarandache, maka <math>Z(a) = Z(a_1)</math>, <math>Z(b) = Z(b_1)</math> dan <math>Z(c) = Z(c_1)</math> dengan <math>Z(\dots)</math> sebagai [[fungsi Smarandache]].<ref>A Note on Smarandache Number Related Triangles, Hary Gunarto & AAK Majumdar, Scientia Magna, [https://pdfs.semanticscholar.org/800e/7d949f721f6d99650120eac0f808f7cfa14c.pdf Volume 6, issue 1, page 1-6, 2010].</ref>


== Rumus ==
== Rumus ==
Baris 10: Baris 12:


== Bukti ==
== Bukti ==
Rumus bilangan segitiga di atas dapat dibuktikan menggunakan [[Pembuktian melalui induksi|pembuktian induksi]]. Dimulai dari <math>T_1</math> yang menghasilkan <math>1</math>. Asumsi untuk suatu bilangan asli <math>m</math>, maka <math display="block">T_m = \sum_{k=1}^{m}k = \frac{m(m+1)}{2}.</math>Sekarang, dengan menambahkan <math>m + 1</math>, maka akan menghasilkan<math display="block">
Rumus bilangan segitiga di atas dapat dibuktikan menggunakan [[Pembuktian melalui induksi|pembuktian induksi]].<ref>Michael Spivak. [https://books.google.com/books?id=7JKVu_9InRUC&pg=PA21 Calculus]. Publish or Perish, Inc. 2008. hlm. 21–22. ISBN 978-0-914098-91-1.</ref> Dimulai dari <math>T_1</math> yang menghasilkan <math>1</math>. Asumsi untuk suatu bilangan asli <math>m</math>, maka <math display="block">T_m = \sum_{k=1}^{m}k = \frac{m(m+1)}{2}.</math>Sekarang, dengan menambahkan <math>m + 1</math>, maka akan menghasilkan<math display="block">
\begin{align}
\begin{align}
   \sum_{k=1}^{m}k + (m + 1) &= \frac{m(m + 1)}{2} + m + 1\\
   \sum_{k=1}^{m}k + (m + 1) &= \frac{m(m + 1)}{2} + m + 1\\
Baris 22: Baris 24:


Dengan demikian, rumus di atas juga benar untuk <math>m</math>, jika rumus tersebut benar untuk <math>m+1</math>. Selain itu, karena rumus tersebut selalu benar untuk <math>1</math>, maka untuk <math>2</math>, <math>3</math>, dan seterusnya yang merupakan bilangan asli <math>n</math> juga benar melalui induksi.
Dengan demikian, rumus di atas juga benar untuk <math>m</math>, jika rumus tersebut benar untuk <math>m+1</math>. Selain itu, karena rumus tersebut selalu benar untuk <math>1</math>, maka untuk <math>2</math>, <math>3</math>, dan seterusnya yang merupakan bilangan asli <math>n</math> juga benar melalui induksi.
== Referensi ==


== Pranala luar ==
== Pranala luar ==
 
*  
*
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml#square Triangular numbers] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml#square Triangular numbers] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml There exist triangular numbers that are also square] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml There exist triangular numbers that are also square] at [[cut-the-knot]]
*
*


== Referensi ==
<references />


== Sumber dan atribusi ==


== Sumber dan atribusi ==
Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+segitiga&oldid=28412578 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28412578 (2025-11-11T14:58:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+segitiga&oldid=28412578 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28412578 (2025-11-11T14:58:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.01

First six triangular numbers

Bilangan segitiga menghitung benda yang diatur dalam segitiga sama sisi. Angka segitiga n adalah jumlah titik dalam pengaturan segitiga dengan titik n di satu sisi, dan sama dengan jumlah dari bilangan asli n, yaitu dari 1 hingga n. Urutan angka segitiga , mulai dari angka segitiga ke-0, adalah

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 120, 136, 153, 171, 190, 190, 210, 231, 253, 276, 300 , 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...

Wacław Sierpiński mengajukan pertanyaan tentang keberadaan empat bilangan segitiga yang berbeda dalam perkembangan geometris. Hal itu dikira tidak mungkin oleh ahli matematika Polandia Kazimierz Szymiczek dan kemudian dibuktikan oleh Fang dan Chen pada 2007.[1][2]

Variasi dari bilangan ini disebut bilangan segitiga berkorelasi secara Smarandache, yaitu jika T(a,b,c) dan T(a1,b1,c1) berkorelasi secara Smarandache, maka Z(a)=Z(a1), Z(b)=Z(b1) dan Z(c)=Z(c1) dengan Z(…) sebagai fungsi Smarandache.[3]

Rumus

Bilangan segitiga dinyatakan dengan rumus berikut: Tn=∑k=1nk=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=(n+12),dengan (n+12) adalah koefisien binomial, yang menyatakan jumlah pasangan berbeda yang dapat dipilih dari objek.

Bukti

Rumus bilangan segitiga di atas dapat dibuktikan menggunakan pembuktian induksi.[4] Dimulai dari T1 yang menghasilkan 1. Asumsi untuk suatu bilangan asli m, maka Tm=∑k=1mk=m(m+1)2.Sekarang, dengan menambahkan m+1, maka akan menghasilkan∑k=1mk+(m+1)=m(m+1)2+m+1=m(m+1)+2m+22=m2+m+2m+22=m2+3m+22=(m+1)(m+2)2.

Dengan demikian, rumus di atas juga benar untuk m, jika rumus tersebut benar untuk m+1. Selain itu, karena rumus tersebut selalu benar untuk 1, maka untuk 2, 3, dan seterusnya yang merupakan bilangan asli n juga benar melalui induksi.

Pranala luar

Referensi

  1. ↑ Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
  2. ↑ Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
  3. ↑ A Note on Smarandache Number Related Triangles, Hary Gunarto & AAK Majumdar, Scientia Magna, Volume 6, issue 1, page 1-6, 2010.
  4. ↑ Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, Inc. 2008. hlm. 21–22. ISBN 978-0-914098-91-1.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28412578 (2025-11-11T14:58:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Diperoleh dari "https://wiki.unissula.ac.id/index.php?title=Bilangan_segitiga&oldid=8242"