Konstanta Gelfond–Schneider: Perbedaan antara revisi
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28428308; atribusi sumber disertakan. |
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi |
||
| Baris 1: | Baris 1: | ||
'''Konstanta Gelfond–Schneider''' atau '''bilangan Hilbert''' adalah [[2 (angka)|dua]] yang [[Eksponensiasi|dipangkatkan]] dengan [[Akar kuadrat dari 2|akar 2]] | '''Konstanta Gelfond–Schneider''' atau '''bilangan Hilbert'''<ref>R. Courant. ''What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods''. Oxford University Press. 1996. hlm. 107.</ref> adalah [[2 (angka)|dua]] yang [[Eksponensiasi|dipangkatkan]] dengan [[Akar kuadrat dari 2|akar 2]] | ||
<math display="block">2^{\sqrt{2}} = 2.665 \, 144 \, 142 \, 690 \, 225 \, 188 \, 650 \, 297 \, 249 \, 8731 \dots</math> | <math display="block">2^{\sqrt{2}} = 2.665 \, 144 \, 142 \, 690 \, 225 \, 188 \, 650 \, 297 \, 249 \, 8731 \dots</math> | ||
yang terbukti sebagai [[Bilangan transendental]] oleh [[Rodion Kuzmin]] pada tahun 1930. Pada tahun 1934, [[Aleksandr Gelfond]] dan [[Theodor Schneider]] secara terpisah berhasil membuktikan ''[[teorema Gelfond–Schneider]]'' yang lebih umum, yang sekaligus memecahkan bagian dari [[masalah ketujuh Hilbert]]. | yang terbukti sebagai [[Bilangan transendental]] oleh [[Rodion Kuzmin]] pada tahun 1930.<ref>R. O. Kuzmin. [http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316 On a new class of transcendental numbers]. ''Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem''. 1930. Vol. 7. hlm. 585–597.</ref> Pada tahun 1934, [[Aleksandr Gelfond]] dan [[Theodor Schneider]] secara terpisah berhasil membuktikan ''[[teorema Gelfond–Schneider]]'' yang lebih umum,<ref>Aleksandr Gelfond. [http://mi.mathnet.ru/eng/izv4924 Sur le septième Problème de Hilbert]. ''Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na''. 1934. Vol. VII (4). hlm. 623–634.</ref> yang sekaligus memecahkan bagian dari [[masalah ketujuh Hilbert]]. | ||
== Sifat-sifat == | == Sifat-sifat == | ||
| Baris 8: | Baris 8: | ||
Konstanta ini juga dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan "suatu bilangan irasional yang dipangkatkan bilangan irasional mungkin saja hasilnya rasional", tanpa perlu menunjukkan sifat transendentalnya. Alur pembuktiannya adalah sebagai berikut: Jika <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> merupakan bilangan rasional, maka teoremanya terbukti. Jika tidak, maka<math display="block">\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2</math> | Konstanta ini juga dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan "suatu bilangan irasional yang dipangkatkan bilangan irasional mungkin saja hasilnya rasional", tanpa perlu menunjukkan sifat transendentalnya. Alur pembuktiannya adalah sebagai berikut: Jika <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> merupakan bilangan rasional, maka teoremanya terbukti. Jika tidak, maka<math display="block">\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2</math> | ||
adalah bilangan rasional yang diperoleh dari hasil perpangkatan bilangan irasional dengan suatu bilangan irasional, sehingga teoremanya terbukti. Metode pembuktiannya termasuk [[Bukti konstruktif|tak konstruktif]], karena tidak menyebutkan mana yang benar dari kedua kasus yang ada, namun lebih sederhana dibandingkan pembuktian dari [[Rodion Kuzmin]]. | adalah bilangan rasional yang diperoleh dari hasil perpangkatan bilangan irasional dengan suatu bilangan irasional, sehingga teoremanya terbukti.<ref>D. Jarden. ''Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational''. ''Scripta Mathematica''. 1953. Vol. 19. hlm. 229..</ref><ref>J. P. Jones. ''Irrational numbers''. ''American Mathematical Monthly''. 1973. Vol. 80 (4). hlm. 423–424. doi:10.2307/2319091.</ref> Metode pembuktiannya termasuk [[Bukti konstruktif|tak konstruktif]], karena tidak menyebutkan mana yang benar dari kedua kasus yang ada, namun lebih sederhana dibandingkan pembuktian dari [[Rodion Kuzmin]]. | ||
== Masalah ketujuh Hilbert == | == Masalah ketujuh Hilbert == | ||
Bagian ketujuh dari [[Masalah Hilbert|23 masalah Hilbert]] yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari [[contoh tandingan]] dari, klaim kalau <math>a^b</math> selalu transendental, untuk [[bilangan aljabar]] <math>a \neq \left\{ 0, 1 \right\}</math> dan bilangan irasional aljabar <math>b</math>. Dalam pidatonya, [[David Hilbert|Hilbert]] memberikan dua contoh eksplisit, salah satunya ialah konstanta Gelfond–Schneider <math>2^{\sqrt{2}}</math>. | Bagian ketujuh dari [[Masalah Hilbert|23 masalah Hilbert]] yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari [[contoh tandingan]] dari, klaim kalau <math>a^b</math> selalu transendental, untuk [[bilangan aljabar]] <math>a \neq \left\{ 0, 1 \right\}</math> dan bilangan irasional aljabar <math>b</math>. Dalam pidatonya, [[David Hilbert|Hilbert]] memberikan dua contoh eksplisit, salah satunya ialah konstanta Gelfond–Schneider <math>2^{\sqrt{2}}</math>. | ||
Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai [[teori bilangan]] dan membicarakan tiga [[konjektur]], yaitu [[hipotesis Riemann]], [[Teorema Terakhir Fermat]], dan transendentalnya bilangan <math>2^{\sqrt{2}}</math>. Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini. Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930, tahun di mana Hilbert masih hidup. Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen <math>b</math> merupakan [[Bilangan kuadratik irasional|Bilangan riil kuadratik irasional]], yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar <math>b</math> oleh Gelfond dan oleh Schneider. | Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai [[teori bilangan]] dan membicarakan tiga [[konjektur]], yaitu [[hipotesis Riemann]], [[Teorema Terakhir Fermat]], dan transendentalnya bilangan <math>2^{\sqrt{2}}</math>. Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini.<ref>David Hilbert, ''Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920''.</ref> Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930,<ref>R. O. Kuzmin. [http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316 On a new class of transcendental numbers]. ''Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem''. 1930. Vol. 7. hlm. 585–597.</ref> tahun di mana Hilbert masih hidup. Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen <math>b</math> merupakan [[Bilangan kuadratik irasional|Bilangan riil kuadratik irasional]], yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar <math>b</math> oleh Gelfond dan oleh Schneider. | ||
== Lihat juga == | == Lihat juga == | ||
* [[Konstanta Gelfond]] | * [[Konstanta Gelfond]] | ||
== Bacaan lanjutan == | == Bacaan lanjutan == | ||
* | * | ||
* | * | ||
== Referensi == | |||
<references /> | |||
== Sumber dan atribusi == | == Sumber dan atribusi == | ||
Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konstanta+Gelfond%E2%80%93Schneider&oldid=28428308 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428308 (2025-11-12T11:09:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku. | Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konstanta+Gelfond%E2%80%93Schneider&oldid=28428308 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428308 (2025-11-12T11:09:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku. | ||
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 --> | |||
Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 04.03
Konstanta Gelfond–Schneider atau bilangan Hilbert[1] adalah dua yang dipangkatkan dengan akar 2 yang terbukti sebagai Bilangan transendental oleh Rodion Kuzmin pada tahun 1930.[2] Pada tahun 1934, Aleksandr Gelfond dan Theodor Schneider secara terpisah berhasil membuktikan teorema Gelfond–Schneider yang lebih umum,[3] yang sekaligus memecahkan bagian dari masalah ketujuh Hilbert.
Sifat-sifat
Hasil akar kuadrat dari Konstanta Gelfond–Schneider adalah bilangan transendental
Konstanta ini juga dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan "suatu bilangan irasional yang dipangkatkan bilangan irasional mungkin saja hasilnya rasional", tanpa perlu menunjukkan sifat transendentalnya. Alur pembuktiannya adalah sebagai berikut: Jika merupakan bilangan rasional, maka teoremanya terbukti. Jika tidak, maka
adalah bilangan rasional yang diperoleh dari hasil perpangkatan bilangan irasional dengan suatu bilangan irasional, sehingga teoremanya terbukti.[4][5] Metode pembuktiannya termasuk tak konstruktif, karena tidak menyebutkan mana yang benar dari kedua kasus yang ada, namun lebih sederhana dibandingkan pembuktian dari Rodion Kuzmin.
Masalah ketujuh Hilbert
Bagian ketujuh dari 23 masalah Hilbert yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari contoh tandingan dari, klaim kalau selalu transendental, untuk bilangan aljabar dan bilangan irasional aljabar . Dalam pidatonya, Hilbert memberikan dua contoh eksplisit, salah satunya ialah konstanta Gelfond–Schneider .
Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai teori bilangan dan membicarakan tiga konjektur, yaitu hipotesis Riemann, Teorema Terakhir Fermat, dan transendentalnya bilangan . Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini.[6] Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930,[7] tahun di mana Hilbert masih hidup. Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen merupakan Bilangan riil kuadratik irasional, yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar oleh Gelfond dan oleh Schneider.
Lihat juga
Bacaan lanjutan
Referensi
- ↑ R. Courant. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press. 1996. hlm. 107.
- ↑ R. O. Kuzmin. On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem. 1930. Vol. 7. hlm. 585–597.
- ↑ Aleksandr Gelfond. Sur le septième Problème de Hilbert. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. 1934. Vol. VII (4). hlm. 623–634.
- ↑ D. Jarden. Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational. Scripta Mathematica. 1953. Vol. 19. hlm. 229..
- ↑ J. P. Jones. Irrational numbers. American Mathematical Monthly. 1973. Vol. 80 (4). hlm. 423–424. doi:10.2307/2319091.
- ↑ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920.
- ↑ R. O. Kuzmin. On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem. 1930. Vol. 7. hlm. 585–597.
Sumber dan atribusi
Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28428308 (2025-11-12T11:09:07Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.