Perpangkatan bilangan dua: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 14.00

Perpangkatan bilangan dua, (atau perpangkatan angka dua, perpangkatan nilai dua) adalah bilangan dengan basis adalah 2 dan $n$ adalah bilangan bulat.

Ketika $n$ adalah bilangan bulat taknegatif^[1] ― dengan kata lain, bilangan cacah ― maka perpangkatan bilangan dua merupakan bilangan basis 2 yang dikali sebanyak $n$ kali.

\underset{n}{\underset{⏟}{2 \times \dots \times 2}} = 2^{n}

.

Tabel nilai

Tabel berikut merupakan nilai-nilai perpangkatan bilangan dua, untuk $n$ adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 22.

Tabel perpangkatan bilangan dua
$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$
$2^{n}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$	$128$	$256$	$512$	$1024$	$2048$	$4096$	$8192$	$16384$	$32768$	$65536$	$131072$	$262144$	$524288$	$1048576$	$2097152$	$4194304$

Tabel berikut juga merupakan nilai-nilai bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua, untuk $n$ adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 8.

Tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua
$n$	$2^{2^{n}}$
$0$	$2$
$1$	$4$
$2$	$16$
$3$	$256$
$4$	$65536$
$5$	$4294967296$
$6$	$18446744073709551616$
$7$	$340282366920938463463374607431768211456$
$8$	$115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936$

Dalam aljabar

Segitiga Pascal

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan segitiga Pascal. Pada barisan pertama, jumlah bilangannya adalah $1$ yang sama saja dengan $2^{0}$ . Lalu dilanjutkan pada barisan kedua, jumlah bilangannya adalah $1 + 1 = 2 = 2^{1}$ . Ini terus berlanjut hingga memperoleh pola untuk $2^{n}$ , yaitu:

2^{n} = (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + \dots + (\binom{n}{n}) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k})

.^[2]

Dalam teori bilangan

Sistem bilangan biner

Perpangkatan bilangan dua dapat dipakai dalam sistem bilangan biner,^[3] yakni sistem bilangan yang terdiri dari digit "0" dan "1". Contoh hubungan sistem bilangan biner dengan Perpangkatan bilangan dua dapat dilihat di tabel bawah ini.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$\dots$
$2^{n}$	$2^{0}$	$2^{1}$	$2^{2}$	$2^{3}$	$2^{4}$	$2^{5}$	$2^{6}$	$2^{7}$	$2^{8}$	$2^{9}$	$2^{10}$	$\dots$
Bilangan biner	$1_{2}$	$1 0_{2}$	$10 0_{2}$	$100 0_{2}$	$1000 0_{2}$	$10000 0_{2}$	$100000 0_{2}$	$1000000 0_{2}$	$10000000 0_{2}$	$100000000 0_{2}$	$1000000000 0_{2}$	$\dots$

Seperti yang dilihat, jumlah digit dalam bilangan biner bergantung pada nilai $n$ . Contohnya, $2^{1}$ dikonversikan menjadi $10$ dalam bilangan biner, dengan jumlah digit 0 adalah 1. $2^{2}$ dikonversikan menjadi $100$ , dengan jumlah digit 0 adalah 2. Hal ini terus berlanjut untuk $n$ bilangan bulat taknegatif.

Bilangan Mersenne

Perpangkatan bilangan dua dapat diterapkan pada bilangan Mersenne, dengan bentuk $M_{n} \equiv 2^{n} - 1$ .^[4] Jika $n = p$ (di mana $p$ bilangan prima), maka bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yakni $M_{p} = 2^{p} - 1$ .

Bilangan prima terbesar yang diketahui

Saat ini, bilangan prima terbesar yang diketahui ditemukan oleh Great Internet Mersenne Prime Search (atau diabreviasikan sebagai GIMPS) merupakan bilangan prima yang terdiri dari 24.862.048 digit,^[5] yakni $2^{82.589.933} - 1$ .^[6] Bilangan prima tersebut ditemukan pada September 2021.

Dalam teori himpunan

Himpunan kuasa

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan himpunan kuasa $S$ (dinotasikan $℘ (S)$ ), yaitu himpunan yang anggotanya merupakan subhimpunan $S$ dengan banyak anggota himpunan kuasa $S$ sama dengan dua dipangkatkan dengan jumlah anggota $S$ .^[7] Ini dituliskan secara matematis:

℘ (S) = 2^{n (S)}

.

Hipotesis kontinum

Dalam teori himpunan, hipotesis kontinum merupakan hipotesis yang dinyatakan dalam sebuah persamaan bilangan alef.

2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1}

.^[8]

Kaitan dengan masalah yang belum terpecahkan

Misalkan $x_{i} = 1$
$i$	$\sum \frac{1}{2^{2^{i}}}$
$0$	$0, 5$
$1$	$0, 75$
$2$	$0, 8125$
$3$	$0, 81640625$
$⋮$	$⋮$

Barisan keirasionalan

Perpangkatan bilangan dua juga berkaitan dengan masalah yang belum terpecahkan. Contohnya, bilangan $2^{2^{n}}$ membentuk barisan keirasionalan, lihat tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua. Maka, untuk setiap barisan bilangan bulat positif $x_{i}$ , deret

\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{2^{i}} x_{i}}

konvergen menuju bilangan irasional. Karena $2^{2^{n}}$ merupakan barisan dengan pertumbuhan tercepat, deret tersebut merupakan barisan keirasionalan dengan pertumbuhan terlambat yang diketahui.^[9]

Lihat pula

Catatan kaki dan rujukan

Catatan kaki

Rujukan

OEIS

Referensi

↑ Seymour Lipschutz. Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. McGraw-Hill. 1982. hlm. 3. ISBN 0-07-037990-4.
↑ Content - Pascal's triangle – the observations. amsi.org.au.
↑ Open Textbooks Siyavula. intl.siyavula.com.
↑ Eric W. Weisstein. Mersenne Number. mathworld.wolfram.com.
↑ Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime!. www.mersenne.org.
↑ 51st Known Mersenne Prime Discovered. www.mersenne.org.
↑ Himpunan Kuasa. maths.id.
↑ Hipotesis kontinum matematika. Hipotesis kontinum matematika. 2020-10-12.
↑ Richard Guy. Unsolved Problems in Number Theory. Springer Science & Business Media. 2004-07-13. ISBN 978-0-387-20860-2.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28463937 (2025-11-13T15:22:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Seymour Lipschutz. Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. McGraw-Hill. 1982. hlm. 3. ISBN 0-07-037990-4.

[2] Content - Pascal's triangle – the observations. amsi.org.au.

[3] Open Textbooks Siyavula. intl.siyavula.com.

[4] Eric W. Weisstein. Mersenne Number. mathworld.wolfram.com.

[5] Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime!. www.mersenne.org.

[6] 51st Known Mersenne Prime Discovered. www.mersenne.org.

[7] Himpunan Kuasa. maths.id.

[8] Hipotesis kontinum matematika. Hipotesis kontinum matematika. 2020-10-12.

[9] Richard Guy. Unsolved Problems in Number Theory. Springer Science & Business Media. 2004-07-13. ISBN 978-0-387-20860-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Maintenance script (bicara | kontrib)