Bilangan prima Wolstenholme: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 18.12

Dalam teori bilangan, bilangan prima Wolstenholme () merupakan jenis bilangan prima spesial yang memenuhi teorema Wolstenholme yang lebih kuat. Teorema Wolstenholme melibatkan relasi kekongruenan yang dipenuhi oleh semua bilangan prima yang lebih besar daripada 3. Bilangan prima Wolstenholme dinamai dari seorang matematikawan yang bernama Joseph Wolstenholme, yang pertama kali menjelaskan teorema ini pada abad ke-19.

Bilangan prima ini menjadi banyak perhatian karena memiliki kaitannya dengan Teorema Terakhir Fermat. Selain itu, bilangan prima Wolstenholme juga berkaitan dengan jenis kelas bilangan spesial lainnya, yang dikaji dengan harapan dapat memperumum suatu bukti kebenaran teorema untuk semua bilangan bulat positif yang lebih besar daripada dua.

Dua bilangan prima Wolstenholme yang diketahui hanyalah 16843 dan 2124679 . Tiada bilangan prima Wolstenholme yang lebih kecil daripada 10⁹.^[1]

Definisi

Bilangan prima Wolstenholme dapat didefinisikan sebagai bilangan prima $p > 7$ yang memenuhi kekongruenan: $(\binom{2 p - 1}{p - 1}) \equiv 1 (\mod p^{4}) .$ Di sini, ekspresi di ruas kiri melambangkan koefisien binomial.^[2] Sebagai perbandingan, teorema Wolstenholme menyatakan bahwa untuk setiap bilangan prima $p > 3$ , maka berlaku kekongruenan: $(\binom{2 p - 1}{p - 1}) \equiv 1 (\mod p^{3}) .$

Bilangan prima Wolstenholme didefinisikan sebagai bilangan prima $p$ yang membagi pembilang dari bilangan Bernoulli $B_{p - 3}$ .^[3] Karena itu, bilangan prima Wolstenholme membentuk subhimpunan dari bilangan prima tak beraturan. Bilangan prima Wolstenholme merupakan bilangan prima $p$ sehingga $(p, p - 3)$ merupakan pasangan tak beraturan.^[4]

Bilangan prima Wolstenholme adalah bilangan prima $p$ sehingga $H_{p - 1} \equiv 0 (\mod p^{3}) .$ Ini berarti, pembilang dari bilangan harmonik $H_{p - 1}$ yang dinyatakan dalam suku terkecil dapat dibagi oleh $p^{3}$ .

Pencarian dan status saat ini

Pencarian bilangan prima Wolstenholme dimulai sekitar tahun 1960-an, dan kemudian berlanjut hingga hasil saat ini diterbitkan pada tahun 2007. Bilangan prima Wolstenholme yang pertama, 16843, ditemukan pada tahun 1964, walaupun pada kala itu tidak dilaporkan secara langsung.^[5] Penemuan tersebut kemudian dikonfirmasi sekitar tahun 1970-an. Hal ini hanya menyisakan contoh bilangan prima yang diketahui selama hampir 20 tahun, hingga diumumkan penemuan adanya bilangan prima Wolstenholme yang kedua, 2124679, pada tahun 1993. Hingga mencapai 1.2, tiada bilangan prima Wolstenholme ditemukan. Pencarian tersebut kemudian diperluas hingga mencapai 2 oleh , dan dapat mencari bilangan tersebut hingga mencapai 2,5.^[6] Hingga pada tahun 2007, hasil laporan mengatakan bahwa hanya ada dua bilangan prima yang lebih kecil daripada .

Bacaan lebih lanjut

Referensi

↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ J. D. Cook. Binomial coefficients.
↑ ; ; .
↑ ; .
↑ Selfridge and Pollack menerbitkan bilangan prima Wolstenholme pertama di . Lihat ).
↑ ; .

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28423052 (2025-11-12T07:46:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[2] J. D. Cook. Binomial coefficients.

[3] ; ; .

[4] ; .

[5] Selfridge and Pollack menerbitkan bilangan prima Wolstenholme pertama di . Lihat ).

[6] ; .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Baris 3: / Baris 3: @@
 Bilangan prima ini menjadi banyak perhatian karena memiliki kaitannya dengan [[Teorema Terakhir Fermat]]. Selain itu, bilangan prima Wolstenholme juga berkaitan dengan jenis kelas bilangan spesial lainnya, yang dikaji dengan harapan dapat memperumum suatu bukti kebenaran teorema untuk semua [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] yang lebih besar daripada dua.
-Dua bilangan prima Wolstenholme yang diketahui hanyalah 16843 dan 2124679 . Tiada bilangan prima Wolstenholme yang lebih kecil daripada 10<sup>9</sup>.
+Dua bilangan prima Wolstenholme yang diketahui hanyalah 16843 dan 2124679 . Tiada bilangan prima Wolstenholme yang lebih kecil daripada 10<sup>9</sup>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+prima+Wolstenholme&oldid=28423052 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
 ==Definisi==
 Bilangan prima Wolstenholme dapat didefinisikan sebagai bilangan prima <math> p > 7 </math> yang memenuhi [[relasi kekongruenan|kekongruenan]]:<math display="block">{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^4}.</math>
-Di sini, ekspresi di ruas kiri melambangkan [[koefisien binomial]].
+Di sini, ekspresi di ruas kiri melambangkan [[koefisien binomial]].<ref>J. D. Cook. [http://www.johndcook.com/binomial_coefficients.html Binomial coefficients].</ref>
 Sebagai perbandingan, [[teorema Wolstenholme]] menyatakan bahwa untuk setiap bilangan prima <math> p > 3 </math>, maka berlaku kekongruenan:
 <math display="block">{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}.</math>
-Bilangan prima Wolstenholme didefinisikan sebagai bilangan prima <math> p </math> yang membagi pembilang dari [[bilangan Bernoulli]] <math> B_{p - 3} </math>. Karena itu, bilangan prima Wolstenholme membentuk subhimpunan dari [[bilangan prima tak beraturan]]. Bilangan prima Wolstenholme merupakan bilangan prima <math> p </math> sehingga <math> (p,p - 3) </math> merupakan [[Bilangan prima beraturan#Pasangan tak beraturan|pasangan tak beraturan]].
+Bilangan prima Wolstenholme didefinisikan sebagai bilangan prima <math> p </math> yang membagi pembilang dari [[bilangan Bernoulli]] <math> B_{p - 3} </math>.<ref>; ; .</ref> Karena itu, bilangan prima Wolstenholme membentuk subhimpunan dari [[bilangan prima tak beraturan]]. Bilangan prima Wolstenholme merupakan bilangan prima <math> p </math> sehingga <math> (p,p - 3) </math> merupakan [[Bilangan prima beraturan#Pasangan tak beraturan|pasangan tak beraturan]].<ref>; .</ref>
 Bilangan prima Wolstenholme adalah bilangan prima <math> p </math> sehingga
 <math display="block">H_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p^3}.</math>
 Ini berarti, pembilang dari [[bilangan harmonik]] <math>H_{p-1}</math> yang dinyatakan dalam suku terkecil dapat dibagi oleh <math> p^3 </math>.
 ==Pencarian dan status saat ini==
+Pencarian bilangan prima Wolstenholme dimulai sekitar tahun 1960-an, dan kemudian berlanjut hingga hasil saat ini diterbitkan pada tahun 2007. Bilangan prima Wolstenholme yang pertama, 16843, ditemukan pada tahun 1964, walaupun pada kala itu tidak dilaporkan secara langsung.<ref>Selfridge and Pollack menerbitkan bilangan prima Wolstenholme pertama di . Lihat ).</ref> Penemuan tersebut kemudian dikonfirmasi sekitar tahun 1970-an. Hal ini hanya menyisakan contoh bilangan prima yang diketahui selama hampir 20 tahun, hingga diumumkan penemuan adanya bilangan prima Wolstenholme yang kedua, 2124679, pada tahun 1993. Hingga mencapai 1.2, tiada bilangan prima Wolstenholme ditemukan. Pencarian tersebut kemudian diperluas hingga mencapai 2 oleh , dan  dapat mencari bilangan tersebut hingga mencapai 2,5.<ref>; .</ref> Hingga pada tahun 2007, hasil laporan mengatakan bahwa hanya ada dua bilangan prima yang lebih kecil daripada .
-Pencarian bilangan prima Wolstenholme dimulai sekitar tahun 1960-an, dan kemudian berlanjut hingga hasil saat ini diterbitkan pada tahun 2007. Bilangan prima Wolstenholme yang pertama, 16843, ditemukan pada tahun 1964, walaupun pada kala itu tidak dilaporkan secara langsung. Penemuan tersebut kemudian dikonfirmasi sekitar tahun 1970-an. Hal ini hanya menyisakan contoh bilangan prima yang diketahui selama hampir 20 tahun, hingga diumumkan penemuan adanya bilangan prima Wolstenholme yang kedua, 2124679, pada tahun 1993. Hingga mencapai 1.2, tiada bilangan prima Wolstenholme ditemukan. Pencarian tersebut kemudian diperluas hingga mencapai 2 oleh , dan  dapat mencari bilangan tersebut hingga mencapai 2,5. Hingga pada tahun 2007, hasil laporan mengatakan bahwa hanya ada dua bilangan prima yang lebih kecil daripada .
-== Catatan kaki ==
-== Referensi ==
-*
-*
-*
-*
-*
-*
-*
-*
-*
-*
 == Bacaan lebih lanjut ==
+*
 *
-*
 *
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+prima+Wolstenholme&oldid=28423052 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28423052 (2025-11-12T07:46:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->