Ranah integral: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 18.04

Dalam matematika, khususnya aljabar abstrak, sebuah ranah integral atau domain integral adalah gelanggang komutatif bukan nol di mana produk dari dua elemen bukan nol yang merupakan bukan nol.^[1]^[2] Ranah integral adalah generalisasi dari gelanggang bilangan bulat dan pengaturan untuk mempelajari keterbagian. Dalam ranah integral, setiap elemen bukan nol a memiliki sifat pembatalan, yaitu jika , persamaan mengartikan .

"Ranah integral" didefinisikan hampir secara universal sebagai contoh di atas, tetapi terdapat beberapa variasi. Artikel ini menggunakan konvensi bahwa gelanggang memiliki identitas perkalian, umumnya dilambangkan dengan 1, tetapi beberapa penulis tidak menggunakan ini, dengan tidak mewajibkan ranah integral untuk memiliki identitas perkalian.^[3]^[4] Ranah integral nonkomutatif terkadang diterima.^[5] Artikel ini, menggunakan konvensi yang jauh lebih umum tentang penggunaan istilah "ranah integral" untuk kasus komutatif dan menggunakan "ranah" untuk kasus umum termasuk gelanggang nonkomutatif.

Beberapa sumber, terutama Lang, menggunakan istilah seluruh gelanggang untuk ranah integral.^[6]

Beberapa jenis domain integral tertentu diberikan dengan rantai berikut inklusi kelas:

Definisi

Ranah integral adalah gelanggang komutatif bukan nol di mana produk dari dua elemen bukan nol adalah bukan nol. Ekuivalen:

Ranah integral adalah gelanggang komutatif bukan nol tanpa nol pembagi nol.
Ranah integral adalah gelanggang komutatif di mana nol ranah {0} adalah ranah prima.
Ranah integral adalah gelanggang komutatif bukan nol untuk setiap elemen bukan nol pembatalannya dalam perkalian.
Ranah integral adalah sebuah gelanggang untuk himpunan elemen bukan nol yang merupakan komutatif monoid dalam perkalian (karena sebuah monoid tertutup di bawah perkalian).
Ranah integral adalah gelanggang komutatif bukan nol di mana setiap elemen bukan nol r, fungsi yang memetakan setiap elemen x dari gelanggang ke produk xr adalah injeksi. Elemen r dengan sifat ini disebut regular, jadi ekuivalen dengan mensyaratkan setiap elemen bukan nol dari gelanggang menjadi reguler.
Ranah integral adalah sebuah gelanggang yang isomorfik ke subgelanggang dari medan. Diberikan domain integral, untuk menyematkan dalam medan pecahan.

Contoh

Contoh pola dasar adalah gelanggang $ℤ$ dari semua bilangan bulat.
Setiap medan adalah ranah integral. Misalnya, medan $ℝ$ dari semua bilangan riil adalah ranah integral. Sebaliknya, setiap ranah integral Artinian adalah medan. Secara khusus, semua ranah integral hingga adalah medan hingga (lebih umum, oleh teorema kecil Wedderburn, ranah hingga adalah Medan hingga). Gelanggang bilangan bulat $ℤ$ diberikan contoh ranah integral tak hingga non-Artinian yang bukan medan, memiliki urutan ranah yang menurun tak hingga, sebagai:

ℤ \supset 2 ℤ \supset \dots \supset 2^{n} ℤ \supset 2^{n + 1} ℤ \supset \dots

Gelanggang polinomial adalah ranah integral, jika koefisien berasal dari ranah integral. Misalnya, gelanggang $ℤ [x]$ dari semua polinomial dalam satu variabel dengan koefisien bilangan bulat adalah ranah integral; begitu pula dengan gelanggang $ℂ [x_{1}, \dots, x_{n}]$ dari semua polinomial dalam variabel-n dengan koefisien kompleks.
Contoh sebelumnya dapat dieksploitasi lebih lanjut dengan mengambil hasil bagi dari ideal utama. Misalnya, gelanggang $ℂ [x, y] / (y^{2} - x (x - 1) (x - 2))$ dengan medan kurva elips adalah domain integral. Integralitas dapat ditunjukkan dengan $y^{2} - x (x - 1) (x - 2)$ yang merupakan polinomial tak tersederhanakan.
Gelanggang $ℤ [x] / (x^{2} - n) ≅ ℤ [\sqrt{n}]$ adalah ranah integral untuk bilangan bulat yang bukan kuadrat $n$ . Jika $n > 0$ maka gelanggang ini merupakan subgelanggang dari $ℝ$ , jika tidak, ini adalah subgelanggang dari $ℂ .$
Gelanggang bilangan bulat p-adik $ℤ_{p}$ adalah ranah integral.
Jika $U$ adalah himpunan bagian terbuka yang terhubung dari bidang kompleks $ℂ$ , maka gelanggang $ℋ (U)$ terdiri dari semua fungsi holomorfik adalah ranah integral. Hal yang sama berlaku untuk gelanggang fungsi analitik pada himpunan bagian terbuka yang terhubung dari lipatan analitik yang terhubung.
Gelanggang lokal reguler adalah ranah integral. Faktanya, gelanggang lokal biasa adalah RFU.^[7]^[8]

Bukan contoh

Gelanggang berikut adalah ranah integral bukan contoh.

Gelanggang nol yang merupakan $0 = 1$ .
Gelanggang hasil bagi $ℤ / m ℤ$ ketika m adalah bilangan komposit. Memilih faktorisasi $m = x y$ : artinya $x$ dan $y$ tidak sama dengan $1$ or $m$ . Maka $x \equiv̸ 0 mod m$ dan $y \equiv̸ 0 mod m$ , melainkan $x y \equiv 0 mod m$ .
Produk adalah dua gelanggang komutatif bukan nol. Dalam produk $R \times S$ , memiliki $(1, 0) \cdot (0, 1) = (0, 0)$ .
Gelanggang hasil bagi $ℤ [x] / (x^{2} - n^{2})$ untuk $n \in ℤ$ . Citra dari $x + n$ dan $x - n$ adalah bukan nol, sedangkan produknya adalah 0 di gelanggang ini.
Gelanggang dari matriks n × n untuk setiap gelanggang bukan nol n ≥ 2. Jika $M$ dan $N$ adalah matriks sedemikian rupa sehingga citra $N$ dimuat dalam kernel $M$ , maka $M N = 0$ . Misalnya, untuk $M = N = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ .
Gelanggang hasil bagi $k [x_{1}, \dots, x_{n}] / (f g)$ untuk setiap medan $k$ dan semua polinomial tidak konstan $f, g \in k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ . Citra dari dan dalam gelanggang hasil bagi ini adalah elemen bukan nol yang hasil kalinya 0. Argumen ini menunjukkan, secara ekuivalen, bahwa $(f g)$ bukanlah prima ideal. Interpretasi geometris dari hasil ini adalah bahwa nol dari bentuk himpunan aljabar affin yang tidak direduksi (yaitu, bukan variasi aljabar) secara umum. Satu-satunya kasus di mana himpunan aljabar ini mungkin tidak direduksi adalah ketika adalah pangkat dari polinomial tak tereduksi, yang mendefinisikan himpunan aljabar yang sama.
Gelanggang fungsi kontinu pada interval unit. Pertimbangkan fungsi

f (x) = {\begin{matrix} 1 - 2 x & x \in [0, \frac{1}{2}] \\ 0 & x \in [\frac{1}{2}, 1] \end{matrix} g (x) = {\begin{matrix} 0 & x \in [0, \frac{1}{2}] \\ 2 x - 1 & x \in [\frac{1}{2}, 1] \end{matrix}

Baik

f

maupun

g

terdapat dimana-mana adalah nol, tetapi

f g

ada.

Produk tensor $ℂ \otimes_{ℝ} ℂ$ . Gelanggang ini memiliki dua non-trivial idempoten, $e_{1} = \frac{1}{2} (1 \otimes 1) - \frac{1}{2} (i \otimes i)$ and $e_{2} = \frac{1}{2} (1 \otimes 1) + \frac{1}{2} (i \otimes i)$ . Salah satu dari semua adalah ortogonal, artinya $e_{1} e_{2} = 0$ , dan karenanya $ℂ \otimes_{ℝ} ℂ$ bukan ranah. Faktanya, terdapat isomorfisme $ℂ \times ℂ \to ℂ \otimes_{ℝ} ℂ$ didefinisikan oleh $(z, w) \mapsto z \cdot e_{1} + w \cdot e_{2}$ . Kebalikannya yang ditentukan oleh $z \otimes w \mapsto (z w, z \overline{w})$ . Contoh ini menunjukkan bahwa produk serat dari skema affin yang tidak direduksi tidak perlu tereduksi.

Keterbagian, elemen utama, dan elemen yang tidak direduksi

Di bagian ini, R adalah ranah integral.

Diberikan elemen a dan b dari R, bahwa a dibagi b, atau bahwa a adalah pembagi dari b, atau b adalah kelipatan dari a, jika elemen x dalam R sedemikian rupa sehingga .

Unit dari R adalah elemen yang membagi 1; tepatnya elemen invers di R. Unit membagi semua elemen lainnya.

Jika a membagi b dan b membagi a, maka a dan b adalah elemen asosiasi atau asosiasi.^[9] Secara ekuivalen, a dan b adalah asosiatif jika untuk beberapa unit u.

Elemen tak tereduksi adalah bukan nol yang tidak dapat dituliskan sebagai produk dari dua bukan satuan.

Bukan nol bukan unit p adalah elemen prima, jika setiap p membagi produk ab, maka p membagi a atau p membagi b. Secara ekuivalen, elemen p adalah bilangan prima jika dan hanya jika ideal utama (p) adalah ideal prima bukan nol.

Kedua gagasan tentang elemen tak tersederhanakan dan elemen prima menggeneralisasi definisi biasa dari bilangan prima di gelanggang $ℤ,$ jika kita menganggap bilangan prima negatif sebagai prima.

Setiap elemen utama tidak direduksi. Kebalikannya tidak benar secara umum: misalnya, dalam gelanggang bilangan bulat kuadrat $ℤ [\sqrt{- 5}]$ elemen 3 tidak direduksi (jika difaktorkan secara nontrivial, faktor tersebut harus memiliki norma 3, tetapi tidak ada elemen norma 3 karena $a^{2} + 5 b^{2} = 3$ tidak memiliki solusi bilangan bulat), tetapi tidak prima (karena 3 membagi $(2 + \sqrt{- 5}) (2 - \sqrt{- 5})$ tanpa membagi salah satu faktor). Dalam domain faktorisasi unik (atau lebih umum, ranah GCD), elemen yang tidak direduksi adalah elemen prima.

Sementara faktorisasi unik tidak berlaku $ℤ [\sqrt{- 5}]$ , terdapat faktorisasi unik dari ideal. Lihat teorema Lasker–Noether.

Sifat

Gelanggang komutatif R adalah domain integral jika dan hanya jika ideal (0) dari R adalah ideal prima.
Jika R adalah gelanggang komutatif dan P adalah ideal dalam R, maka gelanggang hasil bagi R/P adalah ranah integral jika dan hanya jika P adalah prima ideal.
Misalkan R sebagai ranah integral. Maka gelanggang polinomial di atas R (dalam jumlah tak tentu) adalah ranah integral. Ini khususnya terjadi jika R adalah medan.
Sifat pembatalan berlaku dalam setiap ranah integral: untuk setiap a, b, dan c dalam ranah integral, jika a ≠ 0 dan ab = ac maka b = c. Cara lain untuk menyatakan ini adalah fungsi x ax adalah injektif untuk sembarang a bukan nol dalam ranah.
Sifat pembatalan berlaku untuk ideal dalam ranah integral: jika xI = xJ, maka salah satu x adalah nol atau I = J.
Ranah integral sama dengan perpotongan lokalisasi pada ideal maksimalnya.
Limit induktif dari ranah integral merupakan ranah integral.
Jika $A, B$ adalah ranah integral di atas medan tertutup aljabar k, maka $A \otimes_{k} B$ adalah ranah integral. Ini adalah konsekuensi dari nullstellensatz Hilbert,^[10] dan, dalam geometri aljabar, ini menyiratkan pernyataan bahwa gelanggang koordinat dari hasil kali dua varietas aljabar affin di atas medan tertutup secara aljabar merupakan ranah integral.

Medan pecahan

Medan pecahan K dari ranah integral R adalah himpunan pecahan a/b dengan a dan b dalam R dan b ≠ 0 modulo relasi ekuivalen yang sesuai, dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Ini adalah "bidang terkecil yang mengandung R" dalam arti bahwa terdapat homomorfisme gelanggang injeksi sedemikian rupa, maka setiap homomorfisme gelanggang injeksi dari R ke faktor medan melalui K. Medan pecahan gelanggang bilangan bulat $ℤ$ adalah medan bilangan rasional $ℚ .$ Medan pecahan suatu bidang adalah isomorfik ke medan itu sendiri.

Karakteristik dan homomorfisme

Karakteristik dari ranah integral adalah 0 atau bilangan prima.

Jika R adalah ranah integral dari karakteristik prima p, maka endomorfisme Frobenius f(x) = x^p adalah injektif.

Lihat pula

Norma Dedekind–Hasse - struktur tambahan yang diperlukan untuk ranah integral menjadi prinsipal
Sifat produk nol

Catatan

Pranala luar

Referensi

↑ Bourbaki, p. 116.
↑ Dummit dan Foote, hal. 228.
↑ B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.
↑ I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.
↑ J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)
↑ Pages 91–92 of
↑ Maurice Auslander. Unique factorization in regular local rings. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1959. Vol. 45 (5). hlm. 733–734. doi:10.1073/pnas.45.5.733.
↑ Masayoshi Nagata. A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II. Amer. J. Math. The Johns Hopkins University Press. 1958. Vol. 80 (2). hlm. 382–420. doi:10.2307/2372791.
↑ John R. Durbin. Modern Algebra: An Introduction. John Wiley and Sons. 1993. hlm. 224. ISBN 0-471-51001-7.
↑ Bukti: Pertama, asumsikan A yang dihasilkan secara halus sebagai aljabar-k dan pilih basis- k dengan g_i dari B . Seharusnya \sum f_i \otimes g_i \sum h_j \otimes g_j = 0 (hanya f_i, h_j yang bukan nol). Untuk setiap ideal maksimal \mathfrak{m} dari A , pertimbangkan homomorfisme gelanggang A \otimes_k B \to A/\mathfrak{m} \otimes_k B = k \otimes_k B \simeq B . Maka citranya adalah \sum \overline{f_i} g_i \sum \overline{h_i} g_i = 0 dan dengan demikian \sum \overline{f_i} g_i = 0 atau \sum \overline{h_i} g_i = 0 dan, dengan kebebasan linear, \overline{f_i} = 0 untuk semua i atau \overline{h_i} = 0 untuk semua i . Karena \mathfrak{m} adalah arbitrari, maka (\sum f_iA) (\sum h_iA) \subset \operatorname{Jac}(A) = persimpangan dari semua ideal maksimal = (0) dimana persamaan terakhir adalah oleh Nullstellensatz. Karena (0) adalah ideal utama, ini berarti \sum f_iA atau \sum h_iA adalah ideal nol; yaitu, baik f_i semuanya nol atau h_i semuanya nol. Terakhir, A adalah batas induktif dari k yang dihasilkan secara hingga aljabar yang merupakan ranah integral dan karenanya, menggunakan sifat sebelumnya, A \otimes_k B = \varinjlim A_i \otimes_k B adalah ranah integral. \square

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29579139 (2026-08-14T23:18:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Bourbaki, p. 116.

[2] Dummit dan Foote, hal. 228.

[3] B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.

[4] I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.

[5] J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)

[6] Pages 91–92 of

[7] Maurice Auslander. Unique factorization in regular local rings. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1959. Vol. 45 (5). hlm. 733–734. doi:10.1073/pnas.45.5.733.

[8] Masayoshi Nagata. A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II. Amer. J. Math. The Johns Hopkins University Press. 1958. Vol. 80 (2). hlm. 382–420. doi:10.2307/2372791.

[9] John R. Durbin. Modern Algebra: An Introduction. John Wiley and Sons. 1993. hlm. 224. ISBN 0-471-51001-7.

[10] Bukti: Pertama, asumsikan A yang dihasilkan secara halus sebagai aljabar-k dan pilih basis- k dengan g_i dari B . Seharusnya \sum f_i \otimes g_i \sum h_j \otimes g_j = 0 (hanya f_i, h_j yang bukan nol). Untuk setiap ideal maksimal \mathfrak{m} dari A , pertimbangkan homomorfisme gelanggang A \otimes_k B \to A/\mathfrak{m} \otimes_k B = k \otimes_k B \simeq B . Maka citranya adalah \sum \overline{f_i} g_i \sum \overline{h_i} g_i = 0 dan dengan demikian \sum \overline{f_i} g_i = 0 atau \sum \overline{h_i} g_i = 0 dan, dengan kebebasan linear, \overline{f_i} = 0 untuk semua i atau \overline{h_i} = 0 untuk semua i . Karena \mathfrak{m} adalah arbitrari, maka (\sum f_iA) (\sum h_iA) \subset \operatorname{Jac}(A) = persimpangan dari semua ideal maksimal = (0) dimana persamaan terakhir adalah oleh Nullstellensatz. Karena (0) adalah ideal utama, ini berarti \sum f_iA atau \sum h_iA adalah ideal nol; yaitu, baik f_i semuanya nol atau h_i semuanya nol. Terakhir, A adalah batas induktif dari k yang dihasilkan secara hingga aljabar yang merupakan ranah integral dan karenanya, menggunakan sifat sebelumnya, A \otimes_k B = \varinjlim A_i \otimes_k B adalah ranah integral. \square

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam [[matematika]], khususnya [[aljabar abstrak]], sebuah '''ranah integral''' atau '''domain integral''' adalah [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang nol|bukan nol]] di mana produk dari dua elemen bukan nol yang merupakan bukan nol. Ranah integral adalah generalisasi dari [[gelanggang bilangan bulat]] dan pengaturan untuk mempelajari [[Keterbagian (teori gelanggang)|keterbagian]]. Dalam ranah integral, setiap elemen bukan nol ''a'' memiliki [[sifat pembatalan]], yaitu jika , persamaan  mengartikan .
+[[File:Latex_integers.svg|thumb|right|280px|Latex integers]]
-"Ranah integral" didefinisikan hampir secara universal sebagai contoh di atas, tetapi terdapat beberapa variasi. Artikel ini menggunakan konvensi bahwa gelanggang memiliki [[identitas perkalian]], umumnya dilambangkan dengan 1, tetapi beberapa penulis tidak menggunakan ini, dengan tidak mewajibkan ranah integral untuk memiliki identitas perkalian. Ranah integral nonkomutatif terkadang diterima. Artikel ini, menggunakan konvensi yang jauh lebih umum tentang penggunaan istilah "ranah integral" untuk kasus komutatif dan menggunakan "[[ranah (teori gelanggang)|ranah]]" untuk kasus umum termasuk gelanggang nonkomutatif.
+Dalam [[matematika]], khususnya [[aljabar abstrak]], sebuah '''ranah integral''' atau '''domain integral''' adalah [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang nol|bukan nol]] di mana produk dari dua elemen bukan nol yang merupakan bukan nol.<ref>Bourbaki, p. 116.</ref><ref>Dummit dan Foote, hal. 228.</ref> Ranah integral adalah generalisasi dari [[gelanggang bilangan bulat]] dan pengaturan untuk mempelajari [[Keterbagian (teori gelanggang)|keterbagian]]. Dalam ranah integral, setiap elemen bukan nol ''a'' memiliki [[sifat pembatalan]], yaitu jika , persamaan  mengartikan .
-Beberapa sumber, terutama [[Serge Lang|Lang]], menggunakan istilah '''seluruh gelanggang''' untuk ranah integral.
+"Ranah integral" didefinisikan hampir secara universal sebagai contoh di atas, tetapi terdapat beberapa variasi. Artikel ini menggunakan konvensi bahwa gelanggang memiliki [[identitas perkalian]], umumnya dilambangkan dengan 1, tetapi beberapa penulis tidak menggunakan ini, dengan tidak mewajibkan ranah integral untuk memiliki identitas perkalian.<ref>B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.</ref><ref>I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.</ref> Ranah integral nonkomutatif terkadang diterima.<ref>J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)</ref> Artikel ini, menggunakan konvensi yang jauh lebih umum tentang penggunaan istilah "ranah integral" untuk kasus komutatif dan menggunakan "[[ranah (teori gelanggang)|ranah]]" untuk kasus umum termasuk gelanggang nonkomutatif.
+Beberapa sumber, terutama [[Serge Lang|Lang]], menggunakan istilah '''seluruh gelanggang''' untuk ranah integral.<ref>Pages 91–92 of</ref>
 Beberapa jenis domain integral tertentu diberikan dengan rantai berikut [[subkelas (teori himpunan)|inklusi kelas]]:
 == Definisi ==
@@ Baris 18: / Baris 19: @@
 == Contoh ==
 * Contoh pola dasar adalah gelanggang <math>\Z</math> dari semua [[bilangan bulat]].
 * Setiap [[medan (matematika)|medan]] adalah ranah integral. Misalnya, medan <math>\R</math> dari semua [[bilangan riil]] adalah ranah integral. Sebaliknya, setiap ranah integral [[gelanggang Artinian|Artinian]] adalah medan. Secara khusus, semua ranah integral hingga adalah [[medan hingga]] (lebih umum, oleh [[teorema kecil Wedderburn]], [[ranah (teori gelanggang)|ranah]] hingga adalah [[Medan hingga]]). Gelanggang bilangan bulat <math>\Z</math> diberikan contoh ranah integral tak hingga non-Artinian yang bukan medan, memiliki urutan ranah yang menurun tak hingga, sebagai:
@@ Baris 29: / Baris 29: @@
 * Gelanggang [[bilangan p-adik|bilangan bulat p-adik]] <math>\Z_p</math> adalah ranah integral.
 * Jika <math>U</math> adalah [[himpunan bagian terbuka]] yang [[keterhubungan|terhubung]] dari [[bilangan kompleks|bidang kompleks]] <math>\Complex</math>, maka gelanggang <math>\mathcal{H}(U)</math> terdiri dari semua [[fungsi holomorfik]] adalah ranah integral. Hal yang sama berlaku untuk gelanggang [[fungsi analitik]] pada himpunan bagian terbuka yang terhubung dari [[lipatan]] analitik yang terhubung.
-* [[Gelanggang lokal reguler]] adalah ranah integral. Faktanya, gelanggang lokal biasa adalah [[ranah faktorisasi unik|RFU]].
+* [[Gelanggang lokal reguler]] adalah ranah integral. Faktanya, gelanggang lokal biasa adalah [[ranah faktorisasi unik|RFU]].<ref>Maurice Auslander. ''Unique factorization in regular local rings''. ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA''. 1959. Vol. 45 (5). hlm. 733–734. doi:10.1073/pnas.45.5.733.</ref><ref>Masayoshi Nagata. [https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1958-04_80_2/page/382 A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II]. ''Amer. J. Math''. The Johns Hopkins University Press. 1958. Vol. 80 (2). hlm. 382–420. doi:10.2307/2372791.</ref>
 == Bukan contoh ==
@@ Baris 47: / Baris 47: @@
 == Keterbagian, elemen utama, dan elemen yang tidak direduksi ==
 Di bagian ini, ''R'' adalah ranah integral.
@@ Baris 54: / Baris 53: @@
 ''[[Unit (teori gelanggang)|Unit]]'' dari ''R'' adalah elemen yang membagi 1; tepatnya elemen invers di ''R''. Unit membagi semua elemen lainnya.
-Jika ''a'' membagi ''b'' dan ''b'' membagi ''a'', maka ''a'' dan ''b'' adalah '''elemen asosiasi''' atau '''asosiasi'''.  Secara ekuivalen, ''a'' dan ''b'' adalah asosiatif jika  untuk beberapa [[unit (teori gelanggang)|unit]] ''u''.
+Jika ''a'' membagi ''b'' dan ''b'' membagi ''a'', maka ''a'' dan ''b'' adalah '''elemen asosiasi''' atau '''asosiasi'''.<ref>John R. Durbin. [https://archive.org/details/modernalgebraint0000durb_t6d3 Modern Algebra: An Introduction]. John Wiley and Sons. 1993. hlm. [https://archive.org/details/modernalgebraint0000durb_t6d3/page/224 224]. ISBN 0-471-51001-7.</ref>  Secara ekuivalen, ''a'' dan ''b'' adalah asosiatif jika  untuk beberapa [[unit (teori gelanggang)|unit]] ''u''.
 ''[[Elemen tak tereduksi]]'' adalah bukan nol yang tidak dapat dituliskan sebagai produk dari dua bukan satuan.
@@ Baris 74: / Baris 73: @@
 * Ranah integral sama dengan perpotongan [[lokalisasi gelanggang|lokalisasi]] pada ideal maksimalnya.
 * [[Limit induktif]] dari ranah integral merupakan ranah integral.
-* Jika <math>A, B</math> adalah ranah integral di atas medan tertutup aljabar ''k'', maka <math>A \otimes_k B</math> adalah ranah integral. Ini adalah konsekuensi dari [[nullstellensatz Hilbert]], dan, dalam [[geometri aljabar]], ini menyiratkan pernyataan bahwa gelanggang koordinat dari hasil kali dua varietas aljabar affin di atas medan tertutup secara aljabar merupakan ranah integral.
+* Jika <math>A, B</math> adalah ranah integral di atas medan tertutup aljabar ''k'', maka <math>A \otimes_k B</math> adalah ranah integral. Ini adalah konsekuensi dari [[nullstellensatz Hilbert]],<ref>Bukti: Pertama, asumsikan ''A'' yang dihasilkan secara halus sebagai aljabar-''k'' dan pilih basis- k dengan g_i dari B . Seharusnya \sum f_i \otimes g_i \sum h_j \otimes g_j = 0 (hanya f_i, h_j yang bukan nol). Untuk setiap ideal maksimal \mathfrak{m} dari A , pertimbangkan homomorfisme gelanggang A \otimes_k B \to A/\mathfrak{m} \otimes_k B = k \otimes_k B \simeq B . Maka citranya adalah \sum \overline{f_i} g_i \sum \overline{h_i} g_i = 0 dan dengan demikian \sum \overline{f_i} g_i = 0 atau \sum \overline{h_i} g_i = 0 dan, dengan kebebasan linear, \overline{f_i} = 0 untuk semua i atau \overline{h_i} = 0 untuk semua i . Karena \mathfrak{m} adalah arbitrari, maka (\sum f_iA) (\sum h_iA) \subset \operatorname{Jac}(A) = persimpangan dari semua ideal maksimal = (0) dimana persamaan terakhir adalah oleh Nullstellensatz. Karena (0) adalah ideal utama, ini berarti \sum f_iA atau \sum h_iA adalah ideal nol; yaitu, baik f_i semuanya nol atau h_i semuanya nol. Terakhir, A adalah batas induktif dari ''k'' yang dihasilkan secara hingga aljabar yang merupakan ranah integral dan karenanya, menggunakan sifat sebelumnya, A \otimes_k B = \varinjlim A_i \otimes_k B adalah ranah integral. \square</ref> dan, dalam [[geometri aljabar]], ini menyiratkan pernyataan bahwa gelanggang koordinat dari hasil kali dua varietas aljabar affin di atas medan tertutup secara aljabar merupakan ranah integral.
 == Medan pecahan ==
 [[Medan pecahan]] ''K'' dari ranah integral ''R'' adalah himpunan pecahan ''a''/''b'' dengan ''a'' dan ''b'' dalam ''R'' dan ''b'' ≠ 0 modulo relasi ekuivalen yang sesuai, dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Ini adalah "bidang terkecil yang mengandung ''R''" dalam arti bahwa terdapat homomorfisme gelanggang injeksi  sedemikian rupa, maka setiap homomorfisme gelanggang injeksi dari ''R'' ke faktor medan melalui ''K''. Medan pecahan gelanggang bilangan bulat <math>\Z</math> adalah medan [[bilangan rasional]] <math>\Q.</math> Medan pecahan suatu bidang adalah [[isomorfisme|isomorfik]] ke medan itu sendiri.
 == Karakteristik dan homomorfisme ==
 [[Karakteristik (aljabar)|Karakteristik]] dari ranah integral adalah 0 atau [[bilangan prima]].
@@ Baris 88: / Baris 84: @@
 == Lihat pula ==
 * [[Norma Dedekind–Hasse]] - struktur tambahan yang diperlukan untuk ranah integral menjadi prinsipal
 * [[Sifat produk nol]]
 == Catatan ==
-== Referensi ==
-*
-*
-*
-*
-*
-*
-*
-*
-*
-*
-* B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.
 == Pranala luar ==
 *
+== Referensi ==
+<references />
+== Sumber dan atribusi ==
-== Sumber dan atribusi ==
+Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ranah+integral&oldid=29579139 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29579139 (2026-08-14T23:18:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
-Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ranah+integral&oldid=29579139 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29579139 (2026-08-14T23:18:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)