Rentang linear: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 18.06

Bidang yang direntang oleh vektor u dan v di R 3

Dalam aljabar linear, rentang linear atau span dari sebarang himpunan $S$ berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di $S .$ ^[1] Rentang linear dari $S$ umum disimbolkan dengan $span (S) .$ ^[2] Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung $S,$ maupun sebagai subruang yang mengandung $S .$ Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.

Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor $V$ adalah rentang linear dari subset $S,$ beberapa pernyataan berikut umum digunakan: $S$ merentang $V,$ $S$ adalah himpunan merentang dari $V,$ $V$ direntang/dibangkitkan oleh $S,$ atau $S$ adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari $V .$

Definisi

Untuk sebarang ruang vektor $V$ atas lapangan $K,$ rentang dari suatu himpunan $S$ yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan $W$ dari semua subruang dari $V$ yang mengandung $S .$ Irisan $W$ disebut sebagai subruang yang direntang oleh $S,$ atau oleh vektor-vektor di $S .$ Kebalikannya, $S$ disebut himpunan merentang dari $W$ , dan kita katakan $S$ merentang $W .$

Rentang dari $S$ juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di $S .$ ^[3]^[4]^[5]^[6] Secara matematis, ini dituliskan sebagai $span (S) = {\sum_{i = 1}^{k} λ_{i} 𝐯_{i} | k \in ℕ, 𝐯_{i} \in S, λ_{i} \in K} .$ Pada kasus $S$ berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.

Contoh

Ruang vektor riil $ℝ^{3}$ dapat direntang oleh himpunan ${(- 1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$ . Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari $ℝ^{3}$ . Jika $(- 1, 0, 0)$ digantikan dengan $(1, 0, 0)$ , himpunan tersebut merupakan basis standar dari $ℝ^{3}$ . Contoh himpunan pembangkit lain dari $ℝ^{3}$ adalah ${(1, 2, 3), (0, 1, 2), (- 1, \frac{1}{2}, 3), (1, 1, 1)}$ , tetapi himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.

Himpunan ${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}$ bukan himpunan merentang dari $ℝ^{3}$ , karena rentangnya adalah subruang semua vektor di $ℝ^{3}$ yang komponen terakhirnya bernilai $0.$ Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan ${(1, 0, 0), (0, 1, 0)},$ karena $(1, 1, 0)$ adalah kombinasi linear dari $(1, 0, 0)$ dan $(0, 1, 0) .$

Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari ${(0, 0, 0)},$ karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di $ℝ^{3},$ dan ${(0, 0, 0)}$ adalah irisan dari semua subruang tersebut.

Himpunan semua monomial $x^{n},$ dengan $n$ adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.

Teorema

Kesetaraan antar definisi

Untuk sebarang ruang vektor $V$ atas lapangan $K,$ himpunan semua kombinasi linear dari subset $S$ dari $V,$ adalah subruang terkecil dari $V$ yang mengandung $S .$

Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa

span (S)

adalah subruang dari

V .

Karena

S

adalah subset dari

V,

kita cukup membuktikan bahwa vektor

𝟎

anggota dari

span (S),

bahwa

span (S)

dibawah penjumlahan, dan bahwa

span (S)

tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan

S = {𝐯_{1}, 𝐯_{2}, \dots, 𝐯_{n}}

, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di

V

ada di

span (S),

karena

𝟎 = 0 𝐯_{1} + 0 𝐯_{2} + \dots + 0 𝐯_{n} .

Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari

S

akan menghasilkan kombinasi linear dari

S :

(λ_{1} 𝐯_{1} + \dots + λ_{n} 𝐯_{n}) + (μ_{1} 𝐯_{1} + \dots + μ_{n} 𝐯_{n}) = (λ_{1} + μ_{1}) 𝐯_{1} + \dots + (λ_{n} + μ_{n}) 𝐯_{n},

dengan semua

λ_{i}, μ_{i} \in K

, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari

S

dengan sebarang skalar

c \in K

akan menghasilkan kombinasi linear dari

S :

c (λ_{1} 𝐯_{1} + \dots + λ_{n} 𝐯_{n}) = c λ_{1} 𝐯_{1} + \dots + c λ_{n} 𝐯_{n} .

Alhasil,

span (S)

adalah subruang dari

V .

Misalkan

W

adalah subruang

V

yang mengandung

S .

Perhatikan bahwa

S \subseteq span S,

karena semua

𝐯_{i}

merupakan kombinasi linear dari

S

(secara langsung). Karena

W

tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear

λ_{1} 𝐯_{1} + \dots + λ_{n} 𝐯_{n}

harus berada di

W .

Akibatnya,

span (S)

terkandung di semua subruang dari

V

yang mengandung

S .

Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari

S .

Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear

Sebarang himpunan $S$ yang merentang ruang vektor $V$ harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari $V .$

Bukti. Misalkan

S = {𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{m}}

adalah suatu himpunan merentang dan

W = {𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{n}}

adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di

V .

Kita akan menunjukkan bahwa

m \geq n .

Karena

S

merentang

V,

maka

S \cup {𝐰_{1}}

juga harus merentang

V,

dan

𝐰_{1}

harus merupakan hasil kombinasi linear dari

S .

Akibatnya

S \cup {𝐰_{1}}

bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari

S

yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota

S

lainnya. Vektor ini tidak mungkin

𝐰_{i}

karena

W

bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah

{𝐰_{1}, 𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{i - 1}, 𝐯_{i + 1}, \dots, 𝐯_{m}},

yang merupakan himpunan merentang bagi

V .

Kita ulangi proses ini sebanyak

n

kali, yang tahap ke-

p

-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan

{𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{p}}

dan

m - p

vektor dari

S .

Dapat dipastikan sampai tahap ke-

n

akan selalu ada suatu

𝐯_{i}

untuk dibuang dari

S

, akibatnya

𝐯_{i}

setidaknya sama banyaknya dengan

𝐰_{i}

; dengan kata lain,

m \geq n .

Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap

m < n .

Saat tahap ke-

m

, kita memiliki himpunan

{𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{m}}

dan kita dapat menambahkan vektor baru

𝐰_{m + 1} .

Tapi karena

{𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{m}}

adalah himpunan merentang dari

V,

vektor

𝐰_{m + 1}

adalah kombinasi linear dari

{𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{m}}

. Ini adalah kontradiksi, karena

W

bersifat bebas linear.

Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang $V$ dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi $V,$ dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus $V$ berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika $V$ berdimensi hingga.

Daftar pustaka

Buku

Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

Situs web

Pranala luar

Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.

Referensi

↑ p. 29, § 2.7
↑ pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
↑ p. 100, ch. 2, Definition 2.13
↑ pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
↑ pp. 41-42
↑ Vector Space Span.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28457618 (2025-11-13T10:01:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] . 29, § 2.7

[2] . 29-30, §§ 2.5, 2.8

[3] . 100, ch. 2, Definition 2.13

[4] . 29-30, §§ 2.5, 2.8

[5] . 41-42

[6] Vector Space Span.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam [[aljabar linear]], '''rentang linear''' atau '''span''' dari sebarang [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>S</math> berisi [[Vektor Euklides|vektor-vektor]] (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua [[kombinasi linear]] dari vektor-vektor di <math>S.</math> Rentang linear dari <math>S</math> umum disimbolkan dengan <math>\text{span}(S).</math> Sebagai contoh, dua vektor yang saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] akan merentang suatu [[Bidang (geometri)|bidang]]. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] dari semua [[Subruang vektor|subruang (vektor)]] yang mengandung <math>S,</math> maupun sebagai subruang yang mengandung <math>S.</math> Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk [[matroid]] dan [[Modul (matematika)|modul]].
+[[File:Basis_for_a_plane.svg|thumb|right|280px|Bidang yang direntang oleh vektor '''u''' dan '''v''' di '''R''' 3]]
+Dalam [[aljabar linear]], '''rentang linear''' atau '''span''' dari sebarang [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>S</math> berisi [[Vektor Euklides|vektor-vektor]] (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua [[kombinasi linear]] dari vektor-vektor di <math>S.</math><ref>p. 29, § 2.7</ref> Rentang linear dari <math>S</math> umum disimbolkan dengan <math>\text{span}(S).</math><ref>pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8</ref> Sebagai contoh, dua vektor yang saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] akan merentang suatu [[Bidang (geometri)|bidang]]. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] dari semua [[Subruang vektor|subruang (vektor)]] yang mengandung <math>S,</math> maupun sebagai subruang yang mengandung <math>S.</math> Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk [[matroid]] dan [[Modul (matematika)|modul]].
 Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor <math>V</math> adalah rentang linear dari subset <math>S,</math> beberapa pernyataan berikut umum digunakan: <math>S</math> merentang <math>V,</math> <math>S</math> adalah ''himpunan merentang'' dari <math>V,</math> <math>V</math> direntang/dibangkitkan oleh <math>S,</math> atau <math>S</math> adalah [[Pembangkit (matematika)|pembangkit]] atau himpunan pembangkit dari <math>V.</math>
 == Definisi ==
 Untuk sebarang [[ruang vektor]] <math>V</math> atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>K,</math> rentang dari suatu himpunan <math>S</math> yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan <math>W</math> dari semua [[Subruang vektor|subruang]] dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math> Irisan <math>W</math> disebut sebagai subruang yang ''direntang oleh'' <math>S,</math> atau oleh vektor-vektor di <math>S.</math> Kebalikannya, <math>S</math> disebut ''himpunan merentang'' dari <math>W</math>, dan kita katakan <math>S</math> ''merentang <math>W.</math>''
-Rentang dari <math>S</math> juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua [[kombinasi linear]] terhingga dari vektor-vektor di <math>S.</math> Secara matematis, ini dituliskan sebagai<math display="block"> \operatorname{span}(S) =  \left \{ {\left.\sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf v_i \;\right|\; k \in \N, \mathbf v_i  \in S, \lambda _i  \in K} \right \}.</math>Pada kasus <math>S</math> berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.
+Rentang dari <math>S</math> juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua [[kombinasi linear]] terhingga dari vektor-vektor di <math>S.</math><ref>p. 100, ch. 2, Definition 2.13</ref><ref>pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8</ref><ref>pp. 41-42</ref><ref>Vector Space Span.</ref> Secara matematis, ini dituliskan sebagai<math display="block"> \operatorname{span}(S) =  \left \{ {\left.\sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf v_i \;\right|\; k \in \N, \mathbf v_i  \in S, \lambda _i  \in K} \right \}.</math>Pada kasus <math>S</math> berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.
 == Contoh ==
@@ Baris 18: / Baris 20: @@
 == Teorema ==
 === Kesetaraan antar definisi ===
 Untuk sebarang ruang vektor <math>V</math> atas lapangan <math>K,</math> himpunan semua kombinasi linear dari subset <math>S</math> dari <math>V,</math> adalah subruang terkecil dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math>
@@ Baris 33: / Baris 34: @@
 : Karena <math>S</math> merentang <math>V,</math> maka <math>S \cup \{ \mathbf w_1 \}</math> juga harus merentang <math>V,</math> dan <math>\mathbf w_1</math> harus merupakan hasil kombinasi linear dari <math>S.</math> Akibatnya <math>S \cup \{ \mathbf w_1 \}</math> bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari <math>S</math> yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota <math>S</math> lainnya. Vektor ini tidak mungkin <math>\mathbf{w}_i</math> karena <math>W</math> bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah <math>\{ \mathbf w_1, \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_{i-1}, \mathbf v_{i+1}, \ldots, \mathbf v_m \},</math> yang merupakan himpunan merentang bagi <math>V.</math> Kita ulangi proses ini sebanyak <math>n</math> kali, yang tahap ke-<math>p</math>-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_p \}</math> dan <math>m-p</math> vektor dari <math>S.</math>
 : Dapat dipastikan sampai tahap ke-<math>n</math> akan selalu ada suatu <math>\mathbf{v}_i</math> untuk dibuang dari <math>S</math>, akibatnya <math>\mathbf{v}_i</math> setidaknya sama banyaknya dengan <math>\mathbf{w}_i</math>; dengan kata lain, <math>m \geq n.</math> Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap <math>m < n.</math> Saat tahap ke-<math>m</math>, kita memiliki himpunan <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}</math> dan kita dapat menambahkan vektor baru <math>\mathbf w_{m+1}.</math> Tapi karena <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}</math> adalah himpunan merentang dari <math>V,</math> vektor <math>\mathbf w_{m+1}</math> adalah kombinasi linear dari <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}</math>. Ini adalah kontradiksi, karena <math>W</math> bersifat bebas linear.
 === Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis ===
 Misalkan <math>V</math> adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang <math>V</math> dapat disederhanakan menjadi suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] bagi <math>V,</math> dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika [[aksioma pemilihan]] berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus <math>V</math> berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika <math>V</math> berdimensi hingga.
-== Catatan kaki ==
 == Daftar pustaka ==
 === Buku ===
+*
 *
 *
 *
 *
-*
 * Lay, David C. (2021) ''Linear Algebra and Its Applications (6th Edition)''. Pearson.
 === Situs web ===
+*
 *
 *
-*
 == Pranala luar ==
 * [https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/linear_combinations/v/linear-combinations-and-span Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors], khanacademy.org.
 *
+== Referensi ==
+<references />
+== Sumber dan atribusi ==
-== Sumber dan atribusi ==
+Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rentang+linear&oldid=28457618 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28457618 (2025-11-13T10:01:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
-Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rentang+linear&oldid=28457618 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28457618 (2025-11-13T10:01:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)