Teorema Lagrange (teori bilangan)

Dalam teori bilangan, teorema Lagrange adalah teorema yang menyatakan seberapa sering suatu polinomial atas bilangan bulat menghasilkan kelipatan dari suatu konstanta prima $p$. Lebih tepatnya, teorema ini menyatakan bahwa untuk setiap polinomial bilangan bulat $f\in \mathbb{Z}[x]$, maka berlaku salah satu dari dua kemungkinan berikut:

• setiap koefisien dari $f$ merupakan kelipatan dari $p$, atau
• terdapat paling banyak $\mathrm{deg}(f)$ nilai $x$ pada himpunan $\{1,2,3,\dots ,p\}$ sedemikian sehingga $f(x)$ merupakan kelipatan $p$,

dengan $\mathrm{deg}(f)$ menyatakan derajat polinomial $f$.

Teorema Lagrange dapat dinyatakan ulang menggunakan aritmetika modular sebagai berikut:

Jika $p$ bukan bilangan prima, maka banyaknya penyelesaian dari kekongruenan $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ mungkin saja lebih dari $\mathrm{deg}(f)$. Misalnya, kekongruenan polinomial $x^2-1\equiv 0(\mathrm{mod}8)$ memiliki 4 penyelesaian dalam $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ (yaitu $1$, $3$, $5$, dan $7$).

Teorema ini dinamai berdasarkan Joseph-Louis de Lagrange.

Bukti

Diambil sembarang bilangan prima $p$ dan misalkan $f\in \mathbb{Z}[x]$ adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Didefinisikan $g\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]$ sebagai polinomial yang kongruen dengan $f(x)$, tetapi dengan koefisien bilangan bulat modulo $p$. Untuk setiap bilangan bulat $x$, perhatikan bahwa

$$f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)⟺g(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

sehingga berdasarkan sifat dasar dari aritmetika modular, maka berlaku

$$f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)⟺f(xmodp)\equiv 0(\mathrm{mod}p)⟺g(xmodp)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

Akibatnya, kedua versi dari teorema Lagrange (yaitu atas himpunan $\mathbb{Z}$ dan atas himpunan $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$) setara. Akan dibuktikan versi kedua dari teorema Lagrange menggunakan induksi matematika beserta pembuktian kasus demi kasus.

• Diambil sembarang polinomial linier $c_0+c_{1}x$, dengan $c_0$, $c_1\in \mathbb{Z}$. Oleh karena $p$ adalah bilangan prima, maka akan ditinjau dua kasus berikut:

1. Jika $\mathrm{FPB}(c_1,p)=p$, maka kekongruenan linier $c_0+c_{1}x\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ tidak memiliki penyelesaian. Akibatnya, jelas bahwa pernyataan teorema Lagrange benar.
2. Jika $\mathrm{FPB}(c_1,p)=1$, maka berdasarkan identitas Bézout, kekongruenan linier $c_0+c_{1}x\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ memiliki penyelesaian tunggal. Akibatnya, pernyataan teorema Lagrange juga benar.

• Asumsikan bahwa teorema Lagrange benar untuk setiap polinomial berderajat $k-1$.
• Diambil sembarang polinomial berderajat $k$, yaitu $$f(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\dots +c_k{x}^k=\sum _{i=0}^k{c}_i{x}^i$$ dengan $c_i\in \mathbb{Z}$ untuk setiap $i\in \{0,1,2,\dots ,k\}$. Terdapat dua kasus yang perlu ditinjau:

1. Jika kekongruenan $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ tidak memiliki penyelesaian, maka jelas bahwa pernyataan teorema Lagrange benar.
2. Jika kekongruenan $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ memiliki setidaknya satu penyelesaian (sebut saja $a$, yang berarti bahwa $f(a)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$), maka perhatikan bahwa $$\begin{array}{cc}f(x)-f(a)& =\sum _{i=0}^k{c}_i{x}^i-\sum _{i=0}^k{c}_i{a}^i\\ & =\sum _{i=0}^k(c_i{x}^i-c_i{a}^i)\\ & =\sum _{i=0}^k{c}_i(x^i-a^i)\\ & =\sum _{i=1}^k{c}_i(x^i-a^i)\\ & =\sum _{i=1}^k{c}_i(x-a)(x^{i-1}+a{x}^{i-2}+a^2{x}^{i-3}+\dots +a^{i-2}x+a^{i-1})\\ & =(x-a)\cdot \sum _{i=1}^k{c}_i(x^{i-1}+a{x}^{i-2}+a^2{x}^{i-3}+\dots +a^{i-2}x+a^{i-1})\\ & =(x-a)\cdot h(x)\end{array}$$ Jelas bahwa $\mathrm{deg}(h)=k-1$. Oleh karena $f(a)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$, maka $$\begin{array}{cc}f(x)-f(a)& =(x-a)\cdot h(x)\\ f(x)-f(a)& \equiv (x-a)\cdot h(x)& & (\mathrm{mod}p)\\ f(x)& \equiv (x-a)\cdot h(x)& & (\mathrm{mod}p)\end{array}$$ Dengan kata lain, mencari penyelesaian dari kekongruenan $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ sama saja dengan mencari penyelesaian dari kekongruenan $(x-a)\cdot h(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$. Diketahui bahwa $p$ merupakan bilangan prima, maka berdasarkan lema Euclid, berlaku $x-a\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ atau $h(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$. Berdasarkan hipotesis induktif, maka $h(x)$ memiliki paling banyak $k-1$ penyelesaian. Akibatnya, $f(x)$ memiliki paling banyak $(k-1)+1$ penyelesaian dalam himpunan $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28688688 (2025-12-11T14:13:44Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.