E (konstanta matematika): Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 22.57

Bilangan $e$ adalah konstanta matematika, bernilai sekitar 2,71828, yang merupakan basis logaritma alami dan fungsi eksponensial. Selain nama tersebut, bilangan ini juga disebut sebagai bilangan Euler yang namanya diambil dari Leonhard Euler, seorang matematikawan Swiss. Walaupun demikian, hal tersebut dapat menimbulkan kebingungan dengan bilangan bernama mirip, seperti bilangan Euler (deret), dan konstanta Euler (dinotasikan $γ$ ). Di samping Euler, bilangan $e$ juga disebut sebagai konstanta Napier yang namanya diambil dari John Napier.^[1]^[2] Bilangan tersebut sendiri pertama kali ditemukan oleh Jacob Bernoulli saat ia mempelajari bunga majemuk.^[3]^[4]

Bilangan adalah salah satu bilangan terpenting dalam matematika,^[5] bilangan lainnya, antara lain 0, 1, , dan . Kelima bilangan tersebut merupakan bagian identitas Euler dan memainkan peran penting serta sering muncul pada berbagai bidang matematika.^[6]^[7] Sama seperti konstanta , bilangan irasional yang artinya hal tersebut tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian antara dua bilangan bulat. Lebih lanjut, bilangan juga transenden yang artinya hal tersebut bukan solusi (pembuat nol) sebuah polinomial.^[8] Nilai bilangan hingga desimal ke-30 adalah sebagai berikut:^[9]

Definisi

Bilangan diungkapkan sebagai limit $lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n},$ ungkapan yang diperoleh saat menghitung bunga majemuk

Selain itu, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai deret takhingga $e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dots .$ Bilangan tersebut adalah angka positif khusus yang menjadikan fungsi bergradien 1 di titik .

Lebih lanjut, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai $e = \exp (1),$ dengan $\exp$ fungsi eksponesial, fungsi yang turunannya sama dengan dirinya sendiri dan memiliki nilai $\exp (0) = 1.$ Oleh karena fungsi eksponensial sering dituliskan dengan $x \mapsto e^{x},$ ungkapan tersebut ditulis ulang sebagai $e = e^{1} .$ Fungsi logaritma berbasis didefinisikan sebagai invers atas fungsi Sebagai contoh, persamaan memiliki invers $\log_{b} b = 1.$ Dengan demikian, persamaan $e = e^{1}$ mengartikan bahwa adalah basis logaritma natural.

Bilangan juga diungkapkan sebagai integral:^[10] $\int_{1}^{e} \frac{d x}{x} = 1.$ Untuk bentuk lainnya, terdapat pada

Sejarah

Pembahasan mengenai bilangan $e$ pertama kali diterbitkan pada tahun 1618 oleh John Napier dalam karyanya mengenai tabel lampiran logaritma.^[11] Namun, tabel tersebut tidak berisi bilangan itu sendiri, hanya daftar nilai logaritma berbasis $e$ . Tabel tersebut sendiri dipercayai sebagai tulisan William Oughtred.

Bilangan $e$ pertama kali diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683,^[12]^[13] yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengan $e$ ):

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} .

Penggunaan konstanta yang diketahui pertama kali, diawali oleh huruf $b$ adalah dalam korespondensi dari Gottfried Leibniz hingga Christiaan Huygens pada tahun 1690 dan 1691.^[14] Leonhard Euler memperkenalkan huruf $e$ sebagai dasar untuk logaritma alami, ditulis dalam surat kepada Christian Goldbach pada tanggal 25 November 1731.^[15]^[16] Euler mulai menggunakan huruf $e$ untuk konstanta ini pada tahun 1727 atau 1728, dalam sebuah makalah yang tidak diterbitkan tentang kekuatan ledakan dalam meriam,^[17] sedangkan perkenalan pertama $e$ dalam sebuah publikasi adalah Mechanica Euler (1736).^[18] Meskipun beberapa peneliti menggunakan huruf $c$ pada tahun-tahun berikutnya, huruf $e$ lebih umum dan akhirnya menjadi standar.

Dalam matematika, standar penulisannya adalah mengatur konstanta sebagai " $e$ " yang ditulis dalam huruf miring; standar ISO 80000-2:2019 merekomendasikan penulisan konstanta ini dengan pengaturan huruf dalam gaya tegak, tetapi ini belum divalidasikan oleh komunitas ilmiah.

Aplikasi

Bunga majemuk

Jacob Bernoulli menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:^[19]

Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan di akhir tahun. Bunga hasil kuartalan , dan penggabungan hasil bunga bulanan Bila ada interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00 × .

Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas (kekuatan minat) dengan nilai yang lebih besar dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Penggunaan bunga mingguan () menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggunaan bunga uang harian () menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagai tumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagai . Artinya, dengan penggabungan kontinu, nilai akun akan mencapai $2.7182818...

Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar , setelah itu tahun, hasil dari dolar dengan penambahan bunga terus-menerus.

(Perhatikan di sini karena adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai persentase, jadi untuk bunga 5%, .)

Percobaan-percobaan Bernoulli

Bilangan dari itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam teori probabilitas, dengan cara yang tidak jelas terkait dengan pertumbuhan eksponensial:

(\binom{1 0^{6}}{k}) {(1 0^{- 6})}^{k} {(1 - 1 0^{- 6})}^{1 0^{6} - k} .

Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali () adalah

{(1 - \frac{1}{1 0^{6}})}^{1 0^{6}} .

yang sangat mendekati batas

lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{n} = \frac{1}{e} .

Distribusi normal standar

Distribusi normal dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai distribusi normal standar, diberikan oleh fungsi kepadatan probabilitas

ϕ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} x^{2}} .

Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva $ϕ (x)$ menghasilkan faktor $1 / \sqrt{2 π}$ .^[bukti] Fungsi ini simetris , di mana ia mencapai nilai maksimumnya $1 / \sqrt{2 π}$ , dan memiliki titik belok di .

Kekacauan

Aplikasi lain dari , juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan Pierre Raymond de Montmort, Ada dalam masalah kekacauan, juga dikenal sebagai masalah cek topi:^[20] tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas bahwa tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak yang tepat. Probabilitas ini, dilambangkan dengan $p_{n}$ , didefinisikan sebagai:

p_{n} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(- 1)^{n}}{n!} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!} .

Dengan sebagai nilai jumlah tamu cenderung tak terbatas, nilai akan semakin mendekati . Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat adalah (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap bilangan positif ).^[21]

Masalah perencanaan yang optimal

Nilai maksimum dari $\sqrt[x]{x}$ dapat diperoleh saat $x = e$ . Selain itu, untuk nilai basis $b > 1$ , nilai maksimum dari $\frac{1}{x} \log_{b} x$ diperoleh saat $x = e$ (Permasalahan Steiner).

Dalam permasalahan lain, sebatang blok dengan panjang dipecah menjadi bagian yang sama. Nilai dari yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:^[22]

n = ⌊ \frac{L}{e} ⌋

atau

⌊ \frac{L}{e} ⌋

Asimtotik

Angka terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah Rumus Stirling untuk asimtotik dari fungsi faktorial, di mana kedua bilangan tersebut dan pi muncul:

n! \sim \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} .

Sebagai konsekuensi,

e = lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} .

Lihat pula

Referensi

↑ Jeff Miller. Earliest Uses of Symbols for Constants. MacTutor.
↑ Eric W. Weisstein. e. Wolfram Mathworld.
↑ Clifford A. Pickover. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling Publishing Company. 2009. hlm. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Diambil dari halaman ke-166
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ W. W. Sawyer. Mathematician's Delight. Penguin. 1961. hlm. 155.
↑ Robinn Wilson. Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics. Oxford University Press. 2018. hlm. (pembuka). ISBN 978-0-19-251405-9.
↑ Alfred S. Posamentier. Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Prometheus Books. 2004. hlm. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.
↑ Eric W. Weisstein. e. Wolfram Mathworld.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Jacob Bernoulli mempertimbangkan masalah peracikan bunga yang terus-menerus, yang menyebabkan ekspresi seri untuk e. Lihat: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Beberapa pertanyaan tentang minat, dengan solusi masalah tentang permainan peluang, diusulkan dalam Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), pada tahun (anno) 1685.**), Acta eruditorum, hal 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Ini adalah masalah jenis lain: Pertanyaannya adalah, jika beberapa pemberi pinjaman menginvestasikan [sebuah] sejumlah uang [dengan] bunga, biarlah itu menumpuk, sehingga setiap saat menerima bagian proporsional dari bunga tahunannya; berapa dia akan terutang [pada] akhir tahun?) Bernoulli menyusun deret pangkat untuk menghitung jawabannya, dan kemudian menulis: " … quæ nostra serie [ekspresi matematika untuk deret geometri] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." (… yang deret kami [deret geometri] lebih besar [dari]. … jika a=b, [pemberi pinjaman] akan berutang lebih dari 2½a dan kurang dari 3a.) Jika a=b, deret geometri direduksi menjadi deret untuk a × e, jadi 2.5 < e < 3. (** Referensinya adalah pada masalah yang diajukan oleh Jacob Bernoulli dan yang muncul dalam "Journal des Sçavans" tahun 1685 di bagian bawah page 314.)
↑ Carl Boyer. A History of Mathematics. Wiley. 1991. hlm. 419. ISBN 9780471543978.
↑ Gottfried Wilhelm Leibniz. Sämliche Schriften Und Briefe. 2003.
↑ Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Korespondensi matematis dan fisik dari beberapa ahli geometri terkenal abad ke-18), vol. 1, (St. Petersburg, Rusia: 1843), hal 56–60, lihat terutama p. 58. From p. 58: " … (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " (… (e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] sama dengan 1) …)
↑ Reinhold Remmert. Theory of Complex Functions. Springer-Verlag. 1991. hlm. 136. ISBN 978-0-387-97195-7.
↑ Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. (Bahasa Indonesia: Ditulis untuk bilangan yang satuan logaritmanya e yaitu 2,7182817...")
↑ Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (St. Petersburg (Petropoli), Rusia: Akademi Ilmu Pengetahuan, 1736), vol. 1, Bab 2, Bagian 11, paragraf 171, hal. 68. Dari halaman 68: Erit enim \frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx} seu c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}} ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (Jadi [yaitu, c adalah kecepatannya] sebagai \frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx} or c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}} , di mana e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] adalah 1.)
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Grinstead, C.M. dan Snell, J.L.Introduction to probability theory (diterbitkan secara online di bawah GFDL), p. 85.
↑ Knuth (1997) Seni Pemrograman Komputer Volume I, Addison-Wesley, p. 183 .
↑ Steven Finch. Konstanta matematika. Cambridge University Press. 2003.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29524200 (2026-08-04T10:48:35Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Jeff Miller. Earliest Uses of Symbols for Constants. MacTutor.

[2] Eric W. Weisstein. e. Wolfram Mathworld.

[3] Clifford A. Pickover. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling Publishing Company. 2009. hlm. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Diambil dari halaman ke-166

[4] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[5] W. W. Sawyer. Mathematician's Delight. Penguin. 1961. hlm. 155.

[6] Robinn Wilson. Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics. Oxford University Press. 2018. hlm. (pembuka). ISBN 978-0-19-251405-9.

[7] Alfred S. Posamentier. Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Prometheus Books. 2004. hlm. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.

[8] Eric W. Weisstein. e. Wolfram Mathworld.

[9] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[10] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[11] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[12] Jacob Bernoulli mempertimbangkan masalah peracikan bunga yang terus-menerus, yang menyebabkan ekspresi seri untuk e. Lihat: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Beberapa pertanyaan tentang minat, dengan solusi masalah tentang permainan peluang, diusulkan dalam Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), pada tahun (anno) 1685.**), Acta eruditorum, hal 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Ini adalah masalah jenis lain: Pertanyaannya adalah, jika beberapa pemberi pinjaman menginvestasikan [sebuah] sejumlah uang [dengan] bunga, biarlah itu menumpuk, sehingga setiap saat menerima bagian proporsional dari bunga tahunannya; berapa dia akan terutang [pada] akhir tahun?) Bernoulli menyusun deret pangkat untuk menghitung jawabannya, dan kemudian menulis: " … quæ nostra serie [ekspresi matematika untuk deret geometri] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." (… yang deret kami [deret geometri] lebih besar [dari]. … jika a=b, [pemberi pinjaman] akan berutang lebih dari 2½a dan kurang dari 3a.) Jika a=b, deret geometri direduksi menjadi deret untuk a × e, jadi 2.5 < e < 3. (** Referensinya adalah pada masalah yang diajukan oleh Jacob Bernoulli dan yang muncul dalam "Journal des Sçavans" tahun 1685 di bagian bawah page 314.)

[13] Carl Boyer. A History of Mathematics. Wiley. 1991. hlm. 419. ISBN 9780471543978.

[14] Gottfried Wilhelm Leibniz. Sämliche Schriften Und Briefe. 2003.

[15] Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Korespondensi matematis dan fisik dari beberapa ahli geometri terkenal abad ke-18), vol. 1, (St. Petersburg, Rusia: 1843), hal 56–60, lihat terutama p. 58. From p. 58: " … (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " (… (e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] sama dengan 1) …)

[16] Reinhold Remmert. Theory of Complex Functions. Springer-Verlag. 1991. hlm. 136. ISBN 978-0-387-97195-7.

[17] Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. (Bahasa Indonesia: Ditulis untuk bilangan yang satuan logaritmanya e yaitu 2,7182817...")

[18] Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (St. Petersburg (Petropoli), Rusia: Akademi Ilmu Pengetahuan, 1736), vol. 1, Bab 2, Bagian 11, paragraf 171, hal. 68. Dari halaman 68: Erit enim \frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx} seu c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}} ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (Jadi [yaitu, c adalah kecepatannya] sebagai \frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx} or c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}} , di mana e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] adalah 1.)

[19] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[20] Grinstead, C.M. dan Snell, J.L.Introduction to probability theory (diterbitkan secara online di bawah GFDL), p. 85.

[21] Knuth (1997) Seni Pemrograman Komputer Volume I, Addison-Wesley, p. 183 .

[22] Steven Finch. Konstanta matematika. Cambridge University Press. 2003.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Bilangan <math>e</math> adalah [[konstanta matematika]], bernilai sekitar 2,71828, yang merupakan basis [[logaritma alami]] dan [[fungsi eksponensial]]. Selain nama tersebut, bilangan ini juga disebut sebagai '''bilangan Euler''' yang namanya diambil dari [[Leonhard Euler]], seorang [[matematikawan]] [[Swiss]]. Walaupun demikian, hal tersebut dapat menimbulkan kebingungan dengan bilangan bernama mirip, seperti [[Bilangan Euler (bilangan bulat)|bilangan Euler (deret)]], dan [[Konstanta Euler–Mascheroni|konstanta Euler]] (dinotasikan <math>\gamma</math>). Di samping Euler, bilangan <math>e</math> juga disebut sebagai '''konstanta Napier''' yang namanya diambil dari [[John Napier]]. Bilangan tersebut sendiri pertama kali ditemukan oleh [[Jacob Bernoulli]] saat ia mempelajari [[Bunga majemuk (keuangan)|bunga majemuk]].
+[[File:Hyperbola_E.svg|thumb|right|280px|Hyperbola E]]
-Bilangan  adalah salah satu bilangan terpenting dalam matematika, bilangan lainnya, antara lain 0, 1, , dan . Kelima bilangan tersebut merupakan bagian [[identitas Euler]]  dan memainkan peran penting serta sering muncul pada berbagai bidang matematika. Sama seperti konstanta , bilangan  [[Bilangan irasional|irasional]] yang artinya hal tersebut tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian antara dua [[bilangan bulat]]. Lebih lanjut, bilangan  juga [[Bilangan transenden|transenden]] yang artinya hal tersebut bukan solusi (pembuat nol) sebuah [[polinomial]]. Nilai bilangan  hingga desimal ke-30 adalah sebagai berikut:
+Bilangan <math>e</math> adalah [[konstanta matematika]], bernilai sekitar 2,71828, yang merupakan basis [[logaritma alami]] dan [[fungsi eksponensial]]. Selain nama tersebut, bilangan ini juga disebut sebagai '''bilangan Euler''' yang namanya diambil dari [[Leonhard Euler]], seorang [[matematikawan]] [[Swiss]]. Walaupun demikian, hal tersebut dapat menimbulkan kebingungan dengan bilangan bernama mirip, seperti [[Bilangan Euler (bilangan bulat)|bilangan Euler (deret)]], dan [[Konstanta Euler–Mascheroni|konstanta Euler]] (dinotasikan <math>\gamma</math>). Di samping Euler, bilangan <math>e</math> juga disebut sebagai '''konstanta Napier''' yang namanya diambil dari [[John Napier]].<ref>Jeff Miller. [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/constants/ Earliest Uses of Symbols for Constants]. ''MacTutor''.</ref><ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/e.html e]. ''Wolfram Mathworld''.</ref> Bilangan tersebut sendiri pertama kali ditemukan oleh [[Jacob Bernoulli]] saat ia mempelajari [[Bunga majemuk (keuangan)|bunga majemuk]].<ref>Clifford A. Pickover. [https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics]. Sterling Publishing Company. 2009. hlm. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. [https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA166 Diambil dari halaman ke-166]</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=E+%28konstanta+matematika%29&oldid=29524200 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
+Bilangan  adalah salah satu bilangan terpenting dalam matematika,<ref>W. W. Sawyer. [https://archive.org/details/MathemateciansDelight-W.W.Sawyer/page/n153/mode/2up Mathematician's Delight]. Penguin. 1961. hlm. 155.</ref> bilangan lainnya, antara lain 0, 1, , dan . Kelima bilangan tersebut merupakan bagian [[identitas Euler]]  dan memainkan peran penting serta sering muncul pada berbagai bidang matematika.<ref>Robinn Wilson. [https://books.google.com/books?id=345HDwAAQBAJ Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics]. Oxford University Press. 2018. hlm. (pembuka). ISBN 978-0-19-251405-9.</ref><ref>Alfred S. Posamentier. [https://books.google.com/books?id=QFPvAAAAMAAJ Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number]. Prometheus Books. 2004. hlm. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.</ref> Sama seperti konstanta , bilangan  [[Bilangan irasional|irasional]] yang artinya hal tersebut tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian antara dua [[bilangan bulat]]. Lebih lanjut, bilangan  juga [[Bilangan transenden|transenden]] yang artinya hal tersebut bukan solusi (pembuat nol) sebuah [[polinomial]].<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/e.html e]. ''Wolfram Mathworld''.</ref> Nilai bilangan  hingga desimal ke-30 adalah sebagai berikut:<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=E+%28konstanta+matematika%29&oldid=29524200 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
 == Definisi ==
@@ Baris 16: / Baris 17: @@
 Fungsi [[logaritma]] berbasis  didefinisikan sebagai [[Fungsi invers|invers]] atas fungsi  Sebagai contoh, persamaan  memiliki invers <math>\log_b b= 1.</math> Dengan demikian, persamaan <math>e=e^1</math> mengartikan bahwa  adalah basis logaritma natural.
-Bilangan  juga diungkapkan sebagai [[integral]]:
+Bilangan  juga diungkapkan sebagai [[integral]]:<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=E+%28konstanta+matematika%29&oldid=29524200 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
 <math display="block">\int_1^e \frac {dx}x =1.</math>
 Untuk bentuk lainnya, terdapat pada
 ==Sejarah==
-Pembahasan mengenai bilangan <math>e</math> pertama kali diterbitkan pada tahun 1618 oleh [[John Napier]] dalam karyanya mengenai tabel lampiran logaritma. Namun, tabel tersebut tidak berisi bilangan itu sendiri, hanya daftar nilai logaritma berbasis <math>e</math>. Tabel tersebut sendiri dipercayai sebagai tulisan [[William Oughtred]].
+Pembahasan mengenai bilangan <math>e</math> pertama kali diterbitkan pada tahun 1618 oleh [[John Napier]] dalam karyanya mengenai tabel lampiran logaritma.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=E+%28konstanta+matematika%29&oldid=29524200 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Namun, tabel tersebut tidak berisi bilangan itu sendiri, hanya daftar nilai logaritma berbasis <math>e</math>. Tabel tersebut sendiri dipercayai sebagai tulisan [[William Oughtred]].
-Bilangan <math>e</math> pertama kali diperkenalkan oleh [[Jacob Bernoulli]] pada tahun 1683, yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengan <math>e</math>):
+Bilangan <math>e</math> pertama kali diperkenalkan oleh [[Jacob Bernoulli]] pada tahun 1683,<ref>Jacob Bernoulli mempertimbangkan masalah peracikan bunga yang terus-menerus, yang menyebabkan ekspresi seri untuk ''e''. Lihat: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Beberapa pertanyaan tentang minat, dengan solusi masalah tentang permainan peluang, diusulkan dalam ''Journal des Savants'' (''Ephemerides Eruditorum Gallicanæ''), pada tahun (anno) 1685.**), ''Acta eruditorum'', hal 219–23. [https://books.google.com/books?id=s4pw4GyHTRcC&pg=PA222#v=onepage&q&f=false On page 222], Bernoulli poses the question: ''"Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?"'' (Ini adalah masalah jenis lain: Pertanyaannya adalah, jika beberapa pemberi pinjaman menginvestasikan [sebuah] sejumlah uang [dengan] bunga, biarlah itu menumpuk, sehingga setiap saat menerima bagian proporsional dari bunga tahunannya; berapa dia akan terutang [pada] akhir tahun?) Bernoulli menyusun deret pangkat untuk menghitung jawabannya, dan kemudian menulis: ''" … quæ nostra serie [ekspresi matematika untuk deret geometri] &c. major est. … si ''a''=''b'', debebitur plu quam 2½''a'' & minus quam 3''a''."'' (… yang deret kami [deret geometri] lebih besar [dari]. … jika ''a''=''b'', [pemberi pinjaman] akan berutang lebih dari 2½''a'' dan kurang dari 3''a''.) Jika ''a''=''b'', deret geometri direduksi menjadi deret untuk ''a'' × ''e'', jadi 2.5 < ''e'' < 3. (** Referensinya adalah pada masalah yang diajukan oleh Jacob Bernoulli dan yang muncul dalam "Journal des Sçavans" tahun 1685 di bagian bawah [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56536t/f307.image.langEN page 314.])</ref><ref>Carl Boyer. [https://archive.org/details/historyofmathema00boye A History of Mathematics]. Wiley. 1991. hlm. [https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/419 419]. ISBN 9780471543978.</ref> yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengan <math>e</math>):
 :<math>\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.</math>
-Penggunaan konstanta yang diketahui pertama kali, diawali oleh huruf <math>b</math> adalah dalam korespondensi dari [[Gottfried Leibniz]] hingga [[Christiaan Huygens]] pada tahun 1690 dan 1691. [[Leonhard Euler]] memperkenalkan huruf <math>e</math> sebagai dasar untuk logaritma alami, ditulis dalam surat kepada [[Christian Goldbach]] pada tanggal 25 November 1731. Euler mulai menggunakan huruf <math>e</math> untuk konstanta ini pada tahun 1727 atau 1728, dalam sebuah makalah yang tidak diterbitkan tentang kekuatan ledakan dalam meriam, sedangkan perkenalan pertama <math>e</math> dalam sebuah publikasi adalah ''[[Mechanica]]'' Euler (1736). Meskipun beberapa peneliti menggunakan huruf <math>c</math> pada tahun-tahun berikutnya, huruf <math>e</math> lebih umum dan akhirnya menjadi standar.
+Penggunaan konstanta yang diketahui pertama kali, diawali oleh huruf <math>b</math> adalah dalam korespondensi dari [[Gottfried Leibniz]] hingga [[Christiaan Huygens]] pada tahun 1690 dan 1691.<ref>Gottfried Wilhelm Leibniz. [https://leibniz.uni-goettingen.de/files/pdf/Leibniz-Edition-III-5.pdf Sämliche Schriften Und Briefe]. 2003.</ref> [[Leonhard Euler]] memperkenalkan huruf <math>e</math> sebagai dasar untuk logaritma alami, ditulis dalam surat kepada [[Christian Goldbach]] pada tanggal 25 November 1731.<ref>Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., ''Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle'' … (Korespondensi matematis dan fisik dari beberapa ahli geometri terkenal abad ke-18), vol. 1, (St. Petersburg, Rusia: 1843), hal 56–60, lihat terutama [https://books.google.com/books?id=gf1OEXIQQgsC&pg=PA58#v=onepage&q&f=false p. 58.] From p. 58: ''" … (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … "'' (… (e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] sama dengan 1) …)</ref><ref>Reinhold Remmert. [https://archive.org/details/theoryofcomplexf0000remm Theory of Complex Functions]. Springer-Verlag. 1991. hlm. [https://archive.org/details/theoryofcomplexf0000remm/page/136 136]. ISBN 978-0-387-97195-7.</ref> Euler mulai menggunakan huruf <math>e</math> untuk konstanta ini pada tahun 1727 atau 1728, dalam sebuah makalah yang tidak diterbitkan tentang kekuatan ledakan dalam meriam,<ref>Euler, ''[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/853/ Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta]''. (Bahasa Indonesia: Ditulis untuk bilangan yang satuan logaritmanya e yaitu 2,7182817...")</ref> sedangkan perkenalan pertama <math>e</math> dalam sebuah publikasi adalah ''[[Mechanica]]'' Euler (1736).<ref>Leonhard Euler, ''Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita'' (St. Petersburg (Petropoli), Rusia: Akademi Ilmu Pengetahuan, 1736), vol. 1, Bab 2, Bagian 11, paragraf 171, hal. 68. [https://books.google.com/books?id=qalsP7uMiV4C&pg=PA68#v=onepage&q&f=false Dari halaman 68:] ''Erit enim \frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx} seu c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}} ubi ''e'' denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1.'' (Jadi [yaitu, ''c'' adalah kecepatannya] sebagai \frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx} or c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}} , di mana ''e'' menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] adalah 1.)</ref> Meskipun beberapa peneliti menggunakan huruf <math>c</math> pada tahun-tahun berikutnya, huruf <math>e</math> lebih umum dan akhirnya menjadi standar.
 Dalam matematika, standar penulisannya adalah mengatur konstanta sebagai "<math>e</math>" yang ditulis dalam huruf miring; standar [[ISO 80000-2]]:2019 merekomendasikan penulisan konstanta ini dengan pengaturan huruf dalam gaya tegak, tetapi ini belum divalidasikan oleh komunitas ilmiah.
 ==Aplikasi==
 ===Bunga majemuk===
+[[Jacob Bernoulli]] menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=E+%28konstanta+matematika%29&oldid=29524200 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
-[[Jacob Bernoulli]] menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:
 Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan  di akhir tahun. Bunga hasil kuartalan , dan penggabungan hasil bunga bulanan  Bila ada  interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan  dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00&nbsp;×&nbsp;.
@@ Baris 48: / Baris 45: @@
 ===Percobaan-percobaan Bernoulli===
 Bilangan dari  itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam [[teori probabilitas]], dengan cara yang tidak jelas terkait dengan [[pertumbuhan eksponensial]]:
@@ Baris 60: / Baris 56: @@
 ===Distribusi normal standar===
 [[Distribusi normal]] dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai ''distribusi normal standar'', diberikan oleh [[fungsi kepadatan probabilitas]]
 :<math>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}.</math>
@@ Baris 68: / Baris 62: @@
 ===Kekacauan===
-Aplikasi lain dari , juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan [[Pierre Raymond de Montmort]], Ada dalam masalah [[kekacauan]], juga dikenal sebagai ''masalah cek topi'':  tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam  kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas bahwa tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak yang tepat. Probabilitas ini, dilambangkan dengan <math>p_n\!</math>, didefinisikan sebagai:
+Aplikasi lain dari , juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan [[Pierre Raymond de Montmort]], Ada dalam masalah [[kekacauan]], juga dikenal sebagai ''masalah cek topi'':<ref>Grinstead, C.M. dan Snell, J.L.''[http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html Introduction to probability theory] '' (diterbitkan secara online di bawah GFDL), p. 85.</ref>  tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam  kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas bahwa tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak yang tepat. Probabilitas ini, dilambangkan dengan <math>p_n\!</math>, didefinisikan sebagai:
 :<math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>
-Dengan  sebagai nilai jumlah tamu cenderung tak terbatas, nilai  akan semakin mendekati . Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat adalah  (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap bilangan positif&nbsp;).
+Dengan  sebagai nilai jumlah tamu cenderung tak terbatas, nilai  akan semakin mendekati . Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat adalah  (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap bilangan positif&nbsp;).<ref>Knuth (1997) ''Seni Pemrograman Komputer'' Volume I, Addison-Wesley, p. 183 .</ref>
 ===Masalah perencanaan yang optimal===
 Nilai maksimum dari <math display="inline">\sqrt[x]{x}</math> dapat diperoleh saat <math display="inline">x = e</math>. Selain itu, untuk nilai basis <math display="inline">b>1</math>, nilai maksimum dari <math display="inline">\frac{1}{x} \log_b{x}</math> diperoleh saat <math display="inline">x=e</math> ([[Permasalahan Steiner]]).
-Dalam permasalahan lain, sebatang blok dengan panjang  dipecah menjadi  bagian yang sama. Nilai dari  yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:
+Dalam permasalahan lain, sebatang blok dengan panjang  dipecah menjadi  bagian yang sama. Nilai dari  yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:<ref>Steven Finch. [https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc Konstanta matematika]. Cambridge University Press. 2003.</ref>
 :<math>n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math> atau <math>\left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math>
@@ Baris 92: / Baris 86: @@
 == Referensi ==
+<references />
+== Sumber dan atribusi ==
+Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=E+%28konstanta+matematika%29&oldid=29524200 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29524200 (2026-08-04T10:48:35Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
-== Sumber dan atribusi ==
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->
-Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=E+%28konstanta+matematika%29&oldid=29524200 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29524200 (2026-08-04T10:48:35Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Maintenance script (bicara | kontrib)