Lingkaran satuan

Unit circle

Dalam matematika, lingkaran satuan adalah sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari sebesar 1 satuan. Sering kali, terutama dalam trigonometri, lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat pada titik (0, 0) pada sistem koordinat Kartesius dalam 2 dimensi. Dalam topologi, lingkaran ini biasanya disimbolkan dengan .

Apabila adalah suatu titik pada keliling lingkaran satuan, maka dan merupakan panjang kaki sebuah segitiga siku-siku yang panjang sisi miringnya sebesar 1. Maka dari itu, berdasarkan teorema Pythagoras, dan memenuhi persamaan:

$x^2+y^2=1.$

Karena untuk setiap , dan karena hasil pencerminan setiap titik pada lingkaran satuan terhadap sumbu- ataupun sumbu- juga terkandung dalam lingkaran satuan, persamaan di atas berlaku untuk semua titik pada lingkaran satuan, tidak hanya yang kuadran pertama saja.

Pada bidang kompleks

Lingkaran satuan dapat dipandang sebagai bilangan kompleks satuan, atau dengan kata lain, himpunan bilangan kompleks dalam bentuk $$z=e^{it}=\cos t+i\sin t=\mathrm{cis}(t)$$ untuk setiap (lihat juga: cis). Relasi ini adalah Rumus Euler. Lingkaran ini juga bisa didefinisikan sebagai himpunan bilangan kompleks yang memenuhi $$|z|=1.$$

Fungsi trigonometri

Fungsi kosinus dan sinus dengan sudut dapat didefinisikan dengan menggunakan lingkaran satuan sebagai berikut: jika merupakan titik pada lingkaran satuan, dan jika sinar dari titik (0, 0) ke membentuk sudut dari sumbu- positif (putaran tersebut berlawanan arah jarum jam, yang berarti bernilai positif), maka $\cos (\theta )=x$ dan $\sin (\theta )=y.$

Persamaan menghasilkan relasi:

${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1.$

yang biasa dikenal dengan identitas Phytagoras. Lingkaran satuan juga menunjukkan kalau sinus dan kosinus merupakan fungsi periodik dengan identitas

$\cos \theta =\cos (2\pi k+\theta )$ dan $\sin \theta =\sin (2\pi k+\theta )$

untuk setiap bilangan bulat .

Segitiga yang dibentuk pada lingkaran satuan juga bisa digunakan untuk mengilustrasikan sifat periodik dari fungsi-fungsi trigonometri. Pertama, buatlah jari-jari dari titik asal menuju titik pada lingkaran satuan, sedemikian sehingga sudut (dengan ) terbentuk dengan sumbu- positif. Sekarang perhatikan titik dan segmen garis . Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku dengan . Karena panjang adalah , panjang adalah , dan panjangnya 1 (karena merupakan jari-jari lingkaran satuan), maka dan .

Setelah menyusun persamaan tersebut, buatlah jari-jari dari titik asal ke titik pada lingkaran, sedemikian sehingga sudut tadi terbentuk dengan sumbu- negatif. Sekarang perhatikan titik dan segmen garis . Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku dengan . Dari sini bisa terlihat bahwa , sehingga koordinat ialah serupa seperti yang berada pada titik .

Oleh karena sama dengan dan sama dengan , maka dapat disimpulkan dan . Dengan argumen serupa, dapat disimpulkan , lantaran dan . Contoh sederhana pada relasi di atas dapat terlihat pada persamaan .

Saat berurusan dengan segitiga siku-siku, sinus, kosinus, dan fungsi trigonometri lainnya baru masuk akal apabila ukuran sudutnya lebih dari nol dan kurang dari . Namun, jika didefinisikan dengan lingkaran satuan, fungsi-fungsi tadi menghasilkan nilai yang bermakna untuk setiap sudut yang bernilai riil – termasuk sudut yang lebih dari 2. Malahan, semua enam fungsi standar trigonometri – sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan, beserta fungsi-fungsi turunannya, seperti versin and exsec – dapat didefinisikan secara geometris dengan lingkaran satuan.

Dengan menggunakan lingkaran satuan, nilai fungsi trigonometri apapun dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus jumlah dan selisish sudut.

Grup lingkaran

Bilangan kompleks dapat dipandang sebagai titik pada 2 dimensi. Lebih tepatnya, bilangan dapat dipandang sebagai titik . Dengan cara pandang seperti ini, lingkaran satuan adalah grup terhadap perkalian, yang disebut grup lingkaran; biasanya disimbolkan dengan $𝕋.$ Di bidang, perkalian oleh menghasilkan rotasi yang berlawanan ara jarum jam sebesar . Grup ini mempunyai aplikasi penting dalam matematika dan sains.

Dinamika kompleks

Himpunan Julia dari sistem dinamis diskrit nonlinier dengan fungsi evolusi:$$f_0(x)=x^2$$merupakan lingkaran satuan. Ini adalah kasus paling sederhana sehingga banyak dipakai dalam mempelajari sistem dinamis.

Lihat pula

• Bola satuan
• Cakram satuan
• Hiperbola satuan
• Identitas Pythagoras
• Lingkaran Riemann
• Persegi satuan
• Putaran (sudut)
• Sudut satuan
• Transformasi-z
• Ukuran sudut

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27502483 (2025-07-06T02:07:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.