Himpunan bagian: Perbedaan antara revisi
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29302246; atribusi sumber disertakan. |
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi |
||
| Baris 1: | Baris 1: | ||
[[File:Venn_A_subset_B.svg|thumb|right|280px|Venn A subset B]] | |||
Dalam [[matematika]], terutama [[teori himpunan]], suatu himpunan ''A'' adalah '''himpunan bagian''' atau '''subhimpunan''' dari himpunan ''B'' bila ''A'' "termuat" di dalam ''B''. ''A'' dan ''B'' boleh jadi merupakan himpunan yang sama. Hubungan suatu himpunan yang menjadi himpunan bagian yang lain disebut sebagai "termasuk ke dalam" atau kadang-kadang "pemuatan". Himpunan ''B'' adalah '''superhimpunan''' dari ''A'' karena semua elemen ''A'' juga adalah elemen ''B''. | Dalam [[matematika]], terutama [[teori himpunan]], suatu himpunan ''A'' adalah '''himpunan bagian''' atau '''subhimpunan''' dari himpunan ''B'' bila ''A'' "termuat" di dalam ''B''. ''A'' dan ''B'' boleh jadi merupakan himpunan yang sama. Hubungan suatu himpunan yang menjadi himpunan bagian yang lain disebut sebagai "termasuk ke dalam" atau kadang-kadang "pemuatan". Himpunan ''B'' adalah '''superhimpunan''' dari ''A'' karena semua elemen ''A'' juga adalah elemen ''B''. | ||
| Baris 6: | Baris 8: | ||
:atau secara ekuivalen | :atau secara ekuivalen | ||
:* ''B'' adalah '''superset''' atau '''superhimpunan''' dari (atau meliputi) ''A'', dilambangkan dengan <math>B \supseteq A.</math> | :* ''B'' adalah '''superset''' atau '''superhimpunan''' dari (atau meliputi) ''A'', dilambangkan dengan <math>B \supseteq A.</math> | ||
Jika ''A'' adalah sebuah subset dari ''B'', tetapi ''A'' tidak sama dengan ''B'' (yaitu ada paling sedikit satu elemen B yang bukan elemen dari ''A''), maka | Jika ''A'' adalah sebuah subset dari ''B'', tetapi ''A'' tidak sama dengan ''B'' (yaitu ada paling sedikit satu elemen B yang bukan elemen dari ''A''), maka | ||
| Baris 15: | Baris 16: | ||
Untuk setiap himpunan ''S'', [[Relasi biner|relasi]] inklusi ⊆ merupakan [[Himpunan terurut parsial|urutan parsial]] pada himpunan <math>\mathcal{P}(S)</math> untuk semua subset dari ''S'' ([[himpunan kuasa]] dari ''S''). | Untuk setiap himpunan ''S'', [[Relasi biner|relasi]] inklusi ⊆ merupakan [[Himpunan terurut parsial|urutan parsial]] pada himpunan <math>\mathcal{P}(S)</math> untuk semua subset dari ''S'' ([[himpunan kuasa]] dari ''S''). | ||
Ketika dikuantifikasi, ditulis: }. | Ketika dikuantifikasi, ditulis: }.<ref>Kenneth H. Rosen. ''Discrete Mathematics and Its Applications''. McGraw-Hill. 2012. hlm. 119. ISBN 978-0-07-338309-5.</ref> | ||
== Simbol ⊂ dan ⊃ == | == Simbol ⊂ dan ⊃ == | ||
Sejumlah pengarang menggunakan simbol ⊂ dan ⊃ untuk masing-masing mengindikasikan "subset" dan "superset", bukan dengan simbol ⊆ dan ⊇, tetapi artinya sama. Misalnya, bagi para pengarang ini, adalah benar untuk setiap himpunan ''A'' bahwa ''A'' ⊂ ''A''. | Sejumlah pengarang menggunakan simbol ⊂ dan ⊃ untuk masing-masing mengindikasikan "subset" dan "superset", bukan dengan simbol ⊆ dan ⊇, tetapi artinya sama.<ref>Walter Rudin. ''Real and complex analysis''. McGraw-Hill. 1987. hlm. 6. ISBN 978-0-07-054234-1.</ref> Misalnya, bagi para pengarang ini, adalah benar untuk setiap himpunan ''A'' bahwa ''A'' ⊂ ''A''. | ||
Para pengarang lain lebih suka menggunakan simbol ⊂ dan ⊃ untuk masing-masing mengindikasikan himpunan bagian dan superhimpunan sejati, daripada ⊊ dan ⊋. Penggunaan ini membuat ⊆ dan ⊂ analog dengan [[Pertidaksamaan|simbol ketidaksamaan]] ≤ dan <. Misalnya, jika ''x'' ≤ ''y'' maka ''x'' dapat sama dengan ''y'', atau tidak sama, tetapi jika ''x'' < ''y'', maka ''x'' pasti tidak akan sama dengan ''y'', dan pasti lebih kecil dari ''y''. Ini mirip dengan kaidah penggunaan ⊂ sebagai "himpunan bagian sejati", jika ''A'' ⊆ ''B'', maka ''A'' dapat sama atau tidak sama dengan ''B'', tetapi jika ''A'' ⊂ ''B'', maka ''A'' pasti tidak akan sama dengan ''B''. | Para pengarang lain lebih suka menggunakan simbol ⊂ dan ⊃ untuk masing-masing mengindikasikan himpunan bagian dan superhimpunan sejati, daripada ⊊ dan ⊋.<ref>[http://it.edgecombe.edu/homepage/killorant/MAT140/Module1/Subsets.pdf Subsets and Proper Subsets].</ref> Penggunaan ini membuat ⊆ dan ⊂ analog dengan [[Pertidaksamaan|simbol ketidaksamaan]] ≤ dan <. Misalnya, jika ''x'' ≤ ''y'' maka ''x'' dapat sama dengan ''y'', atau tidak sama, tetapi jika ''x'' < ''y'', maka ''x'' pasti tidak akan sama dengan ''y'', dan pasti lebih kecil dari ''y''. Ini mirip dengan kaidah penggunaan ⊂ sebagai "himpunan bagian sejati", jika ''A'' ⊆ ''B'', maka ''A'' dapat sama atau tidak sama dengan ''B'', tetapi jika ''A'' ⊂ ''B'', maka ''A'' pasti tidak akan sama dengan ''B''. | ||
== Contoh == | == Contoh == | ||
* Himpunan A = {1, 2} adalah "himpunan bagian sejati" (''proper subset'') dari B = {1, 2, 3}, sehingga ekspresi A ⊆ B dan A ⊊ B keduanya benar. | * Himpunan A = {1, 2} adalah "himpunan bagian sejati" (''proper subset'') dari B = {1, 2, 3}, sehingga ekspresi A ⊆ B dan A ⊊ B keduanya benar. | ||
* Himpunan D = {1, 2, 3} adalah subset dari E = {1, 2, 3}, sehingga D ⊆ E benar, dan D ⊊ E salah. | * Himpunan D = {1, 2, 3} adalah subset dari E = {1, 2, 3}, sehingga D ⊆ E benar, dan D ⊊ E salah. | ||
| Baris 34: | Baris 33: | ||
== Lihat pula == | == Lihat pula == | ||
* [[Teori himpunan]] | * [[Teori himpunan]] | ||
== Bacaan lebih lanjut == | == Bacaan lebih lanjut == | ||
* | * | ||
* | * | ||
== Pranala luar == | == Pranala luar == | ||
* | * | ||
== Referensi == | |||
<references /> | |||
== Sumber dan atribusi == | |||
== | Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Himpunan+bagian&oldid=29302246 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29302246 (2026-06-01T07:54:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku. | ||
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 --> | |||
Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 04.03
Dalam matematika, terutama teori himpunan, suatu himpunan A adalah himpunan bagian atau subhimpunan dari himpunan B bila A "termuat" di dalam B. A dan B boleh jadi merupakan himpunan yang sama. Hubungan suatu himpunan yang menjadi himpunan bagian yang lain disebut sebagai "termasuk ke dalam" atau kadang-kadang "pemuatan". Himpunan B adalah superhimpunan dari A karena semua elemen A juga adalah elemen B.
Definisi
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan dan setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B, maka:
- A adalah subset atau himpunan bagian dari (atau termasuk ke dalam) B, dilambangkan dengan ,
- atau secara ekuivalen
- B adalah superset atau superhimpunan dari (atau meliputi) A, dilambangkan dengan
Jika A adalah sebuah subset dari B, tetapi A tidak sama dengan B (yaitu ada paling sedikit satu elemen B yang bukan elemen dari A), maka
- A juga merupakan suatu himpunan bagian sejati (proper subset atau strict subset) dari B; ini ditulis:
- atau secara ekuivalen
- B adalah superhimpunan sejati (proper superset) dari A; ini ditulis:
Untuk setiap himpunan S, relasi inklusi ⊆ merupakan urutan parsial pada himpunan untuk semua subset dari S (himpunan kuasa dari S).
Ketika dikuantifikasi, ditulis: }.[1]
Simbol ⊂ dan ⊃
Sejumlah pengarang menggunakan simbol ⊂ dan ⊃ untuk masing-masing mengindikasikan "subset" dan "superset", bukan dengan simbol ⊆ dan ⊇, tetapi artinya sama.[2] Misalnya, bagi para pengarang ini, adalah benar untuk setiap himpunan A bahwa A ⊂ A.
Para pengarang lain lebih suka menggunakan simbol ⊂ dan ⊃ untuk masing-masing mengindikasikan himpunan bagian dan superhimpunan sejati, daripada ⊊ dan ⊋.[3] Penggunaan ini membuat ⊆ dan ⊂ analog dengan simbol ketidaksamaan ≤ dan <. Misalnya, jika x ≤ y maka x dapat sama dengan y, atau tidak sama, tetapi jika x < y, maka x pasti tidak akan sama dengan y, dan pasti lebih kecil dari y. Ini mirip dengan kaidah penggunaan ⊂ sebagai "himpunan bagian sejati", jika A ⊆ B, maka A dapat sama atau tidak sama dengan B, tetapi jika A ⊂ B, maka A pasti tidak akan sama dengan B.
Contoh
- Himpunan A = {1, 2} adalah "himpunan bagian sejati" (proper subset) dari B = {1, 2, 3}, sehingga ekspresi A ⊆ B dan A ⊊ B keduanya benar.
- Himpunan D = {1, 2, 3} adalah subset dari E = {1, 2, 3}, sehingga D ⊆ E benar, dan D ⊊ E salah.
- Setiap himpunan adalah subset dari himpunan itu sendiri, tetapi bukan "himpunan bagian sejati" (proper subset). (X ⊆ X benar, dan X ⊊ X salah untuk setiap himpunan X.)
- Himpunan kosong { }, dilambangkan dengan ∅, juga merupakan subset dari setiap himpunan X. Juga selalu merupakan himpunan bagian sejati dari setiap himpunan kecuali terhadap dirinya sendiri.
- Himpunan {x: x adalah bilangan prima yang lebih besar dari 10} merupakan himpunan bagian sejati dari {x: x adalah bilangan ganjil yang lebih besar dari 10}
- Himpunan bilangan asli adalah himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan rasional, dan himpunan titik-titik dalam suatu segmen garis adalah himpunan bagian sejati dari suatu himpunan titik-titik dalam garis. Ini merupakan dua contoh di mana baik subset dan himpunan itu sendiri tak terhingga, dan di mana subset mempunyai kardinalitas (konsep yang menyesuaikan ukuran, yaitu jumlah elemen pada suatu himpunan terhingga) yang sama dengan himpunan induk; kasus-kasus itu dapat membingungkan intuisi.
Lihat pula
Bacaan lebih lanjut
Pranala luar
Referensi
- ↑ Kenneth H. Rosen. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill. 2012. hlm. 119. ISBN 978-0-07-338309-5.
- ↑ Walter Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill. 1987. hlm. 6. ISBN 978-0-07-054234-1.
- ↑ Subsets and Proper Subsets.
Sumber dan atribusi
Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29302246 (2026-06-01T07:54:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.