Analisis kompleks: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 18.11

Dalam matematika, analisis kompleks (), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari bilangan kompleks (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni bilangan riil dan bilangan imajiner^[1]).

Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai teori fungsi variabel kompleks atau teori fungsi peubah kompleks.

Konsep analisis kompleks

Konsep analisis kompleks ini hampir mirip dengan konsep analisis real. Berikut ini merupakan konsep-konsep analisis kompleks, diantaranya

Bilangan kompleks

Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni bilangan riil dan imajiner. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan $z$ adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan

z = {a + b i ∣ a, b \in ℝ}

^[2]

serta himpunannya didefinisikan sebagai

ℂ = {z ∣ z = (a, b); a, b \in ℝ}

,^[3]

di mana $a$ adalah bagian riil, dinotasikan $ℜ (z)$ dan $b i$ adalah bagian imajiner, dinotasikan $ℑ (z)$ ,^[4] atau $Re (z)$ dan $Im (z)$ .^[5]

Fungsi elementer

Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni fungsi suku banyak, fungsi rasional, fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, fungsi logaritma (beserta inversnya), dan fungsi aljabar dan transenden.^[6]

Fungsi suku banyak

Dalam analisis kompleks, fungsi suku banyak didefinisikan sebagai

P (z) = a_{0} z^{n - 1} + a_{1} z^{n} + \dots + a_{n}

di mana $a_{0} \neq 0$ , $a_{1}, \dots, a_{n}$ adalah konstanta kompleks dan $n$ adalah bilangan bulat positif yang dinamakan derajat suku polinom $P (z)$ .^[7] Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa fungsi polinomial. Misalkan $P$ dan $Q$ adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga

R (z) = \frac{a_{0} z^{n} + a_{1} z^{n - 1} + \dots + a_{n}}{c_{0} z^{m} + c_{1} z^{m - 1} + \dots + c_{m}}

adalah fungsi rasional bilangan kompleks,^[8] dengan kasus khusus diperoleh

R (z) = \frac{a z + b}{c z + d}, a d - b c \neq 0

adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.^[9]

Fungsi eksponensial

Dalam cabang ini, eksponensial dapat memperluas deret kuasa fungsi eksponensial dari bilangan riil ke bilangan kompleks. Untuk suatu bilangan riil $θ$ ,

\begin{matrix} e^{i θ} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(i θ)^{n}}{n!} \\ = 1 + i θ + \frac{1}{2!} (i θ)^{2} + \frac{1}{3!} (i θ)^{3} + \frac{1}{4!} (i θ)^{4} + \dots \\ = (1 - \frac{θ^{2}}{2!} - \frac{θ^{4}}{4!} - \dots) + i (θ - \frac{θ^{3}}{3!} - \frac{θ^{5}}{5!} - \dots) \end{matrix}

Karena $\cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} \cdot x^{2 n}}{(2 n)!}$ dan $\sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} \cdot x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$ (lihat disini mengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

^[10]

Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagai rumus Euler.

Fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik beserta inversnya

Mengenai fungsi trigonometri cukup kita turunan rumus Euler, sehingga didapati

\sin z = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2 i}

dan

\cos z = \frac{e^{i z} + e^{i z}}{2}

Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks.^[11] Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik^[12] (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.^[13]

Fungsi logaritma

Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi logaritma alami terhadap bilangan kompleks bukan nol. Misalkan $w = \log z$ , di mana $z = e^{a + b i} = e^{a} \cdot e^{b i}$ dan persamaan ini ekuivalen dengan

e^{a} = | w | dan e^{b} = \frac{w}{| w |}

.^[14]

Dengan substitusi, maka diperoleh

w = \log e^{a} + \log e^{b i} = \log | w | + i \arg w

^[15]

di mana $b = \arg w$ .

Limit dan kekontinuan

Suatu fungsi $f (z)$ terdefinisi atau mempunyai limit $L$ untuk $z$ mendekati $z_{0}$ dituliskan sebagai

lim_{z \to z_{0}} f (z) = L

.^[16]

Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakan definsi limit (ε,δ).

Turunan

Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggap $z$ adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan di $z_{0}$ , maka turunan $f$ dirumuskan

f^{'} (z_{0}) = lim_{Δ z \to 0} \frac{f (z_{0} - Δ z) - f (z_{0})}{Δ z}

atau

f^{'} (z_{0}) = lim_{z \to z_{0}} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}}

.^[17]

Integral

Dalam analisis kompleks, integral mirip dengan analisis riil (termasuk juga dengan kalkulus), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkan $f (t)$ adalah fungsi kompleks dengan variabel riil $t$ di mana $f (t) = u (t) + i \cdot v (t)$ sehingga $u (t)$ dan $v (t)$ kontinu di interval $[a, b]$ . Kita dapat menuliskannya sebagai

\int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} u (t) d t + i \int_{a}^{b} v (t) d t

.^[18]

Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:

Integral lintasan, yaitu suatu integral yang didefinisikan dalam bentuk $f (z)$ sepanjang lintasan $C$ dari $z_{1}$ hingga ke $z_{2}$ . Ini dapat ditulis sebagai

$\int_{C} f (z) d z$ atau $\int_{z_{1}}^{z_{2}} f (z) d z$ .^[19]

Integral kontur, metode menghitung integral tertentu di sepanjang lintasan dalam bidang kompleks.^[20]^[21]^[22]
Teorema integral Cauchy atau dikenal teorema Cauchy–Goursat adalah pernyataan penting tentang integral garis terhadap fungsi holomorfik dalam bidang kompleks. Teorema ini berbunyi

Residu

Residu dalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagai $Res (f, c)$ atau ${Res}_{c} f$ . Misal $f$ adalah fungsi yang analitik di titik $z_{0}$ , yang dapat diekspansi ke dalam deret Laurent yang berbentuk

f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}

.

Pada koefisien $a_{- 1}$ , terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk $\frac{1}{z - z_{0}}$ dinamakan residu $f$ pada $z_{0}$ . Ini ditulis dengan

a_{- 1} = Res (f, z_{0})

.^[23]

Teorema residu Cauchy

Teorema residu (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. Diberikan $C$ adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik $z_{1}, \dots, z_{n}$ yang masing-masing merupakan singularitas terasing $f$ . Maka,

\int_{C} f (z) d z = 2 π i \sum_{k = 1}^{n} Res (f, z_{k})

^[24]

atau kita tuliskan sebagai

\int_{C} f (z) d z = 2 π i \sum_{k = 1}^{n} \underset{z = z_{k}}{Res} f (z)

.^[25]

Pemetaan konformal

Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah sudut. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.

Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, $w = f (z) = f (x + i y)$ , beserta sebarang dua kurva $C_{1}$ , $C_{2}$ pada bidang $z$ berpotongan pada titik $(x_{0}, y_{0})$ dipetakan berturut-turut sebagai kurva $C_{1}$ dan $C_{2}$ pada bidang $w$ yang berpotongan di $(u_{0}, v_{0})$ antara kurva $C_{1}$ dan $C_{2}$ , maka pemetaan $w = f (z) = f (x + i y)$ konformal pada $(x_{0}, y_{0})$ .^[26]

Dimensi fraktal dalam bilangan kompleks

Dimensi fraktal merupakan dimensi dengan rasio yang memberikan kompleksitas indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam pola fraktal berubah skalanya pada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalah himpunan Julia dan himpunan Mandelbrot.^[27]

Himpunan Julia

Himpunan Julia, himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis, Gaston Julia, merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks.^[28] Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah

z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c, c \in ℂ

.

Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat dengan himpunan Mandelbrot.^[29]

Himpunan Mandelbrot

Himpunan Mandelbrot, dinamai dari Benoît Mandelbrot (matematikawan berkebangsaan Prancis dan Amerika Serikat) merupakan kumpulan titik-titik $c$ pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsi $z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c$ dengan nilai awal $z$ bernilai $0$ .^[30]

Hubungan analisis kompleks dengan cabang lainnya

Analisis kompleks berguna terhadap cabang matematika lainnya, diantaranya: geometri aljabar, hubungan di mana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitu geometri kompleks; teori bilangan, salah satunya hipotesis Riemann, berasal dari Masalah Milenium. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.^[31]; dan kombinatorik analitik, di mana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti deret Taylor, deret Laurent, dan teorema binomial.^[32]

Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya: hidrodinamika atau dinamika fluida, di mana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.^[33]; termodinamika, di mana hipotesis Riemann berhubungan dengan mekanika statistik, lihat gas Riemann bebas (en); dan mekanika kuantum, bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing Schrödinger, studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.^[34]

Lihat pula

Analisis real atau analisis riil, cabang yang membahas analisis mengenai bilangan riil.
Daftar topik analisis kompleks, meliputi topik yang berkenaan dengan analisis kompleks.

Referensi

↑ Fitri Aryani (2014). Sifat Subkelas Fungsi Univalen, hlm. 1
↑ Ahmad Lubab M.Si., Fungsi kompleks, Buku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya. hlm. 6
↑ Endang Dedy, M.Si, Encum Sumianti, M.Si, Fungsi Variabel Kompleks. PT Bumi Aksara, hlm. 1. ISBN 978-602-444-713-7
↑ Ahmad Lubab M.Si., Fungsi kompleks, Buku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya. hlm. 6
↑ Endang Dedy, M.Si, Encum Sumianti, M.Si, Fungsi Variabel Kompleks. PT Bumi Aksara, hlm. 1. ISBN 978-602-444-713-7
↑ Dr. Kadir M.Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 61. ISBN 978-602-346-028-1.
↑ Dr. Kadir M.Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 61. ISBN 978-602-346-028-1.
↑ Lars V. Ahlfors. Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition. hlm. 30.
↑ Dr. Kadir M. Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 62. ISBN 978-602-346-028-1.
↑ John. M. Howie. Complex Analysis. January 2003. hlm. 24.
↑ Dr. Kadir M.Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 70. ISBN 978-602-346-028-1.
↑ Dr. Kadir M. Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 77. ISBN 978-602-346-028-1.
↑ Dr. Kadir M. Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 86. ISBN 978-602-346-028-1.
↑ Lars V. Ahlfors. Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition. hlm. 46.
↑ John. M. Howie. Complex Analysis. January 2003. hlm. 24.
↑ Dr. Kadir M.Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 97. ISBN 978-602-346-028-1.
↑ Dr. Kadir M.Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 116. ISBN 978-602-346-028-1.
↑ Nurwan, S.Pd. M.Si, 2019, Integral Kompleks, hlm. 1
↑ Drs. Bainnudin Yani, M.S., M.Pd. Dr. Anwar, Drs. Syahjuzar M.Si, Pengantar Analisis Kompleks, Syiah Kuala Universitas Press, hlm. 127. ISBN 978-602-5679-03-2
↑ John Stalker. Complex Analysis: Fundamentals of the Classical Theory of Functions. Springer. 1998. hlm. 77. ISBN 0-8176-4038-X.
↑ Joseph Bak. Complex Analysis. Springer. 1997. hlm. 130–156. ISBN 0-387-94756-6.
↑ Steven George Krantz. Handbook of Complex Variables. Springer. 1999. ISBN 0-8176-4011-8.
↑ Dian Devita Yohanie, Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral, hlm. 17.
↑ Dian Devita Yohanie, Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral, hlm. 20 (teorema 1).
↑ Residu dan Pole, hlm. 5.
↑ H. A. Parhusip, Sulistyono, Pemetaan Konformal Dan Modifikasinya Untuk Suatu Bidang Persegi, hlm. AA-43.
↑ Yohanes Dimas Nugrahanto Wibowo, Dimensi Hausdorff dari Beberapa Bangun Fraktal , hlm. 75.
↑ Titik Murwani, Dimensi Fraktal Himpunan Julia , hlm. 63.
↑ Titik Murwani, Dimensi Fraktal Himpunan Julia , hlm. 63.
↑ Endang Ekowati, Pewarnaan Himpunan Mandelbrot, hlm. 4.
↑ Hendra Gunawan, Fungsi zeta Riemann & Hipotesis Riemann.
↑ Siti Ayu Setia Nastiti, Fungsi Pembangkit dari Polinomial Chebyshev Berdasarkan Ekspansi Binomial (1 - te^{i \theta})^{- \mu} , hlm. 11.
↑ Evita Chandra, Aplikasi Bilangan Kompleks pada Dinamika Fluida.
↑ Hendradi Hardhienata, Tutorial Mekanika Kuantum, (ver.1.1 [16.01.14] Vol. I.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29302385 (2026-06-01T08:18:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Fitri Aryani (2014). Sifat Subkelas Fungsi Univalen, hlm. 1

[2] Ahmad Lubab M.Si., Fungsi kompleks, Buku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya. hlm. 6

[3] Endang Dedy, M.Si, Encum Sumianti, M.Si, Fungsi Variabel Kompleks. PT Bumi Aksara, hlm. 1. ISBN 978-602-444-713-7

[4] Ahmad Lubab M.Si., Fungsi kompleks, Buku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya. hlm. 6

[5] Endang Dedy, M.Si, Encum Sumianti, M.Si, Fungsi Variabel Kompleks. PT Bumi Aksara, hlm. 1. ISBN 978-602-444-713-7

[6] Dr. Kadir M.Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 61. ISBN 978-602-346-028-1.

[7] Dr. Kadir M.Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 61. ISBN 978-602-346-028-1.

[8] Lars V. Ahlfors. Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition. hlm. 30.

[9] Dr. Kadir M. Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 62. ISBN 978-602-346-028-1.

[10] John. M. Howie. Complex Analysis. January 2003. hlm. 24.

[11] Dr. Kadir M.Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 70. ISBN 978-602-346-028-1.

[12] Dr. Kadir M. Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 77. ISBN 978-602-346-028-1.

[13] Dr. Kadir M. Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 86. ISBN 978-602-346-028-1.

[14] Lars V. Ahlfors. Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition. hlm. 46.

[15] John. M. Howie. Complex Analysis. January 2003. hlm. 24.

[16] Dr. Kadir M.Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 97. ISBN 978-602-346-028-1.

[17] Dr. Kadir M.Pd. Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 116. ISBN 978-602-346-028-1.

[18] Nurwan, S.Pd. M.Si, 2019, Integral Kompleks, hlm. 1

[19] Drs. Bainnudin Yani, M.S., M.Pd. Dr. Anwar, Drs. Syahjuzar M.Si, Pengantar Analisis Kompleks, Syiah Kuala Universitas Press, hlm. 127. ISBN 978-602-5679-03-2

[20] John Stalker. Complex Analysis: Fundamentals of the Classical Theory of Functions. Springer. 1998. hlm. 77. ISBN 0-8176-4038-X.

[21] Joseph Bak. Complex Analysis. Springer. 1997. hlm. 130–156. ISBN 0-387-94756-6.

[22] Steven George Krantz. Handbook of Complex Variables. Springer. 1999. ISBN 0-8176-4011-8.

[23] Dian Devita Yohanie, Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral, hlm. 17.

[24] Dian Devita Yohanie, Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral, hlm. 20 (teorema 1).

[25] Residu dan Pole, hlm. 5.

[26] H. A. Parhusip, Sulistyono, Pemetaan Konformal Dan Modifikasinya Untuk Suatu Bidang Persegi, hlm. AA-43.

[27] Yohanes Dimas Nugrahanto Wibowo, Dimensi Hausdorff dari Beberapa Bangun Fraktal , hlm. 75.

[28] Titik Murwani, Dimensi Fraktal Himpunan Julia , hlm. 63.

[29] Titik Murwani, Dimensi Fraktal Himpunan Julia , hlm. 63.

[30] Endang Ekowati, Pewarnaan Himpunan Mandelbrot, hlm. 4.

[31] Hendra Gunawan, Fungsi zeta Riemann & Hipotesis Riemann.

[32] Siti Ayu Setia Nastiti, Fungsi Pembangkit dari Polinomial Chebyshev Berdasarkan Ekspansi Binomial (1 - te^{i \theta})^{- \mu} , hlm. 11.

[33] Evita Chandra, Aplikasi Bilangan Kompleks pada Dinamika Fluida.

[34] Hendradi Hardhienata, Tutorial Mekanika Kuantum, (ver.1.1 [16.01.14] Vol. I.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam [[matematika]], '''analisis kompleks''' (), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari [[bilangan kompleks]] (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni [[bilangan real|bilangan riil]] dan [[bilangan imajiner]]).
+Dalam [[matematika]], '''analisis kompleks''' (), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari [[bilangan kompleks]] (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni [[bilangan real|bilangan riil]] dan [[bilangan imajiner]]<ref>Fitri Aryani (2014). Sifat Subkelas Fungsi Univalen, hlm. 1</ref>).
 Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai '''teori fungsi variabel kompleks''' atau '''teori fungsi peubah kompleks'''.
@@ Baris 7: / Baris 7: @@
 === Bilangan kompleks ===
 Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni [[bilangan real|bilangan riil]] dan [[Bilangan imajiner|imajiner]]. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan <math>z</math> adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan
-:<math>z = \{a + bi \mid a, b \in \R \}</math>
+:<math>z = \{a + bi \mid a, b \in \R \}</math><ref>Ahmad Lubab M.Si., ''Fungsi kompleks, Buku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya''. hlm. 6</ref>
 serta himpunannya didefinisikan sebagai
-:<math>\C = \{z \mid z = (a,b); a, b \in \R\}</math>,
+:<math>\C = \{z \mid z = (a,b); a, b \in \R\}</math>,<ref>Endang Dedy, M.Si, Encum Sumianti, M.Si, ''Fungsi Variabel Kompleks''. PT Bumi Aksara, hlm. 1. ISBN 978-602-444-713-7</ref>
-di mana <math>a</math> adalah [[bagian real|bagian riil]], dinotasikan <math>\Re(z)</math> dan <math>bi</math> adalah [[bagian imajiner]], dinotasikan <math>\Im(z)</math>, atau <math>\operatorname{Re}(z)</math> dan <math>\operatorname{Im}(z)</math>.
+di mana <math>a</math> adalah [[bagian real|bagian riil]], dinotasikan <math>\Re(z)</math> dan <math>bi</math> adalah [[bagian imajiner]], dinotasikan <math>\Im(z)</math>,<ref>Ahmad Lubab M.Si., ''Fungsi kompleks, Buku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya''. hlm. 6</ref> atau <math>\operatorname{Re}(z)</math> dan <math>\operatorname{Im}(z)</math>.<ref>Endang Dedy, M.Si, Encum Sumianti, M.Si, ''Fungsi Variabel Kompleks''. PT Bumi Aksara, hlm. 1. ISBN 978-602-444-713-7</ref>
 === Fungsi elementer ===
-Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni [[Suku banyak|fungsi suku banyak]], [[fungsi rasional]], [[fungsi eksponensial]], [[Fungsi trigonometrik|fungsi trigonometri]], [[fungsi hiperbolik]], [[fungsi logaritma]] (beserta inversnya), dan [[Fungsi transendental|fungsi aljabar dan transenden]].
+Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni [[Suku banyak|fungsi suku banyak]], [[fungsi rasional]], [[fungsi eksponensial]], [[Fungsi trigonometrik|fungsi trigonometri]], [[fungsi hiperbolik]], [[fungsi logaritma]] (beserta inversnya), dan [[Fungsi transendental|fungsi aljabar dan transenden]].<ref>Dr. Kadir M.Pd. [https://repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/45214/1/33.%20Fungsi%20Peubah%20Kompleks.pdf Fungsi Peubah Kompleks]. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 61. ISBN 978-602-346-028-1.</ref>
 ==== Fungsi suku banyak ====
@@ Baris 27: / Baris 25: @@
 :<math>P(z) = a_0z^{n-1} + a_1 z^n + \dots + a_n</math>
-di mana <math>a_0 \ne 0</math>, <math>a_1, \dots, a_n</math> adalah konstanta kompleks dan <math>n</math> adalah [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] yang dinamakan derajat suku polinom <math>P(z)</math>. Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa [[fungsi polinomial]]. Misalkan <math>P</math> dan <math>Q</math> adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga
+di mana <math>a_0 \ne 0</math>, <math>a_1, \dots, a_n</math> adalah konstanta kompleks dan <math>n</math> adalah [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] yang dinamakan derajat suku polinom <math>P(z)</math>.<ref>Dr. Kadir M.Pd. [https://repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/45214/1/33.%20Fungsi%20Peubah%20Kompleks.pdf Fungsi Peubah Kompleks]. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 61. ISBN 978-602-346-028-1.</ref> Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa [[fungsi polinomial]]. Misalkan <math>P</math> dan <math>Q</math> adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga
 :<math>R(z) = \frac{a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}}{c_{0}z^{m}+c_{1}z^{m-1}+\cdots +c_{m}}</math>
-adalah fungsi rasional bilangan kompleks, dengan kasus khusus diperoleh
+adalah fungsi rasional bilangan kompleks,<ref>Lars V. Ahlfors. [https://people.math.gatech.edu/~mccuan/courses/6321/lars-ahlfors-complex-analysis-third-edition-mcgraw-hill-science_engineering_math-1979.pdf Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition]. hlm. 30.</ref> dengan kasus khusus diperoleh
 :<math>R(z) = \frac{az + b}{cz + d}, \quad ad - bc \ne 0</math>
-adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.
+adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.<ref>Dr. Kadir M. Pd. ''Fungsi Peubah Kompleks''. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 62. ISBN 978-602-346-028-1.</ref>
 ==== Fungsi eksponensial ====
@@ Baris 48: / Baris 46: @@
 Karena <math>\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!}</math> dan <math>\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> (lihat di[[Deret Taylor#Fungsi trigonometri|sini]] mengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka
-:<math>e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta</math>
+:<math>e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta</math><ref>John. M. Howie. ''Complex Analysis''. January 2003. hlm. 24.</ref>
 Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagai [[rumus Euler]].
@@ Baris 57: / Baris 55: @@
 :<math>\sin z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2i}</math> dan <math>\cos z = \frac{e^{iz} + e^{iz}}{2}</math>
-Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks. Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.
+Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks.<ref>Dr. Kadir M.Pd. [https://repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/45214/1/33.%20Fungsi%20Peubah%20Kompleks.pdf Fungsi Peubah Kompleks]. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 70. ISBN 978-602-346-028-1.</ref> Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik<ref>Dr. Kadir M. Pd. [https://repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/45214/1/33.%20Fungsi%20Peubah%20Kompleks.pdf Fungsi Peubah Kompleks]. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 77. ISBN 978-602-346-028-1.</ref> (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.<ref>Dr. Kadir M. Pd. [https://repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/45214/1/33.%20Fungsi%20Peubah%20Kompleks.pdf Fungsi Peubah Kompleks]. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 86. ISBN 978-602-346-028-1.</ref>
 ==== Fungsi logaritma ====
 Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi [[logaritma alami]] terhadap [[bilangan kompleks]] bukan nol. Misalkan <math>w = \log z</math>, di mana <math>z = e^{a+bi} = e^a \cdot e^{bi}</math> dan persamaan ini ekuivalen dengan
-:<math>e^a = \left|w \right| \quad \text{ dan } \quad e^b = \frac{w}</math>.
+:<math>e^a = \left|w \right| \quad \text{ dan } \quad e^b = \frac{w}{|w|}</math>.<ref>Lars V. Ahlfors. ''Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition''. hlm. 46.</ref>
 Dengan substitusi, maka diperoleh
-:<math>w = \log e^a + \log e^{bi} = \log |w| + i \arg w</math>
+:<math>w = \log e^a + \log e^{bi} = \log |w| + i \arg w</math><ref>John. M. Howie. ''Complex Analysis''. January 2003. hlm. 24.</ref>
 di mana <math>b = \arg w</math>.
@@ Baris 74: / Baris 71: @@
 Suatu fungsi <math>f(z)</math> terdefinisi atau mempunyai limit <math>L</math> untuk <math>z</math> mendekati <math>z_0</math> dituliskan sebagai
-:<math>\lim_{z \to z_0} f(z) = L</math>.
+:<math>\lim_{z \to z_0} f(z) = L</math>.<ref>Dr. Kadir M.Pd. [https://repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/45214/1/33.%20Fungsi%20Peubah%20Kompleks.pdf Fungsi Peubah Kompleks]. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 97. ISBN 978-602-346-028-1.</ref>
 Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakan [[Definisi limit (ε, δ)|definsi limit (ε,δ)]].
 === Turunan ===
 Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggap <math>z</math> adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan di <math>z_0</math>, maka turunan <math>f</math> dirumuskan
-:<math>f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 - \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}</math> atau <math>f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}</math>.
+:<math>f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 - \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}</math> atau <math>f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}</math>.<ref>Dr. Kadir M.Pd. [https://repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/45214/1/33.%20Fungsi%20Peubah%20Kompleks.pdf Fungsi Peubah Kompleks]. UIN JAKARTA PRESS. Februari 2016. hlm. 116. ISBN 978-602-346-028-1.</ref>
 === Integral ===
 Dalam analisis kompleks, integral mirip dengan [[analisis riil]] (termasuk juga dengan [[kalkulus]]), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkan <math>f(t)</math> adalah fungsi kompleks dengan variabel riil <math>t</math> di mana <math>f(t) = u(t) + i \cdot v(t)</math> sehingga <math>u(t)</math> dan <math>v(t)</math> [[Fungsi kontinu|kontinu]] di interval <math>[a,b]</math>. Kita dapat menuliskannya sebagai
-:<math>\int_a ^b f(t)\, \mathrm dt = \int_a ^b u(t) \, \mathrm dt + i \int_a ^b v(t) \, \mathrm dt</math>.
+:<math>\int_a ^b f(t)\, \mathrm dt = \int_a ^b u(t) \, \mathrm dt + i \int_a ^b v(t) \, \mathrm dt</math>.<ref>Nurwan, S.Pd. M.Si, 2019, ''Integral Kompleks'', hlm. 1</ref>
 Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:
 * '''Integral lintasan''', yaitu suatu integral yang didefinisikan dalam bentuk <math>f(z)</math> sepanjang lintasan <math>C</math> dari <math>z_1</math> hingga ke <math>z_2</math>. Ini dapat ditulis sebagai
-<blockquote><math>\int_C f(z) \, \mathrm dz</math> atau <math>\int_{z_1} ^{z_2} f(z) \, \mathrm dz</math>.</blockquote>
+<blockquote><math>\int_C f(z) \, \mathrm dz</math> atau <math>\int_{z_1} ^{z_2} f(z) \, \mathrm dz</math>.<ref>Drs. Bainnudin Yani, M.S., M.Pd. Dr. Anwar, Drs. Syahjuzar M.Si, ''[https://www.google.co.id/books/edition/Pengantar_Analisis_Kompleks/ipDPDwAAQBAJ?hl=en&gbpv=0 Pengantar Analisis Kompleks]'', Syiah Kuala Universitas Press, hlm. 127. ISBN 978-602-5679-03-2</ref></blockquote>
-* '''[[Integral kontur]]''', metode menghitung integral tertentu di sepanjang lintasan dalam bidang kompleks.
+* '''[[Integral kontur]]''', metode menghitung integral tertentu di sepanjang lintasan dalam bidang kompleks.<ref>John Stalker. [https://books.google.com/books?id=yl3GIXd3dFIC&q=%22calculus+of+residues%22&pg=PP12 Complex Analysis: Fundamentals of the Classical Theory of Functions]. Springer. 1998. hlm. 77. ISBN 0-8176-4038-X.</ref><ref>Joseph Bak. [https://books.google.com/books?id=JX2YSgfZwbYC&q=%22contour+integral%22&pg=PA130 Complex Analysis]. Springer. 1997. hlm. 130–156. ISBN 0-387-94756-6.</ref><ref>Steven George Krantz. [https://books.google.com/books?id=aYU2AdF_0dIC&q=Calculus++Residues+inauthor:krantz&pg=PT13 Handbook of Complex Variables]. Springer. 1999. ISBN 0-8176-4011-8.</ref>
 * '''[[Teorema integral Cauchy]]''' atau dikenal '''[[teorema Cauchy–Goursat]]''' adalah pernyataan penting tentang [[integral garis]] terhadap fungsi holomorfik dalam bidang kompleks. Teorema ini berbunyi
 *
 === Residu ===
 [[Residu (analisis kompleks)|Residu]] dalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagai <math>\operatorname{Res}(f,c)</math> atau <math>\operatorname{Res}_c f</math>. Misal <math>f</math> adalah fungsi yang analitik di titik <math>z_0</math>, yang dapat diekspansi ke dalam [[deret Laurent]] yang berbentuk
@@ Baris 108: / Baris 102: @@
 Pada koefisien <math>a_{-1}</math>, terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk <math>\frac{1}{z - z_0}</math> dinamakan residu <math>f</math> pada <math>z_0</math>. Ini ditulis dengan
-:<math>a_{-1} = \operatorname{Res}(f,z_0)</math>.
+:<math>a_{-1} = \operatorname{Res}(f,z_0)</math>.<ref>Dian Devita Yohanie, ''[http://lp2m.unpkediri.ac.id/jurnal/pages/efektor/Nomor17/master%20dian.pdf Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral]'', hlm. 17.</ref>
 ==== Teorema residu Cauchy ====
 [[Teorema residu]] (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan [[Deret (matematika)|deret takhingga]] juga. Diberikan <math>C</math> adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik <math>z_1,\dots,z_n</math> yang masing-masing merupakan singularitas terasing <math>f</math>. Maka,
-:<math>\int_C f(z) \, \mathrm dz = 2\pi i \sum_{k = 1}^n \operatorname{Res}(f,z_k)</math>
+:<math>\int_C f(z) \, \mathrm dz = 2\pi i \sum_{k = 1}^n \operatorname{Res}(f,z_k)</math><ref>Dian Devita Yohanie, ''[http://lp2m.unpkediri.ac.id/jurnal/pages/efektor/Nomor17/master%20dian.pdf Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral]'', hlm. 20 (teorema 1).</ref>
 atau kita tuliskan sebagai
-:<math>\int_C f(z) \, \mathrm dz = 2 \pi i \sum_{k = 1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} f(z)</math>.
+:<math>\int_C f(z) \, \mathrm dz = 2 \pi i \sum_{k = 1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} f(z)</math>.<ref>''[http://staffnew.uny.ac.id/upload/131656357/pendidikan/residu-dan-pole-hal-1-xvii.pdf Residu dan Pole]'', hlm. 5.</ref>
 === Pemetaan konformal ===
 Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah [[Sudut (geometri)|sudut]]. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.
-Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, <math>w = f(z) = f(x + iy)</math>, beserta sebarang dua kurva <math>C_1</math>, <math>C_2</math> pada bidang <math>z</math> berpotongan pada titik <math>(x_0,y_0)</math> dipetakan berturut-turut sebagai kurva <math>C_1</math> dan <math>C_2</math> pada bidang <math>w</math> yang berpotongan di <math>(u_0,v_0)</math> antara kurva <math>C_1</math> dan <math>C_2</math>, maka pemetaan <math>w = f(z) = f(x + iy)</math> konformal pada <math>(x_0,y_0)</math>.
+Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, <math>w = f(z) = f(x + iy)</math>, beserta sebarang dua kurva <math>C_1</math>, <math>C_2</math> pada bidang <math>z</math> berpotongan pada titik <math>(x_0,y_0)</math> dipetakan berturut-turut sebagai kurva <math>C_1</math> dan <math>C_2</math> pada bidang <math>w</math> yang berpotongan di <math>(u_0,v_0)</math> antara kurva <math>C_1</math> dan <math>C_2</math>, maka pemetaan <math>w = f(z) = f(x + iy)</math> konformal pada <math>(x_0,y_0)</math>.<ref>H. A. Parhusip, Sulistyono, ''[https://www.researchgate.net/profile/Hanna-Parhusip/publication/312210534_Pemetaaan_Konformal_dan_Modifikasinya_untuk_suatu_Bidang_Persegi/links/58763b3b08ae8fce492dcbe1/Pemetaaan-Konformal-dan-Modifikasinya-untuk-suatu-Bidang-Persegi.pdf Pemetaan Konformal Dan Modifikasinya Untuk Suatu Bidang Persegi]'', hlm. AA-43.</ref>
 == Dimensi fraktal dalam bilangan kompleks ==
+[[Dimensi fraktal]] merupakan dimensi dengan rasio yang memberikan [[kompleksitas]] indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam [[pola]] [[fraktal]] berubah [[Skala (geometri)|skalanya]] pada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalah [[himpunan Julia]] dan [[himpunan Mandelbrot]].<ref>Yohanes Dimas Nugrahanto Wibowo, ''[http://repository.usd.ac.id/27101/2/093114006_full.pdf Dimensi Hausdorff dari Beberapa Bangun Fraktal] '', hlm. 75.</ref>
-[[Dimensi fraktal]] merupakan dimensi dengan rasio yang memberikan [[kompleksitas]] indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam [[pola]] [[fraktal]] berubah [[Skala (geometri)|skalanya]] pada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalah [[himpunan Julia]] dan [[himpunan Mandelbrot]].
 === Himpunan Julia ===
+[[Himpunan Julia]], himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis, [[Gaston Julia]], merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks.<ref>Titik Murwani, ''[https://repository.usd.ac.id/2272/2/063114002_Full.pdf Dimensi Fraktal Himpunan Julia] '', hlm. 63.</ref> Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah
-[[Himpunan Julia]], himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis, [[Gaston Julia]], merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks. Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah
 : <math>z_{n+1} = z_n^2 + c, \quad c \in \C</math>.
-Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat dengan [[himpunan Mandelbrot]].
+Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat dengan [[himpunan Mandelbrot]].<ref>Titik Murwani, ''[https://repository.usd.ac.id/2272/2/063114002_Full.pdf Dimensi Fraktal Himpunan Julia] '', hlm. 63.</ref>
 === Himpunan Mandelbrot ===
+Himpunan Mandelbrot, dinamai dari [[Benoît Mandelbrot]] (matematikawan berkebangsaan Prancis dan [[Amerika Serikat]]) merupakan kumpulan titik-titik <math>c</math> pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsi <math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math> dengan nilai awal <math>z</math> bernilai <math>0</math>.<ref>Endang Ekowati, ''[http://repository.unej.ac.id/handle/123456789/85444 Pewarnaan Himpunan Mandelbrot]'', hlm. 4.</ref>
-Himpunan Mandelbrot, dinamai dari [[Benoît Mandelbrot]] (matematikawan berkebangsaan Prancis dan [[Amerika Serikat]]) merupakan kumpulan titik-titik <math>c</math> pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsi <math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math> dengan nilai awal <math>z</math> bernilai <math>0</math>.
 == Hubungan analisis kompleks dengan cabang lainnya ==
-Analisis kompleks berguna terhadap cabang matematika lainnya, diantaranya: [[geometri aljabar]], hubungan di mana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitu [[geometri kompleks]]; [[teori bilangan]], salah satunya [[hipotesis Riemann]], berasal dari [[Masalah Milenium]]. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.; dan [[kombinatorik analitik]], di mana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti [[deret Taylor]], [[deret Laurent]], dan [[teorema binomial]].
+Analisis kompleks berguna terhadap cabang matematika lainnya, diantaranya: [[geometri aljabar]], hubungan di mana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitu [[geometri kompleks]]; [[teori bilangan]], salah satunya [[hipotesis Riemann]], berasal dari [[Masalah Milenium]]. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.<ref>Hendra Gunawan, [https://bermatematikadotnet.files.wordpress.com/2018/09/fungsi-zeta-riemann-hipotesis-riemann.pdf ''Fungsi zeta Riemann & Hipotesis Riemann''].</ref>; dan [[kombinatorik analitik]], di mana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti [[deret Taylor]], [[deret Laurent]], dan [[teorema binomial]].<ref>Siti Ayu Setia Nastiti, ''[http://lib.ui.ac.id/file?file=digital/20319595-S42449-Fungsi%20pembangkit.pdf Fungsi Pembangkit dari Polinomial Chebyshev Berdasarkan Ekspansi Binomial (1 - te^{i \theta})^{- \mu} ]'', hlm. 11.</ref>
-Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya: [[hidrodinamika]] atau [[dinamika fluida]], di mana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.; [[termodinamika]], di mana [[hipotesis Riemann]] berhubungan dengan [[Mekanika statistika|mekanika statistik]], lihat [[Gas Riemann bebas#Mekanika statistik|gas Riemann bebas]] ([[Free Riemann gas#Statistical mechanics|en]]); dan [[mekanika kuantum]], bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]], studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.
+Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya: [[hidrodinamika]] atau [[dinamika fluida]], di mana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.<ref>Evita Chandra, ''[https://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/AljabarGeometri/2015-2016/Makalah-2015/Makalah-IF2123-2015-049.pdf Aplikasi Bilangan Kompleks pada Dinamika Fluida].''</ref>; [[termodinamika]], di mana [[hipotesis Riemann]] berhubungan dengan [[Mekanika statistika|mekanika statistik]], lihat [[Gas Riemann bebas#Mekanika statistik|gas Riemann bebas]] ([[Free Riemann gas#Statistical mechanics|en]]); dan [[mekanika kuantum]], bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]], studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.<ref>Hendradi Hardhienata, [https://perpustakaan.gunungsitolikota.go.id/uploaded_files/temporary/DigitalCollection/MDYzZGQxNTk5OWZlNGUxYTE0ZjQyZjI2YTRmMjFiMzNlY2M1OTE4Nw==.pdf ''Tutorial Mekanika Kuantum''], (ver.1.1 [16.01.14] Vol. I.</ref>
 *
 == Lihat pula ==
 * [[Analisis real]] atau [[analisis riil]], cabang yang membahas [[Analisis matematis|analisis]] mengenai [[bilangan riil]].
 * [[Daftar topik analisis kompleks]], meliputi topik yang berkenaan dengan analisis kompleks.
 == Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis+kompleks&oldid=29302385 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29302385 (2026-06-01T08:18:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)