Hukum gerak Euler: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 26 Agustus 2026 23.05

Dalam mekanika klasik, hukum gerak Euler (Bahasa Inggris: Euler's Laws of Motion) adalah persamaan gerak yang memperluas hukum gerak Newton untuk partikel titik ke gerak benda tegar.^[1] Hukum ini dirumuskan oleh Leonhard Euler sekitar 50 tahun setelah Isaac Newton merumuskan hukum-hukumnya.

Ikhtisar

Hukum pertama Euler

Hukum pertama Euler menyatakan bahwa laju perubahan momentum linier p dari sebuah benda tegar sama dengan resultan semua gaya eksternal F_ext yang bekerja pada benda tersebut.^[2]

$F_{ext} = \frac{d 𝐩}{d t}$

Gaya internal antar partikel yang membentuk sebuah benda tidak berkontribusi dalam mengubah momentum benda karena ada gaya yang sama dan berlawanan sehingga tidak ada efek bersih.^[3]

Momentum linier benda tegar adalah hasil kali antara massa benda dan kecepatan pusat massanya, v_cm.^[4]^[5]^[6]

Hukum kedua Euler

Hukum kedua Euler menyatakan bahwa laju perubahan momentum sudut L terhadap suatu titik yang ditetapkan dalam kerangka acuan inersia (sering kali merupakan pusat massa benda), sama dengan jumlah momen gaya eksternal (torsi) yang bekerja pada benda M terhadap titik tersebut.^[7]^[8]^[9]

$𝐌 = \frac{d 𝐋}{d t}$

Perhatikan bahwa rumus di atas hanya berlaku jika M dan L dihitung terhadap kerangka inersia tetap atau kerangka yang sejajar dengan kerangka inersia tetapi tetap pada pusat massa. Untuk benda tegar yang bertranslasi dan berotasi hanya dalam dua dimensi, hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut.^[10]

$𝐌 = 𝐫_{c m} \times 𝐚_{c m} m + I 𝜶$

di mana:

r_cm adalah vektor posisi pusat massa benda terhadap titik di mana momen dijumlahkan,
a_cm adalah percepatan linier pusat massa benda,
m adalah massa benda,
α adalah percepatan sudut benda, dan
I adalah momen inersia benda terhadap pusat massanya.

Penjelasan dan turunan

Distribusi gaya internal dalam benda yang dapat berubah bentuk tidak selalu sama di seluruh bagian, yaitu tekanan bervariasi dari satu titik ke titik berikutnya. Variasi gaya internal di seluruh benda ini diatur oleh hukum gerak kedua Newton tentang kekekalan momentum linier dan momentum sudut, di mana penggunaan yang paling sederhana diterapkan pada partikel bermassa, tetapi diperluas dalam mekanika kontinum menjadi benda bermassa yang terdistribusi secara kontinu. Untuk benda kontinu, hukum-hukum ini disebut hukum gerak Euler.^[11]

Gaya total benda yang diterapkan pada benda kontinu dengan massa m, massa jenis ρ, dan volume V, adalah integral volume yang diintegrasikan pada volume benda:

$𝐅_{B} = \int_{V} 𝐛 d m = \int_{V} 𝐛 ρ d V$

di mana b adalah gaya yang bekerja pada benda per satuan massa (dimensi percepatan, yang secara keliru disebut "gaya benda"), dan dm = ρ dV adalah elemen massa benda yang sangat kecil.

Gaya benda dan gaya kontak yang bekerja pada benda menyebabkan momen (torsi) yang sesuai dari gaya-gaya tersebut relatif terhadap titik tertentu. Dengan demikian, torsi total yang diterapkan M tentang titik asal berasal dari:

$𝐌 = 𝐌_{B} + 𝐌_{C}$

di mana M_B dan M_C masing-masing menunjukkan momen yang disebabkan oleh benda dan gaya kontak.

Dengan demikian, jumlah semua gaya dan torsi yang diterapkan (sehubungan dengan asal sistem koordinat) yang bekerja pada benda dapat diberikan sebagai jumlah volume dan integral permukaan:

$𝐅 = \int_{V} 𝐚 d m = \int_{V} 𝐚 ρ d V = \int_{S} 𝐭 d S + \int_{V} 𝐛 ρ d V$

$𝐌 = 𝐌_{B} + 𝐌_{C} = \int_{S} 𝐫 \times 𝐭 d S + \int_{V} 𝐫 \times 𝐛 ρ d V$

di mana t = t(n) disebut traksi permukaan, diintegrasikan di atas permukaan benda, di mana n menunjukkan vektor satuan normal dan diarahkan ke luar permukaan S.

Misalkan sistem koordinat $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ adalah kerangka acuan inersia, r adalah vektor posisi partikel titik dalam benda kontinu sehubungan dengan asal sistem koordinat, dan v = $\frac{d r}{d x}$ adalah vektor kecepatan dari titik tersebut.

Aksioma atau hukum pertama Euler (hukum keseimbangan momentum linier atau keseimbangan gaya) menyatakan bahwa dalam kerangka inersia, laju waktu perubahan momentum linier p dari bagian sembarang benda kontinu sama dengan total gaya yang diterapkan F yang bekerja pada bagian itu, dan dinyatakan sebagai berikut.

$\begin{matrix} \frac{d 𝐩}{d t} & = 𝐅 \\ \frac{d}{d t} \int_{V} ρ 𝐯 d V & = \int_{S} 𝐭 d S + \int_{V} 𝐛 ρ d V \end{matrix}$

Aksioma atau hukum kedua Euler (hukum keseimbangan momentum sudut atau keseimbangan torsi) menyatakan bahwa dalam kerangka inersia, laju waktu perubahan momentum sudut L dari bagian sembarang benda kontinu sama dengan torsi total yang diterapkan M yang bekerja pada bagian itu, dan dinyatakan sebagai berikut.

$\begin{matrix} \frac{d 𝐋}{d t} & = 𝐌 \\ \frac{d}{d t} \int_{V} 𝐫 \times ρ 𝐯 d V & = \int_{S} 𝐫 \times 𝐭 d S + \int_{V} 𝐫 \times 𝐛 ρ d V \end{matrix}$

di mana v adalah kecepatan, V adalah volume, dan turunan dari p dan L adalah turunan material.

Lihat juga

Daftar hal-hal yang dinamai dari Leonhard Euler

Referensi

↑ David J. McGill. Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics. ITP. 1995. ISBN 978-0-534-93399-9.
↑ Equations of motion for a rigid body. emweb.unl.edu.
↑ Gary L. Gray. Engineering mechanics. 2: Dynamics / Gary L. Gray; Francesco Costanzo; Michael E. Plesha. McGraw-Hill. 2010. ISBN 978-0-07-282871-9.
↑ David J. McGill. Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics. ITP. 1995. ISBN 978-0-534-93399-9.
↑ Euler.
↑ Anil V. Rao. Dynamics of particles and rigid bodies: a systematic approach. Cambridge University Press. 2006. ISBN 978-0-521-85811-3.
↑ David J. McGill. Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics. ITP. 1995. ISBN 978-0-534-93399-9.
↑ Euler.
↑ Anil V. Rao. Dynamics of particles and rigid bodies: a systematic approach. Cambridge University Press. 2006. ISBN 978-0-521-85811-3.
↑ Andy: Rudra Pratap Ruina. Introduction to Statics and Dynamics. Oxford University Press. 2002.
↑ Jacob Lubliner. Plasticity theory. Dover Publ. 2008. ISBN 978-0-486-46290-5.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29437602 (2026-07-09T23:57:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] David J. McGill. Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics. ITP. 1995. ISBN 978-0-534-93399-9.

[2] Equations of motion for a rigid body. emweb.unl.edu.

[3] Gary L. Gray. Engineering mechanics. 2: Dynamics / Gary L. Gray; Francesco Costanzo; Michael E. Plesha. McGraw-Hill. 2010. ISBN 978-0-07-282871-9.

[4] David J. McGill. Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics. ITP. 1995. ISBN 978-0-534-93399-9.

[5] Euler.

[6] Anil V. Rao. Dynamics of particles and rigid bodies: a systematic approach. Cambridge University Press. 2006. ISBN 978-0-521-85811-3.

[7] David J. McGill. Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics. ITP. 1995. ISBN 978-0-534-93399-9.

[8] Euler.

[9] Anil V. Rao. Dynamics of particles and rigid bodies: a systematic approach. Cambridge University Press. 2006. ISBN 978-0-521-85811-3.

[10] Andy: Rudra Pratap Ruina. Introduction to Statics and Dynamics. Oxford University Press. 2002.

[11] Jacob Lubliner. Plasticity theory. Dover Publ. 2008. ISBN 978-0-486-46290-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam [[mekanika klasik]], '''hukum gerak Euler''' ([[Bahasa Inggris]]: ''Euler's Laws of Motion'') adalah persamaan gerak yang memperluas [[hukum gerak Newton]] untuk [[partikel titik]] ke gerak [[benda tegar]]. Hukum ini dirumuskan oleh [[Leonhard Euler]] sekitar 50 tahun setelah [[Isaac Newton]] merumuskan hukum-hukumnya.
+Dalam [[mekanika klasik]], '''hukum gerak Euler''' ([[Bahasa Inggris]]: ''Euler's Laws of Motion'') adalah persamaan gerak yang memperluas [[hukum gerak Newton]] untuk [[partikel titik]] ke gerak [[benda tegar]].<ref>David J. McGill. ''Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics''. ITP. 1995. ISBN 978-0-534-93399-9.</ref> Hukum ini dirumuskan oleh [[Leonhard Euler]] sekitar 50 tahun setelah [[Isaac Newton]] merumuskan hukum-hukumnya.
 == Ikhtisar ==
 === Hukum pertama Euler ===
-'''Hukum pertama Euler''' menyatakan bahwa laju perubahan [[momentum linier]] '''p''' dari sebuah benda tegar sama dengan resultan semua gaya eksternal  '''F'''<sub>ext</sub> yang bekerja pada benda tersebut.
+'''Hukum pertama Euler''' menyatakan bahwa laju perubahan [[momentum linier]] '''p''' dari sebuah benda tegar sama dengan resultan semua gaya eksternal  '''F'''<sub>ext</sub> yang bekerja pada benda tersebut.<ref>[http://emweb.unl.edu/NEGAHBAN/EM373/note19/note19.htm Equations of motion for a rigid body]. ''emweb.unl.edu''.</ref>
 <math>F_\text{ext} = \frac{d\mathbf p}{dt}</math>
-Gaya internal antar partikel yang membentuk sebuah benda tidak berkontribusi dalam mengubah momentum benda karena ada gaya yang sama dan berlawanan sehingga tidak ada efek bersih.
+Gaya internal antar partikel yang membentuk sebuah benda tidak berkontribusi dalam mengubah momentum benda karena ada gaya yang sama dan berlawanan sehingga tidak ada efek bersih.<ref>Gary L. Gray. [https://archive.org/details/engineeringmecha0000gray Engineering mechanics. 2: Dynamics / Gary L. Gray; Francesco Costanzo; Michael E. Plesha]. McGraw-Hill. 2010. ISBN 978-0-07-282871-9.</ref>
-Momentum linier benda tegar adalah hasil kali antara massa benda dan kecepatan [[pusat massa]]<nowiki/>nya, '''v'''<sub>cm</sub>.
+Momentum linier benda tegar adalah hasil kali antara massa benda dan kecepatan [[pusat massa]]<nowiki/>nya, '''v'''<sub>cm</sub>.<ref>David J. McGill. ''Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics''. ITP. 1995. ISBN 978-0-534-93399-9.</ref><ref>[https://www.bookrags.com/research/eulers-laws-of-motion-wom/ Euler].</ref><ref>Anil V. Rao. ''Dynamics of particles and rigid bodies: a systematic approach''. Cambridge University Press. 2006. ISBN 978-0-521-85811-3.</ref>
 === Hukum kedua Euler ===
-'''Hukum kedua Euler''' menyatakan bahwa laju perubahan [[Momentum sudut|momentum sudu]]<nowiki/>t '''L''' terhadap suatu titik yang ditetapkan dalam [[kerangka acuan inersia]] (sering kali merupakan pusat massa benda), sama dengan jumlah momen gaya eksternal ([[torsi]]) yang bekerja pada benda '''M''' terhadap titik tersebut.
+'''Hukum kedua Euler''' menyatakan bahwa laju perubahan [[Momentum sudut|momentum sudu]]<nowiki/>t '''L''' terhadap suatu titik yang ditetapkan dalam [[kerangka acuan inersia]] (sering kali merupakan pusat massa benda), sama dengan jumlah momen gaya eksternal ([[torsi]]) yang bekerja pada benda '''M''' terhadap titik tersebut.<ref>David J. McGill. ''Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics''. ITP. 1995. ISBN 978-0-534-93399-9.</ref><ref>[https://www.bookrags.com/research/eulers-laws-of-motion-wom/ Euler].</ref><ref>Anil V. Rao. ''Dynamics of particles and rigid bodies: a systematic approach''. Cambridge University Press. 2006. ISBN 978-0-521-85811-3.</ref>
 <math>\mathbf M = {d\mathbf L \over dt}</math>
-Perhatikan bahwa rumus di atas hanya berlaku jika '''M''' dan '''L''' dihitung terhadap kerangka inersia tetap atau kerangka yang sejajar dengan kerangka inersia tetapi tetap pada pusat massa. Untuk benda tegar yang bertranslasi dan berotasi hanya dalam dua dimensi, hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut.
+Perhatikan bahwa rumus di atas hanya berlaku jika '''M''' dan '''L''' dihitung terhadap kerangka inersia tetap atau kerangka yang sejajar dengan kerangka inersia tetapi tetap pada pusat massa. Untuk benda tegar yang bertranslasi dan berotasi hanya dalam dua dimensi, hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut.<ref>Andy: Rudra Pratap Ruina. [http://ruina.tam.cornell.edu/Book/RuinaPratapNoProblems.pdf Introduction to Statics and Dynamics]. Oxford University Press. 2002.</ref>
 <math>\mathbf M = \mathbf r_{\rm cm} \times \mathbf a_{\rm cm} m + I \boldsymbol{\alpha}</math>
@@ Baris 30: / Baris 29: @@
 == Penjelasan dan turunan ==
-Distribusi gaya internal dalam benda yang dapat berubah bentuk tidak selalu sama di seluruh bagian, yaitu tekanan bervariasi dari satu titik ke titik berikutnya. Variasi gaya internal di seluruh benda ini diatur oleh [[Hukum gerak Newton|hukum gerak kedua Newton]] tentang kekekalan [[momentum linier]] dan [[momentum sudut]], di mana penggunaan yang paling sederhana diterapkan pada partikel bermassa, tetapi diperluas dalam [[Mekanika kontinuum|mekanika kontinum]] menjadi benda bermassa yang terdistribusi secara kontinu. Untuk benda kontinu, hukum-hukum ini disebut '''hukum gerak Euler'''.
+Distribusi gaya internal dalam benda yang dapat berubah bentuk tidak selalu sama di seluruh bagian, yaitu tekanan bervariasi dari satu titik ke titik berikutnya. Variasi gaya internal di seluruh benda ini diatur oleh [[Hukum gerak Newton|hukum gerak kedua Newton]] tentang kekekalan [[momentum linier]] dan [[momentum sudut]], di mana penggunaan yang paling sederhana diterapkan pada partikel bermassa, tetapi diperluas dalam [[Mekanika kontinuum|mekanika kontinum]] menjadi benda bermassa yang terdistribusi secara kontinu. Untuk benda kontinu, hukum-hukum ini disebut '''hukum gerak Euler'''.<ref>Jacob Lubliner. ''Plasticity theory''. Dover Publ. 2008. ISBN 978-0-486-46290-5.</ref>
 Gaya total benda yang diterapkan pada benda kontinu dengan massa ''m'', [[massa jenis]] ''ρ'', dan volume ''V'', adalah [[integral volume]] yang diintegrasikan pada volume benda:
@@ Baris 74: / Baris 73: @@
 == Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum+gerak+Euler&oldid=29437602 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29437602 (2026-07-09T23:57:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)