Teorema kenolan peringkat

Teorema peringkat kenolan adalah teorema dalam aljabar linear yang mengatakan:

• jumlah kolom dari matrix adalah penjumlahan dari peringkat dari dan kenolan dari ; dan
• dimensi domain dari transformasi linear dari ' adalah penjumlahan dari peringkat dari ' (dimensi dari bayangan ') dan kenolan dari ' (dimensi dari kernel ').

Teorema ini mengikuti transformasi lineari dari ruang vektor dengan dimensi hingga yang sama, antara fungsi injektif atau surjektif yang menyiratkan bijeksi.

Penulisan teorema

Transformasi linear

Misalkan adalah transformasi linear antara dua ruang vektor, dengan domain dari adalah dimensi hingga. Maka,

dengan adalah peringkat dari (dimensi dari bayangannya) dan adalah kenolan dari (dimensi dari kernelnya). Dengan kata lain,

Teorema ini dapat disempurnakan dengan agar pernyataan tentang isomorfisme pada ruang, tidak hanya dimensi. Secara eksplisit, karena menginduksi isomorfisme dari ke , keberadaan basis untuk yang memperluas basis apa pun dari menyiratkan, dengan lema pembagian, bahwa . Teorema kenolan peringkat dapat dilihat dengan mengambil dimensi pernyataan tersebut.

Matriks

Peta linear dapat direpresentasikan dengan matriks. Lebih presisi, matriks dengan dimensi merepresentasikan peta linear , dengan adalah lapangan yang mendasarinya. Maka, dimensi dari domain adalah , jumlah dari kolom matriks , dan teorema kenolan peringkat untuk matriks dengan dimensi adalah

.

Pembuktian

Di sini, terdapat dua pembuktian untuk teorema kenolan peringkat ini. Pembuktian pertama dioperasikan pada kasus uum, dengan peta linear. Pembuktian kedua menggunakan sistem homogen , dengan adalah dengan peringkat , dan terlihat secara eksplisit bahwa terdapat himpunan solusi kebebasan linear sejumlah yang membentang ruang kenol dari .

Sementara teorema ini membutuhkan domain dari peta linear berdimensi hingga, tidak terdapat asusi dari kodomain tersebut. Ini berarti bahwa terdapat peta linear yang tidak dituliskan oleh matriks yang diaplikasikan oleh teorema ini. Meskipun demikian, pembuktian pertama tidak lebih lebih umum dari yang kedua; karena bayangan dari peta linear bernimensi hingga, kita dapat merepresentasikan peta tersebut dari domain ke bayangannya dengan sebuah matriks, membuktikan teorema dari matriks tersebut, lalu ditulis dengan penyertaan bayangan pada kodomain yang penuh.

Pembuktian pertama

Misalkan adalah ruang vektor pada suatu lapangan , mendefinisikan seperti pada pernyataan dari teorema dengan .

Karena adalah subruang, terdapat basis untuknya. Misalkan dan

adalah basisnya.

Kita sekarang dapat, dengan lema perturakan Steinitz, mengembangkan dengan vektor kebebasan linear sejumlah untuk membentuk basisi penuh dari .

Misalkan,

dengan

adalah basis untuk .

Dari sini, kita tahu bahwa

Kita sekaram membuat klaim bahwa adalah basis untuk . Persamaan di atas sudah menyebutka bahwa adalah himpunan pembuat untuk . Hal ini tetap diperlihatkan bahwa ini juga bebas secara linear untuk menyimpulkan bahwa ini adalah sebuah basis.

Misalkan tidak bebas secara linear, dan misalkan

$$\sum _{j=1}^{n-k}{\alpha }_{j}T(w_j)=0_W$$

untuk beberapa .

Maka, oleh karena linearitas dari , dapat disimpulkan bahwa

$$T\left(\sum _{j=1}^{n-k}{\alpha }_j{w}_j\right)=0_W⟹\left(\sum _{j=1}^{n-k}{\alpha }_j{w}_j\right)\in \mathrm{Ker}T=\mathrm{Span}𝒦\subset V.$$

Ini adalah kontradiksi terhadap sebagai basis, kecuali seluruh bernilai nol. Ini menunjukkan bahwa bernilai bebas secara linear, dan lebih spesifik bahwa hal itu adalah basis dari .

Sebagai rangkuman, kita memiliki , sebuah basis untuk , dan , sebuah basis untuk .

Akhirnya, kita dapat menyebutkan bahwa

Pembuktian kedua

Misalkan adalah matriks dengan dimensi dan kolom bebas linear sejumlah (misalnya ). Kita akan memperlihatkan bahwa:

Untuk melakukannya, kita akan membuat matriks dengan dimensi yang kolomnya membentuk basis dari ruang nol dari .

Tanpa pengurangan generalisasi, kita asumsikan bahwa kolom pertama dari bersifat independen secara linar. Jadi, kita bisa menulis:

$$𝐀=\left(\begin{array}{cc}{𝐀}_1& {𝐀}_2\end{array}\right),$$

dengan

• adalah matriks dengan kolom vektor bebas linear sejumlah , dan
• adalah matriks yang setiap kolom ()-nya adalah kombinasi linear dari kolom

Ini berarti bahwa untuk beberapa matriks berdimensi (lihat ) dan, maka,

$$𝐀=\left(\begin{array}{cc}{𝐀}_1& {𝐀}_1𝐁\end{array}\right).$$

Misalkan $$𝐗=\left(\begin{array}{c}-𝐁\\ {𝐈}_{n-r}\end{array}\right),$$

dengan adalah matriks identitas . Maka, adalah matriks \\ \implies \mathbf{u}_1 + \mathbf{B}\mathbf{u}_2 & = & \mathbf{0}_ \\ \implies \mathbf{u}_1 & = & -\mathbf{B}\mathbf{u}_2 \end{array}</math> $$⟹𝐮=\left(\begin{array}{c}{𝐮}_1\\ {𝐮}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-𝐁\\ {𝐈}_{n-r}\end{array}\right){𝐮}_2=𝐗{𝐮}_2.$$

Ini membuktikan bahwa setiap vektor yang adalah solusi dari harus merupakan kombinasi linear dari solusi spesial yang diberikan oleh kolom dari matriks . Dan kita telah melihat bahwa kolom dari bernilai bebas secara linear. Maka, kolom merupakan basis dari ruang kenol dari . Maka dari itu, kenolan dari adalah . Karena sama dengan peringkat (rank) dari , maka . Batu nisan

Subruang dasar ketiga

Ketika adalah transformasi linear antara dua subruang berdimensi hingga, dengan dan , teorema kenolan peringkat menegaskan bahwa jika memiliki peringkat , maka adalah dimensi ruang nol dari , yang merepresentasikan kernel dari . Pada beberapa teks, subruang dasar ketiga yang diasosiasikan pada dihitung bersama dengan bayangan dan kernelnya: sebuah dari adalah , dan dimensinya adalah . Formula dimensi ini bersama dengan teorema kenolan peringkat kadang disebut sebagai teorema fundamental dari aljabar linear atau teorema dasar dari aljabar linear.

Reformulasi dan generalisasi

Teorema kenolan peringkat ini adalah pernyataan dari teorema isomorfisme pertama dari aljabar untuk kasus ruang vektor; teorema ini menggeneralisasi .

Pada bahasa yang lebih modern, teorema ini juga dapat difrasakan sebagai pernyataan yang mengatakan bahwa setiap barisan eksak pendek dari setiap ruang vektor terbagi. Secara eksplisit, untuk:

adalah barisan eksak pendek dari ruang vektor, maka , maka

Di sini, memainkan peran sebagai dan adalah ; yaitu

Pada kasus dimensi takhingga, formulasi ini rentan terhadap generalisasi: jika

adalah barisan eksak dari ruang vektor berdimensi hingga, maka

$$\sum _{i=1}^r(-1{)}^i\dim (V_i)=0.$$

Teorema kenolan perangkat untuk ruang vektor berimensi hingga dapat juga diformulasikan dalam hal indeks pada peta linear. Indeks pada peta linear , di mana dan adalah dimensi hingga, didefinisikan oleh

Secara intuitif, adalah jumlah solusi independen dari untuk persamaan dan adalah jumlah pembatasan independen yang harus diberikan pada untuk membuat dapat diselesaikan. Teorema kenolan peringkat untuk ruang vektor berdimensi hingga setara pada pernyataan

Kita dapat melihat bahwa kita masih dapat membaca indeks pada peta linear dengan mudah dari ruang yang terlibat, tanpa kebutuhan untuk menganalisis secara detail; Efek ini juga muncul pada hasil yang lebih dalam: Teorema indeks Atiyah–Singer mengatakan bahwa indeks dari beberapa operator diferensial dapat dibaca dari geometri ruang yang terlibat.

Referensi

Daftar pustaka

• .

Pranala luar

• , MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces, dari MIT OpenCourseWare

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29462898 (2026-07-15T20:55:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.