Bayangan (matematika)

Dalam matematika, bayangan () fungsi adalah himpunan dari semua nilai output (keluaran) yang dapat dihasilkan.

Lebih umumnya lagi, ketika mencari fungsi $f$ yang diketahui di setiap anggota subhimpunan $A$ dari domainnya akan menghasilkan sebuah himpunan, dan hal tersebut dikatakan sebagai "bayangan $A$ di bawah fungsi." Mirip seperti sebelumnya, prabayangan () subhimpunan $B$ dari kodomain $f$ adalah himpunan semua anggota dari domain yang memetakan ke anggota $B .$

Bayangan dan prabayangan tidak hanya dapat didefinisikan untuk fungsi, tetapi juga untuk relasi biner.

Definisi

Kata "bayangan" digunakan dalam tiga cara. Dalam definisi ini, $f : X \to Y$ menyatakan fungsi $f$ yang memetakan dari himpunan $X$ ke himpunan $Y$ .

Bayangan anggota: Jika $x$ anggota dari $X$ , maka bayangan $x$ di bawah $f$ , dinotasikan $f (x)$ , adalah nilai keluaran $f$ untuk argumen $x$ .

Bayangan subhimpunan: Misalkan $f : X \to Y$ adalah fungsi. Bayangan di bawah $f$ dari subhimpunan $A \subseteq X$ adalah himpunan semua $f (a)$ untuk $a \in A$ , diberi notasi $f [A]$ . Definisi ini dapat ditulis menggunakan notasi ungkapan himpunan, yaitu:^[1]^[2] $f [A] = {f (x) ∣ x \in A} .$ Dengan demikian, akan menyebabkan $f [\cdot] : 𝒫 (X) \to 𝒫 (Y),$ dengan $𝒫 (S)$ menyatakan himpunan kuasa dari himpunan $S$ , himpunan yang mengandung semua subhimpunan $S$ . Lihat di bawah.

Bayangan fungsi: Bayangan fungsi adalah bayangan dari seluruh daerah asal fungsi, atau dikenal sebagai range fungsi.^[3] Akan tetapi, hindari penggunaan kata "range" sebab dapat diartikan sebagai kodomain $f$ .

Perumuman bayangan fungsi ke relasi biner: Jika $R$ menyatakan sebarang relasi biner di perkalian Cartesius $X$ dan $Y$ , dinotasikan $X \times Y$ , maka himpunan ${y \in Y ∣ x R y untuk beberapa x \in X}$ disebut bayangan atau range $R$ . Himpunan ${x \in X ∣ x R y untuk beberapa y \in Y}$ disebut daerah asal $R$ .

Prabayangan fungsi

Misalkan $f$ adalah fungsi yang dipetakan dari $X$ ke $Y .$ Prabayangan dari hmpunan $B \subseteq Y$ di bawah $f,$ diberi notasi $f^{- 1} [B],$ adalah subhimpunan $X$ yang didefinisikan dengan $f^{- 1} [B] = {x \in X : f (x) \in B} .$ Terdapat notasi lain untuk prabayangan fungsi, seperti $f^{- 1} (B)$ dan $f^{-} (B) .$ Prabayangan fungsi dari himpunan singleton, yang dilambangkan dengan $f^{- 1} [{y}]$ atau $f^{- 1} [y],$ juga disebut sebagai fiber, atau fiber atas $y$ , atau himpunan aras dari $y .$ Himpunan dari semua fiber atas anggota $Y$ merupakan keluarga himpunan dengan indeks $Y .$

Notasi untuk bayangan dan prabayangan

Pemakaian notasi di bagian sebelumnya dapat membingungkan. Oleh karena itu, terdapat notasi alternatif yang memberikan nama eksplisit untuk bayangan dan prabayangan sebagai fungsi di antara himpunan kuasa:

Notasi panah: $f^{\to} : 𝒫 (X) \to 𝒫 (Y)$ dengan $f^{\to} (A) = {f (a) | a \in A}$; $f^{\leftarrow} : 𝒫 (Y) \to 𝒫 (X)$ dengan $f^{\leftarrow} (B) = {a \in X | f (a) \in B}$
Notasi bintang: $f_{⋆} : 𝒫 (X) \to 𝒫 (Y)$ sebagai pengganti $f^{\to}$; $f^{⋆} : 𝒫 (Y) \to 𝒫 (X)$ sebagai pengganti $f^{\leftarrow}$
Notasi lain: Notasi lain untuk $f [A]$ yang digunakan dalam logika matematika dan teori himpunan adalah ' $f^{''} A$ .^[4]^[5]

Sifat-sifat

Sifat-sifat umum

Untuk setiap fungsi $f : X \to Y$ dan semua himpunan bagian $A \subseteq X$ and $B \subseteq Y$ , berlaku sifat-sifat berikut:

Bayangan	Prabayangan
$f (X) \subseteq Y$	$f^{- 1} (Y) = X$
$f (f^{- 1} (Y)) = f (X)$	$f^{- 1} (f (X)) = X$
$f (f^{- 1} (B)) \subseteq B$ (adalah sama jika $B \subseteq f (X)$ , sebagai contoh, jika $f$ surjektif)^[6]^[7]	$f^{- 1} (f (A)) \supseteq A$ (adalah sama jika $f$ injektif)^[8]^[9]
$f (f^{- 1} (B)) = B \cap f (X)$	$(f \|_{A})^{- 1} (B) = A \cap f^{- 1} (B)$
$f (f^{- 1} (f (A))) = f (A)$	$f^{- 1} (f (f^{- 1} (B))) = f^{- 1} (B)$
$f (A) = \emptyset$ jika dan hanya jika $A = \emptyset$	$f^{- 1} (B) = \emptyset$ jika dan hanya jika $B \subseteq Y ∖ f (X)$
$f (A) \supseteq B$ jika dan hanya jika terdapat $C \subseteq A$ sehingga $f (C) = B$	$f^{- 1} (B) \supseteq A$ jika dan hanya jika $f (A) \subseteq B$
$f (A) \supseteq f (X ∖ A)$ jika dan hanya jika $f (A) = f (X)$	$f^{- 1} (B) \supseteq f^{- 1} (Y ∖ B)$ jika dan hanya jika $f^{- 1} (B) = X$
$f (X ∖ A) \supseteq f (X) ∖ f (A)$	$f^{- 1} (Y ∖ B) = X ∖ f^{- 1} (B)$ ^[10]
$f (A \cup f^{- 1} (B)) \subseteq f (A) \cup B$ ^[11]	$f^{- 1} (f (A) \cup B) \supseteq A \cup f^{- 1} (B)$ ^[12]
$f (A \cap f^{- 1} (B)) = f (A) \cap B$ ^[13]	$f^{- 1} (f (A) \cap B) \supseteq A \cap f^{- 1} (B)$ ^[14]

Juga:

$f (A) \cap B = \emptyset$ jika dan hanya jika $A \cap f^{- 1} (B) = \emptyset$

Fungsi banyak

Untuk fungsi $f : X \to Y$ dan $g : Y \to Z$ dengan subhimpunan $A \subseteq X$ dan $C \subseteq Z$ , berlaku sifat-sifat berikut:

$(g \circ f) (A) = g (f (A))$
$(g \circ f)^{- 1} (C) = f^{- 1} (g^{- 1} (C))$

Subhimpunan daeral asal atau kodomain banyak

Untuk fungsi $f : X \to Y$ dan subhimpunan $A_{1}, A_{2} \subseteq X$ and $B_{1}, B_{2} \subseteq Y$ , berlaku sifat-sifat berikut:

Bayangan	Prabayangan
$A_{1} \subseteq A_{2} \Rightarrow f (A_{1}) \subseteq f (A_{2})$	$B_{1} \subseteq B_{2} \Rightarrow f^{- 1} (B_{1}) \subseteq f^{- 1} (B_{2})$
$f (A_{1} \cup A_{2}) = f (A_{1}) \cup f (A_{2})$ ^[15]^[16]	$f^{- 1} (B_{1} \cup B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cup f^{- 1} (B_{2})$
$f (A_{1} \cap A_{2}) \subseteq f (A_{1}) \cap f (A_{2})$ ^[17]^[18] (adalah sama jika $f$ injektif^[19])	$f^{- 1} (B_{1} \cap B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cap f^{- 1} (B_{2})$
$f (A_{1} ∖ A_{2}) \supseteq f (A_{1}) ∖ f (A_{2})$ ^[20] (adalah sama jika $f$ injektif^[21])	$f^{- 1} (B_{1} ∖ B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) ∖ f^{- 1} (B_{2})$ ^[22]
$f (A_{1} △ A_{2}) \supseteq f (A_{1}) △ f (A_{2})$ (adalah sama jika $f$ injektif)	$f^{- 1} (B_{1} △ B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) △ f^{- 1} (B_{2})$

Hasil tersebut tidak hanya mengaitkan bayangan dan prabayangan dengan pasang subhimpunan, tetapi juga mengaitkannya dengan aljabar irisan dan gabungan (Boole) untuk setiap koleksi subhimpunan:

$f (⋃_{s \in S} A_{s}) = ⋃_{s \in S} f (A_{s})$
$f (⋂_{s \in S} A_{s}) \subseteq ⋂_{s \in S} f (A_{s})$
$f^{- 1} (⋃_{s \in S} B_{s}) = ⋃_{s \in S} f^{- 1} (B_{s})$
$f^{- 1} (⋂_{s \in S} B_{s}) = ⋂_{s \in S} f^{- 1} (B_{s})$

$S$ dapat berupa himpunan tak terhingga, bahkan tak terhitung.)

Fungsi bayangan invers adalah homomorfisme kekisi terhadap aljabar himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya, sedangkan fungsi bayangan hanyalah homomorfisme semikekisi (dalam artian, tidak selalu mempertahankan irisan himpunan).

Lihat pula

Catatan

Referensi

↑ 5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets. Mathematics LibreTexts. 2019-11-05.
↑ Paul R. Halmos. Naive Set Theory. Nostrand. 1968. Bagian 8
↑ Eric W. Weisstein. Image. mathworld.wolfram.com.
↑ Jean E. Rubin. Set Theory for the Mathematician. Holden-Day. 1967. hlm. xix.
↑ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU, 29 Desember 2005, on: Semantic Scholar, hlm. 2
↑ See
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ See
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ See
↑ Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388
↑ Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388
↑ Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388
↑ Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388
↑ Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 26510195 (2024-11-10T03:35:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] 5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets. Mathematics LibreTexts. 2019-11-05.

[2] Paul R. Halmos. Naive Set Theory. Nostrand. 1968. Bagian 8

[3] Eric W. Weisstein. Image. mathworld.wolfram.com.

[4] Jean E. Rubin. Set Theory for the Mathematician. Holden-Day. 1967. hlm. xix.

[5] M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU, 29 Desember 2005, on: Semantic Scholar, hlm. 2

[6] See

[7] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[8] See

[9] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[10] See

[11] Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388

[12] Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388

[13] Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388

[14] Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388

[15] Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388

[16] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[17] Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388

[18] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[19] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[20] Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388

[21] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[22] Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]