Teorema Lagrange (teori grup)

Teorema Lagrange, dalam teori grup, bagian dari matematika, menyatakan bahwa jika adalah subgrup dari grup terbatas , maka urutan dari membagi urutan (urutan grup adalah jumlah elemen yang dimilikinya). Teorema ini dinamai Joseph-Louis Lagrange. Varian berikut juga mengidentifikasi rasio $|G|/|H|$, sebagai indeks , didefinisikan sebagai jumlah kohimpunan kiri dari dalam .

Varian ini berlaku meskipun tidak terbatas, asalkan $|G|$, $|H|$, dan ditafsirkan sebagai bilangan kardinal.

Bukti

Coset kiri dari di adalah kelas ekivalen dari hubungan ekivalen tertentu pada : khusus, panggil dan di setara jika ada di sedemikian rupa sehingga . Oleh karena itu koset kiri membentuk partisi dari . Setiap koset kiri memiliki kardinalitas yang sama dengan karena $x\mapsto ax$ mendefinisikan kebijaksanaan $H\to aH$ (the inverse is $y\mapsto a^{-1}y$). Jumlah koset kiri adalah indeks . Dengan tiga kalimat sebelumnya,

$\left|G\right|=[G:H]\cdot \left|H\right|.$

Ekstensi

Teorema Lagrange dapat diperluas ke persamaan indeks antara tiga subgrup .

Jika kita ambil ( adalah elemen identitas dari ), lalu dan . Oleh karena itu kita dapat memulihkan persamaan aslinya .

Aplikasi

Konsekuensi dari teorema ini adalah bahwa urutan elemen apa pun dari grup berhingga (yaitu bilangan bulat positif terkecil dengan , di mana adalah elemen identitas grup) membagi urutan grup itu, karena urutan sama dengan urutan subgrup siklik dihasilkan dari . Jika grup memiliki elemen , maka grup akan mengikuti

$a^n=e\text{.}$

Ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema kecil Fermat dan generalisasinya, Teorema Euler. Kasus-kasus khusus ini telah diketahui jauh sebelum teorema umum dibuktikan.

Teorema ini juga menunjukkan bahwa setiap kelompok orde utama adalah siklik dan sederhana. Hal ini pada gilirannya dapat digunakan untuk membuktikan teorema Wilson, bahwa jika adalah bilangan prima maka adalah faktor dari $(p-1)!+1$.

Teorema Lagrange juga dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga: jika ada bilangan prima terbesar , kemudian pembagi prima dari bilangan Mersenne $2^p-1$ akan menjadi sedemikian rupa sehingga urutan dalam grup perkalian $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\ast }$ (lihat aritmetika modular) membagi urutan $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\ast }$, yaitu $q-1$. Karenanya , bertentangan dengan asumsi bahwa adalah bilangan prima terbesar.

Keberadaan subkelompok dengan urutan tertentu

Teorema Lagrange memunculkan pertanyaan sebaliknya, apakah setiap pembagi urutan suatu kelompok adalah urutan dari suatu subgrup. Ini tidak berlaku secara umum: diberi grup terbatas G dan pembagi d dari |G|, belum tentu ada subgrup G dengan urutan d . Contoh terkecil adalah A₄ (grup bergantian dengan derajat 4), yang memiliki 12 elemen tetapi tidak ada subgrup berorde 6.

"Kebalikan dari Teorema Lagrange "(CLT) grup adalah grup berhingga dengan properti bahwa untuk setiap pembagi dari urutan grup, ada subkelompok dari urutan. Diketahui bahwa grup CLT harus solvable dan setiap grup selesaikan adalah grup CLT. Namun, terdapat grup yang dapat dipecahkan yang bukan CLT (misalnya, A ₄ ) dan grup CLT yang tidak dapat diselesaikan (misalnya, S _{4 </ sub>, kelompok simetris derajat 4).}

Ada sebagian percakapan dalam teorema Lagrange. Untuk kelompok umum, Teorema Cauchy menjamin keberadaan suatu unsur, dan karenanya dari subkelompok siklik, dengan urutan bilangan prima apa pun yang membagi urutan grup. Teorema Sylow memperluas hal ini hingga keberadaan subkelompok ordo yang sama dengan pangkat maksimal bilangan prima apa pun yang membagi ordo grup. Untuk grup yang dapat dipecahkan, Teorema Hall menegaskan keberadaan subgrup ordo yang sama dengan pembagi kesatuan mana pun dari urutan grup (yaitu, coprime pembagi untuk itu

Contoh kebalikan dari kebalikan dari teorema Lagrange

Kebalikan dari teorema Lagrange menyatakan bahwa jika adalah pembagi dari urutan grup , maka terdapat subgrup di mana .

Jika memeriksa grup bergantian , himpunan genap permutasi sebagai subgrup dari Grup simetris .

.

jadi pembaginya adalah . Asumsikan sebaliknya bahwa terdapat subgrup  pada  dengan .

Misalkan menjadi subgrup non-cyclic dari yang disebut Klein empat grup.

.

Maka . Karena dan adalah subgrup dari , juga merupakan subgrup dari .

Dari teorema Lagrange, urutan harus membagi dan , urutan dan

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28745852 (2025-12-27T05:43:57Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.