Subgrup Frattini

Dalam matematika, terutama dalam teori grup, Subgrup Frattini $\Phi (G)$ dari grup adalah persimpangan dari semua subgrup maksimal dari . Untuk kasus di mana tidak memiliki subgrup maksimal, misalnya grup sepele { e } atau grup Prüfer, ini ditentukan oleh $\Phi (G)=G$. Ini analog dengan Jacobson radikal dalam teori gelanggang, dan secara intuitif dapat dianggap sebagai subkelompok "elemen kecil" (lihat karakterisasi "non-generator" di bawah). Ini dinamai Giovanni Frattini, yang mendefinisikan konsep tersebut dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 1885.

Beberapa fakta

• $\Phi (G)$ sama dengan himpunan semua non-generator atau elemen non-penghasil dari . Elemen yang tidak menghasilkan adalah elemen yang selalu dapat dihapus dari Menghasilkan himpunan; yaitu, elemen a dari sedemikian rupa sehingga setiap kali adalah himpunan penghasil yang berisi a , $X\setminus \{a\}$ juga merupakan himpunan pembangkit .
• $\Phi (G)$ selalu merupakan subgrup karakteristik dari ; khususnya, ini selalu merupakan subgrup normal dari .
• Jika terbatas, maka $\Phi (G)$ adalah nilpoten.
• Jika adalah grup p , maka $\Phi (G)=G^p[G,G]$. Jadi subgrup Frattini adalah yang terkecil (sehubungan dengan inklusi) subgrup normal N sehingga grup hasil bagi $G/N$ adalah grup abelian dasar, yaitu isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik dari order p . Apalagi jika grup kecerdasan $G/\Phi (G)$ (juga disebut hasil bagi Frattini dari ) memiliki urutan $p^k$, maka k adalah jumlah generator terkecil untuk (yaitu kardinalitas terkecil dari himpunan pembangkit untuk ). Secara khusus, grup p yang terbatas adalah siklik jika dan hanya jika hasil bagi Frattini-nya adalah siklik (dengan urutan p ). Grup p yang terbatas adalah abelian dasar jika dan hanya jika subgrup Frattini-nya adalah grup sepele, $\Phi (G)=\{e\}$.
• Jika dan terbatas, maka $\Phi (H\times K)=\Phi (H)\times \Phi (K)$.

Contoh grup dengan subgrup Frattini nontrivial adalah grup siklik order $p^2$, di mana p adalah bilangan prima, dihasilkan oleh a , maka; $\Phi (G)=⟨a^p⟩$.

Lihat pula

• Subgrup Fiting
• Argumen Frattini
• Sokel

Referensi

• (See Chapter 10, especially Section 10.4.)

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29219470 (2026-05-12T11:40:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.