Teorema Midy

Dalam matematika, Teorema Midy, dinamai dari ahli matematika Prancis E. Midy, adalah sebuah pernyataan tentang ekspansi desimal dari pecahan a/p di mana p adalah suatu bilangan prima dan a/p memiliki bilangan desimal berulang dengan periode genap . Jika periode dari representasi desimal a/p adalah 2n, sehingga

$$\frac{a}{p}=0.\overline{a_1{a}_2{a}_3\dots a_n{a}_{n+1}\dots a_{2n}}$$

maka digit pada paruh kedua dari periode desimal berulang merupakan komplemen 9 dari digit yang bersesuaian pada paruh pertamanya. Dengan kata lain,

$$a_i+a_{i+n}=9$$ $$a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^n-1.$$

Sebagai contoh,

$$\frac{1}{13}=0.\overline{076923}\text{ dan }076+923=999.$$ $$\frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}\text{ dan }05882352+94117647=99999999.$$

Teorema Midy yang diperluas

Jika k adalah suatu pembagi dari h (di mana h adalah banyaknya digit periode dari ekspansi desimal a/p (di mana p kembali merupakan bilangan prima)), maka teorema Midy dapat digeneralisasi sebagai berikut. Teorema Midy yang diperluas menyatakan bahwa jika bagian berulang dari ekspansi desimal a/p dibagi menjadi angka-angka yang masing-masing terdiri dari k digit, maka jumlahnya merupakan kelipatan dari 10^k – 1.

Sebagai contoh, $$\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}$$ memiliki periode 18. Membagi bagian berulang menjadi angka-angka 6 digit dan menjumlahkannya menghasilkan $$052631+578947+368421=999999.$$ Demikian pula, membaginya menjadi angka-angka 3 digit dan menjumlahkannya menghasilkan $$052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.$$

Teorema Midy pada basis lain

Teorema Midy dan perluasannya tidak bergantung pada sifat khusus ekspansi desimal, melainkan bekerja sama baiknya pada basis b apa pun, asalkan kita mengganti 10^k – 1 dengan b^k – 1 dan melakukan penjumlahan dalam basis b.

Sebagai contoh, dalam oktal

$$\begin{array}{cc}& \frac{1}{19}=0.{\overline{032745}}_8\\ & 032_8+745_8=777_8\\ & 03_8+27_8+45_8=77_8.\end{array}$$

Dalam dozenal (menggunakan dua dan tiga terbalik untuk sepuluh dan sebelas)

$\begin{array}{cccc}& \frac{1}{19}=0.\overline{076ℰ45}\ast 12[8pt]& 076\ast 12+ℰ45_{12}=ℰℰℰ\ast 12[8pt]& 07\ast 12+6ℰ\ast 12+45\ast 12={ℰℰ}_{12}\end{array}$

Pembuktian Teorema Midy

Pembuktian singkat dari teorema Midy dapat diberikan menggunakan hasil dari teori grup. Namun, teorema Midy juga dapat dibuktikan menggunakan aljabar elementer dan aritmetika modular:

Misalkan p bilangan prima dan a/p pecahan antara 0 dan 1. Misalkan ekspansi a/p pada basis b memiliki periode ℓ, sehingga

$$\begin{array}{cc}& \frac{a}{p}=[0.\overline{a_1{a}_2\dots a_{\ell }}{]}_b\\ & \Rightarrow \frac{a}{p}{b}^{\ell }=[a_1{a}_2\dots a_{\ell }.\overline{a_1{a}_2\dots a_{\ell }}{]}_b\\ & \Rightarrow \frac{a}{p}{b}^{\ell }=N+[0.\overline{a_1{a}_2\dots a_{\ell }}{]}_b=N+\frac{a}{p}\\ & \Rightarrow \frac{a}{p}=\frac{N}{b^{\ell }-1}\end{array}$$

di mana N adalah bilangan bulat yang ekspansinya dalam basis b adalah string a₁a₂...a_ℓ.

Perhatikan bahwa b^ℓ – 1 merupakan kelipatan p karena (b^ℓ – 1)a/p adalah bilangan bulat. Juga bⁿ – 1 bukan kelipatan p untuk nilai n yang lebih kecil dari ℓ, karena jika tidak periode berulang dari a/p akan kurang dari ℓ.

Sekarang misalkan ℓ = hk. Maka b^ℓ – 1 merupakan kelipatan dari b^k – 1. (Untuk melihat ini, gantikan x untuk b^k; maka b^ℓ = x^h dan x – 1 adalah faktor dari x^h – 1.) Misalkan b^ℓ – 1 = m(b^k – 1), sehingga

$$\frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^k-1)}.$$

Tetapi b^ℓ – 1 merupakan kelipatan p; b^k – 1 **bukan** kelipatan p (karena k kurang dari ℓ ); dan p prima; sehingga m harus merupakan kelipatan p dan

$$\frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1}$$

adalah bilangan bulat. Dengan kata lain,

$$N\equiv 0(\mathrm{mod}{b}^k-1).$$

Sekarang bagi string a₁a₂...a_ℓ menjadi h bagian sama panjang k, dan biarkan ini merepresentasikan bilangan bulat N₀...N_h–1 dalam basis b, sehingga

$$\begin{array}{cc}{N}_{h-1}& =[a_1\dots a_k{]}_b\\ N_{h-2}& =[a_{k+1}\dots a_{2k}{]}_b\\ & ⋮\\ N_0& =[a_{l-k+1}\dots a_l{]}_b\end{array}$$

Untuk membuktikan teorema Midy yang diperluas pada basis b, kita harus menunjukkan bahwa jumlah dari h bilangan N_i merupakan kelipatan dari b^k – 1.

Karena b^k kongruen dengan 1 modulo b^k – 1, maka setiap pangkat b^k juga kongruen dengan 1 modulo b^k – 1. Maka

$$N=\sum _{i=0}^{h-1}{N}_i{b}^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}{N}_i(b^k{)}^i$$ $$\Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}{N}_i(\mathrm{mod}{b}^k-1)$$ $$\Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}{N}_i\equiv 0(\mathrm{mod}{b}^k-1)$$

yang membuktikan teorema Midy yang diperluas di basis b.

Untuk membuktikan teorema Midy yang asli, ambil kasus khusus di mana h = 2. Perhatikan bahwa N₀ dan N₁ keduanya direpresentasikan oleh string k digit pada basis b, sehingga keduanya memenuhi

$$0\le N_i\le b^k-1.$$

N₀ dan N₁ tidak mungkin keduanya sama dengan 0 (jika tidak a/p = 0) dan tidak mungkin keduanya sama dengan b^k – 1 (jika tidak a/p = 1), sehingga

$$0<N_0+N_1<2(b^k-1)$$

dan karena N₀ + N₁ adalah kelipatan dari b^k – 1, maka dapat disimpulkan bahwa

$$N_0+N_1=b^k-1.$$

Korolari

Dari hal di atas, $$\frac{am}{p}$$ adalah bilangan bulat

Maka $m\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

Dan untuk $k=\frac{\ell }{2}$

$$b^{\ell /2}+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

Untuk $k=\frac{\ell }{3}$ dan merupakan bilangan bulat

$$b^{2\ell /3}+b^{\ell /3}+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

dan seterusnya.

Sumber

• Rademacher, H. dan Toeplitz, O. The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur. Princeton, NJ: Princeton University Press, hlm. 158–160, 1957.
• E. Midy, "De Quelques Propriétés des Nombres et des Fractions Décimales Périodiques". College of Nantes, France: 1836.
• Ross, Kenneth A. "Repeating decimals: a period piece". Math. Mag. 83 (2010), no. 1, 33–45.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28347739 (2025-11-05T00:32:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.