Nilai dan vektor eigen

Matriks A menyebabkan vektor \\mathbf x memanjang tanpa mengubah arah vektor, maka \\mathbf x merupakan vektor eigen dari A

Dalam aljabar linear, vektor eigen (eigenvector) atau vektor karakteristik dari suatu matriks berukuran Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n \ imes n} adalah vektor tak nol yang hanya mengalami perubahan panjang ketika dikali dengan matriks tersebut. Nilai eigen (eigenvalue) yang berasosiasi dengan vektor tersebut, umumnya dilambangkan dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} , menyatakan besar perubahan panjang vektor yang terjadi. Secara umum dalam ruang vektor multidimensi, vektor eigen tidak mengalami rotasi ketika ditransformasikan oleh matriks. Hal ini berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real, dan akan mengalami rotasi ketika elemen berupa bilangan kompleks. Nilai eigen dan vektor eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, yang keduanya diterapkan dalam bidang matematika murni dan matematika terapan, contohnya pada transformasi linear. Ruang eigen dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} merupakan ruang vektor yang dibentuk dari gabungan vektor nol dan kumpulan vektor eigen yang berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} .

Istilah eigen sering kali dipadankan dengan istilah karakteristik, karena kata "eigen" yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti "asli", dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Pendahuluan

Nilai eigen dan vektor eigen umum ditemukan ketika melakukan analisis mengenai pemetaan (transformasi) linear. Istilah "eigen" yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti "asli", dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat. Awalnya konsep ini digunakan untuk mempelajari sumbu utama (principal axes) dari gerakan rotasi pada benda tegar. Nilai eigen dan vektor eigen saat ini telah diterapkan dalam banyak bidang, sebagai contoh dalam teori stabilitas, analisis getaran, orbital atom, pengenalan wajah (facial recognition), dan diagonalisasi matriks.

Pada dasarnya, suatu vektor eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} dari pemetaan linear $T$ adalah suatu vektor tak nol yang tidak berubah arah, ketika diterapkan oleh $T$. Menerapkan $T$ ke vektor eigen hanya mengubah ukuran eigen vektor sebesar Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} , yang disebut dengan nilai eigen. Kondisi ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagaiGagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle T(\\mathbf{v}) = \\lambda \\mathbf{v},} yang disebut dengan persamaan nilai eigen atau persamaan eigen. Secara umum, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} dapat berupa sembarang skalar. Sebagai contoh, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} dapat bernilai negatif, yang mengartikan vektor eigen berbalik ketika dipetakan, atau bernilai nol, atau berupa bilangan kompleks.

Lukisan Mona Lisa berikut menyajikan ilustrasi sederhana mengenai hal ini. Setiap titik pada lukisan dapat direpresentasikan sebagai sebuah vektor yang berasal dari pusat lukisan ke titik tersebut. Pemetaan linear dalam contoh ini disebut transformasi peregangan/pergeseran (shear mapping). Titik-titik yang berada di atas akan bergeser ke kanan, dan titik-titik di bawah akan bergeser ke kiri; sebanding dengan seberapa jauh posisi mereka dari sumbu horizontal yang terletak di tengah lukisan. Sebagai akibatnya, setiap vektor akan miring ke kanan atau ke kiri, dan menjadi semakin panjang atau semakin pendek. Namun, titik-titik yang terletak di sumbu horizontal tidak bergeser (miring) sama sekali. Alhasil, semua vektor yang mengarah ke kiri atau ke kanan, tanpa memiliki komponen vertikal, adalah vektor eigen dari pemetaan ini; karena pemetaan tersebut tidak mengubah arah vektor. Lebih lanjut, vektor-vektor eigen ini memiliki nilai eigen sebesar 1, karena pemetaan juga tidak mengubah ukuran mereka.

Pemetaan linear dapat muncul dalam banyak bentuk dan memetakan banyak jenis ruang vektor, sehingga vektor eigen dapat memiliki rupa yang bermacam-macam. Sebagai contoh, pemetaan linear dapat berbentuk operator turunan seperti Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \ frac{d}{dx}} , dan vektor eigen disebut sebagai fungsi eigen (eigenfunctions) yang mengalami penskalaan oleh operator tersebut; contohnya fungsiGagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac{d}{dx}e^{\\lambda x} = \\lambda e^{\\lambda x}.} Contoh lain, pemetaan linear dapat berbentuk matriks berukuran Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n \ imes n} , dan vektor eigen akan berupa matriks berukuran Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n \ imes 1} . Jika pemetaan linear dinyatakan oleh matriks $A$ berukuran Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n \ imes n} , persamaan nilai eigen dapat dituliskan sebagai perkalian matriksGagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A\\mathbf v = \\lambda \\mathbf v,} dengan vektor eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} adalah matriks berukuran Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n \ imes 1} . Untuk kasus matriks, nilai eigen dan vektor eigen dapat digunakan untuk mendekomposisi matriks tersebut, contohnya dengan mendiagonalisasinya.

Nilai eigen dan vektor eigen menghasilkan banyak konsep matematika yang berhubungan, dan istilah "eigen" ditambahkan ketika menamai mereka:

• Himpunan vektor eigen dari pemetaan linear, masing-masing dipasangkan dengan nilai eigen mereka, disebut dengan sistem eigen (eigensystem) dari transformasi tersebut.
• Himpunan dari semua vektor eigen dari $T$ yang berasosiasi dengan suatu nilai eigen, dan ditambah dengan vekotr nol, disebut dengan ruang eigen (eigenspace) atau ruang karakteristik dari $T$ yang berasosiasi dengan nilai eigen tersebut.
• Jika suatu himpunan vektor eigen dari $T$ membentuk sebuah basis bagi domain dari $T$, maka basis ini disebut basis eigen (eigen basis).

Definisi formal

Jika $T$ adalah suatu pemetaan linear dari suatu ruang vektor $V$ atas lapangan $F$ ke dirinya sendiri, dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} adalah vektor tak nol di $V$, maka Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} adalah vektor eigen dari $T$ jika Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle T(\\mathbf v)} adalah suatu kelipatan skalar dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} . Hal ini dapat ditulis sebagai

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle T(\\mathbf{v}) = \\lambda \\mathbf{v},}

dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} adalah suatu skalar di $F$, yang disebut dengan nilai eigen (eigenvalue), nilai karakteristik, atau akar karakteristik, yang berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} .

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A\\mathbf{x} = \\lambda \\mathbf{x}.}

dengan $A$ adalah representasi matriks dari $T$ dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf x} adalah vektor koordinat dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} .

Nilai eigen dan polinomial karakteristik

Persamaan () memiliki solusi tak nol Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} jika dan hanya jika nilai determinan dari matriks Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A-\\lambda I)} adalah nol. Dengan demikian, nilai-nilai eigen dari $A$ adalah nilai-nilai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} yang memenuhi persamaan

Dengan menggunakan rumus Leibniz, ruas kiri pada Persamaan () dapat dijabarkan menjadi sebuah fungsi polinomial dengan variabel Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} dan berderajat $n$, yakni ukuran dari matriks $A$. Koefisien-koefisien polinom ini bergantung pada entri-entri matriks $A$, kecuali suku berderajat $n$ yang akan memiliki koefisien $(-1{)}^n$. Polinomial ini disebut sebagai polinomial karakteristik dari $A$. Persamaan () sendiri disebut sebagai persamaan karakteristik dari $A$. Teorema dasar aljabar mengakibatkan polinomial karakteristik dari $A$, yang berderajat $n$, dapat difaktorkan sebagai perkalian $n$ buah suku linear,

dengan setiap Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_i} dapat berupa bilangan real, walau pada umumnya berupa kompleks. Nilai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_1,\\,\\lambda_2,\\,\\dots,\\,\\lambda_n} , yang mungkin tidak semuanya unik, adalah akar-akar dari polinomial dan merupakan nilai eigen dari $A$.

Sebagai contoh singkat, yang akan dijelaskan pada bagian Contoh nanti, misalkan sebuah matriks

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A = \\begin{bmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 2 \\end{bmatrix}.}

Dengan menghitung determinan dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A-\\lambda I)} , didapatkan polinom karakteristik dari $A$ yakni

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle |A - \\lambda I| = \\begin{vmatrix} 2 - \\lambda & 1 \\\\ 1 & 2 - \\lambda \\end{vmatrix} = 3 - 4\\lambda + \\lambda^2. }

Setelah mencari akar dari polinom ketika sama dengan nol, didapatkan akar Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda=1} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda=3} , yang selanjutnya merupakan nilai eigen dari $A$. Vektor eigen yang berasosiasi dengan masing-masing nilai eigen tersebut dapat ditentukan dengan menyelesaikan komponen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} di persamaan Dalam contoh ini, vektor eigen adalah sembarang kelipatan skalar (tak nol) dariGagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda=1} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\end{bmatrix}, \ ext{ dan} \\quad \\mathbf v_{\\lambda=3} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}.} Jika entri-entri dari matriks $A$ berupa bilangan real, maka koefisien dari polinom karakteristik juga berupa bilangan real. Namun, nilai eigen sebagai solusi dari polinom tersebut mungkin memiliki bagian imajiner; entri-entri pada vektor eigen yang berasosiasi dengannya juga mungkin memiliki bagian imajiner. Serupa dengan itu, nilai eigen dapat berupa bilangan irasional walau semua entri dari $A$ berupa bilangan rasional, atau bahkan jika semuanya berupa bilangan bulat.

Bagian imajiner dari akar pada polinomial real dengan koefisien-koefisien real dapat dikelompokkan dalam pasangan konjugat kompleks, yakni dengan anggotanya memiliki bagian real yang sama dan hanya berbeda tanda di bagian imajinernya. Jika polinom berderajat ganjil, maka teorema nilai antara mengatakan setidaknya satu akar akan berupa real. Dengan demikian, sembarang matriks real berukuran ganjil akan memiliki setidaknya satu nilai eigen real, sedangkan matriks real berukuran genap mungkin tidak memiliki satupun nilai eigen real. Vektor-vektor eigen yang berasosiasi dengan nilai-nilai eigen kompleks akan memiliki komponen kompleks, dan juga muncul dalam pasangan konjugat kompleks.

Kegandaan aljabar

Misalkan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_i} adalah nilai eigen dari suatu matriks $A$ berukuran Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n \ imes n} . Kegandaan aljabar (algebraic multiplicity) Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mu_A(\\lambda_i)} menyatakan bilangan $k$ terbesar yang membuat Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (\\lambda-\\lambda_i)^k} dapat membagi habis polinomial karakteristik dari $A$.

Jika $A$ berdimensi $n$ dan memiliki Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle d\\leq n} nilai eigen yang berbeda, Persamaan () dapat dinyatakan secara lebih ringkas sebagai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle |A - \\lambda I| = (\\lambda_1 - \\lambda)^{\\mu_A(\\lambda_1)}(\\lambda_2 - \\lambda)^{\\mu_A(\\lambda_2)} \\cdots (\\lambda_d - \\lambda)^{\\mu_A(\\lambda_d)}.} Dalam kasus $d=n$, ruas kanan persamaan tersebut akan identik dengan Persamaan (). Nilai setiap kegandaan aljabar dari nilai-nilai eigen berhubungan dengan dimensi $n$ dari matriks lewat persamaan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} 1 &\\leq \\mu_A(\\lambda_i) \\leq n, \\\\ \\mu_A &= \\sum_{i=1}^d \\mu_A\\left(\\lambda_i\ ight) = n. \\end{align} } Jika Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mu_A(\\lambda_i)=1} , maka Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_i} dikatakan sebagai nilai eigen sederhana (simple eigenvalue). Jika Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mu_A(\\lambda_i)} sama dengan kegandaan geometrik dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_i} , yang dijelaskan pada bagian selanjutnya, maka Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_i} dikatakan sebagai nilai eigen semi-sederhana (semisimple eigenvalue).

Ruang eigen, kegandaan geometrik, dan basis eigen bagi matriks

Misalkan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} adalah suatu nilai eigen dari matriks $A$ berukuran Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n \ imes n} , dan himpunan $E$ berisi semua vektor Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} yang memenuhi Persamaan (),

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle E = \\left\\{\\mathbf{v} : \\left(A - \\lambda I\ ight) \\mathbf{v} = \\mathbf{0}\ ight\\}.}

Di satu sisi, himpunan ini adalah kernel atau ruang nol (nullspace) dari matriks Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A-\\lambda I)} . Di sisi lain, dari definisi, setiap vektor tak nol yang memenuhi Persamaan () adalah vektor-vektor eigen dari $A$ yang berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} . Jadi, himpunan $E$ adalah gabungan vektor nol dengan himpunan semua vektor eigen dari $A$ yang berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} , sekaligus sama dengan kernel dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A-\\lambda I)} . Himpunan $E$ disebut sebagai ruang eigen (eigenspace) dari $A$ yang berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} . Secara umum Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} akan berupa bilangan kompleks dan vektor eigen akan berupa matriks kompleks berukuran Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n\ imes 1} .

Ruang eigen $E$ tertutup atas penjumlahan, karena $E$ is adalah suatu subruang vektor (dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbb C^n} ). Dengan kata lain, untuk sembarang vektor Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf u} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} anggota $E$, vektor Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf u + \\mathbf v} juga anggota $E$; atau secara ekuivalen, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A (\\mathbf u + \\mathbf v) = \\lambda(\\mathbf u + \\mathbf v)} . Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat distributif perkalian matriks. Serupa dengan itu, $E$ juga tertutup atas perkalian skalar. Artinya, jika Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v \\in E} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha} merupakan bilangan kompleks, maka Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (\\alpha \\mathbf v) \\in E} ; atau secara ekuivalen, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A (\\alpha\\mathbf v) = \\lambda(\\alpha\\mathbf v)} . Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat komutatif perkalian matriks kompleks dengan bilangan kompleks. Selama Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf u + \\mathbf v} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha \\mathbf v} bukan vektor nol, mereka juga merupakan vektor eigen dari $A$ yang berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} .

Dimensi dari ruang eigen $E$ yang berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} , yakni banyaknya vektor eigen yang berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} dan saling bebas linear, disebut dengan kegandaan geometrik (geometric multiplicity) dari nilai eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} , disimbolkan dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\gamma_A(\\lambda)} . Karena $E$ sama dengan kernel dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A-\\lambda I)} , maka kegandaan geometrik dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} adalah dimensi dari kernel Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A-\\lambda I)} , juga disebut sebagai nolitas dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A-\\lambda I)} , dan berhubungan dengan dimensi dan rank dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A-\\lambda I)} lewat persamaan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\gamma_A(\\lambda) = n - \\operatorname{rank}(A - \\lambda I).}

Sebagai akibat dari definisi nilai eigen dan vektor eigen, nilai kegandaan numerik dari suatu nilai eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} setidaknya sama dengan 1. Lebih lanjut, nilai kegandaan numerik dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} tidak dapat melebihi nilai kegandaan aljabarnya; dan kegandaan aljabar tidak dapat melebihi dimensi dari matriks $A$. Secara matematis hal tersebut dapat ditulis sebagaiGagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 1 \\le \\gamma_A(\\lambda) \\le \\mu_A(\\lambda) \\le n}

Untuk membuktikan pertidaksamaan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\gamma_A(\\lambda)\\le\\mu_A(\\lambda)} , pertimbangkan bahwa definisi kegandaan geometrik mengakibatkan eksistensi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\gamma_A(\\lambda)} buah vektor eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\boldsymbol{v}_1,\\, \\ldots,\\, \\boldsymbol{v}_{\\gamma_A(\\lambda)}} yang ortonormal, dan memenuhi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A \\boldsymbol{v}_k = \\lambda \\boldsymbol{v}_k} . Kita dapat menemukan matriks (uniter) $V$ yang Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\gamma_A(\\lambda)} kolom pertamanya adalah vektor-vektor eigen ini, dan kolom-kolom yang tersisa adalah sembarang himpunan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n - \\gamma_A(\\lambda)} buah vektor ortonormal yang ortogonal dengan vektor-vektor eigen tadi. Maka $V$ memiliki rank penuh sehingga memiliki invers, dan memenuhi persamaan $AV=VD$, dengan $D$ adalah matriks yang blok bagian atas kirinya adalah matriks diagonal Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda I_{\\gamma_A(\\lambda)}} . Hal ini mengimplikasikan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A - \\xi I)V = V(D - \\xi I)} . Dengan kata lain, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A - \\xi I} serupa dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle D - \\xi I} , yang selanjutnya mengakibatkan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\det(A - \\xi I) = \\det(D - \\xi I)} . Namun dari definisi matriks $D$ kita ketahui bahwa Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\det(D - \\xi I)} mengandung faktor Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (\\xi - \\lambda)^{\\gamma_A(\\lambda)}} , yang mengartikan kegandaan aljabar dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} harus memenuhi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mu_A(\\lambda) \\ge \\gamma_A(\\lambda)} .

Misalkan $A$ memiliki Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle d \\leq n} nilai eigen unik Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_1, \\ldots, \\lambda_d} , dengan kegandaan geometrik dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_i} adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\gamma_A (\\lambda_i)} . Total kegandaan geometrik dari $A$,

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} \\gamma_A &= \\sum_{i=1}^d \\gamma_A(\\lambda_i), \\\\ d &\\le \\gamma_A \\le n, \\end{align}}

adalah dimensi dari jumlah semua ruang eigen dari nilai-nilai eigen $A$; atau secara ekuivalen, adalah banyaknya vektor-vektor eigen dari $A$ yang saling bebas linear. Jika Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\gamma_A=n} , maka

• Jumlah langsung semua ruang eigen dari nilai-nilai eigen $A$ akan sama dengan ruang vektor Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbb{C}^n} .
• Suatu basis bagi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbb{C}^n} dapat dibentuk dari $n$ buah eigen vektor dari $A$ yang saling bebas linear; basis tersebut dikatakan sebagai basis eigen (eigenbasis)
• Sembarang vektor di Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbb{C}^n} dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor eigen dari $A$.

Sifat-sifat lain dari nilai eigen

Misalkan $A$ adalah sembarang matriks berukuran Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n \ imes n} dengan entri berupa bilangan kompleks, dan memiliki nilai-nilai eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n} . Setiap nilai eigen muncul sebanyak Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mu_A(\\lambda_i)} kali di polinomial karakteristik matriks $A$, dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mu_A(\\lambda_i)} menyatakan kegandaan numerik dari nilai eigen. Berikut beberapa hubungan yang dimiliki matriks dengan nilai-nilai eigennya:

• Nilai-nilai eigen dari matriks $A^k$, untuk sembarang bilangan bulat positif $k$, adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_1^k, \\ldots, \\lambda_n^k} .
• Matriks $A$ dapat dibalik (memiliki invers) jika dan hanya jika tidak ada nilai eigennya yang bernilai nol.
• Jika $A$ terbalikkan, maka nilai-nilai eigen dari $A^{-1}$ adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{1}{\\lambda_1}, \\ldots, \\frac{1}{\\lambda_n}} . Lebih lanjut, nilai eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_i} dari $A$ dan nilai eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \ frac{1}{\\lambda_i}} dari $A^{-1}$ akan memiliki nilai kegandaan geometrik dan kegandaan aljabar yang sama.
• Jika $A$ sama dengan transpos konjugat dirinya, $A^{\ast }$, dengan kata lain $A$ merupakan matriks Hermite, maka semua nilai eigennya bernilai real. Hal yang sama berlaku untuk sembarang matriks simetrik real.
• Jika $A$ merupakan matriks Hermite sekaligus bersifat definit positif, semidefinit positif, definit negatif, atau semidefinit negatif; maka berturut-turut, setiap nilai eigennya akan berupa bilangan positif, tak negatif, negatif, atau tak positif.
• Jika $A$ uniter, setiap nilei eigennya memiliki nilai mutlak Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle |\\lambda_i|=1} .
• Nilai-nilai eigen dari matriks $I+A$ (dengan $I$ adalah matriks identitas) adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\{\\lambda_1+1,\\ldots,\\lambda_k+1\\}} . Lebih lanjut, jika Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha\\in\\mathbb C} , nilai-nilai eigen dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha I+A} adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\{\\lambda_1+\\alpha,\\ldots,\\lambda_k+\\alpha\\}} . Secara umum untuk sembarang polinomial $P$, nilai-nilai eigen dari matriks $P(A)$ adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\{P(\\lambda_1), \\ldots, P(\\lambda_k)\\}} .

Identitas nilai dan vektor eigen

Untuk sembarang matriks Hermite, kuadrat norma dari komponen ke-$j$ dari vektor eigen yang ternormalisasi dapat ditentukan hanya dengan menggunakan nilai-nilai eigen dari matriks dan nilai-nilai matriks minor yang bersesuaian,Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle |v_{i,j}|^2 = \\frac{\\prod_{k}{(\\lambda_i-\\lambda_k(M_j))}}{\\prod_{k \ eq i}{(\\lambda_i-\\lambda_k)}},}

dengan $M_j$ adalah submatriks yang dibentuk dengan menghilangkan baris dan kolom ke-$j$ dari matriks awalnya.

Contoh perhitungan nilai eigen dan vektor eigen

Contoh matriks dimensi dua

Misalkan sebuah matriks

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A = \\begin{bmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 2 \\end{bmatrix}.}

Gambar berikut menunjukkan efek dari transformasi oleh matriks pada titik-titik koordinat yang terletak pada bidang. Vektor-vektor eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v} dari transformasi ini memenuhi Persamaan (), dan nilai-nilai eigennya adalah nilai-nilai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda} yang menyebabkan determinan matriks Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A-\\lambda I)} sama dengan nol. Dengan menghitung determinan, kita mendapatkan polinomial karakteristik dari $A$,

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} |A - \\lambda I| &= \\left|\\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{bmatrix} - \\lambda\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix}\ ight| = \\begin{vmatrix} 2 - \\lambda & 1 \\\\ 1 & 2 - \\lambda \\end{vmatrix} \\\\[6pt] &= 3 - 4\\lambda + \\lambda^2 \\\\[6pt] &= (\\lambda - 3)(\\lambda - 1). \\end{align}}

Polinom karakteristik ini memiliki akar Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda=1} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda=3} , yang selanjutnya adalah dua nilai eigen dari $A$. Mensubtitusi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda=1} ke dalam Persamaan (), didapatkan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A - I)\\mathbf{v}_{\\lambda=1} = \\begin{bmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}v_1 \\\\ v_2\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}0 \\\\ 0\\end{bmatrix}}

$1v_1+1v_2=0$; $1v_1+1v_2=0$

Sembarang vektor tak nol dengan $v_1=-v_2$ akan memenuhi persamaan ini. Dengan demikian, dapat dipilih satu vektor,

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf{v}_{\\lambda=1} = \\begin{bmatrix} v_1 \\\\ -v_1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\end{bmatrix}}

sebagai vektor eigen dari $A$ yang berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda=1} ; setiap kelipatan dari vektor ini juga merupakan vektor eigen. Sedangkan untuk Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda=3} , Persamaan () dapat ditulis menjadi

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} (A - 3I)\\mathbf{v}_{\\lambda=3} &= \\begin{bmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & -1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \\\\ -1v_1 + 1v_2 &= 0;\\\\ 1v_1 - 1v_2 &= 0 \\end{align}}

Sembarang vektor tak nol dengan $v_1=v_2$ akan memenuhi persamaan ini. Dengan cara yang sama seperti di atas,Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda=3} = \\begin{bmatrix} v_1 \\\\ v_1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}}

adalah vektor eigen dari $A$ yang berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda=3} . Alhasil, vektor Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda=1}} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda=3}} adalah vektor eigen dari $A$, yang masing-masing berasosiasi dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda=1} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda=3} .

Rumus umum untuk nilai-nilai eigen dari matriks dimensi dua

Nilai-nilai eigen dari matriks real Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A = \\begin{bmatrix} a & b\\\\ c & d \\end{bmatrix}} adalah{2} \\\\ &= \\frac{a + d}{2} \\pm \\frac{\\sqrt{(a + d)^2 - 4 (ad - bc)}}{2} \\end{align} </math>

Bentuk di dalam akar dapat diserdehanakan menjadi: Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} & (a + d)^2 - 4(ad - bc) \\\\ ={}& a^2 + 2ad + d^2 - 4ad + 4bc \\\\ ={}& a^2 - 2ad + d^2 + 4bc \\\\ ={}& (a - d)^2 + 4bc \\end{align} }

Dengan sedikit perapian, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} \\lambda &= \\frac{a + d}{2} \\pm \\sqrt{\\frac{(a - d)^2 + 4bc}{4}} \\\\ &= \\frac{a + d}{2} \\pm \\sqrt{\\frac{1}{4}(a - d)^2 + bc} \\end{align} } }}

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda = \\frac{1}{2}(a + d) \\pm \\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}(a - d)\ ight)^2 + bc} = \\frac{1}{2}\\left(\\operatorname{tr}(A) \\pm \\sqrt{\\left(\\operatorname{tr}(A)^2\ ight) - 4\\det(A)}\ ight) . }

Dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\operatorname{tr}(\\dots)} adalah operator trace. Nilai-nilai eigen akan selalu berupa bilangan real ketika $b$ dan $c$ memiliki tanda yang sama, karena nilai di dalam akar tidak akan bernilai negatif

Contoh matriks dimensi tiga

Misalkan sebuah matriks $A$ dengan nilai entri-entri berikut,

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A = \\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 4 & -17 & 8 \\\\ \\end{bmatrix} }

Pertama-tama akan dihitung polinomial karakteristik Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle f(\\lambda)} dari matriks $A$ dengan menghitung ekspansi Laplace dari matriks Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (A-\\lambda I)}

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle f(\\lambda) = \\det(A - \\lambda I) = \\det\\begin{pmatrix} - \\lambda & 1 & 0 \\\\ 0 & - \\lambda & 1 \\\\ 4 & -17 & 8 - \\lambda \\\\ \\end{pmatrix}} Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle f(\\lambda) = - \\lambda \\cdot \\begin{bmatrix} - \\lambda & 1 \\\\ -17 & 8 - \\lambda \\\\ \\end{bmatrix} - 1 \\cdot \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ 4 & 8 - \\lambda \\\\ \\end{bmatrix} + 0 \\cdot \\begin{bmatrix} 0 & - \\lambda \\\\ 4 & -17 \\\\ \\end{bmatrix} = 8\\lambda^2 - \\lambda^3 - 17\\lambda + 4}

Persamaan karakteristik Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle f(\\lambda) = 0} memiliki akar-akar Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_1 = 4, \\lambda_2 = 2 + \\sqrt{3}, \\lambda_3 = 2 - \\sqrt{3}} . Untuk Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_1 = 4} , subtitusi nilai eigen ke dalam Persamaan () akan menghasilkan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} (A - \\lambda_1 I) \\mathbf v \\,\\, &= \\mathbf \\,\\,\\,\\, \\mathbf 0\\\\ \\begin{bmatrix} -4 & 1 & 0 \\\\ 0 & -4 & 1 \\\\ 4 & -17 & 4 \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} v_1\\\\ v_2\\\\ v_3\\\\ \\end{bmatrix} &= \\begin{bmatrix} 0\\\\ 0\\\\ 0\\\\ \\end{bmatrix} \\end{align}} Operasi baris dasar atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya dapat diterapkan untuk mencari solusi persamaan tersebut. Alhasil, didapatkan vektor eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_1 = 4} adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda_1} = \\begin{bmatrix} 1 & 4 & 16\\end{bmatrix}^\ extsf{T}} , maupun kelipatan skalar dari vektor ini.

Contoh matriks dimensi tiga dengan nilai-nilai eigen kompleks

Misalkan sebuah matriks permutasi

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A = \\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \\end{bmatrix}.}

Matriks ini akan menggeser koordinat vektor ke atas sebesar satu posisi, dan memindahkan koordinat pertama menjadi koordinat terakhir. Polinomial karakteristik matriks ini adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 1-\\lambda^3} , yang memiliki akar-akar

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} \\lambda_1 &= 1 \\\\ \\lambda_2 &= -\\frac{1}{2} + i \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\ \\lambda_3 &= \\lambda_2^* = -\\frac{1}{2} - i \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\end{align}}

dengan $i$ adalah unit imajiner yang memiliki sifat Untuk nilai eigen real Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_1 = 1} , sembarang vektor dengan semua entrinya bernilai sama adalah vektor eigen. Sebagai contoh,Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A \\begin{bmatrix} 5\\\\ 5\\\\ 5 \\end{bmatrix} = 1 \\cdot \\begin{bmatrix} 5\\\\ 5\\\\ 5 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 5\\\\ 5\\\\ 5 \\end{bmatrix}. }

Sedangkan untuk dua nilai eigen lainnya, yang merupakan pasangan bilangan kompleks konjugat, akan memenuhi hubungan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_2\\lambda_3 = 1, \\quad \\lambda_2^2 = \\lambda_3, \\quad \\lambda_3^2 = \\lambda_2.} Maka vektor eigen mereka masing-masing adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \\lambda_2 \\\\ \\lambda_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\lambda_2 \\\\ \\lambda_3 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\lambda_2 \\cdot \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \\lambda_2 \\\\ \\lambda_3 \\end{bmatrix}, } dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \\lambda_3 \\\\ \\lambda_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\lambda_3 \\\\ \\lambda_2 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\lambda_3 \\cdot \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \\lambda_3 \\\\ \\lambda_2 \\end{bmatrix}. } Dengan demikian, dua vektor yang lain dari $A$ merupakan vektor kompleks, yakni Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda_2} = \\begin{bmatrix} 1 & \\lambda_2 & \\lambda_3\\end{bmatrix}^\ extsf{T}} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda_3} = \\begin{bmatrix} 1 & \\lambda_3 & \\lambda_2\\end{bmatrix}^\ extsf{T}} yang masing-masing berasosiasi dengan nilai eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_2} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_3} . Dua vektor kompleks ini juga merupakan pasangan kompleks konjugat, karena Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda_2} = \\mathbf v_{\\lambda_3}^*.}

Contoh matriks diagonal

Matriks dengan entri-entri tak nol hanya terletak sepanjang diagonal utama disebut dengan matriks diagonal. Nilai-nilai eigen dari matriks diagonal adalah nilai-nilai sepanjang diagonal utama matriks itu sendiri. Sebagai contoh, misalkan sebuah matriks Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A = \\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3\\end{bmatrix}.} Polinomial karakteristik dari $A$ adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle |A - \\lambda I| = (1 - \\lambda)(2 - \\lambda)(3 - \\lambda)} , yang memiliki akar-akar Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_1 = 1} , Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_2 = 2} , dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_3 = 3} . Akar-akar ini merupakan nilai-nilai eigen dari $A$, sekaligus terletak di diagonal utama matriks $A$. Setiap elemen diagonal utama berasosiasi dengan suatu vektor eigen yang memiliki komponen tidak nol hanya pada komponen yang sama dengan komponen elemen diagonal utama tersebut. Pada contoh ini, masing-masing nilai eigen berasosiasi dengan vektor-vektor eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda_1} = \\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\end{bmatrix}^\ extsf{T}} , Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda_2} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\end{bmatrix}^\ extsf{T}} , dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda_3} = \\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\end{bmatrix}^\ extsf{T}} ; maupun kelipatan skalar dari vektor-vektor ini.

Contoh matriks segitiga

Suatu matriks dengan semua entri di atas diagonal utama bernilai nol disebut dengan matriks segitiga bawah, sedangkan matriks dengan semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol disebut dengan matriks segitiga atas. Sama seperti matriks diagonal, nilai-nilai eigen dari matriks segitiga terletak pada diagonal utama. Sebagai contoh, misalkan sebuah matriks segitiga bawah, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A = \\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 3 & 3 \\end{bmatrix}.} Polinomial karakteristik dari $A$ adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle |A - \\lambda I| = (1 - \\lambda)(2 - \\lambda)(3 - \\lambda)} , yang memiliki akar-akar Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_1 = 1} , Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_2 = 2} , dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda_3 = 3} . Nilai-nilai eigen ini masing-masing berasosiasi dengan vektor eigen Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda_1} = \\begin{bmatrix} 2 & -2 & 1\\end{bmatrix}^\ extsf{T}} , Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda_2} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 & -3\\end{bmatrix}^\ extsf{T}} , dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf v_{\\lambda_3} = \\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\end{bmatrix}^\ extsf{T}} ; maupun kelipatan skalar dari vektor-vektor ini.

Contoh matriks dengan nilai eigen yang berulang

Serupa dengan contoh sebelumnya, matriks segitiga bawah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A = \\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\end{bmatrix},} memiliki polinomial karakteristik sebagai hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya, yakni Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle |A - \\lambda I| = \\begin{vmatrix} 2 - \\lambda & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2- \\lambda & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3- \\lambda & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3- \\lambda \\end{vmatrix} = (2 - \\lambda)^2(3 - \\lambda)^2. } Akar-akar dari polinomial ini, yang juga menjadi nilai-nilai eigen, adalah 2 dan 3. Kegandaan aljabar setiap nilai eigen adalah 2, karena mereka masing-masing merupakan akar ganda. Jumlah dari semua kegandaan aljabar adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\gamma_a = 4 = n} , yakni derajat polinomial karakteristik dan dimensi dari matriks $A$. Di sisi lain, kegandaan geometrik dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda = 2} hanya bernilai 1, karena ruang eigen dari nilai eigen ini hanya dibangun oleh sebuah vektor Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\end{bmatrix}^\ extsf{T}} ; mengakibatkan ruang eigen hanya berdimensi 1. Serupa dengan itu, kegandaan geometrik dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda = 3} juga bernilai 1 karena ruang eigennya hanya dibangun oleh sebuah vektor Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\end{bmatrix}^\ extsf{T}} . Total kegandaan geometrik, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\gamma_A} , bernilai dua; ini adalah nilai terkecil yang mungkin bagi sembarang matriks dengan dua nilai eigen yang berbeda.

Sejarah

Nilai-nilai eigen umum diperkenalkan dalam konteks aljabar linear atau teori matriks. Namun secara historis, mereka muncul dalam studi mengenai bentuk kuadratik dan persamaan diferensial.

Pada abad ke-18, Leonhard Euler mempelajari gerakan rotasi dari benda tegar, dan menemukan pentingnya konsep poros utama (principal axes). Tepatnya tahun 1751, Leonhard Euler membuktikan bahwa setiap benda memiliki suatu poros rotasi utama (principal axis of rotation). Hasil ini dikembangkan oleh Johann Andreas Segner, yang pada tahun 1755 membuktikan setiap benda memiliki tiga poros rotasi utama. Joseph-Louis Lagrange selanjutnya menyadari bahwa poros-poros utama adalah vektor-vektor eigen dari matriks inersia.

Pada awal abad ke-19, Augustin Louis Cauchy melihat bagaimana karya-karya mereka dapat digunakan untuk mengklasifikasi kurva kuadratik (quadric surfaces), lalu memperumumnya ke sembarang dimensi. Karya tulis Cauchy juga berpengaruh terhadap perkembangan teori spektral pada awal tahun 1870. Cauchy juga mencetuskan istilah racine caractéristique (akar karakteristik), yang sekarang disebut sebagai nilai eigen; istilah lain yang ia cetuskan dan masih bertahan saat ini adalah persamaan karakteristik. Selanjutnya, Joseph Fourier menggunakan karya Lagrange dan Pierre-Simon Laplace untuk menyelesaikan persamaan panas dengan pemisahan variabel, dalam buku tahun 1822-nya yang terkenal, Théorie analytique de la chaleu (Teori analitik tentang panas). Charles-François Sturm mengembangkan ide Fourier lebih jauh, dan menarik perhatian Cauchy, yang menggabungkan ide-ide mereka dengan idenya sendiri, dan menghasilkan bukti bahwa matriks simetrik real akan memiliki nilai-nilai eigen real. Hasil ini diperumum oleh Charles Hermite pada tahun 1855, yang memperkenalkan matriks Hermite.

Di saat yang bersamaan, Francesco Brioschi membuktikan nilai-nilai eigen dari matriks ortogonal terletak pada lingkaran satuan, dan Alfred Clebsch menemukan bukti yang serupa untuk matriks skew-symmetric. Karl Weierstrass mengklarifikasi aspek penting dalam teori stabilitas yang dibuat oleh Laplace, dengan membuktikan matriks defektif dapat menyebabkan ketidakstabilan. Joseph Liouville mempelajari masalah-masalah nilai eigen yang mirip dengan masalah yang dikerjakan Sturm; menghasilkan disiplin ilmu yang saat ini dikenal dengan teori Sturm-Liouville. Memasuki akhir abad ke-19, Schwarz mempelajari nilai eigen pertama dari persamaan Laplace secara umum, sedangkan Poincaré mempelajari persamaan Poisson beberapa tahun berikutnya.

Di awal abad ke-20, David Hilbert mempelajari nilai-nilai eigen dari operator integral dengan menganggap operator tersebut sebagai matriks [dengan ukuran] tak berhingga. Ia adalah yang pertama menggunakan kata German eigen, yang berarti "diri sendiri" untuk menyebut nilai dan vektor eigen pada tahun 1904, walau ada kemungkinan ia mengikuti istilah yang digunakan oleh Hermann von Helmholtz. Untuk beberapa waktu, istilah yang digunakan dalam bahasa Inggris adalah "proper value" (nilai yang tepat), tetapi istilah "eigenvalue" menjadi standar saat ini. Sedangkan dalam Bahasa Indonesia, Pusat Bahasa memadankan istilah "eigenvalue" istilah "eigennilai". Namun saat ini, istilah "nilai eigen" lebih populer digunakan.

Algoritma numerik pertama untuk menghitung nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen muncul pada tahun 1929, saat Richard von Mises memublikasikan metode pangkat. Salah satu metode yang populer saat ini adalah algoritma QR, yang diusulkan secara terpisah oleh John G. F. Francis dan Vera Kublanovskaya pada tahun 1961.

Metode penyelesaian

Teori tentang cara menentukan nilai dan vektor eigen, seperti yang disajikan dalam buku-buku aljabar linear dasar, umumnya tidak digunakan dalam praktiknya.

Metode klasik

Metode klasik bekerja dengan mencari nilai-nilai eigen terlebih dahulu, lalu menentukan vektor-vektor eigen untuk setiap nilai eigen. Dalam beberapa cara metode ini tidak sesuai untuk aritmetika non-eksak (non-exact arithmetics) seperti floating-point.

Nilai-nilai eigen dari suatu matriks $A$ dapat ditentukan dengan mencari akar-akar polinomial karakteristik. Hal ini sederhana untuk matriks berukuran Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 2 \ imes 2 } , tetapi kesulitan akan meningkat dengan sangat cepat sebanding dengan ukuran matriks. Dalam teori, koefisien-koefisien dari polinomial karakteristik dapat dihitung secara eksak karena mereka adalah hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen matriks; lagipula ada beberapa algoritma yang dapat mencari akar-akar dari polinomial dengan sembarang derajat akurasi yang diinginkan. Namun cara tidak dapat dilakukan dalam praktik karena koefisien-koefisien akan terkontaminasi dengan galat pembulatan, sedangkan akar-akar polinomial dapat sangat sensitif terhadap perubahan koefisien-koefisien (seperti yang dicontohkan pada polinomial Wilkinson). Bahkan untuk matriks yang setiap entrinya berupa bilangan bulat, kalkulasi tetap membutuhkan banyak operasi penjumlahan.

Rumus aljabar untuk mencari akar-akar polinomial secara eksplisit hanya ada jika derajat polinomial Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n\\leq4} . Berdasarkan teorema Abel-Ruffini, tidak ada rumus aljabar eksak yang eksplisit, untuk mencari akar-akar polinomial derajat 5 atau lebih. Hal ini menyebabkan nilai dan vektor eigen dari matriks berorde 5 atau lebih, perlu dicari sebagai hampiran/perkiraan dengan metode numerik. Bahkan rumus eksplisit untuk akar-akar polinomial derajat 3 sudah tidak praktis secara numerik.

Setelah nilai (eksak) dari nilai eigen diketahui, vektor-vektor yang berasosiasi dengannya dapat dicari dengan mencari solusi tak nol dari persamaan nilai eigen; dengan kata lain, menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear.

Metode iteratif sederhana

Pendekatan sebaliknya, yakni dengan mencari vektor-vektor eigen lalu menentukan nilai eigen yang berasosiasi dengannya, ternyata lebih mudah dikerjakan oleh komputer. Algoritma yang paling sederhana dilakukan dengan mengambil sembarang vektor awal, lalu secara berulang mengalikannya dengan matriks $A$ (dan secara opsional juga melakukan normalisasi agar ukuran vektor tetap wajar); hal ini akan membuat vektor menghampiri suatu vektor eigen. Iterasi invers sebagai salah satu variasi, mengalikan vektor dengan matriks hal ini menyebabkan vektor untuk menghampiri vektor eigen dengan nilai eigen yang nilainya sedekat mungkin dengan

Jika Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf{v}} adalah (perkiraan hampiran yang bagus dari) sebuah vektor eigen dari $A$, maka nilai eigen yang berasosiasi dengan vektor tersebut dihitung lewatGagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lambda = \\frac{\\mathbf{v}^* A\\mathbf{v}}{\\mathbf{v}^* \\mathbf{v}}} dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf{v}^*} menyatakan transpos konjugat dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf{v}} .

Metode modern

Metode yang efisien dan akurat untuk menghitung nilai dan vektor eigen dari sembarang matriks tidak diketahui, sampai saat algoritma QR berhasil dikembangkan pada tahun 1961. Algoritma dengan menggabungkan transformasi Householder dengan dekomposisi LU menghasilkan hampiran yang lebih baik ketimbang algoritma QR. Untuk matriks Hermite yang rongga, algoritma Lanczos adalah salah satu contoh metode iteratif yang efisien untuk menghitung nilai dan vektor eigen.

Banyak metode numerik yang menghitung nilai-nilai eigen dari matriks juga menghasilkan vektor-vektor eigen sebagai produk sampingan, tapi terkadang hal ini tidak dibutuhkan pada masalah yang dikerjakan, sehingga informasi vektor-vektor eigen ini langsung dibuang.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29441846 (2026-07-11T00:53:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.