Vektor satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1. Umumnya dituliskan dalam menggunakan topi (bahasa Inggris: Hat), sehingga: $\hat{u}$ dibaca "u-topi" ('u-hat').

Suatu vektor ternormalisasi $\hat{u}$ dari suatu vektor u bernilai tidak nol, adalah suatu vektor yang berarah sama dengan u, yaitu:

\hat{𝐮} = \frac{𝐮}{‖ 𝐮 ‖},

di mana ||u|| adalah norma (atau panjang atau besar) dari u. Istilah vektor ternormalisasi kadang-kadang digunakan sebagai sinonim dari vektor satuan. Dalam gaya penulisan yang lain (tidak menggunakan huruf tebal) adalah dengan menggunakan panah di atas suatu variabel, yaitu

\hat{u} = \frac{\vec{u}}{‖ \vec{u} ‖} = \frac{\vec{u}}{u} .

Di sini $\vec{u}$ adalah vektor yang dimaksud dan $u$ adalah besarnya.

Vektor

Posisi vektor

$\vec{a} = (a_{1}, a_{2}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j}$

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}

Panjang vektor

Berada di $R^{2}$

Panjang vektor a dalam posisi

(a_{1}, a_{2})

adalah

| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

Panjang vektor b dalam posisi

(b_{1}, b_{2})

adalah

| \vec{b} | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}

Panjang vektor c dalam posisi

(a_{1}, a_{2})

dan

(b_{1}, b_{2})

adalah

| \vec{c} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}}

Berada di $R^{3}$

Panjang vektor a dalam posisi

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

adalah

| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Panjang vektor b dalam posisi

(b_{1}, b_{2}, b_{3})

adalah

| \vec{b} | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}

Panjang vektor c dalam posisi

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

dan

(b_{1}, b_{2}, b_{3})

adalah

| \vec{c} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}}

Jumlah dan selisih kedua vektor

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \left| \vec a \pm \vec b \right| = \sqrt }

Operasi aljabar pada vektor

Penjumlahan dan pengurangan

terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang

\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \end{matrix})

\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} - b_{1} \\ a_{2} - b_{2} \end{matrix})

Perkalian

skalar dengan vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ maka vektor $k \vec{a} = (k a_{1}, k a_{2}, k a_{3})$

titik dua vektor

Jika vektor $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ dan vektor $\vec{b} = b_{1} \hat{i} + b_{2} \hat{j} + b_{3} \hat{k}$ maka $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

titik dua vektor dengan membentuk sudut

Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ vektor tak nol dan sudut $α$ di antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ maka perkalian skalar vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | c o s α$

silang dua vektor

Jika vektor $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ dan vektor $\vec{b} = b_{1} \hat{i} + b_{2} \hat{j} + b_{3} \hat{k}$ maka $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} \hat{i} + a_{3} b_{1} \hat{j} + a_{1} b_{2} \hat{k}) - (a_{2} b_{1} \hat{k} + a_{3} b_{2} \hat{i} + a_{1} b_{3} \hat{j})$

[\begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} & \hat{i} & \hat{j} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{1} & b_{2} \end{matrix}]

silang dua vektor dengan membentuk sudut

Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ vektor tak nol dan sudut $α$ di antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ maka perkalian skalar vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\vec{a} \times \vec{b}$ = $| \vec{a} | \times | \vec{b} | s i n α$

Sifat operasi aljabar pada vektor

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
$\vec{a} + 0 = 0 + \vec{a}$
$k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$
$(k + l) \vec{a} = k \vec{a} + l \vec{a}$
$\vec{a} + (- \vec{a}) = 0$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$
$\vec{a} \cdot 1 = 1 \cdot \vec{a}$
$k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = k \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot k \vec{b}$
$(k \cdot l) \vec{a} = k (l \cdot \vec{a})$
$\vec{a} \cdot \vec{a} = {| \vec{a} |}^{2}$
$\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}$
$\vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a})$
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
$k (\vec{a} \times \vec{b}) = k \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times k \vec{b}$

Hubungan vektor dengan vektor lain

Perkalian titik

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor $\vec{a}$ dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos 90^{\circ}

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Sejajar

Jika vektor $\vec{a}$ sejajar dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos 0^{\circ}

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos 180^{\circ}

\vec{a} \cdot \vec{b} = - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

Perkalian silang

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor $\vec{a}$ dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin 90^{\circ}

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin 270^{\circ}

\vec{a} \times \vec{b} = - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

Jika $β > 90^{\circ}$ maka dua vektor tersebut searah

Jika $β < 90^{\circ}$ maka vektor saling berlawanan arah

Sejajar

Jika vektor $\vec{a}$ sejajar dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin 0^{\circ}

\vec{a} \times \vec{b} = 0

Sudut dua vektor

Jika vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah $c o s α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

Panjang proyeksi vektor

\vec{a}

pada vektor

\vec{b}

adalah

| \vec{c} | = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |}

Proyeksi vektor

\vec{a}

pada vektor

\vec{b}

adalah

\vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}} \cdot \vec{b}

Metode

segitiga: $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b}$

jajar genjang: <math>\vec R = |\vec a - \vec b | = \sqrt

Lihat pula

Transformasi

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27447008 (2025-06-22T11:02:25Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.