Logaritma alami dari 2

Nilai desimal dari logaritma natural dari 2 (urutan kira-kira

$\ln 2\approx 0.693147180559945309417232121458$.

Logaritma dari 2 dalam basis lainnya diperoleh dengan rumus

${\log }_{b}2=\frac{\ln 2}{\ln b}$

Logaritma umum secara khusus adalah

${\log }_{10}2\approx 0.301029995663981195$.

Invers dari bilangannya ini adalah logaritma biner dari 10:

${\log }_{2}10=\frac{1}{{\log }_{10}2}\approx 3.321928095$

Dengan menggunakan teorema Lindemann–Weierstrass, logaritma natural dari setiap bilangan asli selain 0 dan 1 (lebih umumnya, dari setiap positif bilangan aljabar selain 1) adalah sebuah bilangan transenden.

Wakilan deret

Faktorial bolak-balik menaik

• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$. Ini dikenal "deret harmonik bolak-balik".
• $\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)}$.
• $\ln 2=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}$.
• $\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$.
• $\ln 2=\frac{131}{192}+\frac{3}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$.
• $\ln 2=\frac{661}{960}+\frac{15}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}$.

Faktorial konstanta menaik biner

• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}$.
• $\ln 2=1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)}$.
• $\ln 2=\frac{1}{2}+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}$.
• $\ln 2=\frac{5}{6}-6\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}$
• $\ln 2=\frac{7}{12}+24\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$.
• $\ln 2=\frac{47}{60}-120\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}$.

Wakilan deret lainnya

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\ln 2$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(4n^2-1)}=2\ln 2-1$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(4n^2-1)}=\ln 2-1$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(9n^2-1)}=2\ln 2-\frac{3}{2}$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-2n}=\ln 2$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(-1{)}^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n}=\ln 2$.
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}=\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$.
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+2}=-\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$.
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(3n+1)(3n+2)}=\frac{2\ln 2}{3}$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sum _{k=1}^n{k}^2}=18-24\ln 2$ menggunakan $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=N}^{2N}\frac{1}{n}=\ln 2$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4k^2-3k}=\ln 2+\frac{\pi }{6}$ (jumlah timbal-balik dari bilangan dekagonal).

Melibatkan fungsi zeta Riemann

• $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}[\zeta (n)-1]=\ln 2-\frac{1}{2}$.
• $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -\frac{\ln 2}{2}$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2n-1}(2n+1)}\zeta (2n)=1-\ln 2$.

($\gamma$ adalah konstanta Euler−Mascheroni dan $\zeta$ adalah fungsi zeta Riemann.)

Wakilan tipe-BBP

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12})\frac{1}{16^k}$

(Lihat lebih banyak mengenai wakilan tipe Bailey−Borwein−Plouffe (BBP).)

Menerapkan ketiga deret umum untuk logaritma natural ke 2 secara langsung memberikan:

• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$.
• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}$.
• $\ln 2=\frac{2}{3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{9^k(2k+1)}$.

Menerapkannya untuk $2=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}$ memberikan:

• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2^{n}n}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{3^{n}n}$.
• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^{n}n}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4^{n}n}$.
• $\ln 2=\frac{2}{5}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25^k(2k+1)}+\frac{2}{7}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{49^k(2k+1)}$.

Menerapkannya untuk $2={\left(\sqrt{2}\right)}^2$ memberikan:

• $\ln 2=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{(\sqrt{2}+1{)}^{n}n}$.
• $\ln 2=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2+\sqrt{2}{)}^{n}n}$.
• $\ln 2=\frac{4}{3+2\sqrt{2}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(17+12\sqrt{2}{)}^k(2k+1)}$.

Menerapkannya untuk $2={\left(\frac{16}{15}\right)}^7\cdot {\left(\frac{81}{80}\right)}^3\cdot {\left(\frac{25}{24}\right)}^5$ memberikan:

• $\ln 2=7\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{15^{n}n}+3\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{80^{n}n}+5\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{24^{n}n}$.
• $\ln 2=7\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^{n}n}+3\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{81^{n}n}+5\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25^{n}n}$.
• $\ln 2=\frac{14}{31}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{961^k(2k+1)}+\frac{6}{161}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25921^k(2k+1)}+\frac{10}{49}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2401^k(2k+1)}$.

Wakilan sebagai integral

Logaritma natural dari 2 sering terjadi sebagai hasil integrasi. Beberapa rumus eksplisit untuknya termasuk

• ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}={\int }_1^2\frac{dx}{x}=\ln 2$.

• ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x}dx=\ln 2$.

• ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\tan xdx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\tan xdx=\ln 2$.

Wakilan lainnya

Pengembangan Piercenya adalah

$\ln 2=1-\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12}-\cdots$

Pengembangan Engelnya adalah

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots$

Pengembangan kotangennya adalah

$\ln 2=\cot (\mathrm{arccot}(0)-\mathrm{arccot}(1)+\mathrm{arccot}(5)-\mathrm{arccot}(55)+\mathrm{arccot}(14187)-\cdots )$

Pengembangan pecahan berlanjutnya adalah

$\ln 2=[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,\mathrm{...}]$

yang menghasilkan aproksimasi rasional, beberapa yang pertama adalah $0$, $1$, $\frac{2}{3}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{9}{13}$, dan $\frac{61}{88}$.

Pecahan berlanjut yang digeneralisasi ini:

$\ln 2=[0;1,2,3,1,5,\frac{2}{3},7,\frac{1}{2},9,\frac{2}{5},\mathrm{...},2k-1,\frac{2}{k},\mathrm{...}]$, dapat diekspresikan sebagai

$\ln 2=\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{2}{2+\frac{2}{5+\frac{3}{2+\frac{3}{7+\frac{4}{2+\ddots }}}}}}}}=\frac{2}{3-\frac{1^2}{9-\frac{2^2}{15-\frac{3^2}{21-\ddots }}}}$

Bootstrap logaritma lainnya

Diberikan sebuah nilai dari $\ln 2$, sebuah skema menghitung logaritma dari bilangan bulat lainnya adalah untuk mentabulasi logaritma dari bilangan prima dan di lapisan berikutnya, logaritma dari bilangan komposit $c$ berdasarkan faktorisasinya

$c=2^i{3}^j{5}^k{7}^l\cdots \to \ln (c)=i\ln (2)+j\ln (3)+k\ln (5)+l\ln (7)+\cdots$

Ini memakai

DI lapisan ketiga, logaritma bilangan rasional $r=\frac{a}{b}$ dihitung dengan menggunakan $\ln (r)=\ln (a)-\ln (b)$, dan logaritma akar melalui $\ln \sqrt[n]{c}=\frac{1}{n}\ln c$.

Logaritma dari 2 berguna dalam arti bahwa pangkat dari 2 tersebar agak padat, mencari $2^i$ yang mendekati dengan pangkat $b^j$ dari bilangan $b$ lainnya relatif mudah, dan representasi deret $\ln b$ dengan menggabungkan $2$ ke $b$ dengan perubahan logaritmik.

Contoh

Jika $p^s=q^t+d$ dengan beberapa $d$, maka $\frac{p^s}{q^t}=1+\frac{d}{q^t}$ dan karena itu

$s\ln (p)-t\ln (q)=\ln (1+\frac{d}{q^t})=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+1}\frac{(\frac{d}{q^t}{)}^m}{m}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{2n+1}{\left(\frac{d}{2q^t+d}\right)}^{2n+1}$

Memilih $q=2$ mewakili $\ln (p)$ oleh $\ln 2$ dan sebuah deret dari sebuah parameter $\frac{d}{q^t}$ yang ingin tetap kecil untuk konvergen cepat. Mengambil $3^2=2^3+1$, sebagai contoh, menghasilkan

$2\ln (3)=3\ln 2-\sum _{k\ge 1}\frac{(-1{)}^k}{8^{k}k}=3\ln 2+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{2n+1}{\left(\frac{1}{2\cdot 8+1}\right)}^{2n+1}$:

Ini sebenarnya baris ketiga dalam tabel ekspansi tipe ini:

Dimulai dari logaritma natural dari $q=10$, salah satunya dapat menggunakan parameter-parameter ini:

Digit yang diketahui

Ini adalah sebuah tabel catatan terbaru dalam menghitung digit $\ln 2$. Mulai Desember 2018, ini telah dihitung lebih banyak digit dari setiap logaritma natural dari sebuah bilangan asli, kecuali 1.

Lihat pula

• Aturan 72#Penggabungan kontinu, di mana $\ln 2$ sangat menonjol
• Waktu-paruh#Rumus untuk waktu-paruh dalam peluruhan eksponensial, di mana $\ln 2$ sangat menonjol
• Persamanan Erdős–Moser, semua penyelesaian harus datang dari sebuah konvergen dari $\ln 2$.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29568600 (2026-08-13T00:20:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.