Kuasigrup

Dalam matematika, terutama dalam aljabar abstrak, kuasigrup adalah struktur aljabar yang menggunakan grup dalam arti bahwa "pembagian" selalu memungkinkan. Kuasigrup berbeda dari grup terutama karena mereka tidak selalu asosiatif.

Kuasigrup dengan elemen identitas disebut gelung.

Definisi

Terdapat dua definisi formal kuasigrup secara struktural. Mendefinisikan kuasigrup sebagai himpunan dengan satu operasi biner, dan yang lainnya, dari aljabar universal, mendefinisikan kuasigrup sebagai tiga operasi. Homomorfik galeri dari kuasigrup ditentukan dengan operasi biner tunggal.

Aljabar

Kuasigrup adalah himpunan Q dengan operasi biner ∗ (yaitu, magma) menggunakan sifat persegi Latin. Hal ini bahwa, untuk a dan b dalam Q, dengan elemen x dan y dengan Q sehingga

a ∗ x = b,

y ∗ a = b

(Dengan elemen himpunan satu kali dengan baris dan kolom tabel perkalian kuasigrup, atau tabel Cayley. Sifat tabel Cayley dari kuasigrup hingga, dan grup hingga, adalah persegi latin.) Persyaratan dengan magma menjadi pembatalan.

Persamaan ditulis sebagai dan . Operasi '\' dan '/' yaitu, kiri dan kanan divisi.

Himpunan kosong digunakan dengan operasi biner kosong dari definisi kuasigrup beberapa penulis, kuasigrup kosong yang digunakan secara eksplisit.

Aljabar universal

Beberapa struktur aljabar, identitas adalah persamaan di mana variabel diukur secara universal, dan di mana operasi termasuk di antara operasi yang sesuai dengan struktur. Struktur aljabar dengan identitas disebut varietas. Hasil standar dalam aljabar universal hanya berlaku untuk varietas. Kuasigrup adalah varietas pembagian kiri dan kanan dianggap primitif.

Kuasigrup adalah jenis (2,2,2) aljabar (yaitu, dilengkapi dengan tiga operasi biner) identitas:

y = x ∗ (x \ y),

y = x \ (x ∗ y),

y = (y / x) ∗ x,

y = (y ∗ x) / x.

Dengan perkalian dan pembagian dalam urutan, satu demi satu, pada sisi yang sama dengan elemen.

Karena, jika adalah kuasigrup menurut definisi pertama, maka adalah kuasigrup yang sama dalam arti aljabar universal. Dan sebaliknya: jika adalah kuasigrup menurut pengertian aljabar universal, kemudian adalah kuasigrup menurut definisi pertama.

Gelung

Gelung adalah kuasigrup dengan elemen identitas;

x ∗ e = x dan e ∗ x = x untuk x pada Q.

Maka elemen identitas e, dan elemen Q memiliki invers kiri dan invers kanan (yang tidak harus sama).

Kuasigrup dengan elemen idempoten disebut kuasi grup idempoten titik; gagasan lemah dari gelung tetap umum misalnya, jika grup abelian dari operasi pengurangan sebagai perkalian kuasigrup pikue dengan identitas grup (nol) menjadi "idempoten tajam" (yaitu, isotop utama .)

gelung asosiatif adalah grup suatu isotop non-asosiatif, tetapi tidak memiliki isotop simpul non-asosiatif.

Terdapat sifat asosiatif lemah yang telah diberi nama khusus.

Misalnya, gelung Bol adalah gelung:

x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = (x ∗ (y ∗ x)) ∗ z untuk x , y dan z dalam Q ( Bol kiri gelung ),

atau

((z ∗ x) ∗ y) ∗ x = z ∗ ((x ∗ y) ∗ x) untuk x , y dan z dalam Q ( Bol gelung kanan ).

gelung yang merupakan gelung Bol kiri dan kanan adalah gelung Moufang. Setara dengan salah satu dari identitas Moufang berikut yang dimiliki untuk x, y, z:

x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = ((x ∗ y) ∗ x) ∗ z,

z ∗ (x ∗ (y ∗ x)) = ((z ∗ x) ∗ y) ∗ x,

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ x), atau

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = (x ∗ (y ∗ z)) ∗ x.

Simetri

Smith (2007) menyebutkan sifat dan subkelas berikut ini:

Semisimetri

kuasigrup adalah semisimetris jika identitas setara sebagai berikut:

xy = y / x,

yx = x \ y,

x = (yx)y,

x = y(xy).

kuasigrup Q menginduksi kuasigrup semisimetri QΔ denagn kubus produk langsung Q³ melalui operasi berikut:

$(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3)=(y_3/x_2,y_1\mathrm{\setminus }{x}_3,x_1{y}_2)=(x_2//y_3,x_3\mathrm{\setminus }\mathrm{\setminus }{y}_1,x_1{y}_2),$

di mana "//" dan "\\" adalah operasi pembagian konjugasi $y//x=x/y$ dan $y\mathrm{\setminus }\mathrm{\setminus }x=x\mathrm{\setminus }y$.

Total simetri

Kelas merupakan kuasigrup simetris total (terkadang disingkat kuasigrup-TS) di mana semua konjugasi bertepatan sebagai satu operasi: . Untuk mendefinisikan (pengertian yang sama tentang) kuasigrup simetri total adalah sebagai kuasigrup semisimetri yang juga bersifat komutatif, yaitu .

kuasigrup simetri total idempoten (yaitu dalam bijeksi dengan) tripel Steiner, kuasigrup juga disebut kuasigrup Steiner, dan kadang-kadang yang terakhir bahkan disingkat sebagai squag; istilah sgelung didefinisikan untuk kuasigrup Steiner yang juga merupakan gelung. Tanpa idempotensi, grup simetri total dengan pengertian geometris ekstensi tripel Steiner, juga disebut Generalized Elliptic Cubic Curve (GECC) dalam bahasa Indonesia yaitu Kurva Kubik Eliptik Umum.

Total antisimetri

kuasigrup disebut totali anti-simetri jika dari kedua implikasi berikut:

1. (c ∗ x) ∗ y = (c ∗ y) ∗ x menyiratkan x = y
2. x ∗ y = y ∗ x menyiratkan x = y.

Hal ini disebut anti-simetri lemah jika hanya implikasi pertama.

Sifat ini digunakan dalam Algoritma Damm.

Contoh

• Setiap grup adalah satu lingkaran, maka jika dan hanya jika , dan jika dan hanya jika .
• Bilangan bulat Z dengan pengurangan (-) membentuk kuasigrup.
• Bilangan rasional Q^× (atau bukan nol riil R^×) dengan pembagian (÷) membentuk kuasigrup.
• Setiap ruang vektor di atas bidang dari karakteristik tidak membentuk dengan 2 idempoten, kuasigrup komutatif di bawah operasi .
• Setiap Sistem tripel Steiner mendefinisikan kuasigrup idempoten, komutatif: adalah elemen ketiga dari triple yang mengandung a dan b. kuasigrup untuk x dan y dengan kuasigrup yang dikenal sebagai kuasigrup Steiner .
• The set } di mana dan dengan semua produk lain seperti pada grup kuaternion membentuk gelung non-asosiatif dengan orde 8. Lihat kuartenion hiperbolik. (Kuartenion hiperbolik tidak membentuk lingkaran atau kuasigrup.)
• Oktonion bukan nol membentuk gelung non-asosiatif dalam perkalian. Oktonion adalah tipe gelung khusus yang dikenal sebagai gelung Moufang.
• Sebuah kuasigrup asosiatif kosong atau sebuah grup, karena jika ada setidaknya satu elemen, keberadaan invers dan asosiatif menyiratkan adanya identitas.
• Berikut ini karena Hans Zassenhaus, pada himpunan dasar dari ruang vektor empat dimensi F⁴ di atas 3 elemen bidang Galois dengan

(x₁, x₂, x₃, x₄) ∗ (y₁, y₂, y₃, y₄) = (x₁, x₂, x₃, x₄) + (y₁, y₂, y₃, y₄) + (0, 0, 0, (x₃ − y₃)(x₁y₂ − x₂y₁)).

Maka, adalah grup dari komutatif gelung Moufang.

• Himpunan elemen bukan nol dari aljabar pembagian membentuk kuasigrup.

Sifat

Bagian artikel ini menunjukkan kuasigrup perkalian dengan penjajaran.

Kuasigrup sifat pembatalan: jika dari oleh pembagian kiri ab atau ac oleh a . Jika adalah .

Operator perkalian

Definisi dari kuasigrup sebagai operator perkalian kiri dan kanan , didefinisikan dari

$\begin{array}{cc}L(x)y& =xy\\ R(x)y& =yx\\ \end{array}$

Definisi tersebut kedua pemetaan adalah bijeksi dari Q. Magma Q adalah kuasigrup ketika operator, untuk x dalam Q , bersifat bijektif. Peta invers adalah pembagian kiri dan kanan, yaitu

$\begin{array}{cc}L(x{)}^{-1}y& =x\mathrm{\setminus }y\\ R(x{)}^{-1}y& =y/x\end{array}$

Dalam notasi, identitas di antara operasi perkalian dan pembagian kuasigrup (dinyatakan pada bagian aljabar universal) adalah

$\begin{array}{cccc}L(x)L(x{)}^{-1}& =1& \text{ dengan}x(x\mathrm{\setminus }y)& =y\\ L(x{)}^{-1}L(x)& =1& \text{ dengan}x\mathrm{\setminus }(xy)& =y\\ R(x)R(x{)}^{-1}& =1& \text{ dengan}(y/x)x& =y\\ R(x{)}^{-1}R(x)& =1& \text{ dengan}(yx)/x& =y\end{array}$

di mana 1 adalah peta identitas pada Q .

Persegi Latin

Persegi Latin, tabel perkalian tak beraturan untuk kuasigrup yang 10 elemennya adalah angka 0–9.

0	4	8	2	3	9	6	7	1	5
3	6	2	8	7	1	9	5	0	4
8	9	3	1	0	6	4	2	5	7
1	7	6	5	4	8	0	3	2	9
2	1	9	0	6	7	5	8	4	3
5	2	7	4	9	3	1	0	8	6
4	3	0	6	1	5	2	9	7	8
9	8	5	7	2	0	3	4	6	1
7	0	1	9	5	4	8	6	3	2
6	5	4	3	8	2	7	1	9	0

Tabel perkalian kuasigrup berhingga adalah persegi Latin: tabel dengan simbol n yang berbeda sehingga setiap simbol satu kali di baris dan satu kali di setiap kolom.

Sebaliknya, setiap persegi Latin sebagai tabel perkalian kuasigrup: baris perbatasan (berisi tajuk kolom) dan kolom (berisi tajuk baris) dapat berupa permutasi elemen. Lihat persegi Latin kecil dan kuasigrup.

Kuasigrup tak hingga

Untuk kuasigrup takhingga tercacah Q adalah di mana baris dan kolom sesuai dengan beberapa elemen q dari Q , dan di mana elemen a*b adalah baris yang sesuai dengan a dan kolom merespons b . Dalam sifat persegi Latin baris dan kolom dari tak hingga dari titik yang mungkin satu kali.

Sifat invers

Elemen gelung memiliki invers kiri dan kanan dirumuskan sebagai

$x^{\lambda }=e/x{x}^{\lambda }x=e$

$x^{\rho }=x\mathrm{\setminus }ex{x}^{\rho }=e$

gelung dikatakan memiliki ( dua sisi ) invers jika $x^{\lambda }=x^{\rho }$ adalah x . Dalam hal ini elemen invers biasanya dilambangkan dengan $x^{-1}$.

Ada beberapa pengertian invers yang lebih kuat dalam gelung yang sering berguna:

• Sebuah gelung memiliki sifat inversi kiri jika $x^{\lambda }(xy)=y$ untuk $x$ dan $y$. Setara, $L(x{)}^{-1}=L(x^{\lambda })$ or $x\mathrm{\setminus }y=x^{\lambda }y$.
• Sebuah gelung memiliki sifat invers kanan jika $(yx)x^{\rho }=y$ for all $x$ dan $y$. Setara, $R(x{)}^{-1}=R(x^{\rho })$ or $y/x=y{x}^{\rho }$.
• Sebuah gelung memiliki sifat kebalikan antiautomorphic if $(xy{)}^{\lambda }=y^{\lambda }{x}^{\lambda }$ atau, setara, jika $(xy{)}^{\rho }=y^{\rho }{x}^{\rho }$.
• Sebuah gelung memiliki sifat inversi lemah ketika $(xy)z=e$ jika dan hanya jika $x(yz)=e$. Ini dapat dinyatakan dalam inversi melalui $(xy{)}^{\lambda }x=y^{\lambda }$ atau setara $x(yx{)}^{\rho }=y^{\rho }$.

Sebuah gelung memiliki sifat invers jika ia memiliki sifat invers kiri dan kanan. gelung sifat invers juga memiliki sifat invers antiautomorfik dan lemah. Pengulangan salah satu dari empat identitas di atas memiliki sifat inversi dan karena itu memenuhi keempatnya.

Perampatan

Kuasigrup poladik atau multier

Sebuah kuasigrup-ari-n adalah himpunan dengan operasi ari-n, dengan , sehingga persamaannya memiliki solusi unik untuk satu variabel jika semua variabel n lainnya ditentukan. Poliadik atau multiari berarti ari-n untuk beberapa bilangan bulat nonnegatif n .

Contoh dari beberapa kuasigrup adalah operasi grup berulang, ; tidak perlu menggunakan tanda kurung untuk menentukan urutan operasi karena grup bersifat asosiatif. Seseorang juga dapat membentuk kuasigrup multi dengan melakukan urutan apapun dari operasi grup atau kuasigrup yang sama atau berbeda, jika urutan operasi ditentukan.

Ada banyak kuasigrup yang tidak dapat direpresentasikan dengan cara ini. Sebuah semigrup ari-n adalah tidak bisa direduksi jika operasinya tidak dapat difaktorkan ke dalam komposisi dua operasi dengan cara berikut:

$f(x_1,\dots ,x_n)=g(x_1,\dots ,x_{i-1},h(x_i,\dots ,x_j),x_{j+1},\dots ,x_n),$

di mana and . Irreduksi hingga kuasi grup ari-n untuk ; lihat Akivis dan Goldberg (2001) untuk detailnya.

Grup kanan dan kiri

Kuasigrup kanan adalah aljabar tipe (2,2) yang memenuhi kedua identitas: y = (y / x) ∗ x; y = (y ∗ x) / x.

Demikian pula, kuasigrup kiri adalah aljabar tipe (2,2) yang memenuhi kedua identitas: y = x ∗ (x \ y); y = x \ (x ∗ y).

Jumlah kuasigrup dan gelung kecil

Jumlah kelas isomorfisme dari kuasigrup kecil dan gelung diberikan:

Urutan	Jumlah kuasigrup	Jumlah gelung
0	1	0
1	1	1
2	1	1
3	5	1
4	35	2
5	1,411	6
6	1,130,531	109
7	12,198,455,835	23,746
8	2,697,818,331,680,661	106,228,849
9	15,224,734,061,438,247,321,497	9,365,022,303,540
10	2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513	20,890,436,195,945,769,617
11	19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025	1,478,157,455,158,044,452,849,321,016

Lihat pula

• Gelanggang pembagian - gelanggang di mana setiap elemen bukan nol memiliki pembalikan perkalian
• Semigrup - struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi biner asosiatif
• Monoid - semigrup dengan elemen identitas
• Gelanggang terner Planar - memiliki struktur gelung aditif dan perkalian
• Masalah dalam teori lingkaran dan teori kuasigrup
• Matematika Sudoku

Pranala luar

• quasigroups

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29567254 (2026-08-12T17:24:40Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.