Persamaan konsisten dan inkonsisten

Dalam matematika dan lebih khususnya aljabar, sebuah sistem persamaan (entah linear maupun nonlinear) dikatakan konsisten jika terdapat setidaknya satu set nilai dari peubah yang tidak diketahui yang memenuhi setiap persamaan dalam sistem tersebut. Hal ini berarti ketika nilai tersebut disubtitusikan pada setiap persamaan, nilai-nilai tersebut membuat persamaan tersebut benar sebagai sebuah identitas. Sebaliknya, sebuah sistem persamaan dikatakan inkonsisten atau tidak konsisten ketika tidak ada set nilai yang dapat memenuhi setiap persamaan.

Jika sebuah sistem persamaan inkonsisten, maka persamaan tersebut tidak dapat dikatakan benar bersama yang mengarah pada informasi yang saling bertentangan. Misalnya, terdapat pernyataan salah seperti atau dan (yang menyiratkan bahwa ).

Kedua tipe sistem persamaan ini, inkonsisten maupun konsisten, dapat berupa (memiliki lebih banyak persamaan dibandingkan peubah yang tidak diketahui), (memiliki lebih sedikit persamaan dibandingkan dengan peubah yang tidak diketahui), atau sesuai.

Contoh

Kekurangan persamaan dan konsistem

System berikut,

$\begin{array}{cc}x+y+z& =3,\\ x+y+2z& =4\end{array}$

memiliki jumlah solusi tak hingga, dengan kesemuanya memiliki . Hal ini didapatkan dengan mengurangi persamaan pertama dan kedua) dan semuanya memiliki untuk semua nilai dan . Karena sistem ini memiliki lebih dari satu solusi, maka sistem ini disebut sebagai .

Kekurangan persamaan dan inkonsistem

Sistem

$\begin{array}{cc}x+y+z& =3,\\ x+y+z& =4\end{array}$

tidak memiliki solusi. Hal ini karena jika persamaan kedua dikurangi oleh persamaan pertama, maka akan dihasilkan .

Jumlah persamaan sesuai dan konsistem

Sistem

$\begin{array}{cc}x+y& =3,\\ x+2y& =5\end{array}$

memiliki satu solusi, yaitu dan .

Jumlah persamaan sesuai dan inkonsisten

Sistem

$\begin{array}{cc}x+y& =3,\\ 4x+4y& =10\end{array}$

tidak memiliki solusi karena jika persamaan pertama dikalikan dengan empat, lalu dikurangi dengan persamaan kedua, akan dihasilkan .

Jumlah persamaan lebih dan konsisten

Sistem

$\begin{array}{cc}x+y& =3,\\ x+2y& =7,\\ 4x+6y& =20\end{array}$

memiliki solusi karena dua persamaan pertama tidak memiliki informasi yang saling bertentangan. Sementara itu, persamaan ketiga berlebihan karena bernilai sama jika persamaan pertama dan kedua dikalikan dengan dua lalu dijumlahkan.

Jumlah persamaan lebih dan inkonsisten

Sistem

$\begin{array}{cc}x+y& =3,\\ x+2y& =7,\\ 4x+6y& =21\end{array}$

tidak konsisten karena persamaan terakhir memiliki informasi yang bertentangan dengan dua persamaan pertama. Jika dua persamaan pertama dikali dua dan dijumlahkan, maka akan memberikan informasi yang berbeda dengan persamaan terakhir.

Kriteria untuk konsistensi

Sistem linear

Sebuah sistem persamaan linear dikatakan konsisten jika dan hanya jika matriks koefisiennya memiliki rank yang sama dengan matriks imbuhannya. Jika matriks koefisien memiliki tambahan kolom, kolom tersebut haruslah menjadi vektor kolom yang berisi konstanta.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27146741 (2025-04-15T01:35:27Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.