Bola pejal (matematika)

Blue ball

Dalam matematika, bola pejal (atau bola pepat) adalah bangunan ruang yang dibatasi volume bola, yang disebut juga sebagai bola padat. Bola dapat dikatakan sebagai bola tertutup (), yang mencakup titik batas yang membentuk bola) atau disebut sebagai bola terbuka (), yang mengecualikan titik batas yang membentuk bola.

Konsep ini tidak hanya didefinisikan dalam ruang Euklides berdimensi tiga, melainkan untuk dimensi yang lebih rendah dan lebih tinggi pula, dan untuk ruang metrik secara umum. Bola pejal dalam dimensi disebut bola pejal- dan dibatasi oleh hiperbola atau bola-(). Jadi, sebagai contoh, bola pejal dalam bidang Euklides merupakan hal yang serupa dengan cakram, yang dibatasi lingkaran. Dalam ruang berdimensi tiga Euklides, bola pejal diambil sebagai volume yang dibatasi dengan bola berdimensi dua. Dalam ruang berdimensi satu, bola pejal merupakan sebuah ruas garis.

Dalam ruang Euklides

Dalam ruang Euklides ke-, bola pejal- (terbuka) dengan jari-jari dan pusat merupakan himpunan dari semua titik dengan jarak kurang dari yang jauh dari . Sedangkan bola pejal- tertutup dengan jari-jari merupakan himpunan dari semua titik dengan jarak kurang dari atau sama dengan nilai yang jauh dari .

Volume

Dalam ruang Euklides berdimensi-, volume berdimensi- dari bola pejal Euklides dengan jari-jari dirumuskan sebagai:

$V_n(R)=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}{R}^n,$

dengan merupakan fungsi gamma Leonhard Euler (yang dapat dipandang sebagai perluasan dari fungsi faktorial hingga ke argumen fraksional). Menggunakan rumus eksplisit nilai khusus dari fungsi gamma di bilangan bulat dan setengah bilangan bulat, memberikan rumus volume dari bola pejal Euklides yang tanpa menggunakan perhitungan fungsi gamma. Rumus tersebut adalah:

$\begin{array}{cc}{V}_{2k}(R)& =\frac{{\pi }^k}{k!}{R}^{2k},\\ V_{2k+1}(R)& =\frac{2^{k+1}{\pi }^k}{(2k+1)!!}{R}^{2k+1}=\frac{2(k!)(4\pi {)}^k}{(2k+1)!}{R}^{2k+1}.\end{array}$

Dalam rumus volume berdimensi ganjil, faktorial ganda didefinisikan untuk bilangan bulat ganjil sebagai

$(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2k-1)\cdot (2k+1).$

Lihat pula

• Bola, dalam pengertian biasa
• Cakram (matematika)
• Bola pejal formal
• Persekitaran (matematika)
• Bola (geometri), bentuk geometrik yang mirip
• Bola berdimensi tiga
• Bola- atau hiperbola
• Bola bertanduk Alexander
• Manifold
• Volume dari bola-Bola-n
• Oktahedron, bola berdimensi tiga dalam metrik

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28606106 (2025-11-22T16:16:03Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.