Distribusi t Student

Student t pdf

\ </math> | type = density | cdf = $$\begin{array}{c}\frac{1}{2}+x\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)\times \\ \frac{{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{\nu +1}{2};\frac{3}{2};-\frac{x^2}{\nu })}{\sqrt{\pi \nu }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)},\end{array}$$

    dengan ${}_2{F}_1(,;;)$ adalah fungsi hipergeometris

| mean = $0$ untuk $\nu >1,$ lainnya tak terdefinisi | median = $0$ | mode = $0$ | variance = $\frac{\nu }{\nu -2}$ untuk $\nu >2,$ untuk $1<\nu \le 2,$
lainnya tak terdefinisi | skewness = $0$ for $\nu >3,$ lainnya tak terdefinisi | kurtosis =$\frac{6}{\nu -4}$ for $\nu >4,$ ∞ for $2<\nu \le 4,$
otherwise undefined | entropy = $\begin{array}{c}\frac{\nu +1}{2}[\psi \left(\frac{\nu +1}{2}\right)-\psi \left(\frac{\nu }{2}\right)]\\ +\ln \left[\sqrt{\nu }\mathrm{B}(\frac{\nu }{2},\frac{1}{2})\right]\text{(nats)}\end{array}$
dengan

$\psi ()$ adalah fungsi digamma,

$\mathrm{B}(,)$ adalah fungsi beta.

| mgf = tidak terdefinisi | char = $\frac{{(\sqrt{\nu }|t|)}^{\nu /2}{K}_{\nu /2}(\sqrt{\nu }|t|)}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}$ for $\nu >0$

• $K_{\nu }(x)$ adalah adalah bentuk kedua dari fungsi Bessel yang dimodifikasi

| ES = $\mu +s\left(\frac{(\nu +(T^{-1}(1-p){)}^2)\times \tau (T^{-1}(1-p))}{(\nu -1)(1-p)}\right)$ dengan $T^{-1}()$ adalah invers dari bentuk standar CDF  Student, dan $\tau ()$ adalah bentuk standar dari PDF Student. }}

Pada teori peluang dan statistika, distribusi t Student (atau lebih sederhana distribusi t) adalah sebaran peluang yang menggeneralisasikan distribusi normal standar. Seperti distribusi normal, distribusi simetris di sekitar nol dan memiliki bentuk bel.

Namun, distribusi memiliki ekor yang lebih berat, dengan massa ekor bergantung pada parameter derajat kebebasan . Untuk , distribusi Student menjadi distribusi Cauchy standar, dengan ekor yang sangat "gemuk". Sementara itu, untuk , distribusi menjadi distribusi normal standar yang memiliki ekor yang "tipis".

Distribusi Students memainkan peran penting pada banyak analisis statistika, termasuk uji Student untuk menguji signifikansi statistika dari perbedaan antara dua rerata sampel, pembangunan selang kepercayaan untuk perbedaan antara dua rerata populasi, dan pada analisis regresi linear.

Pada bentuk skala lokalisasi distribusi , distribusi ini menggeneralisasi distribusi normal dan juga muncul pada analisis Bayes pada data dari keluarga keika dimarjinalkan oleh parameter variasi.

Definisi

Fungsi kepekatan probabilitas

Distribusi Student memiliki fungsi kepekatan probabilitas (probability density function; PDF) sebagai berikut:

$f(t)=\frac{1}{\sqrt{\nu }\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{\nu }{2})}{(1+\frac{t^2}{\nu })}^{-(\nu +1)/2},$

dengan adalah jumlah derajat kebebasan dan adalah fungsi gamma. Definisi ini juga dapat ditulis sebagai berikut:

$\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}=\frac{1}{2\sqrt{\nu }}\cdot \frac{(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{(\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 4\cdot 2}.$

dengan adalah fungsi beta. Pada beberapa nilai bilangan bulat derajat kebebasan , kita dapat: Untuk dan genap,

$\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}=\frac{1}{\pi \sqrt{\nu }}\cdot \frac{(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{(\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 5\cdot 3}.$

Untuk dan ganjil,

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(u)\mathrm{d}u=\frac{1}{2}+t\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{\nu +1}{2};\frac{3}{2};-\frac{t^2}{\nu }),$

Fungsi kerapatan probabilitas bernilai simetris dan bentuknya terlihat seperti bel selayaknya variabel yang terdistribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1, tetapi dengan bentuk yang sedikit lebih rendah dan lebar. Ketika nilai derajat kebabsannya meningkat, distribusi mendekati distribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1. Untuk alasan ini, parameter juga disebut sebagai parameter normalisasi.

Gambar berikut memperlihatkan kerapatan dari distribusi ketika nilai meningkat. Distribusi normal diperlihatkan dengan warna biru sebagai perbandingan. Catat bahwa distribusi (garis merah) menjadi lebih dekat dengan distribusi normal saat nilai meningkat.

Fungsi distribusi kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function; CDF) dapat dituliskan dalam bentuk , bentuk fungsi beta tidak lengkap. Untuk ,

$F(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(u)\mathrm{d}u=1-\frac{1}{2}{I}_{x(t)}(\frac{\nu }{2},\frac{1}{2}),$

dengan

$x(t)=\frac{\nu }{t^2+\nu }.$

Nilai lain dapat dihitung dengan simetris. Persamaan alternatif, berlaku untuk , adalah

$f(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{(1+\frac{t^2}{\nu })}^{-(\nu +1)/2},$

dengan adalah salah satu contoh dari fungsi hipergeometris.

Untuk informasi lebih lanjut tentang fungsi distribusi kumulatif invers, lihat

Kasus khusus

Beberapa nilai memberikan bentuk sederhana dari distribusi Students.

$\nu$	PDF	CDF	Catatan
1	$\frac{1}{\pi (1+t^2)}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan (t)$	Lihat Distribusi Cauchy
2	$\frac{1}{2\sqrt{2}{(1+\frac{t^2}{2})}^{3/2}}$	$\frac{1}{2}+\frac{t}{2\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{t^2}{2}}}$
3	$\frac{2}{\pi \sqrt{3}{(1+\frac{t^2}{3})}^2}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }[\frac{\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)}{(1+\frac{t^2}{3})}+\arctan \left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)]$
4	$\frac{3}{8{(1+\frac{t^2}{4})}^{5/2}}$	$\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\left[\frac{t}{\sqrt{1+\frac{t^2}{4}}}\right][1-\frac{t^2}{12(1+\frac{t^2}{4})}]$
5	$\frac{8}{3\pi \sqrt{5}{(1+\frac{t^2}{5})}^3}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }[\frac{t}{\sqrt{5}(1+\frac{t^2}{5})}(1+\frac{2}{3(1+\frac{t^2}{5})})+\arctan \left(\frac{t}{\sqrt{5}}\right)]$
$\mathrm{\infty }$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-t^2/2}$	$\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)]$	Lihat Distribusi normal, '

Pranala luar

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term "Student's distribution")
• First Students on page 112.
• Student's t-Distribution,

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27018066 (2025-03-10T15:14:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.