Penyelesaian persamaan

Dalam matematika, penyelesaian persamaan atau menyelesaikan persamaan berarti menemukan solusinya, yang merupakan nilai (angka, fungsi, himpunan, dsb.) yang memenuhi syarat yang dinyatakan oleh persamaan, yang umumnya terdiri dari dua ekspresi yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Ketika mencari solusi, satu atau lebih variabel ditetapkan sebagai variabel yang tidak diketahui. Penyelesaian atau solusi adalah pemberian nilai kepada variabel yang tidak diketahui yang menjadikan persamaan dalam persamaan tersebut benar. Dengan kata lain, solusi adalah nilai atau kumpulan nilai (satu untuk setiap variabel yang tidak diketahui) sehingga, ketika disubstitusikan untuk variabel yang tidak diketahui, persamaan tersebut menjadi persamaan. Solusi persamaan sering disebut akar persamaan, khususnya, tetapi tidak hanya untuk, persamaan polinomial. Himpunan semua solusi persamaan adalah himpunan penyelesaiannya.

Persamaan dapat diselesaikan secara numerik atau simbolik. Penyelesaian persamaan secara numerik berarti bahwa hanya angka yang diterima sebagai solusi. Penyelesaian persamaan secara simbolik berarti bahwa ekspresi dapat digunakan untuk merepresentasikan solusi.

Misalnya, persamaan dipecahkan untuk yang tidak diketahui dengan ekspresi , karena mensubstitusikan untuk dalam persamaan menghasilkan , pernyataan tersebut benar. Dimungkinkan juga untuk menganggap variabel sebagai yang tidak diketahui, dan kemudian persamaan dipecahkan dengan . Atau dan keduanya dapat diperlakukan sebagai yang tidak diketahui, dan kemudian ada banyak solusi untuk persamaan tersebut; solusi simboliknya adalah , di mana variabel ' dapat mengambil nilai apa pun. Membuat solusi simbolik dengan angka-angka tertentu menghasilkan solusi numerik; misalnya, menghasilkan (yaitu, ), dan menghasilkan .

Perbedaan antara variabel yang diketahui dan variabel yang tidak diketahui umumnya dibuat dalam pernyataan masalah, dengan frasa seperti "persamaan dalam dan ", atau "selesaikan untuk dan ", yang menunjukkan variabel yang tidak diketahui, di sini dan . Namun, umumnya ', ', ', ... dicadangkan untuk menunjukkan variabel yang tidak diketahui, dan menggunakan ', ', ', ... untuk menunjukkan variabel yang diketahui, yang sering disebut parameter. Ini biasanya terjadi ketika mempertimbangkan persamaan polinomial, seperti persamaan kuadrat. Namun, untuk beberapa masalah, semua variabel dapat berperan sebagai salah satu dari keduanya.

Tergantung pada konteksnya, penyelesaian persamaan dapat berupa pencarian solusi apa pun (cukup dengan menemukan satu solusi), semua solusi, atau solusi yang memenuhi sifat-sifat lebih lanjut, seperti termasuk dalam interval tertentu. Ketika tugasnya adalah menemukan solusi yang terbaik berdasarkan beberapa kriteria, ini adalah masalah optimasi. Memecahkan masalah optimasi pada umumnya tidak disebut sebagai "penyelesaian persamaan", karena, pada umumnya, metode penyelesaian dimulai dari solusi tertentu untuk menemukan solusi yang lebih baik, dan mengulangi proses tersebut hingga akhirnya menemukan solusi terbaik.

Selayang pandang

Satu bentuk umum dari persamaan adalah sebagai berikut.

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = c

dengan adalah fungsi, adalah variabel yang tidak diketahui, dan adalah konstanta. Solusinya adalah elemen prabayangan fungsi (fiber) dari:

f^{- 1} (c) = {(a_{1}, \dots, a_{n}) \in D ∣ f (a_{1}, \dots, a_{n}) = c},

dengan adalah ranah dari fungsi . Himpunan penyelesaian dapat berupa himpunan kosong (tidak ada penyelesaian), sebuah (hanya terdapat satu penyelesaian), hingga, atau takhingga (terdapat penyelesaian dengan jumlah takhingga).

Misalnya, sebuah persamaan seperti

3 x + 2 y = 21 z,

dengan adalah variabel yang tidak diketahui. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mengurangi kedua ruas persamaan dengan untuk mendapatkan:

3 x + 2 y - 21 z = 0

Pada kasus ini, persamaan tersebut tidak hanya memiliki satu penyelesaian, tetapi himpunan penyelesaian yang berjumlah takhingga, yang dapat dituliskan dengan notasi ungkapan himpunan sebagai:

{(x, y, z) ∣ 3 x + 2 y - 21 z = 0} .

Salah satu penyelesaiannya adalah . Dua lainnya adalah dan . Terdapat bidang unik pada ruang tiga dimensi yang menyentuh tiga titik tersebut pada sistem koordinat tersebut. Setiap titik pada bidang tersebut adalah penyelesaian dari persamaan di atas.

Lihat pula

Solusi yang tidak relevan dan hilang
Persamaan simultan
Persamaan koefisien
Pemecahan persamaan geodesik
Penyatuan (ilmu komputer) — memecahkan persamaan yang melibatkan ekspresi simbolik

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27165968 (2025-04-20T01:48:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.