Deret harmonik (matematika): Perbedaan antara revisi
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi |
Pembersihan konten sesuai kebijakan Wiki Unissula |
||
| Baris 1: | Baris 1: | ||
Dalam [[matematika]], '''deret harmonik''' adalah [[Deret (matematika)|deret takhingga]] [[Deret divergen|divergen]] | Dalam [[matematika]], '''deret harmonik''' adalah [[Deret (matematika)|deret takhingga]] [[Deret divergen|divergen]] | ||
: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots.</math> | : <math>\\sum_{n=1}^\\infty\\frac{1}{n} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} + \\cdots.</math> | ||
Namanya diturunkan dari konsep [[nada tambahan]], atau harmonik [[Deret harmonik (musik)|dalam musik]]ː [[panjang gelombang]]<nowiki/>nya dari nada tambahan dari sebuah dawai yang bergetar adalah <math display="inline">\frac 1 2</math>, <math display="inline">\frac 1 3</math>, <math display="inline">\frac 1 4</math>, dst., dari [[Frekuensi dasar|panjang gelombang dasar]] dawai. Setiap suku dari deretnya setelah pertamanya adalah [[purata harmonik]] dari suku-suku tetangga, frasa ''purata harmonik'' juga diturunkan dari musik. | Namanya diturunkan dari konsep [[nada tambahan]], atau harmonik [[Deret harmonik (musik)|dalam musik]]ː [[panjang gelombang]]<nowiki/>nya dari nada tambahan dari sebuah dawai yang bergetar adalah <math display="inline">\\frac 1 2</math>, <math display="inline">\\frac 1 3</math>, <math display="inline">\\frac 1 4</math>, dst., dari [[Frekuensi dasar|panjang gelombang dasar]] dawai. Setiap suku dari deretnya setelah pertamanya adalah [[purata harmonik]] dari suku-suku tetangga, frasa ''purata harmonik'' juga diturunkan dari musik. | ||
Kedivergenan deret harmonik pertama kali dibuktikan oleh [[Nicole Oresme]] pada tahun 1350. Karya Oresme, bersamaan dengan karya [[Richard Swineshead]] mengenai deret yang lain di tahun yang sama, menandakan awal kehadiran deret tak terhingga lainnya setelah [[Deret geometrik|deret geometri]] dalam matematika. Sayangnya, hasil pencapaian tersebut malah terlupakan. Beberapa pembuktian lain diterbitkan pada abad ke-17 oleh [[Pietro Mengoli]] dan [[Jacob Bernoulli]]. Bernoulli menyematkan saudaranya, [[Johann Bernoulli]], karena berkatnya dalam mencari pembuktiannya, dan namanya dicantumkan ke dalam karya-karya yang terkumpul milik Johann Bernoulli. | Kedivergenan deret harmonik pertama kali dibuktikan oleh [[Nicole Oresme]] pada tahun 1350. Karya Oresme, bersamaan dengan karya [[Richard Swineshead]] mengenai deret yang lain di tahun yang sama, menandakan awal kehadiran deret tak terhingga lainnya setelah [[Deret geometrik|deret geometri]] dalam matematika. Sayangnya, hasil pencapaian tersebut malah terlupakan. Beberapa pembuktian lain diterbitkan pada abad ke-17 oleh [[Pietro Mengoli]] dan [[Jacob Bernoulli]]. Bernoulli menyematkan saudaranya, [[Johann Bernoulli]], karena berkatnya dalam mencari pembuktiannya, dan namanya dicantumkan ke dalam karya-karya yang terkumpul milik Johann Bernoulli. | ||
| Baris 13: | Baris 11: | ||
== Definisi dan kedivergenan == | == Definisi dan kedivergenan == | ||
Deret harmonik adalah deret tak terhingga <math display="block">\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots</math>dengan setiap suku-sukunya merupakan [[pecahan satuan]] bernilai positif. Deret harmonik itu [[Deret divergen|divergen]], yang berarti semakin banyak suku pada deret [[Jumlah parsial|dijumlahkan]], nilainya semakin membesar dan melampaui sembarang batas terhingga. Deret harmonik, selaku merupakan deret divergen, semestinya dipandang sebagai penjumlahan formal, maksudnya sebagai ekspresi matematika yang bersifat abstrak yang menggabungkan pecahan satuan daripada sebagai sesuatu yang dapat dianggap sebagai suatu nilai numerik. Banyak pembuktian lain mengenai kedivergenannya, yang disurvei oleh S. J. Kifowit dan T. A. Stamps dalam makalahnya pada tahun 2006. Dua pembuktian yang sudah lazim dijumpai diberikan sebagai berikut. | Deret harmonik adalah deret tak terhingga <math display="block">\\sum_{n=1}^\\infty\\frac{1}{n} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} + \\cdots</math>dengan setiap suku-sukunya merupakan [[pecahan satuan]] bernilai positif. Deret harmonik itu [[Deret divergen|divergen]], yang berarti semakin banyak suku pada deret [[Jumlah parsial|dijumlahkan]], nilainya semakin membesar dan melampaui sembarang batas terhingga. Deret harmonik, selaku merupakan deret divergen, semestinya dipandang sebagai penjumlahan formal, maksudnya sebagai ekspresi matematika yang bersifat abstrak yang menggabungkan pecahan satuan daripada sebagai sesuatu yang dapat dianggap sebagai suatu nilai numerik. Banyak pembuktian lain mengenai kedivergenannya, yang disurvei oleh S. J. Kifowit dan T. A. Stamps dalam makalahnya pada tahun 2006. Dua pembuktian yang sudah lazim dijumpai diberikan sebagai berikut. | ||
=== Uji perbandingan === | === Uji perbandingan === | ||
Salah satu cara membuktikan kedivergenannya adalah dengan membandingkan deret harmonik dengan deret divergen lain. Deret lain yang dimaksud adalah deret harmonik tetapi setiap penyebutnya digantikan dengan [[Perpangkatan bilangan dua|perpangkatan dari dua]] terbesar berikutnya: <math display="block">\begin{alignat}{8} | Salah satu cara membuktikan kedivergenannya adalah dengan membandingkan deret harmonik dengan deret divergen lain. Deret lain yang dimaksud adalah deret harmonik tetapi setiap penyebutnya digantikan dengan [[Perpangkatan bilangan dua|perpangkatan dari dua]] terbesar berikutnya: <math display="block">\\begin{alignat}{8} | ||
1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{3} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{5} && + \frac{1}{6} && + \frac{1}{7} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{9} && + \cdots \\[5pt] | 1 & + \\frac{1}{2} && + \\frac{1}{3} && + \\frac{1}{4} && + \\frac{1}{5} && + \\frac{1}{6} && + \\frac{1}{7} && + \\frac{1}{8} && + \\frac{1}{9} && + \\cdots \\\\[5pt] | ||
{} \geq 1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{4}}} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{16}}} && + \cdots \\[5pt] | {} \\geq 1 & + \\frac{1}{2} && + \\frac{1}{\\color{red}{\\mathbf{4}}} && + \\frac{1}{4} && + \\frac{1}{\\color{red}{\\mathbf{8}}} && + \\frac{1}{\\color{red}{\\mathbf{8}}} && + \\frac{1}{\\color{red}{\\mathbf{8}}} && + \\frac{1}{8} && + \\frac{1}{\\color{red}{\\mathbf{16}}} && + \\cdots \\\\[5pt] | ||
\end{alignat}</math>Mengumpulkan suku-suku yang sama memperlihatkan bahwa deret kedua divergen (karena setiap pengumpulan deret konvergen tetaplah konvergen): <math display="block">\begin{align} | \\end{alignat}</math>Mengumpulkan suku-suku yang sama memperlihatkan bahwa deret kedua divergen (karena setiap pengumpulan deret konvergen tetaplah konvergen): <math display="block">\\begin{align} | ||
& 1 + \left(\frac{1}{2}\ | & 1 + \\left(\\frac{1}{2}\ | ||
{} = {} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots. | ight) + \\left(\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}\ | ||
\end{align}</math>Dengan membandingkan masing-masing suku di antara kedua deret, setiap suku dari deret harmonik lebih besar atau sama dengan suku-suku dari deret kedua (semua suku sama-sama positif). Karena deret kedua divergen, maka berdasarkan [[Uji perbandingan langsung|uji perbandingan]] deret harmonik juga divergen. Argumen yang sama membuktikan lebih kuat bahwa, untuk setiap bilangan bulat <math display="block">\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2}</math>Pembuktian asli ini berasal dari [[Nicole Oresme]] sekitar tahun 1350. [[Uji kondensasi Cauchy]] adalah generalisasi dari pernyataan tersebut. | ight) + \\left(\\frac{1}{8} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{8}\ | ||
ight) + \\left(\\frac{1}{16} + \\cdots + \\frac{1}{16}\ | |||
ight) + \\cdots \\\\[5pt] | |||
{} = {} & 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} + \\cdots. | |||
\\end{align}</math>Dengan membandingkan masing-masing suku di antara kedua deret, setiap suku dari deret harmonik lebih besar atau sama dengan suku-suku dari deret kedua (semua suku sama-sama positif). Karena deret kedua divergen, maka berdasarkan [[Uji perbandingan langsung|uji perbandingan]] deret harmonik juga divergen. Argumen yang sama membuktikan lebih kuat bahwa, untuk setiap bilangan bulat <math display="block">\\sum_{n=1}^{2^k} \\frac{1}{n} \\geq 1 + \\frac{k}{2}</math>Pembuktian asli ini berasal dari [[Nicole Oresme]] sekitar tahun 1350. [[Uji kondensasi Cauchy]] adalah generalisasi dari pernyataan tersebut. | |||
=== Uji integral === | === Uji integral === | ||
Pembuktian lainnya adalah bahwa deret harmonik terbukti divergen dengan membandingkan penjumlahnnya dengan [[Integral takwajar|integral tak wajar]]. Supaya lebih jelas, perhatikanlah susunan persegi panjang pada gambar berikut. Setiap persegii panjang punya lebar 1 satuan dan tinggi <math>\ | Pembuktian lainnya adalah bahwa deret harmonik terbukti divergen dengan membandingkan penjumlahnnya dengan [[Integral takwajar|integral tak wajar]]. Supaya lebih jelas, perhatikanlah susunan persegi panjang pada gambar berikut. Setiap persegii panjang punya lebar 1 satuan dan tinggi <math>\ frac1n</math> satuan. Jadi, jika deret harmonik konvergen, maka luas total persegi panjang secara keseluruhan akan sama dengan jumlah dari deret harmonik. Kurva <math>y=\ frac1x</math> pada grafik menetapkan batas atas pada seluruh persegi panjang. Jadi, luas di bawah kurva tersebut, dengan range <math>x</math> dari satu hingga tak terhingga yang diliputi oleh banyaknya persegi panjang, akan lebih kecil daripada luas dari seluruh persegi panjang digabungkan. Akan tetapi, luas di bawah kurva malah memberikan bentuk integral tak wajar yang hasilnya divergen, <math display="block">\\int_1^\\infty\\frac{1}{x}\\,dx = \\infty.</math>Karena integral tersebut tidak konvergen, penjumlahannya juga tidak konvergen. | ||
Pada gambar tadi, setiap persegi panjang digeser ke kiri sebesar 1 satuan akan menghasilkan barisan persegi panjang, yang batasnya berada di bawah kurva dan bukan atas. Ini menunjukkan bahwa jumlah parsial dari deret harmonik berbeda dari integral yang dibatasi di atas dan di bawah dengan luas satuan dari persegi panjang pertama: <math display="block">\int_1^{N+1}\frac1x\,dx<\sum_{i=1}^N\frac1i<\int_1^{N}\frac1x\,dx+1.</math>Bila argumen ini diperumum, sembarang jumlah nilai-nilai tak terhingga dari suatu fungsi bernilai positif menurun monoton (seperti deret harmonik) memiliki jumlah parsial yang berada di dalam jarak terbatas dari nilai-nilai integral yang sama. Oleh karena demikian, penjumlahannya konvergen jika dan hanya jika integral dengan range yang sama dari fungsi yang sama konvergen. Ketika Metode tersebut, yakni ketika kesamaan tadi digunakan untuk memeriksa kekonvergenan suatu penjumlahan dengan mengantikannya dengan integral yang lebih mudah dihitung, dinamakan [[uji integral tentang kekonvergenan]]. | Pada gambar tadi, setiap persegi panjang digeser ke kiri sebesar 1 satuan akan menghasilkan barisan persegi panjang, yang batasnya berada di bawah kurva dan bukan atas. Ini menunjukkan bahwa jumlah parsial dari deret harmonik berbeda dari integral yang dibatasi di atas dan di bawah dengan luas satuan dari persegi panjang pertama: <math display="block">\\int_1^{N+1}\\frac1x\\,dx<\\sum_{i=1}^N\\frac1i<\\int_1^{N}\\frac1x\\,dx+1.</math>Bila argumen ini diperumum, sembarang jumlah nilai-nilai tak terhingga dari suatu fungsi bernilai positif menurun monoton (seperti deret harmonik) memiliki jumlah parsial yang berada di dalam jarak terbatas dari nilai-nilai integral yang sama. Oleh karena demikian, penjumlahannya konvergen jika dan hanya jika integral dengan range yang sama dari fungsi yang sama konvergen. Ketika Metode tersebut, yakni ketika kesamaan tadi digunakan untuk memeriksa kekonvergenan suatu penjumlahan dengan mengantikannya dengan integral yang lebih mudah dihitung, dinamakan [[uji integral tentang kekonvergenan]]. | ||
== Jumlah parsial == | == Jumlah parsial == | ||
| Baris 159: | Baris 161: | ||
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/|| ~ | | style="border-left:none;padding-left:0;" |/|| ~ | ||
|} | |} | ||
Dengan menambahkan <math>n</math> suku pertama deret harmonik, hasilnya merupakan suatu [[jumlah parsial]]. Jumlah parsial itu dinamakan [[bilangan harmonik]], dilambangkan <math display="block">H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.</math> | Dengan menambahkan <math>n</math> suku pertama deret harmonik, hasilnya merupakan suatu [[jumlah parsial]]. Jumlah parsial itu dinamakan [[bilangan harmonik]], dilambangkan <math display="block">H_n = \\sum_{k = 1}^n \\frac{1}{k}.</math> | ||
=== Laju pertumbuhan === | === Laju pertumbuhan === | ||
Berdasarkan hasil uji integral, bilangan harmonik memiliki pertumbuhan yang sangat lambat seperti [[pertumbuhan logaritmik]]. Lebih jelas lagi, menurut [[rumus Euler–Maclaurin]], <math display="block">H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \varepsilon_n</math>dengan <math>\gamma\approx 0.5772</math> adalah [[konstanta Euler–Mascheroni]] dan <math>0\le\varepsilon_n\le 1/(8n^2)</math> yang mendekati 0 saat <math>n</math> menuju tak terhingga. | Berdasarkan hasil uji integral, bilangan harmonik memiliki pertumbuhan yang sangat lambat seperti [[pertumbuhan logaritmik]]. Lebih jelas lagi, menurut [[rumus Euler–Maclaurin]], <math display="block">H_n = \\ln n + \\gamma + \\frac{1}{2n} - \\varepsilon_n</math>dengan <math>\\gamma\\approx 0.5772</math> adalah [[konstanta Euler–Mascheroni]] dan <math>0\\le\\varepsilon_n\\le 1/(8n^2)</math> yang mendekati 0 saat <math>n</math> menuju tak terhingga. | ||
=== Keterbagian === | === Keterbagian === | ||
Tidak ada bilangan harmonik yang merupakan bilangan bulat, kecuali Salah satu cara membuktikan bahwa <math>H_n</math> bukanlah bilangan bulat adalah dengan memandang [[Perpangkatan bilangan dua|perpangkatan dua]] <math>2^k</math> yang berkisar dari Jika <math>M</math> adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari bilangan dari maka <math>H_k</math> dapat ditulis ulang sebagai penjumlahan pecahan yang memiliki penyebut yang sama <math display="block">H_n=\sum_{i=1}^n \ | Tidak ada bilangan harmonik yang merupakan bilangan bulat, kecuali Salah satu cara membuktikan bahwa <math>H_n</math> bukanlah bilangan bulat adalah dengan memandang [[Perpangkatan bilangan dua|perpangkatan dua]] <math>2^k</math> yang berkisar dari Jika <math>M</math> adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari bilangan dari maka <math>H_k</math> dapat ditulis ulang sebagai penjumlahan pecahan yang memiliki penyebut yang sama <math display="block">H_n=\\sum_{i=1}^n \ frac{M/i}{M}.</math>Pada pecahan tersebut, hanya salah satu dari pembilangnya, adalah ganjil dan sisanya genap, dan , <math>M</math> sendiri genap. Oleh karena itu, hasilnya merupakan pecahan dengan pembilang ganjil dan penyebut genap, sehingga mengakibatkan bilangan harmonik tersebut bukanlah suatu bilangan bulat. Lebih umumnya lagi, sembarang barisan bilangan berturut-turut memiliki anggota tunggal yang dapat dibagi oleh perpangkatan yang lebih besar daripada semua anggota barisan lainnya. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa tidak ada dua bilangan harmonik yang selisihnya menghasilkan suatu bilangan bulat. | ||
Adapun pembuktian lain tentang bilangan harmonik bukanlah bilangan bulat. Pembuktian tersebut mengamati bahwa penyebut dari <math>H_n</math> harus dapat dibagi oleh semua [[bilangan prima]] yang lebih besar daripada <math>n/2</math> dan lebih kecil atau sama dengan <math>n</math>, dan menggunakan [[postulat Bertrand]] untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan prima tersebut tidaklah kosong. Argumen yang sama menyiratkan lebih kuat lagi, bahwa, dengan mengecualikan <math>H_1=1</math>, <math>H_2=1.5</math>, dan <math>H_6=2.45</math>, tidak ada bilangan harmonik yang memiliki representasi [[Desimal berhenti|desimal yang berhenti]]. Terdapat suatu konjektur bahwa setiap bilangan prima membagi pembilang dari hanya suatu subhimpunan bilangan harmonik yang terhingga. Hingga saat ini, masih belum terbukti. | Adapun pembuktian lain tentang bilangan harmonik bukanlah bilangan bulat. Pembuktian tersebut mengamati bahwa penyebut dari <math>H_n</math> harus dapat dibagi oleh semua [[bilangan prima]] yang lebih besar daripada <math>n/2</math> dan lebih kecil atau sama dengan <math>n</math>, dan menggunakan [[postulat Bertrand]] untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan prima tersebut tidaklah kosong. Argumen yang sama menyiratkan lebih kuat lagi, bahwa, dengan mengecualikan <math>H_1=1</math>, <math>H_2=1.5</math>, dan <math>H_6=2.45</math>, tidak ada bilangan harmonik yang memiliki representasi [[Desimal berhenti|desimal yang berhenti]]. Terdapat suatu konjektur bahwa setiap bilangan prima membagi pembilang dari hanya suatu subhimpunan bilangan harmonik yang terhingga. Hingga saat ini, masih belum terbukti. | ||
=== Interpolasi === | === Interpolasi === | ||
[[Fungsi digamma]] didefinisikan sebagai [[turunan logaritmik]] dari [[fungsi gamma]] <math display="block">\psi(x)=\frac{d}{dx}\ln\big(\Gamma(x)\big)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.</math>Sama halnya fungsi gamma memberikan [[interpolasi]] [[faktorial]] yang kontinu, fungsi digamma memberikan interpolasi bilangan harmonik yang kontinu, dalam artian, Persamaan ini dapat digunakan untuk memperluas definisi hingga ke bilangan harmonik dengan indeks berupa bilangan rasional.<ref>Anthony Sofo. ''A family of shifted harmonic sums''. ''The Ramanujan Journal''. 2015. Vol. 37. hlm. 89–108. doi:10.1007/s11139-014-9600-9.</ref> | [[Fungsi digamma]] didefinisikan sebagai [[turunan logaritmik]] dari [[fungsi gamma]] <math display="block">\\psi(x)=\\frac{d}{dx}\\ln\\big(\\Gamma(x)\\big)=\\frac{\\Gamma'(x)}{\\Gamma(x)}.</math>Sama halnya fungsi gamma memberikan [[interpolasi]] [[faktorial]] yang kontinu, fungsi digamma memberikan interpolasi bilangan harmonik yang kontinu, dalam artian, Persamaan ini dapat digunakan untuk memperluas definisi hingga ke bilangan harmonik dengan indeks berupa bilangan rasional.<ref>Anthony Sofo. ''A family of shifted harmonic sums''. ''The Ramanujan Journal''. 2015. Vol. 37. hlm. 89–108. doi:10.1007/s11139-014-9600-9.</ref> | ||
== Deret yang berkaitan == | == Deret yang berkaitan == | ||
| Baris 176: | Baris 178: | ||
Deret | Deret | ||
: <math>\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots</math> | : <math>\\sum_{n = 1}^\\infty \\frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} - \\cdots</math> | ||
dikenal sebagai '''deret harmonik bolak-balik'''. Deret ini konvergen oleh [[uji deret bolak-balik]]. Khususnya, jumlahnya sama dengan [[logaritma natural 2]]ː | dikenal sebagai '''deret harmonik bolak-balik'''. Deret ini konvergen oleh [[uji deret bolak-balik]]. Khususnya, jumlahnya sama dengan [[logaritma natural 2]]ː | ||
: <math>1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots = \ln 2.</math> | : <math>1 - \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} - \\cdots = \\ln 2.</math> | ||
Deret harmonik bolak-balik, sementara [[Keonvergenan bersyarat|konvergen bersyarat]], tidak [[Kekonvergenan mutlak|sepenuhnya konvergen]]: jika asuku-suku dalam deret diatur ulang secara sistematis, secara umum jumlahnya menjadi berbeda dan , bergantung pada penyusunan kembali, bahkan mungkin takhingga. | Deret harmonik bolak-balik, sementara [[Keonvergenan bersyarat|konvergen bersyarat]], tidak [[Kekonvergenan mutlak|sepenuhnya konvergen]]: jika asuku-suku dalam deret diatur ulang secara sistematis, secara umum jumlahnya menjadi berbeda dan , bergantung pada penyusunan kembali, bahkan mungkin takhingga. | ||
| Baris 188: | Baris 190: | ||
Sebuah deret berkaitan bisa diturunkan dari deret Taylor untuk [[Fungsi trigonometri invers|arctangen]]ː | Sebuah deret berkaitan bisa diturunkan dari deret Taylor untuk [[Fungsi trigonometri invers|arctangen]]ː | ||
: <math>\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}.</math> | : <math>\\sum_{n = 0}^\\infty \\frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 - \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} - \\frac{1}{7} + \\cdots = \\frac{\\pi}{4}.</math> | ||
Iini dikenal sebagai [[deret Leibniz]]. | Iini dikenal sebagai [[deret Leibniz]]. | ||
| Baris 195: | Baris 197: | ||
Deret harmonik umum adalah dari bentuk | Deret harmonik umum adalah dari bentuk | ||
: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{an+b} ,</math> | : <math>\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{1}{an+b} ,</math> | ||
di mana <math>a \ | di mana <math>a \ | ||
e 0</math> dan <math>b </math> adalah bilangna real, dan <math>\\frac b a</math> bukan nol atau sebuah bilangan bulat negatif. | |||
Dengan uji perbandingan limit dengan deret harmonik, semua deret harmonik umum juga divergen. | Dengan uji perbandingan limit dengan deret harmonik, semua deret harmonik umum juga divergen. | ||
| Baris 204: | Baris 207: | ||
Sebuah generalisasi dari deret harmonik adalah '''deret-''p''''' (atau '''deret hiperharmonik'''), didefinisikan sebagai | Sebuah generalisasi dari deret harmonik adalah '''deret-''p''''' (atau '''deret hiperharmonik'''), didefinisikan sebagai | ||
: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}</math> | : <math>\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^p}</math> | ||
untuk setiap bilangan real <math>p</math>. Ketika <math>p = 1</math>, deret-''p'' adalah deret harmonik, yang divergen. Baik itu [[uji integral]] atau [[uji kondensasi Cauchy]] menunjukkan bahwa deret-''p'' konvergen untuk semua <math>p > 1</math> (dalam hal ini disebut '''deret lebih-harmonik''') dan divergen untuk semua <math>p \le 1</math>. Jika <math>p > 1</math> maka jumlah dari deret-''p'' adalah <math>\zeta(p) </math>, yaitu [[fungsi zeta Riemann]] dievaluasi sebagai <math>p</math> | untuk setiap bilangan real <math>p</math>. Ketika <math>p = 1</math>, deret-''p'' adalah deret harmonik, yang divergen. Baik itu [[uji integral]] atau [[uji kondensasi Cauchy]] menunjukkan bahwa deret-''p'' konvergen untuk semua <math>p > 1</math> (dalam hal ini disebut '''deret lebih-harmonik''') dan divergen untuk semua <math>p \\le 1</math>. Jika <math>p > 1</math> maka jumlah dari deret-''p'' adalah <math>\\zeta(p) </math>, yaitu [[fungsi zeta Riemann]] dievaluasi sebagai <math>p</math> | ||
Masalah mencari jumlah untuk <math>p = 2</math> disebut [[masalah Basel]]; [[Leonhard Euler]] menunjukkan ini bernilai <math>\frac{\pi^2}{6} </math>. Nilai dari jumlah untuk <math>p = 3</math> disebut [[konstanta Apéry]], karena [[Roger Apéry]] membuktikan bahwa itu adalah sebuah [[bilangan irasional]]. | Masalah mencari jumlah untuk <math>p = 2</math> disebut [[masalah Basel]]; [[Leonhard Euler]] menunjukkan ini bernilai <math>\\frac{\\pi^2}{6} </math>. Nilai dari jumlah untuk <math>p = 3</math> disebut [[konstanta Apéry]], karena [[Roger Apéry]] membuktikan bahwa itu adalah sebuah [[bilangan irasional]]. | ||
=== Deret-ln === | === Deret-ln === | ||
Berkaitan dengan '''deret-''p''''' adalah '''deret-ln''', didefinisikan sebagai | Berkaitan dengan '''deret-''p''''' adalah '''deret-ln''', didefinisikan sebagai | ||
: <math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n (\ln n)^p}</math> | : <math>\\sum_{n=2}^{\\infty}\\frac{1}{n (\\ln n)^p}</math> | ||
untuk setiap bilangan real positif <math>p</math>. Ini bisa ditunjukkan oleh uji integral untuk divergen untuk <math>p \le 1</math> tetapi onvergen untuk semua <math>p > 1</math>. | untuk setiap bilangan real positif <math>p</math>. Ini bisa ditunjukkan oleh uji integral untuk divergen untuk <math>p \\le 1</math> tetapi onvergen untuk semua <math>p > 1</math>. | ||
=== Deret-''φ'' === | === Deret-''φ'' === | ||
Untuk setiap [[Fungsi cembung|cembung]], fungsi bernilai real <math>\varphi </math> seperti | Untuk setiap [[Fungsi cembung|cembung]], fungsi bernilai real <math>\\varphi </math> seperti | ||
: <math>\limsup_{u\ | : <math>\\limsup_{u\ o 0^+}\\frac{\\varphi\\left(\\frac{u}{2}\ | ||
ight)}{\\varphi(u)} < \\frac{1}{2}, </math> | |||
deret | deret | ||
: <math>\sum_{n=1}^\infty \varphi\left(\frac{1}{n}\ | : <math>\\sum_{n=1}^\\infty \\varphi\\left(\\frac{1}{n}\ | ||
ight)</math> | |||
konvergen. | konvergen. | ||
| Baris 231: | Baris 236: | ||
Deret harmonik acak | Deret harmonik acak | ||
: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},</math> | : <math>\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{s_{n}}{n},</math> | ||
di mana <math>s_n</math> adalah [[Independensi statistik|independen]], variabel acak terdistribusi identik yang mengambil nilai <math>+1</math> dan <math>-1</math> dengan propabilitas sama dengan <math>\frac 1 2</math>, dikenal sebagai sebuah contoh dalam teori probabilitas [[Hampir pasti|dengan probabilitas 1]]. Fakta kekonvergenan ini adalah konsekuensi mudah dari [[teorema tiga deret Kolmogorov]] atau dari [[Pertidaksamaan Kolmogorov|pertidaksamaan maksimal Kolmogorov]] yang terkait erat. Borin Schmuland dari Universitas [[Alberta]] lebih lanjut<ref>Byron Schmuland. [http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/rhs.pdf Random Harmonic Series]. ''American Mathematical Monthly''. May 2003. Vol. 110 (5). hlm. 407–416. doi:10.2307/3647827.</ref> memeriksa sifat-sifat dari deret harmonik acak, dan menunjukkan bahwa deret konvergen adalah sebuah [[variabel acak]] dengan beberapa sifat-sifat yang menarik. Khususnya, [[fungsi kepekatan probabilitas]] dari variabel acak ini dievalusi pada <math>+2</math> atau pada <math>-2</math> mengambil nilai <math>0.124\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 764\dots</math>, berbeda dari <math>\frac 1 8</math> kurang dari <math>10^{-42}</math>. Makalah Schmuland menjelaskan mengapa probabilitas ini sangat dekat, tetapi tidak persis, <math>\frac 1 8</math>. Nilai pasti dari probabilias ini diberikan oleh integral produk kosinus takhingga <math>C_2</math><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret+harmonik+%28matematika%29&oldid=29061964 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> dibagi oleh <math>\pi</math>. | di mana <math>s_n</math> adalah [[Independensi statistik|independen]], variabel acak terdistribusi identik yang mengambil nilai <math>+1</math> dan <math>-1</math> dengan propabilitas sama dengan <math>\\frac 1 2</math>, dikenal sebagai sebuah contoh dalam teori probabilitas [[Hampir pasti|dengan probabilitas 1]]. Fakta kekonvergenan ini adalah konsekuensi mudah dari [[teorema tiga deret Kolmogorov]] atau dari [[Pertidaksamaan Kolmogorov|pertidaksamaan maksimal Kolmogorov]] yang terkait erat. Borin Schmuland dari Universitas [[Alberta]] lebih lanjut<ref>Byron Schmuland. [http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/rhs.pdf Random Harmonic Series]. ''American Mathematical Monthly''. May 2003. Vol. 110 (5). hlm. 407–416. doi:10.2307/3647827.</ref> memeriksa sifat-sifat dari deret harmonik acak, dan menunjukkan bahwa deret konvergen adalah sebuah [[variabel acak]] dengan beberapa sifat-sifat yang menarik. Khususnya, [[fungsi kepekatan probabilitas]] dari variabel acak ini dievalusi pada <math>+2</math> atau pada <math>-2</math> mengambil nilai <math>0.124\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 764\\dots</math>, berbeda dari <math>\\frac 1 8</math> kurang dari <math>10^{-42}</math>. Makalah Schmuland menjelaskan mengapa probabilitas ini sangat dekat, tetapi tidak persis, <math>\\frac 1 8</math>. Nilai pasti dari probabilias ini diberikan oleh integral produk kosinus takhingga <math>C_2</math><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deret+harmonik+%28matematika%29&oldid=29061964 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> dibagi oleh <math>\\pi</math>. | ||
=== Deret harmonik habis === | === Deret harmonik habis === | ||
Deret harmonik habis di mana semua dari suku-suku yang digit 9 muncul di mana saja dalampenyebut dihapus dapat ditampilkan untuk konvergen ke nilai <math>22.92067\ 66192\ 64150\ 34816\dots</math>..<ref>Robert Baillie. ''Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit''. ''The American Mathematical Monthly''. May 1979. Vol. 86. hlm. 372–374. doi:10.1080/00029890.1979.11994810.</ref> Faktanya, ketika semua suku berisi setiap deretan bilangan tertentu (dalam setiap [[Dasar bilangan|basis]]) dihilangkan, deretnya konvergen.<ref>Thomas Schmelzer and Robert Baillie. ''Summing a Curious, Slowly Convergent Series''. ''The American Mathematical Monthly''. Jun 2008. Vol. 115. hlm. 545–540.</ref> | Deret harmonik habis di mana semua dari suku-suku yang digit 9 muncul di mana saja dalampenyebut dihapus dapat ditampilkan untuk konvergen ke nilai <math>22.92067\\ 66192\\ 64150\\ 34816\\dots</math>..<ref>Robert Baillie. ''Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit''. ''The American Mathematical Monthly''. May 1979. Vol. 86. hlm. 372–374. doi:10.1080/00029890.1979.11994810.</ref> Faktanya, ketika semua suku berisi setiap deretan bilangan tertentu (dalam setiap [[Dasar bilangan|basis]]) dihilangkan, deretnya konvergen.<ref>Thomas Schmelzer and Robert Baillie. ''Summing a Curious, Slowly Convergent Series''. ''The American Mathematical Monthly''. Jun 2008. Vol. 115. hlm. 545–540.</ref> | ||
== Penerapan == | == Penerapan == | ||
Deret harmonik bisa [[berlawanan dengan intuisi]] siswa yang pertama kali menjumpainya, itu adalah sebuah [[deret divergen]] meskipun limit dari suku ke-<math>n </math> saat <math>n </math> menuju ke takhingga adalah nol. Kedivergenan dari deret harmonik juga merupakan sumber dari beberapa [[paradoks]] yang jelas. Salah satu dari contoh-contoh ini adalah "[[Semut di atas tali karet|cacing di gelang karet]]".<ref>Ronald Graham. ''Concrete Mathematics''. Addison-Wesley. 1989. hlm. 258–264. ISBN 978-0-201-55802-9.</ref> Andaikan bahwa sebuah cacing merangkak di sekitar karet gelang satu meter dengan elastis takhingga pada saat yang sama saat karet gelang direngangkan terdistribusi secara merata. Jika cacing berjalan 1 cm per meint dan karetnya meregang 1 meter per menit, akankah cacing mencapai akhir dari gelang karet? Jawabannya. secara berlawanan, "ya", untuk setelah <math>n </math> menit, rasionya dari jarak bepergian oleh cacing dengan panjang totoal dari gelang karet adalah | Deret harmonik bisa [[berlawanan dengan intuisi]] siswa yang pertama kali menjumpainya, itu adalah sebuah [[deret divergen]] meskipun limit dari suku ke-<math>n </math> saat <math>n </math> menuju ke takhingga adalah nol. Kedivergenan dari deret harmonik juga merupakan sumber dari beberapa [[paradoks]] yang jelas. Salah satu dari contoh-contoh ini adalah "[[Semut di atas tali karet|cacing di gelang karet]]".<ref>Ronald Graham. ''Concrete Mathematics''. Addison-Wesley. 1989. hlm. 258–264. ISBN 978-0-201-55802-9.</ref> Andaikan bahwa sebuah cacing merangkak di sekitar karet gelang satu meter dengan elastis takhingga pada saat yang sama saat karet gelang direngangkan terdistribusi secara merata. Jika cacing berjalan 1 cm per meint dan karetnya meregang 1 meter per menit, akankah cacing mencapai akhir dari gelang karet? Jawabannya. secara berlawanan, "ya", untuk setelah <math>n </math> menit, rasionya dari jarak bepergian oleh cacing dengan panjang totoal dari gelang karet adalah | ||
: <math>\frac{1}{100}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}.</math> | : <math>\\frac{1}{100}\\sum_{k=1}^n\\frac{1}{k}.</math> | ||
(Faktanya rasio sebenarnya sedikit kurang dari penjumlahan ini karena gelang memanjang terus-menerus.) | (Faktanya rasio sebenarnya sedikit kurang dari penjumlahan ini karena gelang memanjang terus-menerus.) | ||
| Baris 253: | Baris 258: | ||
Sebuah contoh yang lebih sederhana, di samping itu, adalah perenang yang tetap menambahkan lebih banyak kecepatan ketika menyentuh tembok dari kolam. Perenang mulai melintasi sebuah kolam 10 meter pada sebuah kecepatan 2 m.s, dan dengan setiap lintasan, 2 m/s lainnya ditambahkan ke kecepatan. Dalam teori, kecepatan perenang adalah tak terbatas, tetapi jumlah lintasan yang dibutuhkan untuk mencapai kecepatan itu menjadi sangat besar; contohnya, untuk mencapai [[kecepatan cahaya]] (abaikan [[relativitas khusus]]), perenang membutuhkan untuk melintasi kolam 150 juta kali. Berbeda dengan jumlah besar ini, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai sebuah keceptan yang diberikan tergantung pada penjumlahan dari deretnya pada setiap diberikan jumlah lintasan kolam (berulang)ː | Sebuah contoh yang lebih sederhana, di samping itu, adalah perenang yang tetap menambahkan lebih banyak kecepatan ketika menyentuh tembok dari kolam. Perenang mulai melintasi sebuah kolam 10 meter pada sebuah kecepatan 2 m.s, dan dengan setiap lintasan, 2 m/s lainnya ditambahkan ke kecepatan. Dalam teori, kecepatan perenang adalah tak terbatas, tetapi jumlah lintasan yang dibutuhkan untuk mencapai kecepatan itu menjadi sangat besar; contohnya, untuk mencapai [[kecepatan cahaya]] (abaikan [[relativitas khusus]]), perenang membutuhkan untuk melintasi kolam 150 juta kali. Berbeda dengan jumlah besar ini, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai sebuah keceptan yang diberikan tergantung pada penjumlahan dari deretnya pada setiap diberikan jumlah lintasan kolam (berulang)ː | ||
: <math>\frac{10}{2}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}.</math> | : <math>\\frac{10}{2}\\sum_{k=1}^n\\frac{1}{k}.</math> | ||
Menghitung jumlah (secara berulang) menunjukkan bahwa untuk mencapai kecepatan cahaya, waktu yang dibutuhkan hanya 97 detik. Dengan melanjtukan melampaui titik ini (melebihi kecepatan cahaya, lagi abaikan [[relativitas khusus]]), waktu yang diambil untuk melintasi kolam pada kenyataannya akan mendekati nol saat jumlah berulang menjadi sangat besar, da meskipun waktu yang dibutuhkan untuk melintasi kolam muncul untuk cenderung ke nol (pada sebuah bilangan takhingga berulang), jumlah berulang (waktu yang diberikan untuk total lintasan kolam) akan tetap divergen pada sebuah divergen dengan kecepatan yang sangat lambat. | Menghitung jumlah (secara berulang) menunjukkan bahwa untuk mencapai kecepatan cahaya, waktu yang dibutuhkan hanya 97 detik. Dengan melanjtukan melampaui titik ini (melebihi kecepatan cahaya, lagi abaikan [[relativitas khusus]]), waktu yang diambil untuk melintasi kolam pada kenyataannya akan mendekati nol saat jumlah berulang menjadi sangat besar, da meskipun waktu yang dibutuhkan untuk melintasi kolam muncul untuk cenderung ke nol (pada sebuah bilangan takhingga berulang), jumlah berulang (waktu yang diberikan untuk total lintasan kolam) akan tetap divergen pada sebuah divergen dengan kecepatan yang sangat lambat. | ||
Revisi terkini sejak 9 September 2026 06.28
Dalam matematika, deret harmonik adalah deret takhingga divergen
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n=1}^\\infty\\frac{1}{n} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} + \\cdots.}
Namanya diturunkan dari konsep nada tambahan, atau harmonik dalam musikː panjang gelombangnya dari nada tambahan dari sebuah dawai yang bergetar adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac 1 2} , Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac 1 3} , Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac 1 4} , dst., dari panjang gelombang dasar dawai. Setiap suku dari deretnya setelah pertamanya adalah purata harmonik dari suku-suku tetangga, frasa purata harmonik juga diturunkan dari musik.
Kedivergenan deret harmonik pertama kali dibuktikan oleh Nicole Oresme pada tahun 1350. Karya Oresme, bersamaan dengan karya Richard Swineshead mengenai deret yang lain di tahun yang sama, menandakan awal kehadiran deret tak terhingga lainnya setelah deret geometri dalam matematika. Sayangnya, hasil pencapaian tersebut malah terlupakan. Beberapa pembuktian lain diterbitkan pada abad ke-17 oleh Pietro Mengoli dan Jacob Bernoulli. Bernoulli menyematkan saudaranya, Johann Bernoulli, karena berkatnya dalam mencari pembuktiannya, dan namanya dicantumkan ke dalam karya-karya yang terkumpul milik Johann Bernoulli.
Jumlah parsial dari deret harmonik dinamakan bilangan harmonik dan diberikan lambang oleh Donald Knuth pada tahun 1968.
Definisi dan kedivergenan
Deret harmonik adalah deret tak terhingga Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n=1}^\\infty\\frac{1}{n} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} + \\cdots} dengan setiap suku-sukunya merupakan pecahan satuan bernilai positif. Deret harmonik itu divergen, yang berarti semakin banyak suku pada deret dijumlahkan, nilainya semakin membesar dan melampaui sembarang batas terhingga. Deret harmonik, selaku merupakan deret divergen, semestinya dipandang sebagai penjumlahan formal, maksudnya sebagai ekspresi matematika yang bersifat abstrak yang menggabungkan pecahan satuan daripada sebagai sesuatu yang dapat dianggap sebagai suatu nilai numerik. Banyak pembuktian lain mengenai kedivergenannya, yang disurvei oleh S. J. Kifowit dan T. A. Stamps dalam makalahnya pada tahun 2006. Dua pembuktian yang sudah lazim dijumpai diberikan sebagai berikut.
Uji perbandingan
Salah satu cara membuktikan kedivergenannya adalah dengan membandingkan deret harmonik dengan deret divergen lain. Deret lain yang dimaksud adalah deret harmonik tetapi setiap penyebutnya digantikan dengan perpangkatan dari dua terbesar berikutnya: Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{alignat}{8} 1 & + \\frac{1}{2} && + \\frac{1}{3} && + \\frac{1}{4} && + \\frac{1}{5} && + \\frac{1}{6} && + \\frac{1}{7} && + \\frac{1}{8} && + \\frac{1}{9} && + \\cdots \\\\[5pt] {} \\geq 1 & + \\frac{1}{2} && + \\frac{1}{\\color{red}{\\mathbf{4}}} && + \\frac{1}{4} && + \\frac{1}{\\color{red}{\\mathbf{8}}} && + \\frac{1}{\\color{red}{\\mathbf{8}}} && + \\frac{1}{\\color{red}{\\mathbf{8}}} && + \\frac{1}{8} && + \\frac{1}{\\color{red}{\\mathbf{16}}} && + \\cdots \\\\[5pt] \\end{alignat}} Mengumpulkan suku-suku yang sama memperlihatkan bahwa deret kedua divergen (karena setiap pengumpulan deret konvergen tetaplah konvergen): Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} & 1 + \\left(\\frac{1}{2}\ ight) + \\left(\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}\ ight) + \\left(\\frac{1}{8} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{8} + \\frac{1}{8}\ ight) + \\left(\\frac{1}{16} + \\cdots + \\frac{1}{16}\ ight) + \\cdots \\\\[5pt] {} = {} & 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} + \\cdots. \\end{align}} Dengan membandingkan masing-masing suku di antara kedua deret, setiap suku dari deret harmonik lebih besar atau sama dengan suku-suku dari deret kedua (semua suku sama-sama positif). Karena deret kedua divergen, maka berdasarkan uji perbandingan deret harmonik juga divergen. Argumen yang sama membuktikan lebih kuat bahwa, untuk setiap bilangan bulat Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n=1}^{2^k} \\frac{1}{n} \\geq 1 + \\frac{k}{2}} Pembuktian asli ini berasal dari Nicole Oresme sekitar tahun 1350. Uji kondensasi Cauchy adalah generalisasi dari pernyataan tersebut.
Uji integral
Pembuktian lainnya adalah bahwa deret harmonik terbukti divergen dengan membandingkan penjumlahnnya dengan integral tak wajar. Supaya lebih jelas, perhatikanlah susunan persegi panjang pada gambar berikut. Setiap persegii panjang punya lebar 1 satuan dan tinggi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \ frac1n} satuan. Jadi, jika deret harmonik konvergen, maka luas total persegi panjang secara keseluruhan akan sama dengan jumlah dari deret harmonik. Kurva Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle y=\ frac1x} pada grafik menetapkan batas atas pada seluruh persegi panjang. Jadi, luas di bawah kurva tersebut, dengan range dari satu hingga tak terhingga yang diliputi oleh banyaknya persegi panjang, akan lebih kecil daripada luas dari seluruh persegi panjang digabungkan. Akan tetapi, luas di bawah kurva malah memberikan bentuk integral tak wajar yang hasilnya divergen, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\int_1^\\infty\\frac{1}{x}\\,dx = \\infty.} Karena integral tersebut tidak konvergen, penjumlahannya juga tidak konvergen.
Pada gambar tadi, setiap persegi panjang digeser ke kiri sebesar 1 satuan akan menghasilkan barisan persegi panjang, yang batasnya berada di bawah kurva dan bukan atas. Ini menunjukkan bahwa jumlah parsial dari deret harmonik berbeda dari integral yang dibatasi di atas dan di bawah dengan luas satuan dari persegi panjang pertama: Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\int_1^{N+1}\\frac1x\\,dx<\\sum_{i=1}^N\\frac1i<\\int_1^{N}\\frac1x\\,dx+1.} Bila argumen ini diperumum, sembarang jumlah nilai-nilai tak terhingga dari suatu fungsi bernilai positif menurun monoton (seperti deret harmonik) memiliki jumlah parsial yang berada di dalam jarak terbatas dari nilai-nilai integral yang sama. Oleh karena demikian, penjumlahannya konvergen jika dan hanya jika integral dengan range yang sama dari fungsi yang sama konvergen. Ketika Metode tersebut, yakni ketika kesamaan tadi digunakan untuk memeriksa kekonvergenan suatu penjumlahan dengan mengantikannya dengan integral yang lebih mudah dihitung, dinamakan uji integral tentang kekonvergenan.
Jumlah parsial
| Jumlah parsial dari deret harmonik, | ||||
|---|---|---|---|---|
| diekspresikan sebagai sebuah pecahan | desimal | ukuran relatif | ||
| 1 | 1 | |||
| 2 | 3 | /2 | ||
| 3 | 11 | /6 | ~ | |
| 4 | 25 | /12 | ~ | |
| 5 | 137 | /60 | ~ | |
| 6 | 49 | /20 | ||
| 7 | 363 | /140 | ~ | |
| 8 | 761 | /280 | ~ | |
| 9 | / | ~ | ||
| 10 | / | ~ | ||
| 11 | / | ~ | ||
| 12 | / | ~ | ||
| 13 | / | ~ | ||
| 14 | / | ~ | ||
| 15 | / | ~ | ||
| 16 | / | ~ | ||
| 17 | / | ~ | ||
| 18 | / | ~ | ||
| 19 | / | ~ | ||
| 20 | / | ~ | ||
| 21 | / | ~ | ||
| 22 | / | ~ | ||
| 23 | / | ~ | ||
| 24 | / | ~ | ||
| 25 | / | ~ | ||
| 26 | / | ~ | ||
| 27 | / | ~ | ||
| 28 | / | ~ | ||
| 29 | / | ~ | ||
| 30 | / | ~ | ||
Dengan menambahkan suku pertama deret harmonik, hasilnya merupakan suatu jumlah parsial. Jumlah parsial itu dinamakan bilangan harmonik, dilambangkan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle H_n = \\sum_{k = 1}^n \\frac{1}{k}.}
Laju pertumbuhan
Berdasarkan hasil uji integral, bilangan harmonik memiliki pertumbuhan yang sangat lambat seperti pertumbuhan logaritmik. Lebih jelas lagi, menurut rumus Euler–Maclaurin, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle H_n = \\ln n + \\gamma + \\frac{1}{2n} - \\varepsilon_n} dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\gamma\\approx 0.5772} adalah konstanta Euler–Mascheroni dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 0\\le\\varepsilon_n\\le 1/(8n^2)} yang mendekati 0 saat menuju tak terhingga.
Keterbagian
Tidak ada bilangan harmonik yang merupakan bilangan bulat, kecuali Salah satu cara membuktikan bahwa bukanlah bilangan bulat adalah dengan memandang perpangkatan dua yang berkisar dari Jika adalah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan dari maka dapat ditulis ulang sebagai penjumlahan pecahan yang memiliki penyebut yang sama Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle H_n=\\sum_{i=1}^n \ frac{M/i}{M}.} Pada pecahan tersebut, hanya salah satu dari pembilangnya, adalah ganjil dan sisanya genap, dan , sendiri genap. Oleh karena itu, hasilnya merupakan pecahan dengan pembilang ganjil dan penyebut genap, sehingga mengakibatkan bilangan harmonik tersebut bukanlah suatu bilangan bulat. Lebih umumnya lagi, sembarang barisan bilangan berturut-turut memiliki anggota tunggal yang dapat dibagi oleh perpangkatan yang lebih besar daripada semua anggota barisan lainnya. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa tidak ada dua bilangan harmonik yang selisihnya menghasilkan suatu bilangan bulat.
Adapun pembuktian lain tentang bilangan harmonik bukanlah bilangan bulat. Pembuktian tersebut mengamati bahwa penyebut dari harus dapat dibagi oleh semua bilangan prima yang lebih besar daripada dan lebih kecil atau sama dengan , dan menggunakan postulat Bertrand untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan prima tersebut tidaklah kosong. Argumen yang sama menyiratkan lebih kuat lagi, bahwa, dengan mengecualikan , , dan , tidak ada bilangan harmonik yang memiliki representasi desimal yang berhenti. Terdapat suatu konjektur bahwa setiap bilangan prima membagi pembilang dari hanya suatu subhimpunan bilangan harmonik yang terhingga. Hingga saat ini, masih belum terbukti.
Interpolasi
Fungsi digamma didefinisikan sebagai turunan logaritmik dari fungsi gamma Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\psi(x)=\\frac{d}{dx}\\ln\\big(\\Gamma(x)\\big)=\\frac{\\Gamma'(x)}{\\Gamma(x)}.} Sama halnya fungsi gamma memberikan interpolasi faktorial yang kontinu, fungsi digamma memberikan interpolasi bilangan harmonik yang kontinu, dalam artian, Persamaan ini dapat digunakan untuk memperluas definisi hingga ke bilangan harmonik dengan indeks berupa bilangan rasional.[1]
Deret yang berkaitan
Deret harmonik bolak-balik
Deret
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n = 1}^\\infty \\frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} - \\cdots}
dikenal sebagai deret harmonik bolak-balik. Deret ini konvergen oleh uji deret bolak-balik. Khususnya, jumlahnya sama dengan logaritma natural 2ː
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 1 - \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} - \\cdots = \\ln 2.}
Deret harmonik bolak-balik, sementara konvergen bersyarat, tidak sepenuhnya konvergen: jika asuku-suku dalam deret diatur ulang secara sistematis, secara umum jumlahnya menjadi berbeda dan , bergantung pada penyusunan kembali, bahkan mungkin takhingga.
Rumus deret harmonik bolak-balik adalah sebuah kasus spesial dari deret Mercator, deret Taylor untuk logaritma natural.
Sebuah deret berkaitan bisa diturunkan dari deret Taylor untuk arctangenː
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n = 0}^\\infty \\frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 - \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} - \\frac{1}{7} + \\cdots = \\frac{\\pi}{4}.}
Iini dikenal sebagai deret Leibniz.
Deret harmonik umum
Deret harmonik umum adalah dari bentuk
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{1}{an+b} ,}
di mana Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle a \ e 0} dan adalah bilangna real, dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac b a} bukan nol atau sebuah bilangan bulat negatif.
Dengan uji perbandingan limit dengan deret harmonik, semua deret harmonik umum juga divergen.
Deret-p
Sebuah generalisasi dari deret harmonik adalah deret-p (atau deret hiperharmonik), didefinisikan sebagai
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^p}}
untuk setiap bilangan real . Ketika , deret-p adalah deret harmonik, yang divergen. Baik itu uji integral atau uji kondensasi Cauchy menunjukkan bahwa deret-p konvergen untuk semua (dalam hal ini disebut deret lebih-harmonik) dan divergen untuk semua Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle p \\le 1} . Jika maka jumlah dari deret-p adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\zeta(p) } , yaitu fungsi zeta Riemann dievaluasi sebagai
Masalah mencari jumlah untuk disebut masalah Basel; Leonhard Euler menunjukkan ini bernilai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac{\\pi^2}{6} } . Nilai dari jumlah untuk disebut konstanta Apéry, karena Roger Apéry membuktikan bahwa itu adalah sebuah bilangan irasional.
Deret-ln
Berkaitan dengan deret-p adalah deret-ln, didefinisikan sebagai
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n=2}^{\\infty}\\frac{1}{n (\\ln n)^p}}
untuk setiap bilangan real positif . Ini bisa ditunjukkan oleh uji integral untuk divergen untuk Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle p \\le 1} tetapi onvergen untuk semua .
Deret-φ
Untuk setiap cembung, fungsi bernilai real Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\varphi } seperti
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\limsup_{u\ o 0^+}\\frac{\\varphi\\left(\\frac{u}{2}\ ight)}{\\varphi(u)} < \\frac{1}{2}, }
deret
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n=1}^\\infty \\varphi\\left(\\frac{1}{n}\ ight)}
konvergen.
Deret harmonik acak
Deret harmonik acak
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{s_{n}}{n},}
di mana adalah independen, variabel acak terdistribusi identik yang mengambil nilai dan dengan propabilitas sama dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac 1 2} , dikenal sebagai sebuah contoh dalam teori probabilitas dengan probabilitas 1. Fakta kekonvergenan ini adalah konsekuensi mudah dari teorema tiga deret Kolmogorov atau dari pertidaksamaan maksimal Kolmogorov yang terkait erat. Borin Schmuland dari Universitas Alberta lebih lanjut[2] memeriksa sifat-sifat dari deret harmonik acak, dan menunjukkan bahwa deret konvergen adalah sebuah variabel acak dengan beberapa sifat-sifat yang menarik. Khususnya, fungsi kepekatan probabilitas dari variabel acak ini dievalusi pada atau pada mengambil nilai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 0.124\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 999\\ 764\\dots} , berbeda dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac 1 8} kurang dari . Makalah Schmuland menjelaskan mengapa probabilitas ini sangat dekat, tetapi tidak persis, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac 1 8} . Nilai pasti dari probabilias ini diberikan oleh integral produk kosinus takhingga [3] dibagi oleh Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} .
Deret harmonik habis
Deret harmonik habis di mana semua dari suku-suku yang digit 9 muncul di mana saja dalampenyebut dihapus dapat ditampilkan untuk konvergen ke nilai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 22.92067\\ 66192\\ 64150\\ 34816\\dots} ..[4] Faktanya, ketika semua suku berisi setiap deretan bilangan tertentu (dalam setiap basis) dihilangkan, deretnya konvergen.[5]
Penerapan
Deret harmonik bisa berlawanan dengan intuisi siswa yang pertama kali menjumpainya, itu adalah sebuah deret divergen meskipun limit dari suku ke- saat menuju ke takhingga adalah nol. Kedivergenan dari deret harmonik juga merupakan sumber dari beberapa paradoks yang jelas. Salah satu dari contoh-contoh ini adalah "cacing di gelang karet".[6] Andaikan bahwa sebuah cacing merangkak di sekitar karet gelang satu meter dengan elastis takhingga pada saat yang sama saat karet gelang direngangkan terdistribusi secara merata. Jika cacing berjalan 1 cm per meint dan karetnya meregang 1 meter per menit, akankah cacing mencapai akhir dari gelang karet? Jawabannya. secara berlawanan, "ya", untuk setelah menit, rasionya dari jarak bepergian oleh cacing dengan panjang totoal dari gelang karet adalah
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac{1}{100}\\sum_{k=1}^n\\frac{1}{k}.}
(Faktanya rasio sebenarnya sedikit kurang dari penjumlahan ini karena gelang memanjang terus-menerus.)
Karena deeretnya menjadi besar secara sebarang saat menjadi besar, akhirnya rasio ini harus melebihi 1, yang menyiratkan bahwa cacing mencapai akhir dari gelang karet. Namun, nilai di mana ini terjadi harus sangat besar; sekitar , sebuah bilangan melebihi menit ( tahun). Meskipun deret harmonik divergen, itu melakukannya dengan sangat lambat.
Masalah lainnya melibatkan deret harmonik adalah masalah jip, yang (dalam satu bentuk) menanyakan berapa total bahan bakar yang dibutuhkan untuk sebuah jip dengan daya dukung bahan bakar yang terbatas untuk menyeberangi gurun, kemungkinan menyebabkan penurunan bahan bakar di sepanjang rute. Jarak yang bisa dilintasi dengan jumlah bahan bakar berkaitan dengan jumlah parsial dari deret harmonik, yang tumbuh secara logaritmik. Dan juga bahan bakar dibutuhkan meningkat secara eksponensial dengan jarak yang diinginkan.
Contoh lain adalah masalah penumpukan balok, diberikan sebuah kumpulan domino yang identik, ini jelas mungkin untuk menumpukkan mereka pada tepi dari sebuah meja sehingga mereka menggantung di tepi dari meja tanpa jatuh. Hasil yang berlawanan dengan intuisi adalah bahwa salah satu bisa menumpukkan mereka sedemikian rupa untuk membuat bergantungan menjadi besar, asalkan ada domnio yang cukup.[7][8]
Sebuah contoh yang lebih sederhana, di samping itu, adalah perenang yang tetap menambahkan lebih banyak kecepatan ketika menyentuh tembok dari kolam. Perenang mulai melintasi sebuah kolam 10 meter pada sebuah kecepatan 2 m.s, dan dengan setiap lintasan, 2 m/s lainnya ditambahkan ke kecepatan. Dalam teori, kecepatan perenang adalah tak terbatas, tetapi jumlah lintasan yang dibutuhkan untuk mencapai kecepatan itu menjadi sangat besar; contohnya, untuk mencapai kecepatan cahaya (abaikan relativitas khusus), perenang membutuhkan untuk melintasi kolam 150 juta kali. Berbeda dengan jumlah besar ini, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai sebuah keceptan yang diberikan tergantung pada penjumlahan dari deretnya pada setiap diberikan jumlah lintasan kolam (berulang)ː
- Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac{10}{2}\\sum_{k=1}^n\\frac{1}{k}.}
Menghitung jumlah (secara berulang) menunjukkan bahwa untuk mencapai kecepatan cahaya, waktu yang dibutuhkan hanya 97 detik. Dengan melanjtukan melampaui titik ini (melebihi kecepatan cahaya, lagi abaikan relativitas khusus), waktu yang diambil untuk melintasi kolam pada kenyataannya akan mendekati nol saat jumlah berulang menjadi sangat besar, da meskipun waktu yang dibutuhkan untuk melintasi kolam muncul untuk cenderung ke nol (pada sebuah bilangan takhingga berulang), jumlah berulang (waktu yang diberikan untuk total lintasan kolam) akan tetap divergen pada sebuah divergen dengan kecepatan yang sangat lambat.
Lihat pula
Pranala luar
Referensi
- ↑ Anthony Sofo. A family of shifted harmonic sums. The Ramanujan Journal. 2015. Vol. 37. hlm. 89–108. doi:10.1007/s11139-014-9600-9.
- ↑ Byron Schmuland. Random Harmonic Series. American Mathematical Monthly. May 2003. Vol. 110 (5). hlm. 407–416. doi:10.2307/3647827.
- ↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
- ↑ Robert Baillie. Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit. The American Mathematical Monthly. May 1979. Vol. 86. hlm. 372–374. doi:10.1080/00029890.1979.11994810.
- ↑ Thomas Schmelzer and Robert Baillie. Summing a Curious, Slowly Convergent Series. The American Mathematical Monthly. Jun 2008. Vol. 115. hlm. 545–540.
- ↑ Ronald Graham. Concrete Mathematics. Addison-Wesley. 1989. hlm. 258–264. ISBN 978-0-201-55802-9.
- ↑ Ronald Graham. Concrete Mathematics. Addison-Wesley. 1989. hlm. 258–264. ISBN 978-0-201-55802-9.
- ↑ R. T. Sharp. Problem 52: Overhanging dominoes. Pi Mu Epsilon Journal. 1954. Vol. 1 (10). hlm. 411–412.
Sumber dan atribusi
Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29061964 (2026-03-23T09:46:29Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.