Pembuktian tanpa kalimat: Perbedaan antara revisi
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29207626; atribusi sumber disertakan. |
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi |
||
| Baris 1: | Baris 1: | ||
Pada [[matematika]], '''pembuktian tanpa kalimat''' (atau '''pembuktian visual''') adalah ilustrasi dari [[Identitas (matematika)|identitas]] atau pernyataan matematika yang dapat didemonstrasikan sebagai bukti mandiri oleh diagram tanpa kalimat penjelas. Pembuktian seperti ini dapat dikatakan lebih elegan daripada pembuktian formal atau teliti oleh karena sifat pembuktian mandirinya. Ketika diagram mendemonstrasikan kasus spesifik dari pernyataan umum, diagram tersebut harus digeneralisasikan agar menjadi pembuktian matematika. | Pada [[matematika]], '''pembuktian tanpa kalimat''' (atau '''pembuktian visual''') adalah ilustrasi dari [[Identitas (matematika)|identitas]] atau pernyataan matematika yang dapat didemonstrasikan sebagai bukti mandiri oleh diagram tanpa kalimat penjelas. Pembuktian seperti ini dapat dikatakan lebih elegan daripada pembuktian formal atau teliti oleh karena sifat pembuktian mandirinya.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembuktian+tanpa+kalimat&oldid=29207626 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Ketika diagram mendemonstrasikan kasus spesifik dari pernyataan umum, diagram tersebut harus digeneralisasikan agar menjadi pembuktian matematika.<ref>Dikunjungi pada .</ref> | ||
Pembuktian tanpa kalimat tidak sama dengan [[pembuktian matematika]] karena ia menghilangkan detail dari argumen logis yang diilustrasikannya. Namun, pembuktian ini dapat memberikan intuisi yang berharga terhadap pemirsa yang dapat membantu mereka memformulasikan atau memahami pembuktian nyata. | Pembuktian tanpa kalimat tidak sama dengan [[pembuktian matematika]] karena ia menghilangkan detail dari argumen logis yang diilustrasikannya. Namun, pembuktian ini dapat memberikan intuisi yang berharga terhadap pemirsa yang dapat membantu mereka memformulasikan atau memahami pembuktian nyata. | ||
| Baris 5: | Baris 5: | ||
== Contoh == | == Contoh == | ||
=== Jumlah dari bilangan ganjil === | === Jumlah dari bilangan ganjil === | ||
Pernyataan bahwa penjumlahan semua [[Paritas (matematika)|bilangan ganjil]] positif hingga adalah [[Bilangan persegi|kuadrat sempurna]]&emdash;lebih spesifik, kuadrat sempurna dari &emdash;dapat didemonstrasikan oleh pembuktian tanpa kalimat.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembuktian+tanpa+kalimat&oldid=29207626 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> | |||
Pernyataan bahwa penjumlahan semua [[Paritas (matematika)|bilangan ganjil]] positif hingga adalah [[Bilangan persegi|kuadrat sempurna]]&emdash;lebih spesifik, kuadrat sempurna dari &emdash;dapat didemonstrasikan oleh pembuktian tanpa kalimat. | |||
Pada satu sisi kisi-kisi, satu blok merepresentasikan 1, kuadrat pertama. Bilangan tersebut dapat dibungkus pada dua sisi oleh garis dari tiga blok (bilangan ganjil selanjutnya) untuk membuat block, kuadrat kedua. Dengan menambahkan lima blok akan membuat , kuadrat ketiga. Proses ini dapat berlanjut tanpa batas. | Pada satu sisi kisi-kisi, satu blok merepresentasikan 1, kuadrat pertama. Bilangan tersebut dapat dibungkus pada dua sisi oleh garis dari tiga blok (bilangan ganjil selanjutnya) untuk membuat block, kuadrat kedua. Dengan menambahkan lima blok akan membuat , kuadrat ketiga. Proses ini dapat berlanjut tanpa batas. | ||
=== Teorema Pythagoras === | === Teorema Pythagoras === | ||
[[Teorema Pythagoras]] yang menyatakan bahwa dapat dibuktikan tanpa kalimat.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembuktian+tanpa+kalimat&oldid=29207626 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> | |||
Salah satu metode untuk membuktikannya adalah dengan memvisualisasikan persegi yang besar dengan panjang sisi , dengan empat segitiga siku-siku yang memiliki panjang , , dan pada sisi-sisinya. Hal ini akan membuat ruang kosong persegi diagonal dengan area . Empat segitiga tersebut dapat ditata ulang pada persegi yang lebih besar untuk membagi ruang yang tidak digunakan menjadi dua persegi dan .<ref>Donald Benson. [https://books.google.com/books?id=8_vbuzxrpfIC&pg=PA172 The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies]. Oxford University Press. 1999.</ref> | |||
Salah satu metode untuk membuktikannya adalah dengan memvisualisasikan persegi yang besar dengan panjang sisi , dengan empat segitiga siku-siku yang memiliki panjang , , dan pada sisi-sisinya. Hal ini akan membuat ruang kosong persegi diagonal dengan area . Empat segitiga tersebut dapat ditata ulang pada persegi yang lebih besar untuk membagi ruang yang tidak digunakan menjadi dua persegi dan . | |||
=== Pertidaksamaan Jensen === | === Pertidaksamaan Jensen === | ||
[[Pertidaksamaan Jensen]] dapat juga dibuktikan secara visual. Kurva garis putus-putus sepanjang sumbu adalah distribusi hipotesis dari , sementara kurva garis putus-putus sepanjang sumbu adalah distribusid dari nilai . Pemetaan cembung dari semakin meregangkan distribusi tersebut semakin bertambahnya nilai .<ref>E. J. McShane. ''Jensen's Inequality''. American Mathematical Society. 1937. Vol. 43 (8). hlm. 527. doi:10.1090/S0002-9904-1937-06588-8.</ref> | |||
[[Pertidaksamaan Jensen]] dapat juga dibuktikan secara visual. Kurva garis putus-putus sepanjang sumbu adalah distribusi hipotesis dari , sementara kurva garis putus-putus sepanjang sumbu adalah distribusid dari nilai . Pemetaan cembung dari semakin meregangkan distribusi tersebut semakin bertambahnya nilai . | |||
== Penggunaan == | == Penggunaan == | ||
''[[Mathematical Magazine]]'' dan ''[[The College Mathematics Journal]]'' menjalankan fitur reguler yang berjudul "Pembuktian tanpa kalimat" yang bersisi, sesuai dengan judulnya, pembuktian tanpa kalimat. Situs web ''The Art of Problem Solving'' dan USAMTS menjalankan [[Java applet|applet Java]] yang mengilustrasikan pembuktian tanpa kalimat. | ''[[Mathematical Magazine]]'' dan ''[[The College Mathematics Journal]]'' menjalankan fitur reguler yang berjudul "Pembuktian tanpa kalimat" yang bersisi, sesuai dengan judulnya, pembuktian tanpa kalimat.<ref>Dikunjungi pada .</ref> Situs web ''The Art of Problem Solving'' dan USAMTS menjalankan [[Java applet|applet Java]] yang mengilustrasikan pembuktian tanpa kalimat.<ref>[http://artofproblemsolving.com/articles/proof-without-words Gallery of Proofs]. Art of Problem Solving.</ref><ref>[http://usamts.org/Gallery/G_Gallery.php Gallery of Proofs]. USA Mathematical Talent Search.</ref> | ||
== Perbandingan terhadap pembuktian formal == | == Perbandingan terhadap pembuktian formal == | ||
Agar pembuktian dapat diterima oleh komunitas matematika, pembuktian tersebut harus menunjukkan secara [[Logika matematika|logis]] bagaimana pernyataan tersebut dapat membuktikan secara total dan tak diragukan suatu set [[Aksioma|asumsi]]. Pembuktian tanpa kalimat mungkin menyiratkan argumen tersebut, tetapi ia tidak membuatnya secara langsung. Jadi, pembuktian tanpa kalimat tidak dapat menjadi pembuktian formal ketika dibutuhkan. Lebih tepatnya, [[matematikawan]] menggunakan pembuktian tanpa kalimat sebagai ilustrasi dan alat pengajaran untuk ide yang telah dibuktikan secara formal. | Agar pembuktian dapat diterima oleh komunitas matematika, pembuktian tersebut harus menunjukkan secara [[Logika matematika|logis]] bagaimana pernyataan tersebut dapat membuktikan secara total dan tak diragukan suatu set [[Aksioma|asumsi]].<ref>Serge Lang. [https://archive.org/details/basicmathematics0000lang_a8r9 Basic Mathematics]. Addison-Wesley Publishing Company. 1971. hlm. [https://archive.org/details/basicmathematics0000lang_a8r9/page/94 94].</ref> Pembuktian tanpa kalimat mungkin menyiratkan argumen tersebut, tetapi ia tidak membuatnya secara langsung. Jadi, pembuktian tanpa kalimat tidak dapat menjadi pembuktian formal ketika dibutuhkan.<ref>Steve Benson. [https://books.google.com/books?id=PW80dP3YN2MC&dq=%22proof+without+words%22&pg=PA78 Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics]. Corwin Press. 6 Oktober 2004. hlm. 78. ISBN 9781412905206.</ref><ref>Michael Spivak. [https://books.google.com/books?id=7JKVu_9InRUC&q=%22basing+the+argument+on+a+geometric+picture+is+not+a+proof%22&pg=PA136 Calculus]. Publish or Perish, Inc. 2008. hlm. 138. ISBN 978-0-914098-91-1.</ref> Lebih tepatnya, [[matematikawan]] menggunakan pembuktian tanpa kalimat sebagai ilustrasi dan alat pengajaran untuk ide yang telah dibuktikan secara formal.<ref>Steve Benson. [https://books.google.com/books?id=PW80dP3YN2MC&dq=%22proof+without+words%22&pg=PA78 Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics]. Corwin Press. 6 Oktober 2004. hlm. 78. ISBN 9781412905206.</ref><ref>Tom Schulte. [https://www.maa.org/press/maa-reviews/proofs-without-words-exercises-in-visual-thinking Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking (review)]. The Mathematical Association of America. 12 Januari 2011.</ref> | ||
== Referensi == | == Referensi == | ||
<references /> | |||
== Sumber dan atribusi == | == Sumber dan atribusi == | ||
Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembuktian+tanpa+kalimat&oldid=29207626 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29207626 (2026-05-09T21:44:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku. | Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembuktian+tanpa+kalimat&oldid=29207626 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29207626 (2026-05-09T21:44:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku. | ||
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 --> | |||
Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 04.01
Pada matematika, pembuktian tanpa kalimat (atau pembuktian visual) adalah ilustrasi dari identitas atau pernyataan matematika yang dapat didemonstrasikan sebagai bukti mandiri oleh diagram tanpa kalimat penjelas. Pembuktian seperti ini dapat dikatakan lebih elegan daripada pembuktian formal atau teliti oleh karena sifat pembuktian mandirinya.[1] Ketika diagram mendemonstrasikan kasus spesifik dari pernyataan umum, diagram tersebut harus digeneralisasikan agar menjadi pembuktian matematika.[2]
Pembuktian tanpa kalimat tidak sama dengan pembuktian matematika karena ia menghilangkan detail dari argumen logis yang diilustrasikannya. Namun, pembuktian ini dapat memberikan intuisi yang berharga terhadap pemirsa yang dapat membantu mereka memformulasikan atau memahami pembuktian nyata.
Contoh
Jumlah dari bilangan ganjil
Pernyataan bahwa penjumlahan semua bilangan ganjil positif hingga adalah kuadrat sempurna&emdash;lebih spesifik, kuadrat sempurna dari &emdash;dapat didemonstrasikan oleh pembuktian tanpa kalimat.[3]
Pada satu sisi kisi-kisi, satu blok merepresentasikan 1, kuadrat pertama. Bilangan tersebut dapat dibungkus pada dua sisi oleh garis dari tiga blok (bilangan ganjil selanjutnya) untuk membuat block, kuadrat kedua. Dengan menambahkan lima blok akan membuat , kuadrat ketiga. Proses ini dapat berlanjut tanpa batas.
Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras yang menyatakan bahwa dapat dibuktikan tanpa kalimat.[4]
Salah satu metode untuk membuktikannya adalah dengan memvisualisasikan persegi yang besar dengan panjang sisi , dengan empat segitiga siku-siku yang memiliki panjang , , dan pada sisi-sisinya. Hal ini akan membuat ruang kosong persegi diagonal dengan area . Empat segitiga tersebut dapat ditata ulang pada persegi yang lebih besar untuk membagi ruang yang tidak digunakan menjadi dua persegi dan .[5]
Pertidaksamaan Jensen
Pertidaksamaan Jensen dapat juga dibuktikan secara visual. Kurva garis putus-putus sepanjang sumbu adalah distribusi hipotesis dari , sementara kurva garis putus-putus sepanjang sumbu adalah distribusid dari nilai . Pemetaan cembung dari semakin meregangkan distribusi tersebut semakin bertambahnya nilai .[6]
Penggunaan
Mathematical Magazine dan The College Mathematics Journal menjalankan fitur reguler yang berjudul "Pembuktian tanpa kalimat" yang bersisi, sesuai dengan judulnya, pembuktian tanpa kalimat.[7] Situs web The Art of Problem Solving dan USAMTS menjalankan applet Java yang mengilustrasikan pembuktian tanpa kalimat.[8][9]
Perbandingan terhadap pembuktian formal
Agar pembuktian dapat diterima oleh komunitas matematika, pembuktian tersebut harus menunjukkan secara logis bagaimana pernyataan tersebut dapat membuktikan secara total dan tak diragukan suatu set asumsi.[10] Pembuktian tanpa kalimat mungkin menyiratkan argumen tersebut, tetapi ia tidak membuatnya secara langsung. Jadi, pembuktian tanpa kalimat tidak dapat menjadi pembuktian formal ketika dibutuhkan.[11][12] Lebih tepatnya, matematikawan menggunakan pembuktian tanpa kalimat sebagai ilustrasi dan alat pengajaran untuk ide yang telah dibuktikan secara formal.[13][14]
Referensi
- ↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
- ↑ Dikunjungi pada .
- ↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
- ↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
- ↑ Donald Benson. The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies. Oxford University Press. 1999.
- ↑ E. J. McShane. Jensen's Inequality. American Mathematical Society. 1937. Vol. 43 (8). hlm. 527. doi:10.1090/S0002-9904-1937-06588-8.
- ↑ Dikunjungi pada .
- ↑ Gallery of Proofs. Art of Problem Solving.
- ↑ Gallery of Proofs. USA Mathematical Talent Search.
- ↑ Serge Lang. Basic Mathematics. Addison-Wesley Publishing Company. 1971. hlm. 94.
- ↑ Steve Benson. Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics. Corwin Press. 6 Oktober 2004. hlm. 78. ISBN 9781412905206.
- ↑ Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, Inc. 2008. hlm. 138. ISBN 978-0-914098-91-1.
- ↑ Steve Benson. Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics. Corwin Press. 6 Oktober 2004. hlm. 78. ISBN 9781412905206.
- ↑ Tom Schulte. Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking (review). The Mathematical Association of America. 12 Januari 2011.
Sumber dan atribusi
Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29207626 (2026-05-09T21:44:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.