Ruang Hilbert

Berkas:Standing waves on a string.gif

Standing waves on a string

Konsep matematika dari ruang Hilbert, dinamai David Hilbert, menggeneralisasi gagasan ruang Euklides. Maka memperluas metode aljabar vektor dan kalkulus dari dua dimensi bidang Euclidean dan ruang tiga dimensi ke ruang dengan berhingga atau tak hingga. Ruang Hilbert adalah ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam, sebuah operasi yang memungkinkan untuk menentukan panjang dan sudut. Lebih lanjut, ruang Hilbert adalah lengkap, yang berarti bahwa ada cukup limit di ruang untuk memungkinkan teknik kalkulus digunakan.

Ruang Hilbert muncul secara alami dan sering dalam matematika dan fisika, biasanya sebagai dimensi tak hingga ruang fungsi. Ruang Hilbert paling awal dipelajari dari sudut pandang ini pada dekade pertama abad ke-20 oleh David Hilbert, Erhard Schmidt, dan Frigyes Riesz. Mereka adalah alat yang sangat diperlukan dalam teori persamaan diferensial parsial s, mekanika kuantum, Analisis Fourier (yang mencakup aplikasi untuk pemrosesan sinyal dan perpindahan panas), dan teori ergodik (yang membentuk dasar matematika termodinamika). John von Neumann menciptakan istilah ruang Hilbert untuk konsep abstrak yang mendasari banyak aplikasi yang beragam ini. Keberhasilan metode ruang Hilbert mengantarkan era yang sangat bermanfaat bagi analisis fungsional. Terlepas dari ruang Euclidean klasik, contoh ruang Hilbert meliputi ruang fungsi terintegralkan persegi, ruang urutan, Ruang Sobolev terdiri dari fungsi umum, dan Ruang Hardy dari fungsi holomorfik.

Intuisi geometris memainkan peran penting dalam banyak aspek teori ruang Hilbert. Analog tepat dari Teorema Pythagoras dan hukum jajaran genjang berlaku di ruang Hilbert. Pada tingkat yang lebih dalam, proyeksi tegak lurus ke subruang (analog dari "menurunkan ketinggian" dari segitiga) memainkan peran penting dalam masalah pengoptimalan dan lainnya sebagai. Sebuah elemen ruang Hilbert dapat secara unik ditentukan oleh koordinatnya sehubungan dengan satu set sumbu koordinat (sebuah basis orthonormal), dalam analogi dengan koordinat Kartesius pada bidang. Ketika himpunan sumbu itu countably infinite, ruang Hilbert juga dapat dianggap berguna dalam hal ruang urutan tak hingga yang persegi summabel. Ruang terakhir sering dalam literatur yang lebih tua disebut sebagai ruang Hilbert. Operator linear pada ruang Hilbert juga merupakan objek yang cukup konkret: dalam kasus yang baik, mereka hanyalah transformasi yang meregangkan ruang oleh faktor-faktor berbeda dalam arah yang saling tegak lurus dalam arti yang dibuat tepat oleh studi spektrum.

Definisi dan ilustrasi

Contoh motivasi: Ruang vektor Euklides

Salah satu contoh paling umum dari ruang Hilbert adalah ruang vektor Euklides yang terdiri dari vektor tiga dimensi, dilambangkan dengan , dan dilengkapi dengan dot product. Perkalian titik mengambil dua vektor dan , dan menghasilkan bilangan riil . Jika dan direpresentasikan dalam koordinat kartesius, kemudian perkalian titik didefinisikan oleh

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{pmatrix}x_1\\\\x_2\\\\x_3\\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix}y_1\\\\y_2\\\\y_3\\end{pmatrix} = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 \\,.}

Produk titik memenuhi sifat:

1. Simetri dalam dan : .
2. Linear dalam argumen pertamanya: untuk semua skalar , , dan vektor , , dan .
3. Bentuk positif: untuk semua vektor , , dengan kesetaraan jika dan hanya jika .

Operasi pada pasangan vektor yang, seperti perkalian titik, memenuhi ketiga sifat ini dikenal sebagai (riil) hasil kali dalam. Sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam seperti itu dikenal sebagai ruang hasil kali dalam. Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi-hingga juga merupakan ruang Hilbert. Fitur dasar dari perkalian titik yang menghubungkannya dengan geometri Euclidean adalah bahwa ia terkait dengan panjang (atau norma) vektor, dilambangkan , dan untuk sudut antara dua vektor dan melalui rumus

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathbf{x}\\cdot\\mathbf{y} = \\|\\mathbf{x}\\|\\,\\|\\mathbf{y}\\|\\,\\cos\ heta \\,.}

Kalkulus multivariabel dalam ruang Euklides bergantung pada kemampuan untuk menghitung limit, dan memiliki kriteria yang berguna pada deret matematika

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n=0}^\\infty \\mathbf{x}_n}

terdiri dari vektor dalam adalah konvergensi absolut asalkan jumlah panjangnya konvergen sebagai rangkaian bilangan riil biasa:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{k=0}^\\infty \\|\\mathbf{x}_k\\| < \\infty \\,.}

Sama seperti deret skalar, deret vektor yang bertemu secara mutlak juga konvergen ke beberapa vektor batas di ruang Euklides, dalam arti bahwa

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\left\\|\\mathbf{L}-\\sum_{k=0}^N\\mathbf{x}_k\ ight\\|\ o \\mathbf{0}\\quad\ ext{as }N\ o\\infty \\,.}

Properti ini mengungkapkan kelengkapan ruang Euclidean: bahwa rangkaian yang menyatu secara mutlak juga menyatu dalam pengertian biasa.

Spasi Hilbert sering kali diambil alih dari bilangan kompleks. Bidang kompleks yang dilambangkan dengan dilengkapi dengan gagasan besaran, modulus kompleks yang didefinisikan sebagai akar kuadrat dari hasil kali dengan konjugasi kompleks:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle |z|^2 = z\\overline{z} \\,.}

Jika adalah dekomposisi dari menjadi bagian nyata dan imajinernya, maka modulusnya adalah panjang dua dimensi Euklides yang biasa:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle |z| = \\sqrt{x^2 + y^2} \\,.}

Hasil kali dalam dari pasangan bilangan kompleks dan adalah hasil kali dari dengan konjugasi kompleks dari :

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\langle z, w\ angle = z\\overline{w}\\,.}

Ini bernilai kompleks. Bagian riil dari memberikan Euclidean dua dimensi biasa perkalian titik.

Contoh kedua adalah ruang yang elemennya adalah pasangan bilangan kompleks . Kemudian hasil kali dalam dari dengan vektor lain dirumuskan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\langle z, w\ angle = z_1\\overline{w_1} + z_2\\overline{w_2}\\,.}

Bagian riil dari kemudian adalah perkalian titik Euclidean dua dimensi. Hasil kali dalam ini simetris Hermitian , yang berarti hasil pertukaran dan adalah konjugat kompleks:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\langle w, z\ angle = \\overline{\\langle z, w\ angle}\\,.}

Definisi

 adalah riil atau kompleks hasil kali dalam yang juga merupakan ruang metrik lengkap sehubungan dengan fungsi jarak yang diinduksi oleh hasil kali dalam.

Mengatakan bahwa adalah adalah ruang vektor kompleks yang di dalamnya terdapat bagian dalam produk mengaitkan bilangan kompleks ke setiap pasangan elemen dari yang memenuhi properti berikut:

1. Hasil kali dalam adalah simetris konjugasi; yaitu, hasil kali dalam dari sepasang elemen sama dengan konjugasi kompleks dari produk dalam dari elemen yang ditukar:

   Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\langle y, x\ angle = \\overline{\\langle x, y\ angle}\\,.}

2. Hasil kali dalam adalah linier pada awalnya argumen. Untuk bilangan kompleks dan ,

   Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\langle ax_1 + bx_2, y\ angle = a\\langle x_1, y\ angle + b\\langle x_2, y\ angle\\,.}

   Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{cases} \\langle x, x\ angle > 0 &x \ eq 0 \\\\ \\langle x, x\ angle = 0 &x = 0\\,. \\end{cases}}

Ini mengikuti dari properti 1 dan 2 bahwa produk dalam kompleks adalah , juga disebut , dalam argumen keduanya, yang berarti bahwa

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\langle x, ay_1 + by_2\ angle = \\bar{a}\\langle x, y_1\ angle + \\bar{b}\\langle x, y_2\ angle\\,.}

didefinisikan dengan cara yang sama, kecuali bahwa  adalah ruang vektor nyata dan hasil kali dalam mengambil bilangan riil. Produk dalam seperti itu adalah peta bilinear dan  akan membentuk sistem ganda.

norma adalah fungsi nilai riil

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\|x\\| = \\sqrt{\\langle x, x \ angle}\\,,}

dan jarak antara dua titik di didefinisikan dalam istilah dari norma oleh

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle d(x, y) = \\|x - y\\| = \\sqrt{\\langle x - y, x - y \ angle}\\,.}

Bahwa fungsi ini adalah fungsi jarak, pertama-tama fungsi ini simetris dalam dan , kedua jarak antara dan itu sendiri nol, dan sebaliknya jarak antara dan harus positif, dan terakhir pertidaksamaan segitiga tahan, artinya panjang salah satu kaki segitiga tidak boleh melebihi jumlah panjang kedua kaki lainnya:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle d(x, z) \\le d(x, y) + d(y, z)\\,.}

Properti terakhir ini pada akhirnya merupakan konsekuensi dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz yang lebih mendasar, yang menegaskan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\bigl|\\langle x, y\ angle\\bigr| \\le \\|x\\|\\,\\|y\\|}

dengan persamaan jika dan hanya jika dan adalah dependen linear.

Dengan fungsi jarak yang ditentukan dengan cara ini, setiap hasil kali dalam adalah ruang metrik, dan terkadang dikenal sebagai . Setiap ruang pra-Hilbert yang juga merupakan ruang kompleks adalah ruang Hilbert.

dari  diekspresikan menggunakan bentuk Kriteria Cauchy untuk urutan dalam : ruang pra-Hilbert  selesai jika setiap urutan Cauchy menyatu sehubungan dengan norma ini ke elemen dalam ruang. Kelengkapan dapat dicirikan oleh kondisi ekivalen berikut: jika serangkaian vektor

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{k=0}^\\infty u_k}

menyatu secara mutlak dalam arti itu

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{k=0}^\\infty\\|u_k\\| < \\infty\\,,}

kemudian deret tersebut menyatu di , dalam arti bahwa jumlah parsial menyatu ke elemen .

Contoh kedua: ruang urutan

Ruang urutan terdiri dari semua urutan tak hingga dari bilangan kompleks sehingga deret

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sum_{n=1}^\\infty |z_n|^2}

menyatu. Produk bagian dalam aktif didefinisikan oleh

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\langle \\mathbf{z}, \\mathbf{w}\ angle = \\sum_{n=1}^\\infty z_n\\overline{w_n}\\,,}

dengan seri terakhir berkumpul sebagai konsekuensi dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz.

Kelengkapan ruang yang dipegang asalkan sederet elemennya berasal konvergen mutlak (dalam norma), lalu menyatu ke elemen . Buktinya adalah dasar dalam analisis matematis, dan memungkinkan deret matematika elemen ruang untuk dimanipulasi dengan kemudahan yang sama seperti deret bilangan kompleks (atau vektor hingga).

Sejarah

Sebelum pengembangan ruang Hilbert, generalisasi lain dari ruang Euklides diketahui matematikawan dan fisikawan. Secara khusus, gagasan tentang ruang linier abstrak (ruang vektor) telah mendapatkan daya tarik menjelang akhir abad ke-19: ini adalah ruang yang elemen-elemennya dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan skalar (riil atau bilangan kompleks) tanpa perlu mengidentifikasi elemen-elemen ini dengan vektor "geometris", seperti vektor posisi dan momentum dalam sistem fisik. Objek lain yang dipelajari oleh ahli matematika pada pergantian abad ke-20, dalam ruang tertentu urutan (termasuk deret) dan ruang fungsi, secara alami dapat dianggap sebagai ruang linier. Fungsi, misalnya, dapat ditambahkan atau dikalikan dengan skalar konstan, dan operasi ini mematuhi hukum aljabar yang dipenuhi oleh penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor spasial.

Pada dekade pertama abad ke-20, perkembangan paralel mengarah pada pengenalan ruang Hilbert. Yang pertama adalah pengamatan, yang muncul selama David Hilbert dan Erhard Schmidt mempelajari persamaan integral, bahwa dua fungsi bernilai nyata square-integrable dan pada interval memiliki produk dalam

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\langle f, g \ angle = \\int_a^b f(x)g(x)\\, \\mathrm{d}x}

yang memiliki banyak sifat familiar dari perkalian titik Euklides. Secara khusus, gagasan tentang keluarga fungsi ortogonal memiliki makna. Schmidt mengeksploitasi kemiripan hasil kali dalam ini dengan hasil kali titik biasa untuk membuktikan analog dari dekomposisi spektral untuk operator bentuk

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle f(x) \\mapsto \\int_a^b K(x, y) f(y)\\, \\mathrm{d}y}

di mana adalah fungsi kontinu yang simetris di dan . Perluasan fungsi eigen yang dihasilkan menyatakan fungsi sebagai rangkaian bentuk

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle K(x, y) = \\sum_n \\lambda_n\\varphi_n(x)\\varphi_n(y)}

dimana fungsi ortogonal dalam arti bahwa maka . Istilah individu dalam seri ini terkadang disebut sebagai solusi produk dasar. Namun, ada perluasan fungsi eigen yang gagal untuk menyatu dalam arti yang sesuai ke fungsi yang dapat diintegrasikan persegi: bahan yang hilang, yang memastikan konvergensi, adalah kelengkapan.

Perkembangan kedua adalah integral Lebesgue, alternatif dari integral Riemann yang diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1904. Integral Lebesgue memungkinkan untuk mengintegrasikan kelas fungsi yang lebih luas. Pada tahun 1907, Frigyes Riesz dan Ernst Sigismund Fischer secara independen membuktikan bahwa ruang of fungsi terintegralkan Lebesgue persegi adalah ruang metrik komplek. Sebagai konsekuensi dari interaksi antara geometri dan kelengkapan, hasil abad ke-19 Joseph Fourier, Friedrich Bessel dan Marc-Antoine Parseval pada deret trigonometri dengan mudah dibawa ke ruang yang lebih umum ini, menghasilkan aparatus geometris dan analitik yang sekarang biasanya dikenal sebagai teorema Riesz–Fischer.

Hasil dasar lebih lanjut dibuktikan pada awal abad ke-20. Misalnya, Teorema representasi Riesz secara independen ditetapkan oleh Maurice Fréchet dan Frigyes Riesz pada tahun 1907. John von Neumann menciptakan istilah ruang Hilbert abstrak dalam karyanya pada Operator Hermitian. Meskipun ahli matematika lain seperti Hermann Weyl dan Norbert Wiener telah mempelajari ruang Hilbert tertentu dengan sangat rinci, sering kali dari sudut pandang motivasi fisik, von Neumann memberikan perlakuan pertama yang lengkap dan aksiomatik terhadap mereka. Von Neumann kemudian menggunakannya dalam pekerjaan penting tentang dasar-dasar mekanika kuantum, dan terus bekerja dengan Eugene Wigner. Nama "ruang Hilbert" segera diadopsi oleh orang lain, misalnya oleh Hermann Weyl dalam bukunya tentang mekanika kuantum dan teori grup.

Signifikansi konsep ruang Hilbert digarisbawahi dengan kesadaran bahwa ia menawarkan salah satu formulasi matematis kuantitatif Singkatnya, status sistem mekanik kuantum adalah vektor di ruang Hilbert tertentu, yang dapat diamati adalah operator pertapa di ruang tersebut, kesimetrian dari sistem adalah operator kesatuan s, dan pengukuran adalah proyeksi ortogonal. Hubungan antara kesimetrian mekanika kuantum dan operator kesatuan memberikan dorongan untuk pengembangan kesatuan teori representasi dari grup dimulai pada tahun 1928 karya Hermann Weyl. Di sisi lain, pada awal tahun 1930-an menjadi jelas bahwa mekanika klasik dapat dijelaskan dalam istilah ruang Hilbert (Mekanika klasik Koopman-von Neumann) dan beberapa sifat klasik sistem dinamis dapat dianalisis menggunakan teknik ruang Hilbert dalam kerangka teori ergodik.

Pelengkap dan proyeksi ortogonal

Jika adalah himpunan bagian dari spasi Hilbert , himpunan vektor ortogonal ke didefinisikan oleh

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle S^\\perp = \\left\\{ x \\in H : \\langle x, s \ angle = 0\\ \\forall s \\in S \ ight\\} \\,.}

adalah subruang tertutup dari  (dapat dibuktikan dengan mudah menggunakan linearitas dan kontinuitas hasil kali dalam) sehingga membentuk ruang Hilbert sendiri. Jika  adalah subruang tertutup dari , maka  disebut  pelengkap ortogonal  dari . Faktanya, setiap  kemudian dapat ditulis secara unik sebagai , dengan  dan . Oleh karena itu,  adalah penjumlahan internal Hilbert dari  dan .

Operator linear yang memetakan ke disebut proyeksi ortogonal ke . Ada korespondensi satu-ke-satu natural antara himpunan semua subruang tertutup dari dan himpunan semua operator adjoint mandiri yang dibatasi dirumuskan .

Maka hal ini memberikan interpretasi geometris dari : itu adalah perkiraan terbaik untuk x dengan elemen V .

Proyeksi dan disebut saling ortogonal jika . Ini setara dengan dan ortogonal sebagai subruang dari . Jumlah dari dua proyeksi dan adalah proyeksi hanya jika dan ortogonal satu sama lain, dan dalam hal itu . Komposit umumnya bukan proyeksi; pada kenyataannya, komposit adalah proyeksi jika dan hanya jika dua proyeksi tersebut berpindah-pindah, dan dalam kasus .

Dengan membatasi codomain ke ruang Hilbert , proyeksi ortogonal memunculkan pemetaan proyeksi ; itu adalah ujung dari pemetaan inklusi

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle i : V \ o H \\,,}

yang berarti bahwa

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\left\\langle i x, y\ ight\ angle_H = \\left\\langle x, \\pi y \ ight\ angle_V}

pada dan .

Norma operator dari proyeksi ortogonal ke subruang tertutup bukan nol sama dengan 1:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\|P_V\\| = \\sup_{x \\in H, x\ ot=0} \\frac{\\|P_V x\\|}{\\|x\\|} = 1 \\,.}

Oleh karena itu, setiap subruang tertutup V dari ruang Hilbert adalah citra operator dari norma satu sehingga . Properti memiliki operator proyeksi yang sesuai menjadi ciri ruang Hilbert:

• Ruang Banach dengan dimensi lebih tinggi dari 2 adalah (secara isometrik) ruang Hilbert jika dan hanya jika, untuk setiap subruang tertutup , terdapat operator dari norma satu yang citranya adalah maka .

Sementara hasil ini mencirikan struktur metrik ruang Hilbert, struktur ruang Hilbert sebagai ruang vektor topologis itu sendiri dapat dicirikan dalam hal keberadaan komponen:

• Spasi Banach secara topologi dan linier isomorfik ke ruang Hilbert jika dan hanya jika, untuk setiap subruang tertutup , ada subruang tertutup sedemikian rupa sehingga sama dengan jumlah langsung internal .

Pelengkap ortogonal memenuhi beberapa hasil yang lebih mendasar. Ini adalah fungsi monoton dalam arti jika , kemudian dengan kepemilikan persamaan jika dan hanya jika terdapat dalam penutupan dari . Hasil ini adalah kasus khusus dari Teorema Hahn–Banach. Penutupan subruang dapat sepenuhnya dicirikan dalam istilah komplemen ortogonal: jika adalah subruang dari , maka penutupan dari sama dengan . Jadi, komplemen ortogonal adalah koneksi Galois pada urutan parsial dari subruang ruang Hilbert. Secara umum, komplemen ortogonal dari sejumlah subruang adalah perpotongan dari komplemen:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\left(\\sum_i V_i\ ight)^\\perp = \\bigcap_i V_i^\\perp \\,.}

Jika juga ditutup, maka

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\overline{\\sum_i V_i^\\perp} = \\left(\\bigcap_i V_i\ ight)^\\perp \\,.}

Teori spektral

Ada teori spektral yang dikembangkan dengan baik untuk operator self-adjoint di ruang Hilbert, yang secara kasar dapat dianalogikan dengan studi matriks simetris pada real atau matriks adjoint sendiri pada bilangan kompleks. Dalam pengertian yang sama, seseorang dapat memperoleh "diagonalisasi" dari operator adjoint sendiri sebagai jumlah yang sesuai (sebenarnya merupakan integral) dari operator proyeksi ortogonal.

Spektrum operator , dilambangkan dengan , adalah himpunan bilangan kompleks sedemikian rupa sehingga tidak memiliki pembalikan terus menerus. Jika dibatasi, maka spektrum selalu merupakan himpunan kompak dalam bidang kompleks, dan terletak di dalam cakram . Jika adalah self-adjoint, maka spektrumnya nyata. Faktanya, itu terkandung dalam interval dimana

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle m = \\inf_{\\|x\\|=1}\\langle Tx, x\ angle \\,,\\quad M = \\sup_{\\|x\\|=1}\\langle Tx, x\ angle \\,.}

Selain itu, dan keduanya sebenarnya berada dalam spektrum.

Eigenpaces dari operator dirumuskan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle H_\\lambda = \\ker(T - \\lambda)\\,.}

Tidak seperti matriks berhingga, tidak setiap elemen spektrum harus berupa nilai eigen: operator linear mungkin hanya kekurangan invers karena tidak surjective. Elemen spektrum operator dalam pengertian umum dikenal sebagai nilai spektral . Karena nilai spektral tidak harus berupa nilai eigen, dekomposisi spektral sering kali lebih halus daripada dalam dimensi yang terbatas.

Namun, teorema spektral dari operator adjoint sendiri mengambil bentuk yang sangat sederhana jika, sebagai tambahan, diasumsikan jadilah operator kompak. teorema spektral untuk operator adjoint kompak menyatakan:

• Operator adjoint mandiri yang ringkas hanya memiliki banyak nilai spektral yang terhitung (atau tak terbatas). Spektrum tidak memiliki titik batas dalam bidang kompleks kecuali mungkin nol. Eigenpaces dari menguraikan menjadi jumlah langsung ortogonal:

  Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle H=\\bigoplus_{\\lambda\\in\\sigma(T)}H_\\lambda \\,.}

jika menunjukkan proyeksi ortogonal ke ruang eigen , then

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle T = \\sum_{\\lambda\\in\\sigma(T)} \\lambda E_\\lambda \\,,}

di mana jumlah tersebut menyatu sehubungan dengan norma di .

Teorema ini memainkan peran fundamental dalam teori persamaan integral, karena banyak operator integral kompak, khususnya yang muncul dari operator Hilbert–Schmidt.

Teorema spektral umum untuk operator self-adjoint melibatkan semacam operator bernilai integral Riemann–Stieltjes, daripada penjumlahan tak terbatas. Keluarga spektral yang terkait dengan terkait dengan setiap bilangan riil λ sebuah operator , yang merupakan proyeksi ke ruang null operator , dengan bagian positif dari operator adjoint ditentukan oleh

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle A^+ = \ frac{1}{2}\\left(\\sqrt{A^2} + A\ ight) \\,.}

Operator Apakah monoton meningkat relatif terhadap urutan parsial yang ditentukan pada operator adjoint sendiri; nilai eigen sama persis dengan diskontinuitas lompatan. Seseorang memiliki teorema spektral, yang menegaskan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle T = \\int_\\mathbb{R} \\lambda\\, \\mathrm{d}E_\\lambda \\,.}

Integral dipahami sebagai integral Riemann–Stieltjes, konvergen sehubungan dengan norma di . Secara khusus, seseorang memiliki representasi integral nilai skalar biasa

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\langle Tx, y\ angle = \\int_{\\mathbb{R}} \\lambda\\,\\mathrm{d}\\langle E_\\lambda x, y\ angle \\,.}

Dekomposisi spektral yang agak mirip berlaku untuk operator normal, meskipun karena spektrum sekarang mungkin berisi bilangan kompleks non-nyata, ukuran Stieltjes yang dihargai operator sebagai gantinya harus diganti dengan resolusi identitas.

Aplikasi utama dari metode spektral adalah teorema pemetaan spektral, yang memungkinkan seseorang untuk diterapkan ke operator adjoint mandiri fungsi kompleks berkelanjutan apa pun yang ditentukan pada spektrum dengan membentuk integral

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle f(T) = \\int_{\\sigma(T)} f(\\lambda)\\,\\mathrm{d}E_\\lambda \\,.}

Kalkulus fungsional berkelanjutan yang dihasilkan memiliki aplikasi khususnya untuk operator pseudodiferensial.

Teori spektral operator self-adjoint tidak terbatas hanya sedikit lebih sulit daripada operator terikat. Spektrum operator tak terbatas didefinisikan dengan cara yang persis sama: adalah nilai spektral jika operator penyelesai

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle R_\\lambda = (T - \\lambda)^{-1}}

gagal menjadi operator berkelanjutan yang terdefinisi dengan baik. Penyesuaian diri masih menjamin bahwa spektrumnya riil. Dengan demikian, gagasan penting untuk bekerja dengan operator tak terbatas adalah untuk melihat resolvent dimana tidak nyata. Ini adalah operator normal terbatas , yang mengakui representasi spektral yang kemudian dapat ditransfer ke representasi spektral dari . Strategi serupa digunakan, misalnya, untuk mempelajari spektrum operator Laplace: daripada menangani operator secara langsung, seseorang malah terlihat sebagai resolvent terkait.

Versi tepat dari teorema spektral dalam kasus ini adalah:

Diketahui operator adjoint mandiri yang didefinisikan secara padat pada spasi Hilbert , terdapat kesamaan resolusi identitas pada himpunan Borel

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\langle Tx, y\ angle = \\int_\\mathbb{R} \\lambda\\,\\mathrm{d}E_{x,y}(\\lambda)}

pada and . Ukuran spektral terkonsentrasi pada spektrum .

Ada juga versi teorema spektral yang berlaku untuk operator normal tak terbatas.

Dalam budaya populer

Thomas Pynchon memperkenalkan karakter fiksi, Sammy Hilbert-Spaess (plesetan dari "ruang Hilbert"), dalam novel tahun 1973, Gravity's Rainbow. Hilbert-Spaess pertama kali digambarkan sebagai "agen ganda di mana-mana" dan kemudian sebagai "setidaknya agen ganda". Novel tersebut sebelumnya telah mereferensikan karya sesama matematikawan Jerman Kurt Gödel Teorema Ketidaklengkapan, yang menunjukkan bahwa Program Hilbert, rencana formal Hilbert untuk menyatukan matematika menjadi satu set aksioma, tidak mungkin.

Catatan

Referensi

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• ; originally published Monografje Matematyczne, vol. 7, Warszawa, 1937.
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .

Pranala luar

• Hilbert space at Mathworld
• 245B, notes 5: Hilbert spaces by Terence Tao

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 24917803 (2023-12-04T08:10:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.