Grup perkalian bilangan bulat modulo n

Berkas:Cyclic group.svg

Cyclic group

Dalam aritmetika modular, himpunan semua bilangan asli yang kurang dari $n$ dan relatif prima dengan $n$ membentuk grup terhadap operasi perkalian modulo $n$, yang dikenal sebagai grup perkalian bilangan bulat modulo . Hal ini ekuivalen dengan memandang setiap elemen dari grup ini sebagai residu (atau kelas ekuivalensi) modulo $n$ yang relatif prima dengan $n$. Akibatnya, nama lain dari grup ini ialah kelas residu primitif modulo .

Dalam teori gelanggang, salah satu cabang ilmu dari aljabar abstrak, grup ini dideskripsikan sebagai grup unit-unit dari gelanggang bilangan bulat modulo . Kata unit disini merujuk kepada elemen yang memiliki invers perkalian, yang pada gelanggang ini, ialah elemen-elemen yang relatif prima dengan $n$.

Grup ini, yang biasa ditulis sebagai $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\times )$ atau ${(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }$, merupakan grup yang fundamental dalam teori bilangan. Grup ini digunakan dalam kriptografi, faktorisasi prima, dan pengujian keprimaan. Grup ini merupakan grup abelian berhingga yang ordenya diperoleh melalui fungsi phi Euler: $$\left|\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\right|=\phi (n)$$ dengan $\left|H\right|$ menyatakan kardinalitas dari himpunan $H$. Jika $n$ merupakan bilangan prima, maka grup ini merupakan grup siklik, dan secara umum, struktur dari grup ini mudah untuk dideskripsikan, tetapi belum diketahui apakan terdapat rumus sederhana untuk menentukan generator dari grup ini.

Notasi

Himpunan dari (kelas-kelas kekongruenan) bilangan bulat modulo $n$ terhadap operasi penjumlahan dan perkalian merupakan gelanggang. Himpunan ini dinotasikan dengan $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ atau $\mathbb{Z}/(n)$. Di luar teori bilangan, seringkali digunakan notasi ${\mathbb{Z}}_n$ yang lebih sederhana, walau mungkin dikelirukan dengan bilangan bulat -adik ketika $n$ merupakan bilangan prima.

Grup perkalian bilangan bulat modulo $n$yaitu grup dari semua unit pada gelanggng inidapat ditulis sebagai ${(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }$, ${(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\ast }$, $\mathrm{U}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$, atau notasi serupa. Artikel ini akan menggunakan notasi ${(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }$.

Struktur grup

Misalkan $N$ menyatakan himpunan kelas-kelas kekongruenan modulo $n$ yang relatif prima dengan $n$. Himpunan $N$ memenuhi semua aksioma dari grup abelian terhadap operasi perkalian modulo $n$.

Lihat juga

• Pemfaktoran kurva eliptik Lenstra

Pranala luar

• Alat berbasis situs web untuk menghitung tabel grup secara interaktif oleh John Jones

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27958731 (2025-10-12T19:30:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.