Ruang metrik lengkap

Dalam analisis matematika, sebuah ruang metrik disebut lengkap (atau ruang Cauchy) jika setiap barisan Cauchy dari titik-titik di memiliki limit yang juga ada di atau, sebagai alternatif, jika setiap barisan Cauchy pada dengan .

Secara intuitif, suatu ruang dikatakan "lengkap" apabila tidak ada "titik yang hilang" darinya (di dalam atau di perbatasan). Misalnya, himpunan bilangan rasional tidak lengkap, karena, sebagai contoh, $\sqrt{2}$ adalah "hilang" darinya, meskipun seseorang dapat membangun suatu barisan Cauchy dari bilangan rasional yang konvergen menuju $\sqrt{2}$ itu (lihat contoh lebih lanjut di bawah). "Semua lubang" pada ruang tak lengkap itu akan selalu dapat diisi, yakni dengan membangun suatu "pelengkap" dari ruang tersebut, seperti yang dijelaskan di bawah ini.

Definisi

Suatu barisan dalam ruang metrik disebut Cauchy apabila untuk setiap positif bilangan riil ada bilangan bulat positif sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat positif ,

.

Konstanta ekspansi dari suatu ruang metrik adalah batas bawah terbesar dari semua konstanta $\mu$ sedemikian sehingga apabila keluarga$\{\bar{B}(x_{\alpha },r_{\alpha })\}$ saling berisisan pasang-demi-pasang, maka irisan $\bigcap _{\alpha }\bar{B}(x_{\alpha },\mu r_{\alpha })$ tidak kosong.

Ruang metrik dikatan lengkap apabila salah satu kondisi yang setara berikut terpenuhi:

1. Setiap barisan Cauchy dari titik-titik di memiliki limit yang juga ada di
2. Setiap barisan Cauchy di konvergen menuju (yaitu, ke beberapa titik ).
3. Konstanta ekspansi adalah ≤ 2.
4. Setiap barisan menurun dari himpunan bagian tertutup tak kosong ditutup dari , dengan diameter cenderung ke 0, memiliki irisan tak kosong: jika tertutup dan tidak kosong, untuk , dan , maka umum untuk semua himpunan .

Contoh

Ruang Q dari bilangan rasional dengan metrik standar yang diberikan oleh nilai mutlak dari selisih bukanlah ruang metrik lengkap. Sebagai contoh, perhatikan barisan dengan dan $x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}.$ Barisan ini adalah barisan bilangan rasional Cauchy, tetapi tidak konvergen menuju limit rasional apa pun: Jika deret itu memang memiliki limit, maka dengan menyelesaikan $x=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$, haruslah x² = 2, tetapi tiada bilangan rasional yang memiliki sifat ini. Namun jika barisan tersebut dianggap sebagai barisan bilangan riil, maka barisan itu konvergen ke bilangan irasional $\sqrt{2}$.

Interval buka , pun dengan metrik nilai mutlak, juga bukan ruang metrik lengkap. Barisan dengan = adalah barisan Cauchy, tetapi tidak memiliki limit dalam ruang yang diberikan. Namun pada interval tertutup interval unit; barisan tersebut memiliki limit dalam interval ini dan limitnya adalah nol.

Ruang R dari bilangan real dan spasi C dari bilangan kompleks (dengan metrik yang diberikan oleh nilai absolut) lengkap, dan begitu pula ruang Euklides Rⁿ, dengan metrik jarak biasa. Sebaliknya, ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga mungkin lengkap atau tidak lengkap; yang lengkap adalah ruang Banach. Ruang C dari fungsi bernilai riil kontinu pada interval tertutup dan terbatas adalah ruang Banach, dan ruang metrik kompleks. Namun norma supremum tidak memberikan norma pada ruang C fungsi kontinu , karena mungkin berisi fungsi tak terbatas. Sebaliknya, dengan topologi konvergensi komplek, C dapat diberikan struktur Ruang Fréchet: ruang vektor topologi cembung lokal yang topologinya dapat diinduksi oleh metrik invarian-translasi lengkap.

Ruang Q_p of bilangan p-adic selesai untuk semua bilangan prima . Ruang ini melengkapi Q dengan p -metrik adic dengan cara yang sama seperti R melengkapi Q dengan metrik biasa.

Jika adalah himpunan arbitrer, maka himpunan tersebut dari semua barisan di menjadi ruang metrik lengkap jika kita menentukan jarak antara barisan dan menjadi , dengan adalah indeks terkecilnya adalah berbeda dari , atau jika tidak ada indeks seperti itu. Spasi ini homeomorfik ke produk dari terhitung jumlah salinan ruang diskrit .

Manifold Riemannian kompleks disebut manifold geodesik; kelengkapan mengikuti dari teorema Hopf–Rinow.

Beberapa teorema

Setiap ruang metrik kompak merupakan ruang metrik lengkap, meskipun ruang lengkap belum perlu kompak. Faktanya, ruang metrik kompak jika dan hanya jika lengkap dan terbatas total. Ini adalah perumuman dari Teorema Heine–Borel, yang menyatakan bahwa setiap subruang tertutup dan berbatas dari Rⁿ kompleks dan karena itu lengkap.

Maka menjadi ruang metrik lengkap. Jika adalah himpunan tertutup, maka . Maka menjadi ruang metrik. Jika adalah subruang kompleks, maka tertutup.

Jika adalah himpunan dan adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan dari semua fungsi terbatas f dari hingga adalah ruang metrik lengkap. Di sini kami mendefinisikan jarak dalam dalam hal jarak di dengan norma supremum

$d(f,g)\equiv sup\{d[f(x),g(x)]:x\in X\}$

Jika adalah ruang topologi dan adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan terdiri dari semua kontinu fungsi yang dibatasi dari hingga adalah subruang tertutup dari S_i \right)</math>.

Jika maka $\mathrm{int}({\cap }_{i\in \mathbb{N}}\mathrm{cl}{S}_i)=\mathrm{int}\mathrm{cl}\left({\cap }_{i\in \mathbb{N}}{S}_i\right)$.

}}

Pelengkap

Untuk setiap ruang metrik M , seseorang dapat membuat ruang metrik lengkap M ′ (yang juga dilambangkan sebagai ), yang berisi M sebagai subruang padat. Ini memiliki sifat universal berikut: jika N adalah spasi metrik lengkap dan f adalah fungsi kontinu seragam dari M hingga N , maka ada tunggal fungsi kontinu seragam f ' dari M ′ ke N. Ruang M 'ditentukan hingga isometri oleh sifat ini (di antara semua ruang metrik lengkap yang secara isometrik mengandung M), dan disebut pelengkap dari M.

Pelengkap M dapat dibangun sebagai satu set kelas ekivalen dari barisan Cauchy di M . Untuk dua barisan Cauchy x = (x_n) dan y = (y_n) di M , kita dapat mendefinisikan jarak mereka sebagai

$d(x,y)=\underset{n}{lim}d(x_n,y_n)$

(Batas ini ada karena bilangan real lengkap.) Ini hanya pseudometrik, belum menjadi metrik, karena dua barisan Cauchy yang berbeda mungkin memiliki jarak 0. Tapi "memiliki jarak 0" adalah relasi ekuivalen pada himpunan semua barisan Cauchy, dan himpunan kelas kesetaraan adalah ruang metrik, pelengkap dari M . Ruang asli disematkan di ruang ini melalui identifikasi elemen x dari M ' dengan kelas ekivalen barisan dalam M yang menyatu dengan x (yaitu, kelas ekivalen yang berisi barisan dengan nilai konstan x ). Ini mendefinisikan isometri ke subruang padat, seperti yang diperlukan. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa konstruksi ini menggunakan secara eksplisit kelengkapan bilangan real, jadi pelengkap bilangan rasional membutuhkan perlakuan sedikit berbeda.

Lihat pula

• Pelengkap (aljabar)
• Teorema Knaster–Tarski

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29298704 (2026-05-31T18:10:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.