Akar bilangan

Berkas:O lok.jpg

nirbing

Dalam matematika, akar pangkat n dari bilangan x adalah suatu bilangan yang apabila dipangkatkan n hasilnya sama dengan x; yaitu suatu bilangan r sedemikian sehingga $r^n=x$ terpenuhi.

Dengan lambang, akar pangkat n dari x sama dengan r dapat ditulis sebagai$$\sqrt[n]{x}=r.$$Dalam hal ini, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \sqrt\right)^n = a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a}

Oleh karena itu akar kuadrat dengan eksponen akar n juga diartikan sebagai eksponen dengan eksponen 1/n:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Akar unik dari bilangan positif

Meskipun pertanyaan yang disebutkan diawal memiliki dua solusi dengan tanda yang berbeda untuk eksponen akar genap dan radikan positif, yang merupakan notasi dengan tanda akar $\sqrt{[}]$ pada dasarnya untuk solusi positif. Misalnya, persamaan $x^2=4$ memiliki dua solusi $x=+2$ dan $x=-2$. Namun, istilah $\sqrt[2]{4}$ memiliki nilai +2 dan yang bukan nilai −2. Oleh karena itu, eksponen tersebut digunakan dalam akar genap

$\sqrt[2n]{x^{2n}}=|x|.$

Akar bilangan negatif

Definisi akar dari bilangan negatif bukan seragam. Maka berlaku, yaitu

$(-2{)}^3=-8,$

dan $-2$ adalah satu-satunya bilangan real kuasa ketiga $-8$. Secara umum, bilangan negatif menghasilkan kuasa ganjil dari bilangan negatif.

Berkenaan dengan akar ganjil dari bilangan negatif, berikut ini diambil:

• Akar dari bilangan negatif umumnya tidak didefinisikan. Misalnya, $\sqrt[3]{-8}$ tidak didefinisikan. Solusi dari persamaan $x^3=-8$ ditulis sebagai $x=-\sqrt[3]{8}$.
• Akar dari bilangan negatif didefinisikan jika eksponen akar adalah bilangan ganjil (3, 5, 7, ...). Untuk bilangan ganjil $2n+1$ adalah

$\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}$.

Definisi ini tidak sesuai dengan beberapa sifat akar yang digunakan untuk radikan positif. Contohnya adalah

$-2=\sqrt[3]{-8}\ne \sqrt[6]{(-8{)}^2}=\sqrt[6]{64}=+2.$

Definisi ini juga tidak melakukan persamaan $\sqrt[k]{a}=a^{\frac{1}{k}}=\exp (\frac{1}{k}\ln (a))$, karena logaritma (secara alamiah) dari bilangan negatif yang tidak didefinisikan (maka, $a$ tetaplah negatif).

Akar kuasa genap dari bilangan negatif tidak berupa bilangan real karena kuasa bilangan real bukanlah negatif. Tidak ada bilangan real $x$, jadi $x^2=-1$ tidak dapat menemukan akar $x=\sqrt[2]{-1}$ yang terletak pada bilangan real. Dibutuhkan akan akar bilangan negatif disebabkan karena pengenalan bilangan kompleks; tetapi, dengan konsep akar pada area bilangan kompleks, terdapat kesulitan tertentu dengan identifikasi yang jelas dari salah satu akar, lihat dibawah.

Akar irasional dari bilangan bulat

Jika $n$ adalah bilangan bulat tidak negatif dan $k$ adalah bilangan bulat positif, jadi $\sqrt[k]{n}$ adalah bilangan bulat atau bilangan irasional. Hal ini dibuktikan dengan menerapkan keunikan faktorisasi prima:

Jika $n\leqq 1$, maka $\sqrt[k]{n}=n$, yaitu bilangan bulat. Jika tidak, faktorisasi prima unik kecuali urutan faktor $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ dengan urutan bilangan prima yang berbeda $p_1,\dots ,p_r$ dan bilangan bulat positif $e_1,\dots ,e_r$. Apakah semua $e_j$ untuk $1\leqq j\leqq r$ habis dibagi $k$, jadi $\sqrt[k]{n}=p_1^{e_1/k}\cdots p_r^{e_r/k}$ adalah bilangan bulat.

Untuk menunjukkannya adalah: Apakah ada setidaknya satu $j$ dengan $1\leqq j\leqq r$, sehingga $e_j$ tidak habis dibagi $k$, maka $\sqrt[k]{n}$ adalah irasional. Bukti irasionalitas tak langsung, juga menyangkal asumsi berlawanan seperti dalam bukti irasional akar 2 dalam Euklides, yang pada dasarnya adalah kasus khusus $n=k=2$ dari pembuktian ini.

Misalkan $\sqrt[k]{n}$ adalah rasional. Kemudian Anda menulis bilangan tersebut sebagai pecahan dari dua bilangan asli $a$ dan $b$:

$\sqrt[k]{n}=\frac{a}{b}$.

Dengan menaikkan persamaan ke kuasa

$n=\frac{a^k}{b^k}$

dan mengikuti

$n{b}^k=a^k$.

Faktorisasi prima $p_j$ muncul pada $a^k$ atau $b^k$, $k$ lebih digunakan daripada $a$ atau $b$, setidaknya dalam perkalian yang dibagi dengan $k$, di mana kemunculan 0 tentu saja diizinkan. Pada $n$ disesuaikan dengan prasyarat pada perkalian $e_j$ yang tidak habis dibagi $k$. Jadi itu tidaklah muncul pada sisi kiri persamaan yang digunakan dalam perkalian yang habis dibagi $k$, tetapi pada bagian sebelah kanannya, dan mendapatkan kontradiksi dengan keunikan faktorisasi prima. Oleh karena itu, $\sqrt[k]{n}$ adalah irasional.

Hukum Akar

Aturan perhitungan untuk akar dihasilkan dari aturan untuk kuasa.

Hukum matematika berikut ini berlaku untuk bilangan positif $a$ dan $b$ dan $n,m,k\in \mathbb{N}$:

• Darab: $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$
• Pembagian/Hasil bagi: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• Iterasi: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$
• Definisi eksponen pecahan: $a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^k$
• Definisi eksponen negatif: $a^{-\frac{k}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{k}{n}}}$
• Dengan radikan yang sama, berikut ini berlaku: $\sqrt[m]{a}\cdot \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}=\sqrt[mn]{a^{m+n}}$

Dengan bilangan negatif $a$ dan $b$, hukum aritmetika ini hanya dapat digunakan, jika $m$ dan $n$ adalah bilangan ganjil. Dalam kasus bilangan kompleks, ia harus dihindari sepenuhnya, atau ekuivalen hanya berlaku dengan pilihan saham sekunder yang sesuai. Dengan kata lain: dalam contoh, akar apa pun (misalnya, nilai utama) dipilih pada sisi kiri, untuk sisi kanan terdapat bilangan sekunder yang sesuai yang memenuhi persamaan—sisi kiri dan kanan berbeda satu akar satuan.

Barisan

Limit barisan berikut ini berlaku:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a}=1$ untuk $a>0$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1$

Ini mengikuti dari pertidaksamaan $n<{(1+\sqrt[2]{\frac{2}{n}})}^n$, yang ditunjukkan dengan bantuan teorema binomial.

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n^k}=1$, di mana $k$ adalah bilangan asli tetap.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (n)}{n}=0$,

seperti dilihat dari representasi eksponensial dari $\sqrt[n]{n}$.

Fungsi akar

Fungsi berikut ini berlaku dalam bentuk

$f:{ℝ}_0^{+}\to {ℝ}_0^{+},x\mapsto \sqrt[n]{x}$ atau $x\mapsto \sqrt[n]{x^m}$

yang disebut juga sebagai fungsi akar. Maka ia adalah fungsi kuasa, yang berlaku $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$.

Identitas dan sifat

Mengekspresikan derajat akar pangkat n dalam bentuk eksponen, seperti dalam $x^{1/n}$, mempermudah manipulasi kuasa dan akar. Jika $a$ adalah bilangan real non-negatif,

$\sqrt[n]{a^m}=(a^m{)}^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n}{)}^m=(\sqrt[n]{a}{)}^m.$

Setiap bilangan non-negatif memiliki tepat satu akar pangkat n real non-negatif, jadi kaidah untuk operasi dengan surd yang melibatkan radikan non-negatif $a$ dan $b$ langsung dalam bilangan real:

$\begin{array}{cc}\sqrt[n]{ab}& =\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}& =\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\end{array}$

Kehalusan dapat terjadi saat mengambil akar pangkat n dari negatif atau bilangan kompleks. Misalnya:

$\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}\ne \sqrt{-1\times -1}=1,$, namun, lebih tepatnya adalah $\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}=i\times i=i^2=-1.$

Karena kaidah $\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ hanya berlaku untuk radikan real non-negatif saja, penerapannya mengarah pada ketaksamaan pada langkah pertama diatas.

Bentuk sederhana dari ekspresi radikal

Ekspresi radikal tak bersarang dikatakan dalam bentuk sederhana jika

1. Tidak ada faktor radikan yang ditulis sebagai kuasa besar atau sama dengan indeks.
2. Tidak ada pecahan di bawah tanda radikal.
3. Tidak ada radikal dalam penyebutnya.

Misalnya, untuk menulis ekspresi akar $\sqrt{\frac{32}{5}}$ dalam bentuk sederhana, kita melanjutkannya sebagai berikut. Pertama, cari kuadrat sempurna di bawah tanda akar kuadrat dan hapus:

$\sqrt{\frac{32}{5}}=\sqrt{\frac{16\times 2}{5}}=4\sqrt{\frac{2}{5}}$

Selanjutnya, ada pecahan di bawah tanda radikal, yang kita ubah sebagai berikut:

$4\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Akhirnya, kita menghapus akar dari penyebut sebagai berikut:

$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}=\frac{4}{5}\sqrt{10}$

Ketika ada penyebut yang melibatkan surd, mungkin menemukan faktor untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan cara menyederhanakan ekspresi. Misalnya menggunakan faktorisasi jumlah dua kubus:

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b}.$

Menyederhanakan ekspresi radikal yang melibatkan radikal tersarang bisa sangat sulit. Misalnya bahwa:

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$

Di atas dapat diturunkan melalui:

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{1+2\sqrt{2}+2}=\sqrt{1^2+2\sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2}=\sqrt{{(1+\sqrt{2})}^2}=1+\sqrt{2}$

Misalkan $r=p/q$, dengan dan berkoprima dan bilangan bulat positif. Maka $\sqrt[n]{r}=\sqrt[n]{p}/\sqrt[n]{q}$ adalah rasional jika dan hanya jika keduanya $\sqrt[n]{p}$ dan $\sqrt[n]{q}$ adalah bilangan bulat, yang berarti bahwa baik dan adalah kuasa ke-n dari beberapa bilangan bulat.

Deret tak hingga

Radikal atau akar yang diwakili oleh deret tak hingga:

$(1+x{)}^{\frac{s}{t}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^n}{x}^n$

dengan $|x|<1$. Ekspresi ini diturunkan dari deret binomial.

Menghitung akar utama

Menggunakan metode Newton

Akar ke-n dari bilangan A dihitung dengan metode Newton. Mulailah dengan tebakan awal x₀ dan kemudian ulangi menggunakan relasi perulangan

$x_{k+1}=\frac{n-1}{n}{x}_k+\frac{A}{n{x}_k^{n-1}}$

until the desired precision is reached. Misalnya, untuk mencari akar kelima dari 34, kita masukkan n = 5, A = 34 dan x₀ = 2 (tebakan awal). 5 iterasi pertama adalah, kira-kira:
x₀ = 2
x₁ = 2.025
x₂ = 2.024397817
x₃ = 2.024397458
x₄ = 2.024397458
Perkiraan x₄ adalah nilai akurat hingga 25 tempat desimal.

Metode Newton dapat dimodifikasi untuk menghasilkan berbagai pecahan kontinu umum untuk akar pangkat n. Misalnya,

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{x^n+y}=x+\frac{y}{n{x}^{n-1}+\frac{(n-1)y}{2x+\frac{(n+1)y}{3n{x}^{n-1}+\frac{(2n-1)y}{2x+\frac{(2n+1)y}{5n{x}^{n-1}+\frac{(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}.$

Perhitungan digit-kali-digit dari akar utama bilangan desimal (basis 10)

Berkas:PascalForDecimalRoots.svg

Segitiga Pascal menunjukkan $P(4,1)=4$.

Membangun perhitungan digit-kali-digit dari akar kuadrat, dapat dilihat bahwa rumus yang digunakan di sana, $x(20p+x)\le c$, atau $x^2+20xp\le c$, mengikuti pola yang melibatkan segitiga Pascal. Untuk akar pangkat n suatu bilangan $P(n,i)$ didefinisikan sebagai nilai elemen $i$ pada baris $n$ dari Segitiga Pascal sehingga $P(4,1)=4$ dapat ditulis ulang ekspresi sebagai $\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^i{x}^{n-i}$. Untuk kenyamanan, seruan hasil dari ekspresi ini $y$. Menggunakan ekspresi yang lebih umum ini, setiap akar utama positif dapat dihitung, digit-kali-digit, sebagai berikut.

Tulis bilangan asli dalam bentuk desimal. Bilangan-bilangan ditulis dengan algoritma pembagian panjang, dan, seperti pada pembagian panjang, akarnya akan ditulis pada baris diatas. Sekarang pisahkan bilangan-bilangan menjadi grup bilangan yang sama dengan akar yang diambil, mulai dari titik desimal dan ke kiri dan kanan. Titik desimal dari akar akan berada diatas titik desimal dari radikan. Satu digit akar akan muncul diatas pada setiap grup digit dari bilangan aslinya.

Dimulai dengan grup digit paling kiri, lakukan prosedur berikut untuk setiap gru0:

1. Mulai dari kiri, turunkan grup bilangan paling signifikan (paling kiri) yang belum digunakan (jika semua digit telah digunakan, tulis "0" berapa kali untuk membuat grup) dan tuliskan dibagian kanan sisa dari langkah sebelumnya (pada langkah pertama, tidak akan ada sisa). Dengan kata lain, kalikan sisanya dengan $10^n$ dan tambahkan digit dari grup berikutnya. Ini akan menjadi nilai saat c.
2. Temukan p dan x, sebagai berikut:
   • Maka $p$ sebagai bagian dari akar yang ditemukan sejauh ini, dengan tidak menggunakan titik desimal apa pun. (Untuk langkah pertama, $p=0$).
   • Tentukan bilangan terbesar $x$ sehingga $y\le c$.
   • Tempatkan digit $x$ sebagai digit berikutnya dari akar, yaitu, bagian atas grup digit yang baru saja Anda turunkan. Jadi p berikutnya akan menjadi p lama dikalikan 10 ditambah x.
3. Kurangi $y$ dari $c$ untuk membentuk sisa baru.
4. Jika sisanya adalah nol dan tidak ada lagi bilangan yang harus diturunkan, maka algoritma telah dihentikan. Jika tidak, kembali ke langkah 1 untuk iterasi lain.

Contoh

Temukan akar kuadrat dari 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56

         01                   10·1·0·1 + 10·2·0·1     ≤      1   <   10·1·0·2   + 10·2·0·2         x = 1
         01                      y = 10·1·0·1   + 10·2·0·1   =  1 +    0   =     1
         00 52                10·1·1·2 + 10·2·1·2     ≤     52   <   10·1·1·3   + 10·2·1·3         x = 2
         00 44                   y = 10·1·1·2   + 10·2·1·2   =  4 +   40   =    44
            08 27             10·1·12·3 + 10·2·12·3   ≤    827   <   10·1·12·4  + 10·2·12·4        x = 3
            07 29                y = 10·1·12·3  + 10·2·12·3  =  9 +  720   =   729
               98 56          10·1·123·4 + 10·2·123·4 ≤   9856   <   10·1·123·5 + 10·2·123·5       x = 4
               98 56             y = 10·1·123·4 + 10·2·123·4 = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Perhitungan algoritma terakhir: Jawabannya adalah 12.34

Cari akar pangkat tiga dari 4192 ke perseratusan terdekat.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000

      004                      10·1·0·1    +  10·3·0·1   + 10·3·0·1    ≤          4  <  10·1·0·2     + 10·3·0·2    + 10·3·0·2     x = 1
      001                         y = 10·1·0·1   + 10·3·0·1   + 10·3·0·1   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  10·1·1·6    +  10·3·1·6   + 10·3·1·6    ≤       3192  <  10·1·1·7     + 10·3·1·7    + 10·3·1·7     x = 6
      003 096                     y = 10·1·1·6   + 10·3·1·6   + 10·3·1·6   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              10·1·16·1   + 10·3·16·1   + 10·3·16·1   ≤      96000  <  10·1·16·2   + 10·3·16·2   + 10·3·16·2    x = 1
          077 281                 y = 10·1·16·1  + 10·3·16·1  + 10·3·16·1  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          10·1·161·2  + 10·3·161·2  + 10·3·161·2  ≤   18719000  <  10·1·161·3  + 10·3·161·3  + 10·3·161·3   x = 2
              015 571 928         y = 10·1·161·2 + 10·3·161·2 + 10·3·161·2 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  10·1·1612·4 + 10·3·1612·4 + 10·3·1612·4 ≤ 3147072000  <  10·1·1612·5 + 10·3·1612·5 + 10·3·1612·5  x = 4
                               Presisi yang diinginkan tercapai:
                               Akar pangkat tiga dari 4192 adalah sekitar 16,12

Perhitungan logaritma

Akar ke-n utama dari bilangan positif dihitung menggunakan logaritma. Dimulai dari persamaan yang mendefinisikan r sebagai akar pangkat n, yaitu $r^n=x,$ dengan x positif dan oleh karena itu akar utamanya r juga positif, satu mengambil logaritma dari kedua sisi (basis logaritma akan dilakukan) untuk mendapatkan

$n{\log }_{b}r={\log }_{b}x\text{oleh karena itu}{\log }_{b}r=\frac{{\log }_{b}x}{n}.$

Akar r dengan mengambil antilog:

$r=b^{\frac{1}{n}{\log }_{b}x}.$

(Catatan: Rumus tersebut menunjukkan kuasa b dengan hasil pembagian, bukan b dikalikan dengan hasil pembagian.)

Untuk kasus di mana x negatif dan n ganjil, ada satu akar real r yang juga negatif. Ini ditemukan dengan mengalikan kedua sisi persamaan yang mendefinisikan dengan 1 untuk mendapatkan $|r{|}^n=|x|,$ kemudian dilanjutkan sebelumnya untuk menemukan |r|, dan menggunakan .

Konstrukbilitas geometris

Matematikawan Yunani kuno tahu bagaimana menggunakan kompas dan penggaris untuk membangun panjang yang sama dengan akar kuadrat dari panjang tertentu, ketika garis satuan panjang diberikan. Pada tahun 1837 Pierre Wantzel membuktikan bahwa akar pangkat n dari panjang tertentu tidak dapat dibangun jika n bukanlah kuasa 2.

Akar kompleks

Setiap bilangan kompleks selain 0 memiliki n akar pangkat n yang berbeda.

Akar kuadrat

Berkas:Imaginary2Root.svg

Akar kuadrat dari i

Dua akar kuadrat dari bilangan kompleks tetap negatif satu sama lain. Misalnya, akar kuadrat dari adalah dan , dan akar kuadrat dari adalah

$\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\text{dan}-\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i).$

Apabila kita menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk polar, maka akar kuadrat memperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari jari-jari dan membagi dua sudut:

$\sqrt{r{e}^{i\theta }}=\pm \sqrt{r}\cdot e^{i\theta /2}.$

Akar utama dari bilangan kompleks dapat dipilih dengan berbagai cara, misalnya

$\sqrt{r{e}^{i\theta }}=\sqrt{r}\cdot e^{i\theta /2}$

yang memperkenalkan cabang potong pafa medan kompleks sepanjang sumbu real positif dengan kondisi , atau sepanjang sumbu real negatif dengan .

Dengan menggunakan cabang pertama(terakhir) potong akar kuadrat utama $\sqrt{z}$ memetakan $z$ ke setengah medan dengan bagian imajiner (real) non-negatif. Cabang potong terakhir diandaikan dalam perangkat lunak matematika seperti Matlab atau Scilab.

Akar satuan

Bilangan 1 memiliki n akar n yang berbeda pada medan kompleks, yaitu

$1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{n-1},$

di mana

$\omega =e^{\frac{2\pi i}{n}}=\cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)$

Akar-akar ini ditempatkan secara merata di sekitar lingkaran satuan pada medan kompleks, sudut yang merupakan kelipatan dari $2\pi /n$. Misalnya, akar kuadrat dari satuan adalah 1 dan −1, dan akar keempat dari satuan adalah 1, $i$, −1, dan $-i$.

Akar ke-n

Setiap bilangan kompleks memiliki n akar pangkat n yang berbeda pada medan kompleks. Maka, ini adalah

$\eta ,\eta \omega ,\eta {\omega }^2,\dots ,\eta {\omega }^{n-1},$

di mana η adalah akar tunggal ke-n, dan 1, ω, ω, ... ω adalah akar akar satuan ke-n. Misalnya, empat akar keempat yang berbeda dari 2 adalah

$\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},\text{dan}-i\sqrt[4]{2}.$

Dalam bentuk polar, akar pangkat n tunggal dapat ditemukan dengan rumus

$\sqrt[n]{r{e}^{i\theta }}=\sqrt[n]{r}\cdot e^{i\theta /n}.$

Di sini r adalah magnitudo (modulus, juga disebut nilai absolut) dari bilangan yang akarnya akan diambil; jika bilangan tersebut dapat ditulis sebagai a+bi maka $r=\sqrt{a^2+b^2}$. Juga, $\theta$ adalah sudut yang dibentuk sebagai salah satu poros pada titik asal berlawanan arah jarum jam dari sumbu horizontal positif ke sinar dari titik asal ke bilangan; yang memiliki sifat $\cos \theta =a/r,$, $\sin \theta =b/r,$, dan $\tan \theta =b/a.$

Dengan demikian, menemukan akar pangkat n pada medan kompleks dibagi menjadi dua langkah. Pertama, besar semua akar pangkat n adalah akar pangkat n dari besaran bilangan asli. Kedua, sudut antara sumbu horizontal positif dan sinar dari titik asal ke salah satu akar pangkat n adalah $\theta /n$, di mana $\theta$ adalah sudut yang didefinisikan dengan cara yang sama untuk bilangan akar yang akan diambil. Selanjutnya, semua n dari akar pangkat n berada pada sudut yang sama jarak satu sama lain.

Jika n adalah genap, akar pangkat n adalah bilangan kompleks, di mana terdapat bilangan genap, datanglah berpasangan aditif invers, sehingga jika suatu bilangan r₁ adalah salah satu akar pangkat n maka r₂ = –r₁ adalah lainnya. Ini karena menaikkan koefisien yang terakhir -1 ke kuasa ke-n untuk genap n menghasilkan 1: yaitu, (–r₁) = (–1) × r₁ = r₁.

Seperti halnya akar kuadrat, rumus atas tidak mendefinisikan fungsi kontinu untuk seluruh medan kompleks, tetapi memiliki cabang potong pada titik di mana θ / n adalah takkontinu.

Menyelesaikan polinomial

Salah satu konjektur bahwa semua persamaan polinomial sebagai penyelesaian aljabar (yaitu, bahwa semua akar dari polinomial dinyatakan dalam jumlah hingga radikal dan operasi dasar). Namun, sementara ini berlaku untuk polinomial derajat ketiga (kubik) dan polinomial derajat keempat (kuartik), Teorema Abel–Ruffini (1824) menunjukkan bahwa ini tidak benar secara umum ketika derajatnya 5 atau lebih besar. Misalnya, solusi persamaan

$x^5=x+1$

tidak dinyatakan dalam bentuk radikal. (cf. persamaan kuintik)

Bukti irasionalitas untuk kuasa ke-n taksempurna x

Asumsikan bahwa $\sqrt[n]{x}$ adalah rasional. Artinya, mereduksi menjadi pecahan $\frac{a}{b}$, di mana dan adalah bilangan bulat tanpa faktor persekutuan.

Ini berarti bahwa $x=\frac{a^n}{b^n}$.

Karena x adalah bilangan bulat, $a^n$ dan $b^n$ harus memiliki faktor persekutuan jika $b\ne 1$. Ini berarti jika $b\ne 1$, $\frac{a^n}{b^n}$ tidak dalam bentuk sederhana. Jadi b harus sama dengan 1.

Karena $1^n=1$ dan $\frac{n}{1}=n$, $\frac{a^n}{b^n}=a^n$.

Ini berarti $x=a^n$ dan dengan demikian, $\sqrt[n]{x}=a$. Maka, ini menyatakan bahwa $\sqrt[n]{x}$ adalah bilangan bulat. Karena x bukanlah kuasa ke-n sempurna, kemungkinan tidak. Jadi $\sqrt[n]{x}$ adalah irasional.

Sejarah

Istilah kuno untuk operasi pengambilan akar n adalah radikasi.

Lihat pula

• Algoritma akar pangkat n
• Geseran algoritma akar pangkat n
• Simbol radikal
• Bilangan aljabar
• Radikal tersarang
• Akar kedua belas dari dua
• Superakar

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28472659 (2025-11-14T03:27:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.