Lompat ke isi

Faktor persekutuan terbesar: Perbedaan antara revisi

Ensiklopedia Pengetahuan Universitas Islam Sultan Agung

Maintenance script (bicara | kontrib)

37.993 suntingan
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.993 suntingan
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27821384; atribusi sumber disertakan.
 
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.993 suntingan
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi
 
Baris 1: Baris 1:
[[File:24x60.svg|thumb|right|280px|Lantai berukuran 24 kali 60, dapat dipotong menjadi persegi berukuran 12 kali 12. Secara umum, persegi panjang dengan ukuran a kali b dapat dibagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi c jika c adalah faktor persekutuan dari a dan b]]
Dalam [[matematika]], '''faktor persekutuan terbesar''' (FPB) dari dua [[bilangan bulat]] adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama [[Pembagi|membagi habis]] kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.
Dalam [[matematika]], '''faktor persekutuan terbesar''' (FPB) dari dua [[bilangan bulat]] adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama [[Pembagi|membagi habis]] kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.


Baris 8: Baris 10:
Suatu bilangan <math>c</math> disebut faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> jika <math>c</math> habis membagi bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> sekaligus.
Suatu bilangan <math>c</math> disebut faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> jika <math>c</math> habis membagi bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> sekaligus.


Suatu bilangan <math>d</math> disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:
Suatu bilangan <math>d</math> disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:<ref>Sukirman. ''Teori Bilangan''. Universitas Terbuka. 2016. ISBN 978-602-392-047-1.</ref>


* <math>d</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math>; dan
* <math>d</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math>; dan
* jika <math>c</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> maka berlaku <math>c\leq d</math>
* jika <math>c</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> maka berlaku <math>c\leq d</math>


bilangan <math>d</math> ditulis sebagai <math>FPB(a,b)</math> atau <math>(a,b)</math>.
bilangan <math>d</math> ditulis sebagai <math>FPB(a,b)</math><ref>''Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A''. Tim KTO Matematika. 2023.</ref> atau <math>(a,b)</math>.<ref>Sukirman. ''Teori Bilangan''. Universitas Terbuka. 2016. ISBN 978-602-392-047-1.</ref>


=== Peristilahan ===
=== Peristilahan ===
Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti '''pembagi persekutuan terbesar,''' atau '''pembagi bersama terbesar''', dilambangkan dengan <math>\text{PBT}(a,b)</math>. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi <math>\text{gcd}(a,b)</math>, berasal dari bahasa Inggris '''greatest common divisor'''.
Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti '''pembagi persekutuan terbesar,'''<ref>Achmad Arifin. ''Aljabar''. Penerbit ITB. 2000. ISBN 979-9299-13-6.</ref> atau '''pembagi bersama terbesar''',<ref>Wono Setya Budhi. ''Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika''. Ricardo. 2006. ISBN 979-98175-0-1.</ref> dilambangkan dengan <math>\text{PBT}(a,b)</math>. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi <math>\text{gcd}(a,b)</math>, berasal dari bahasa Inggris '''greatest common divisor'''.<ref>Eka Susilowati. ''Teori Bilangan''. Matematika. 2017.</ref>


== Contoh ==
== Contoh ==
* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>
* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>
* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>
* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>
Baris 26: Baris 27:


== Perhitungan FPB ==
== Perhitungan FPB ==
=== Faktorisasi prima ===
=== Faktorisasi prima ===
FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari [[faktorisasi prima]] bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor
FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari [[faktorisasi prima]] bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor


diperoleh <math>60 = {\color{red}{2}}^2 \times {\color{red}{3}} \times 5</math> dan <math>24 = {\color{red}{2}}^3 \times {\color{red}{3}}</math>. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, <math>\operatorname{FPB}(60,24) = 2^2 \times 3 = 12</math>.
diperoleh <math>60 = {\color{red}{2}}^2 \times {\color{red}{3}} \times 5</math> dan <math>24 = {\color{red}{2}}^3 \times {\color{red}{3}}</math>. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, <math>\operatorname{FPB}(60,24) = 2^2 \times 3 = 12</math>.


=== Algoritma Euklides ===
=== Algoritma Euklides ===
Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan <math>a</math> dan '''<math>b</math>''' adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:<pre>
Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan <math>a</math> dan '''<math>b</math>''' adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:<pre>
1. masukkan nilai a dan b;
1. masukkan nilai a dan b;
Baris 58: Baris 56:


== Koprima ==
== Koprima ==
 
Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html Greatest Common Divisor]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref>
Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.
== Penerapan ==
== Penerapan ==
=== Menyederhanakan pecahan ===
=== Menyederhanakan pecahan ===
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan. Sebagai contoh, pecahan <math>\frac{4}{8}</math> dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan.<ref>[https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html Greatest Common Factor]. ''www.mathsisfun.com''.</ref> Sebagai contoh, pecahan <math>\frac{4}{8}</math> dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai


: <math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>.
: <math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>.


=== Kelipatan persekutuan terkecil ===
=== Kelipatan persekutuan terkecil ===
 
Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.<blockquote><math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html Least Common Multiple]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref></blockquote>
Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.<blockquote><math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.</blockquote>


== Lihat pula ==
== Lihat pula ==
* [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK)
* [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK)
== Rujukan ==


== Referensi ==
<references />


== Sumber dan atribusi ==


== Sumber dan atribusi ==
Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktor+persekutuan+terbesar&oldid=27821384 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27821384 (2025-09-14T03:01:30Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktor+persekutuan+terbesar&oldid=27821384 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27821384 (2025-09-14T03:01:30Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 22.59

Lantai berukuran 24 kali 60, dapat dipotong menjadi persegi berukuran 12 kali 12. Secara umum, persegi panjang dengan ukuran a kali b dapat dibagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi c jika c adalah faktor persekutuan dari a dan b

Dalam matematika, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama membagi habis kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.

Dua bilangan atau lebih disebut saling prima jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan bilangan prima)

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam aritmetika dan teori bilangan.

Definisi

Suatu bilangan c disebut faktor persekutuan bilangan a dan b jika c habis membagi bilangan a dan b sekaligus.

Suatu bilangan d disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:[1]

  • d faktor persekutuan bilangan a dan b; dan
  • jika c faktor persekutuan bilangan a dan b maka berlaku c≤d

bilangan d ditulis sebagai FPB(a,b)[2] atau (a,b).[3]

Peristilahan

Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti pembagi persekutuan terbesar,[4] atau pembagi bersama terbesar,[5] dilambangkan dengan PBT(a,b). Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi gcd(a,b), berasal dari bahasa Inggris greatest common divisor.[6]

Contoh

  • Faktor dari 12 adalah 1,2,3,4,6,12
  • Faktor dari 20 adalah 1,2,4,5,10,20

Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan FPB⁡(12,20)=4.

Perhitungan FPB

Faktorisasi prima

FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari faktorisasi prima bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor

diperoleh 60=22×3×5 dan 24=23×3. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, FPB⁡(60,24)=22×3=12.

Algoritma Euklides

Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:

1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
   u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
   v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;

Sifat

Untuk sebarang bilangan bulat a,b,c, dengan |a| adalah nilai multak dari a, berlaku:

  • Sifat komutatif, yaitu FPB⁡(a,b)=FPB⁡(b,a).
  • Sifat asosiatif, yaitu FPB⁡(a,b,c)=FPB⁡(a,FPB⁡(b,c))=FPB⁡(FPB⁡(a,b),c).
  • Sifat distributif, yaitu FPB⁡(ac,bc)=c⋅FPB⁡(a,b)
  • Jika c faktor persekutuan a dan b, maka c∣FPB⁡(a,b), dan FPB⁡(ac,bc)=FPB⁡(a,b)c, sehingga jika d=FPB⁡(a,b) maka FPB⁡(ad,bd)=1
  • FPB⁡(±a,±b)=FPB⁡(b,a)
  • FPB⁡(a,b)=FPB⁡(a,b−a)=FPB⁡(a,b+a)=FPB⁡(a,b−ca)
  • FPB⁡(a,0)=|a|
  • FPB⁡(a,1)=1
  • Untuk sebarang bilangan bulat positif a,b, FPB⁡(a,b)=b jika dan hanya jika b habis membagi a.

Koprima

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.[7]

Penerapan

Menyederhanakan pecahan

Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan.[8] Sebagai contoh, pecahan 48 dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari 4 dan 8 adalah FPB⁡(4,8)=2. Kita tuliskan sebagai

48=2×22×4=12.

Kelipatan persekutuan terkecil

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.

KPK⁡(a,b)=abFPB⁡(a,b).[9]

Lihat pula

Referensi

  1. ↑ Sukirman. Teori Bilangan. Universitas Terbuka. 2016. ISBN 978-602-392-047-1.
  2. ↑ Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A. Tim KTO Matematika. 2023.
  3. ↑ Sukirman. Teori Bilangan. Universitas Terbuka. 2016. ISBN 978-602-392-047-1.
  4. ↑ Achmad Arifin. Aljabar. Penerbit ITB. 2000. ISBN 979-9299-13-6.
  5. ↑ Wono Setya Budhi. Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika. Ricardo. 2006. ISBN 979-98175-0-1.
  6. ↑ Eka Susilowati. Teori Bilangan. Matematika. 2017.
  7. ↑ Eric W. Weisstein. Greatest Common Divisor. mathworld.wolfram.com.
  8. ↑ Greatest Common Factor. www.mathsisfun.com.
  9. ↑ Eric W. Weisstein. Least Common Multiple. mathworld.wolfram.com.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27821384 (2025-09-14T03:01:30Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Diperoleh dari "https://wiki.unissula.ac.id/index.php?title=Faktor_persekutuan_terbesar&oldid=8192"