Turunan

Tangent to a curve

Dalam matematika, turunan atau derivatif dari sebuah fungsi adalah cara mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan pada nilai variabelnya. Sebagai contoh, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu mengukur kecepatan benda bergerak ketika waktu berjalan. Turunan adalah alat penting dalam kalkulus.

Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah kemiringan dari garis singgung dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah hampiran (aproksimasi) linear terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai transformasi linear, dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran linear dari grafik fungsi multivariabel tersebut. Matriks Jacobi adalah matriks yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu basis yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan turunan parsial dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor gradien.

Proses menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan proses ini disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus menyatakan hubungan diferensiasi dengan integrasi. Turunan dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus satu-variabel.

Konsep turunan fungsi yang universal banyak digunakan dalam berbagai cabang matematika maupun bidang ilmu yang lain. Dalam bidang ekonomi, turunan digunakan untuk menghitung biaya marginal, total penerimaan, dan biaya produksi. Bidang biologi menggunakan turunan untuk menghitung laju pertumbuhan mikroorganisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang geografi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk, dan masih banyak lagi.

Definisi

Sebagai limit suatu fungsi

Suatu fungsi dengan variabel real $f(x)$ dapat dikatakan terdiferensialkan (atau dapat diturunkan) di suatu titik $a$ dari domain fungsi, apabila domain tersebut memiliki suatu interval terbuka yang mengandung , dan limit $$L=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ada. Definisi ini dapat dijabarkan lebih cermat lagi ke dalam definisi limit menggunakan epsilon-delta: untuk suatu bilangan real positif , terdapat bilangan real positif $\delta$ sehingga, untuk tiap $h$ sehingga $|h|<\delta$ dan $h\ne 0$, maka $f(a+h)$ didefinisikan sebagai$$|L-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}|<\epsilon .$$Pada pertidaksamaan di atas, dua garis vertikal menyatakan nilai mutlak.

Apabila fungsi $f$ terdiferensialkan di titik , dalam artian, jika $L$ itu ada, maka limit tersebut dinamakan turunan dari $f$ di . Ada beberapa banyak notasi untuk turunan. Turunan dari $f$ di $a$ dapat dilambangkan atau . Lihat ' di bawah. Apabila $f$ adalah suatu fungsi yang memiliki turunan di setiap titik di dalam domainnya, maka suatu fungsi dapat didefinisikan dengan memetakan tiap titik $x$ ke nilai dari turunan dari $f$ di . Fungsi tersebut dituliskan $f^{\prime }$ dan dinamakan turunan fungsi atau turunan dari . Fungsi $f$ kadangkala mempunyai turunan di, paling banyak tapi tidak semua, titik dari domainnya. Fungsi yang nilainya di $a$ sama dengan $f^{\prime }(a)$ ketika $f^{\prime }(a)$ didefinisikan, dan fungsi yang nilainya selain $a$ itu tidak didefinisikan juga dinamakan turunan dari . Masih merupakan suatu fungsi, tetapi domainnya mungkin lebih kecil daripada domain dari .

Sebagai contoh, misalkan $f$ adalah fungsi kuadrat . Maka perhitungan pembagian menurut definisi turunan adalah $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=2a+h.$$Pembagian pada langkah terakhir adalah benar selama . Semakin $h$ mendekati ke , ekspresi tersebut semakin dekat ke nilai . Limitnya ada, dan untuk setiap input $a$ limitnya adalah . Jadi, turunan dari fungsi kuadrat adalah dua kali lipatnya fungsi linear .

Rasio pada definisi turunan merupakan kemiringan garis yang melalui dua titik pada grafik fungsi . Kedua titik tersebut adalah $(a,f(a))$ dan . Saat $h$ dibuat menjadi lebih kecil, titik-titik tersebut akan semakin mendekat, dan kemiringan garis tersebut mendekati nilai limit, yakni kemiringan garis yang menyinggung grafik fungsi $f$ di . Dengan kata lain, turunan adalah kemiringan garis singgung suatu fungsi.

Menggunakan infinitesimal

Salah satu cara memandang turunan $\frac{df}{dx}(a)$ sebagai rasio suatu perubahan infinitesimal dalam nilai keluaran fungsi $f$ dengan perubahan infinitesimal dalam nilai masukannya. Supaya intuisi ini terlihat cermat, diperlukan sistem berupa kumpulan aturan yang memanipulasi kuantitas infinitesimal. Sistem bilangan hiperreal memperlakukan kuantitas tak hingga dan infinitesimal. Hiperreal adalah bentuk perluasan bilangan real yang mengandung bilangan-bilangan yang lebih besar daripada bilangan apa saja dari bentuk $1+1+\cdots +1$ untuk sebarang jumlah suku yang terhingga. Bilangan-bilangan demikian adalah tak hingga, dan invers perkalian dari bilangan-bilangan tersebut adalah infinitesimal. Penerapan bilangan hiperreal ke fondasi kalkulus dinamakan analisis nonstandar. Dengan cara ini, konsep-konsep dasar seperti turunan dan integral dapat didefinisikan menggunakan infinitesimal, sehingga memberikan makna yang akurat untuk $d$ dalam notasi Leibniz. Dengan demikian, turunan dari $f(x)$ dapat ditulis ulang menjadi$$f^{\prime }(x)=\mathrm{st}\left(\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\right)$$untuk sebarang infinitesimal . Lambang $\mathrm{st}$ mengartikan , yang "membulatkan" tiap bilangan hiperreal terhingga ke bilangan real terdekat. Ambil contoh tadi, $f(x)=x^2$, maka, $$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\mathrm{st}\left(\frac{x^2+2x\cdot dx+(dx{)}^2-x^2}{dx}\right)\\ & =\mathrm{st}\left(\frac{2x\cdot dx+(dx{)}^2}{dx}\right)\\ & =\mathrm{st}(\frac{2x\cdot dx}{dx}+\frac{(dx{)}^2}{dx})\\ & =\mathrm{st}(2x+dx)\\ & =2x.\end{array}$$

Kekontinuan dan keterdiferensialan

Jika $f$ terdiferensialkan di , maka $f$ juga kontinu di . Sebagai contoh, pilih titik $a$ dan misalkan $f$ adalah fungsi tangga yang kembali ke nilai 1 untuk suatu $x$ yang lebih kecil daripada , dan kembali ke nilai yang berbeda 10 untuk semua $x$ yang lebih besar daripada sama dengan . Fungsi $f$ tidak dapat memiliki turunan di . Jika $h$ negatif, maka $a+h$ berada di bagian bawah langkah tangga, sehingga garis sekan dari $a$ ke $a+h$ menjadi sangat curam. Saat $h$ mendekati ke nol, garis miring cenderung menuju ke tak terhingga. Jika $h$ positif, maka $a+h$ berada di bagian atas langkah tangga, sehingga garis sekan dari $a$ ke $a+h$ mempunyai kemiringan nol. Akibatnya, garis sekan tidak mendekati garis kemiringan satu pun, sehingga limit dari selisih hasil pembagian tidak ada. Meskipun kontinu di suatu titik, suatu fungsi tidak dapat terdiferensialkan di titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi nilai mutlak $f(x)=|x|$ kontinu di , tetapi tidak terdiferensialkan di titik tersebut. If $h$ is positive, maka kemiringan garis sekan dari $0$ ke $h$ adalah . Jika $h$ negatif, maka kemiringan garis sekan dari $0$ ke $h$ adalah . Gambar fungsi grafiknya terlihat seperti terputus di . Bahkan suatu fungsi dengan grafik yang mulus tidak terdiferensialkan di suatu titik yang garis singgungnya vertikal: Sebagai contoh, fungsi $f(x)=x^{1/3}$ tidak terdiferensialkan di . Kesimpulannya adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan adalah kontinu, tetapi terdapat fungsi kontinu yang tidak mempunyai turunan.

Sebagian besar fungsi pada prakteknya memiliki turunan di semua titik atau hampir setiap titik. Pada awal mula sejarah kalkulus, banyak matematiawan yang mengasumsi bahwa suatu fungsi kontinu terdiferensialkan di banyak titik. Pada keadaan tersebut, pernyataan bahwa suatu fungsi adalah monoton atua Lipschitz adalah benar. Namun pada tahun 1872, Weierstrass menemukan contoh fungsi yang kontinu dimanapun tapi tidak terdiferensialkan dimanapun. Contoh tersebut sekarang dikenal sebagai fungsi Weierstrass. Pada tahun 1931, Stefan Banach membuktikan bahwa himpunan fungsi yang mempunyai turunan di suatu titik adalah himpunan ramping di ruang yang mengandung semua fungsi kontinu. Kasarnya, ini berarti bahwa hanya sebarang fungsi kontinu acak yang memiliki turunan, bahkan, di satu titik.

Notasi

Cara umum menulis turunan suatu fungsi adalah menggunakan notasi Leibniz, yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1675. Notasi itu menyatakan turunan sebagai hasil bagi dari dua diferensial, umumnya $dy$ dan . Notasi ini masih digunakan pada umumnya ketika persamaan $y=f(x)$ dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel dependen dan independen. Turunan tingkat pertama dilambangkan sebagai $\frac{dy}{dx}$. Turunan ini sebagai gantinya dapat diperlakukan sebagai penerapan operator diferensial ke suatu fungsi, $\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(x).$ Turunan tingkat tinggi dapat diekspresikan menggunakan notasi $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$ untuk turunan tingkat ke-$n$ dari . Notasi ini merupakan singkatan untuk banyak penerapan operator turunan, seperti $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}f(x)).$ Tidak seperti notasi lainnya, notasi Leibniz melibatkan penjelasan secara terang-terangan mengenai variabel untuk turunan di penyebut, yang menghilangkan keambiguan ketika mengerjakan banyak kuantitas yang saling berkaitan. Turunan dari fungsi komposisi dapat dinyatakan menggunakan aturan rantai: apabila $u=g(x)$ dan $y=f(g(x))$, maka $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$.

Adapun notasi lain untuk turunan adalah dengan menggunakan simbol prima pada notasi fungsi . Notasi ini diperkenalkan oleh Joseph-Louis Lagrange. Turunan pertama ditulis . Sama halnya untuk turunan tingkat kedua dan ketiga, masing-masing $f^{″}$ dan . Untuk menuliskan lambang turunan tingkat tinggi sulit untuk dilakukan, sehingga banyak penulis menggunakan bilangan Romawi dalam bentuk superskrip, dan adapula yang menuliskan angka di dalam tanda kurung, seperti $f^{\mathrm{i}\mathrm{v}}$ atau $f^{(4)}$. Untuk lambang tadi, turunan tingkat ke- dari dapat ditulis $f^{(n)}$.

Notasi Newton, oleh Isaac Newton, menggunakan titik di atas simbol untuk menyatakan turunan waktu. Apabila $y$ adalah suatu fungsi dari , maka turunan pertama dan kedua masing-masing ditulis $\dot{y}$ dan <nmath> \ddot{y} </math>. Notasi ini digunakan secara khusus untuk turunan terhadap waktu atau panjang busur. Biasanya, notasi ini digunakan dalam persamaan diferensial di fisika dan geometri diferensial. Akan tetapi, notasi Newton menjadi sukar digunakan untuk turunan tingkat tinggi (untuk orde 4 atau lebih) dan tidak dapat digunakan pada banyaknya variabel independen.

Terdapat notasi yang menggunakan simbol sebagai operator diferensial. Turunan pertama adalah $Df(x)$ dan turunan tingkat tinggi ditulis ke dalam superskrip, sehingga turunan ke-$n$ adalah . Notasi ini kadangkala dinamakan notasi Euler, walaupun tampaknya Leonhard Euler tidak menggunakannya, dan malahan notasi ini diperkenalkan oleh Louis François Antoine Arbogast. Untuk mengindikasikan turunan parsial, variabel yang terdiferensialkan dituliskan dalam bentuk subskrip. Sebagai contoh, misalkan fungsi , maka turunan parsial terhadap $x$ dapat ditulis $D_{x}u$ atau . Turunan parsial tingkat tinggi dapat ditulis dalam bentuk superskrip atau banyak subskrip, seperti $D_{xy}f(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial }{\partial x}f(x,y))$ dan .

Kaidah dalam menentukan turunan fungsi

Definisi turunan dapat digunakan untuk menentukan turunan suatu fungsi, seperti $x^n$ dan $\sin (x)$. Proses ini dilakukan membuat persamaan perbandingan beda, lalu menghitung limitnya. Tapi pada praktiknya proses ini sering kali melelahkan. Dalam pendidikan terkait kalkulus diferensial, proses ini hanya dilakukan pada awal pembelajaran. Selanjutnya, menentukan turunan fungsi dilakukan dengan merujuk pada tabel/daftar turunan fungsi yang umum maupun dengan menggunakan aturan-aturan turunan.

Kaidah untuk fungsi-fungsi dasar

Setiap aturan pada bagian ini dapat dihasilkan dengan membuat persamaan beda, lalu menghitung limit $h\to 0$. Proses tersebut memerlukan strategi yang berbeda untuk mendapatkan hasil turunan, tergantung jenis fungsinya. Pada bagian ini, $a$ berupa bilangan real.

• Turunan pangkat:

  $\frac{d}{dx}{x}^a=a{x}^{a-1}.$

  $\frac{d}{dx}{x}^a=\frac{d}{dx}x\cdot a\cdot x^{a-1}$

• Turunan implisit:

Contoh 1: mencari turunan dy/dx dari:

$x^3+3x+2=y^2$

dapat dilakukan dengan cara berikut:

$\to \frac{d}{dx}(x^3+3x+2)=\frac{d}{dx}(y^2)$

$\to \frac{d}{dx}{x}^3+\frac{d}{dx}3x+\frac{d}{dx}2=\frac{d}{dx}{y}^2$

$\to 3x^2+3=\frac{d}{dx}\frac{dy}{dy}{y}^2$

$\to 3x^2+3=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}{y}^2$

$\to 3x^2+3=\frac{dy}{dx}2y$

$\to \frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+3}{2y}$

Contoh 2: mencari turunan dx/dy dari:

$x^3+3x+2=y^2$

dapat dilakukan dengan cara berikut:

$\to \frac{d}{dy}{x}^3+\frac{d}{dy}3x+\frac{d}{dy}2=\frac{d}{dy}{y}^2$

$\to \frac{d}{dy}\frac{dx}{dx}{x}^3+\frac{d}{dy}\frac{dx}{dx}3x=2y$

$\to \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}{x}^3+\frac{dx}{dy}\frac{d}{dx}3x=2y$

$\to \frac{dx}{dy}3x^2+\frac{dx}{dy}3=2y$

$\to \frac{dx}{dy}=\frac{2y}{3x^2+3}$

• Fungsi eksponensial dan logaritma:

  $\frac{d}{dx}{e}^x=e^x.$

  $\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln (a),a>0$

  $\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x},x>0.$

  $\frac{d}{dx}{\log }_a(x)=\frac{1}{x\ln (a)},x,a>0$

• Fungsi trigonometri:

  $\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x).$

  $\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x).$

  $\frac{d}{dx}\tan (x)={\sec }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x).$

• Fungsi invers trigonometri:

  $\frac{d}{dx}\arcsin (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},-1<x<1.$

  $\frac{d}{dx}\arccos (x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},-1<x<1.$

  Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}}

Kaidah untuk fungsi komposit

Beberapa aturan berikut dapat digunakan untuk menentukan turunan komposisi fungsi dengan membaginya menjadi masalah-masalah turunan yang lebih sederhana. Pada bagian ini, $f$, $g$, dan $h$ adalah fungsi yang terdiferensialkan pada selang $I$.

• Aturan konstanta:

  $f^{\prime }(x)=0.$ untuk $f(x)$ berupa fungsi konstan.

• Kaidah jumlah:

  $(\alpha f+\beta g{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }+\beta g^{\prime }$ untuk semua fungsi dan , dan untuk semua bilangan real $\alpha$ dan $\beta$.

• Kaidah darab:

  $(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$ untuk semua fungsi dan . Aturan ini mencakup kasus yang istimewa, yakni fakta bahwa $(\alpha \cdot f{)}^{\prime }=\alpha \cdot f^{\prime }$ dengan $\alpha$ berupa konstanta. Karena menurut aturan konstanta, $(\alpha \cdot f{)}^{\prime }=\alpha \cdot f^{\prime }+{\alpha }^{\prime }\cdot f=\alpha \cdot f^{\prime }+0\cdot f=\alpha \cdot f^{\prime }$.

• Kaidah hasil-bagi:

  $\left(\frac{g}{h}\right)=\frac{g^{\prime }\cdot h-g\cdot h^{\prime }}{h^2}$ untuk semua fungsi $g$ dan $h$, di semua titik $x$ di $I$ yang memenuhi $h(x)\ne 0$. Pada kasus $g$ berupa fungsi konstan bernilai $1$, akan didapatkan hubungan $\left(\frac{1}{h}\right)=\frac{-h^{\prime }}{h^2}$

• Aturan rantai untuk komposisi fungsi:

  Jika fungsi $h$ terdiferensialkan pada selang $I_1$, dan fungsi $g$ terdiferensialkan pada selang $I_2=h(I_1)$ ($I_2$ adalah citra dari $I_1$ yang dihasilkan fungsi $h$), maka komposisi fungsi $g\circ h$ terdiferensialkan di $I_1$ dan

  $(g\circ h{)}^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x).$

• Kaidah fungsi invers:

  Jika fungsi $f$ bersifat bijektif, dan $f^{-1}$ adalah invers dari fungsi tersebut, maka

  $[f^{-1}{]}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}$

  Hubungan ini berlaku sembarang titik $x$ yang memenuhi $f^{\prime }(f^{-1}(x))\ne 0$

Contoh perhitungan

Turunan dari fungsi

$f(x)=x^4+\sin \left(x^2\right)-\ln (x)e^x+7$

dapat dilakukan dengan pertama kali menerapkan kaidah jumlah; turunan dari penjumlahan fungsi-fungsi sama dengan penjumlahan dari turunan fungsi-fungsi:

$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^4)+\frac{d}{dx}(\cos \left(x^2\right))-\frac{d}{dx}(e^x)-\frac{d}{dx}(\ln (x)e^x)+\frac{d}{dx}(7)$$Tahap selanjutnya adalah menghitung turunan dari masing-masing fungsi. Kaidah rantai digunakan untuk menentukan turunan dari $\cos (x^2)$, sedangkan kaidah darab digunakan untuk menentukan turunan $\ln (x)e^x$:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =4x^{(4-1)}+\frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos \left(x^2\right)-\frac{d(\ln x)}{dx}{e}^x-\ln (x)\frac{d\left(e^x\right)}{dx}+0\\ & =4x^3+2x\cos \left(x^2\right)-\frac{1}{x}{e}^x-\ln (x)e^x.\end{array}$

Turunan tingkat tinggi

Misalkan $f$ adalah fungsi terdiferensialkan, dan $f^{\prime }$ adalah fungsi turunannya. Turunan dari $f^{\prime }$ (jika ada) ditulis sebagai $f^{″}$ dan disebut turunan kedua dari $f$. Serupa dengan itu, turunan dari turunan kedua, jika ada, ditulis sebagai $f^{‴}$ dan disebut turunan ketiga dari $f$; dan seterusnya. Turunan berulang ini disebut turunan tingkat tinggi. Turunan ke- juga dapat dituliskan sebagai $f^{(n)}$. Jika $x(t)$ menyatakan posisi suatu objek pada waktu $t$, maka turunan tingkat tinggi dari $x$ memiliki interpretasi khusus dalam bidang fisika. Turunan pertama dari $x$ menyatakan kecepatan objek, turunan kedua menyatakan besar akselerasinya, sedangkan turunan ketiga dari $x$ menyatakan sentakan.

Fungsi mulus

Sebuah fungsi yang dapat diturunkan tak hingga kali disebut fungsi mulus. Tidak semua fungsi merupakan fungsi mulus; sebagai contoh, fungsi $f$ yang tidak kontinu tidak dapat diturunkan. Serupa dengan itu, bahkan jika $f$ memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi

$f(x)=\{\begin{array}{cc}+x^2,& \text{jika }x\ge 0\\ -x^2,& \text{jika }x\le 0.\end{array}$

Perhitungan menunjukkan bahwa $f^{\prime }(x)=2|x|$ adalah fungsi yang terdiferensialkan namun tidak memiliki turunan di nol. Jika suatu fungsi dapat diturunkan kali berturut-turut dan turunan ke--nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota kelas keterdiferensialan .

Polinomial Taylor dengan sisa

Pada garis bilangan real, setiap fungsi polinomial terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan kaidah turunan pangkat, sebuah polinomial berderajat akan menjadi fungsi konstan jika diturunkan sebanyak kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya sama dengan 0 (fungsi konstan). Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.

Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi $f$ di suatu titik $x$, akan memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar titik $x$. Sebagai contoh, jika $f$ terdiferensialkan dua kali, maka

$f(x+h)\approx f(x)+f^{\prime }(x)h+\frac{1}{2}{f}^{″}(x)h^2$

dalam artian bahwa

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h-\frac{1}{2}{f}^{″}(x)h^2}{h^2}=0.$

Jika $f$ terdiferensialkan tak hingga kali, maka persamaan turunan kedua dapat diteruskan menjadi deret Taylor untuk fungsi $f$ yang dievaluasi di sekitar titik .

Kaidah untuk turunan tingkat tinggi

• Aturan Leibniz

  Jika $f$ dan $g$ dapat diturunkan sebanyak $n$ kali, maka turunan ke-$n$ dari fungsi $f(x)\cdot g(x)$ adalah

  $(fg{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}.$

  Ekspresi $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ yang muncul pada persamaan tersebut menandakan koefisien binomial. Aturan ini adalah perumuman dari kaidah darab.

Turunan pada sistem bilangan kompleks

Definisi dan aturan-aturan terkait turunan dapat diperumum untuk fungsi dengan variabel kompleks dan nilai kompleks. Perumuman ini dapat dilakukan karena bilangan kompleks juga memiliki sifat penjumlahan, perkalian, dan pembagian; sama seperti bilangan real. Selain itu, konsep jarak (Euklides) antar bilangan pada bilangan kompleks dapat dijelaskan secara sederhana.

Jika $U\subset ℂ$ berupa himpunan buka, dan $f:U\to ℂ$ adalah fungsi bernilai kompleks, maka $f$ dikatakan terdiferensialkan di titik $z\in ℂ$ bila nilai limit

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$

ada. Turunan kompleks ini disimbolkan dengan $f^{\prime }(z).$ Definisi ini memungkinkan untuk menggunakan konsep kelinearan: turunan menyatakan besar "kemiringan" dari fungsi [kompleks] linear terbaik yang menghampiri fungsi $f.$ Tapi, perhatian lebih diperlukan karena nilai $h$ pada limit berupa bilangan kompleks. Berbeda dengan limit pada bilangan real yang hanya memerlukan dua arah ("limit dari kanan" dan "limit dari kiri"), limit pada bilangan kompleks dapat "bergerak" dari takhingga banyaknya arah. Akibatnya, konsep turunan fungsi kompleks jauh lebih ketat ketimbang pada fungsi bernilai real. Sebagai contoh fungsi nilai mutlak kompleks tidak memiliki turunan dimanapun. Sebuah fungsi kompleks dapat diturunkan pada suatu titik, jika dan hanya jika fungsi tersebut memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di titik tersebut.

Walaupun (atau tepatnya karena) konsep turunan yang jauh lebih ketat, aturan-aturan perhitungan turunan pada fungsi bilangan real dapat digunakan untuk fungsi bilangan kompleks. Hal ini mencakup aturan jumlah, darab, dan rantai, juga aturan fungsi invers. Banyak fungsi kompleks, seperti eksponensial dan logaritma, memiliki sifat turunan yang mirip dengan versi realnya.

Jika fungsi $f$ terdiferensialkan di keseluruhan domain $U$, maka fungsi $f$ disebut fungsi holomorfik di $U$. Fungsi kompleks yang terdiferensialkan di keseluruhan $ℂ$ disebut fungsi entire. Fungsi holomorfik memiliki beberapa sifat yang unik. Sebagai contoh, teorema Picard menyimpulkan bahwa citra (range) dari fungsi entire hanya dapat berupa: atau $\{z_0\}$ untuk suatu Hasil ini dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa, jika fungsi kompleks $f$ tidak pernah menghasilkan nilai $z$ maupun nilai $w$, maka $f$ adalah fungsi konstan.

Turunan untuk fungsi bernilai vektor

Sebuah fungsi bernilai vektor $𝐲$ dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan bilangan real (ril) ke suatu vektor di suatu ruang vektor ${ℝ}^n$. Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya, $y_1(t),y_2(t),\dots ,y_n(t)$. Hal ini mengartikan fungsi $𝐲$ dapat ditulis sebagai $𝐲(t)=(y_1(t),y_2(t),\dots ,y_n(t))$. Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah kurva parametrik di ${ℝ}^2$ atau ${ℝ}^3$. Fungsi-fungsi koordinat adalah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi turunan dapat diterapkan bagi mereka semua. Turunan dari fungsi $𝐲(t)$ didefinisikan sebagai sebuah vektor, disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain,$${𝐲}^{\prime }(t)=(y{\text{'}}_1(t),\dots ,y{\text{'}}_n(t)).$$Bentuk tersebut dapat dihasilkan dari menghitung$${𝐲}^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{𝐲(t+h)-𝐲(t)}{h},$$dengan mengasumsikan limit dari fungsi tersebut ada. Sebagai contoh, bila $𝐲(t)$ adalah vektor yang menandakan posisi suatu partikel pada waktu $t$, turunan ${𝐲}^{\prime }(t)$ dapat dipandang sebagai vektor kecepatan dari partikel pada waktu $t$.

Turunan untuk fungsi multivariabel

Pembahasan pada bagian-bagian sebelumnya hanya memperhatikan fungsi dengan satu variabel. Fungsi yang memetakan vektor ke vektor maupun vektor ke bilangan juga dapat memiliki turunan. Tetapi, garis singgung pada grafik fungsi tersebut belum tentu unik, karena ada banyak arah yang mungkin untuk membuat garis tersebut. Oleh karena itu, perumuman turunan diperlukan untuk jenis fungsi ini.

Keterdiferensialan dan matriks Jacobi

Turunan parsial

Misalkan $f$ adalah fungsi multivariabel, sebagai contoh $f(x,y)=x^2+xy+y^2.$ Fungsi $f$ dapat dianggap sebagai keluarga fungsi satu variabel yang diindeks oleh variabel-variabel yang lain:

$f(x,y)=f_x(y)=x^2+xy+y^2.$

Dalam contoh ini, setiap nilai $x$ akan menghasilkan sebuah fungsi $f_x$ yang merupakan fungsi satu variabel. Hal ini dapat dinyatakan dengan pemetaan

$x\mapsto f_x,$

$f_x(y)=x^2+xy+y^2.$

Setelah suatu nilai $x$ dipilih, misalnya $x=a$, maka $f(x,y)$ selanjutnya menentukan sebuah fungsi $f_a$ yang memetakan $y$ ke $a^2+ay+y^2$, juga dapat ditulis sebagai $f_a(y)=a^2+ay+y^2$. Dalam ekspresi tersebut $a$ adalah sebuah konstanta dan bukan sebuah variabel, menjadikan $f_a$ sebagai fungsi satu variabel. Alhasil, definisi turunan untuk fungsi satu variabel berlaku:

${f_a}^{\prime }(y)=a+2y.$

Prosedur ini dapat diterapkan untuk sembarang pemilihan nilai $a$. Menggunakan notasi Leibniz, turunan ini menyampaikan perbandingan perubahan nilai fungsi $f$ dalam arah $y$:

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x+2y.$

dan disebut sebagai turunan berarah dari $f$ terhadap $y$. Dalam ekspresi tersebut, simbol ∂ adalah huruf d melengkung yang disebut sebagai simbol turunan parsial. Untuk membedakannya dengan huruf d yang digunakan dalam turunan satu variabel, ∂ terkadang dilafalkan sebagai "der", "del", atau "parsial", ketimbang "de".

Secara umum, turunan parsial sebuah fungsi $f(x_1,\dots ,x_n)$ dalam arah $x_i$ di titik $(a_1,\dots ,a_n)$ didefinisikan sebagai

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a_1,\dots ,a_i+h,\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_i,\dots ,a_n)}{h}.$

Dalam perbandingan beda di atas, semua nilai variabel kecuali $x_i$ dibuat konstan. Tindakan membuat konstan variabel-variabel ini akan menghasilkan fungsi satu variabel

$f_{a_1,\dots ,a_{i-1},a_{i+1},\dots ,a_n}(x_i)=f(a_1,\dots ,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\dots ,a_n),$

dan dari definisi,

$\frac{d{f}_{a_1,\dots ,a_{i-1},a_{i+1},\dots ,a_n}}{d{x}_i}(a_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n).$

Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.

Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan $𝐟(x_1,\dots ,x_n)$ sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial $\frac{\partial 𝐟}{\partial x_j}$ terdefinisi di titik $𝐚=(a_1,\dots ,a_n)$, turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor

$\mathrm{\nabla }𝐟(a_1,\dots ,a_n)=(\frac{\partial 𝐟}{\partial x_1}(a_1,\dots ,a_n),\dots ,\frac{\partial 𝐟}{\partial x_n}(a_1,\dots ,a_n)),$

yang disebut sebagai gradien dari $𝐟$ di $𝐚$. Jika $𝐟$ terdiferensialkan di setiap titik di suatu domain, maka gradien adalah sebuah fungsi bernilai vektor $\mathrm{\nabla }𝐟$ yang memetakan titik $(a_1,\dots ,a_n)$ ke vektor $\mathrm{\nabla }𝐟(a_1,\dots ,a_n)$. Akibatnya, gradien menentukan suatu medan vektor.

Turunan berarah

Jika $f$ adalah fungsi bernilai real di ${ℝ}^n$, maka turunan parsial $f$ mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika $f$ adalah fungsi dari $x$ dan $y$, maka turunan parsial $f$ mengukur variasi di $f$ dalam arah $x$ dan $y$. Tapi, turunan $f$ tidak mengukur secara langsung variasi $f$ pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal $y=x$. Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor

$𝐯=(v_1,\dots ,v_n),$

turunan berarah $f$ dalam arah $𝐯$ di titik x didefinisikan melalui limit

$D_{𝐯}f(𝐱)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(𝐱+h𝐯)-f(𝐱)}{h}.$

Dalam beberapa kasus, menghitung atau menaksir turunan berarah akan lebih mudah setelah panjang vektor diubah. Proses ini sering kali dilakukan dengan mengubah suatu masalah menjadi perhitungan berupa turunan berarah dalam arah satuan vektor. Sebagai contoh, misalkan $𝐯=\lambda 𝐮$ dan $𝐮$ adalah satuan vektor pada arah $𝐯$. Mensubstitusi $h=\frac{k}{\lambda }$ ke perbandingan beda di ruas kanan persamaan, akan menghasilkan bentuk

$\frac{f(𝐱+(k/\lambda )(\lambda 𝐮))-f(𝐱)}{k/\lambda }=\lambda \cdot \frac{f(𝐱+k𝐮)-f(𝐱)}{k}.$

Dengan mengambil limit $h$ menuju nol dari persamaan di atas, didapatkan hubungan turunan berarah $f$ dalam arah vektor $𝐯$ sama saja dengan $\lambda$ kali turunan berarah $f$ dalam arah vektor satuan $𝐮$. Oleh karena itu, $D_{𝐯}(f)=\lambda D_{𝐮}(f)$. Karena sifat penskalaan ini, turunan berarah sering kali digunakan hanya untuk vektor satuan.

Jika semua turunan parsial $f$ ada dan kontinu di $𝐱$, maka semua turunan parsial menentukan turunan berarah $f$ pada arah $𝐯$ melalui rumus berikut:

$D_{𝐯}f(𝒙)=\sum _{j=1}^n{v}_j\frac{\partial f}{\partial x_j}.$

Rumus di atas merupakan akibat dari definisi turunan total. Rumus ini juga menunjukkan bahwa turunan berarah bersifat linear di $𝐯$, dalam artian $D_{𝐯+𝐰}(f)=D_{𝐯}(f)+D_{𝐰}(f)$.

Definisi yang sama juga berlaku ketika $f$ berupa fungsi yang memiliki nilai di ${ℝ}^m$; dengan menerapkan definisi pada setiap komponen vektor. Pada kasus ini, turunan berarah merupakan vektor di ${ℝ}^m$.

Diferensial total dan matriks Jacobi

Jika $f$ merupakan sebuah fungsi dari himpunan terbuka dari ${ℝ}^n$ ke ${ℝ}^m$, maka turunan berarah $f$ dalam arah yang dipilih merupakan hampiran linear terbaik ke $f$ di titik dan arah tersebut. Tetapi jika $n>1$, maka tidak ada turunan berarah tunggal yang dapat memberikan gambaran lengkap mengenai perilaku fungsi $f$. Turunan total memberikan gambaran lengkap dengan meninjau semua arah sekaligus. Dalam artian, untuk suatu vektor $𝐯$ yang dimulai dari $𝐚$, terdapat rumus hampiran linear yang berlaku sebagai:

$f(𝐚+𝐯)\approx f(𝐚)+f^{\prime }(𝐚)𝐯.$

Sama seperti turunan satu variabel, $f^{\prime }(𝐚)$ dipilih sehingga galat hampiran tersebut dapat dibuat sekecil mungkin.

Jika $n$ dan $m$ bernilai 1, maka turunan $f^{\prime }(𝐚)$ merupakan sebuah nilai dan bentuk $f^{\prime }(𝐚)𝐯$ merupakan hasil kali dari dua bilangan. Tetapi dalam dimensi yang lebih tinggi, $f^{\prime }(𝐚)$ tidak dapat berupa sebuah bilangan. Jika $f^{\prime }(𝐚)$ adalah sebuah bilangan, maka $f^{\prime }(𝐚)𝐯$ akan berupa vektor di ${ℝ}^n$. Sedangkan bentuk-bentuk lainnya berupa vektor di ${ℝ}^m$ sehingga rumus hampiran linear menjadi tidak masuk akal. Agar rumus hampiran linear menjadi masuk akal, $f^{\prime }(𝐚)$ harus sebuah fungsi yang memetakan vektor di ${ℝ}^n$ ke vektor di ${ℝ}^m$, dan $f^{\prime }(𝐚)𝐯$ harus menyatakan fungsinya dapat dihitung di $𝐯$.

Untuk menentukan jenis fungsi apakah tersebut, perhatikan bahwa rumus hampiran linear dapat ditulis ulang sebagai

$f(𝐚+𝐯)-f(𝐚)\approx f^{\prime }(𝐚)𝐯.$

Perhatikan bahwa jika vektor lain dipilih, katakanlah $𝐰$, maka persamaan hampiran tersebut menentukan persamaan hampiran lain dengan memasukkan $𝐰$ ke $𝐯$. Ini menentukan persamaan aproksimasi ketiga dengan memasukan nilai $𝐰$ ke $𝐯$ dan $𝐚+𝐯$ ke $𝐚$. Dengan mengurangi kedua persamaan tersebut akan mendapatkan persamaan berikut.

$f(𝐚+𝐯+𝐰)-f(𝐚+𝐯)-f(𝐚+𝐰)+f(𝐚)\approx f^{\prime }(𝐚+𝐯)𝐰-f^{\prime }(𝐚)𝐰.$

Jika diasumsikan bahwa $𝐯$ bernilai kecil dan bahwa perubahan turunan kontinu di $𝐚$, maka $f^{\prime }(𝐚+𝐯)$ kira-kira sama dengan $f^{\prime }(𝐚)$. Karena itu, ruas kanan pada persamaan tersebut kira-kira sama dengan nol. Ruas kiri pada persamaan dapat ditulis ulang dalam cara yang berbeda dengan menggunakan rumus hampiran linear, dengan $𝐯+𝐰$ dimasukkan $𝐯$. Rumus hampiran linear menyiratkan:

$\begin{array}{cc}0& \approx f(𝐚+𝐯+𝐰)-f(𝐚+𝐯)-f(𝐚+𝐰)+f(𝐚)\\ & =(f(𝐚+𝐯+𝐰)-f(𝐚))-(f(𝐚+𝐯)-f(𝐚))-(f(𝐚+𝐰)-f(𝐚))\\ & \approx f^{\prime }(𝐚)(𝐯+𝐰)-f^{\prime }(𝐚)𝐯-f^{\prime }(𝐚)𝐰.\end{array}$

Rumus tersebut menyarankan bahwa $f^{\prime }(𝐚)$ merupakan transformasi linear dari ruang vektor ${ℝ}^n$ ke ruang vektor ${ℝ}^m$. Bahkan rumus ini dapat membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat pada hampirannya. Asumsi bahwa galat pada rumus hampiran linear dibatasi oleh hasil kali dari konstanta dengan $\Vert 𝐯\Vert$, dengan konstantanya bebas dari $𝐯$ tetapi kontinu bergantung pada $𝐚$. Setelah menambahkan sebuah bentuk galat yang sesuai, maka semua persamaan hampiran di atas dapat ditulis ulang sebagai pertidaksamaan. Khususnya, $f^{\prime }(𝐚)$ merupakan sebuah transformasi linear hingga bentuk galat kecil. Dalam limit, ketika $𝐯$ dan $𝐰$ menuju ke nol, $f^{\prime }(𝐚)$ harus berupa transformasi linear. Karena turunan total didefinisikan dengan mengambil limit ketika $𝐯$ menuju ke nol, $f^{\prime }(𝐚)$ harus berupa transformasi linear.

Turunan pada sistem bilangan hiperreal

Dalam matematika, bilangan hiperreal adalah sebuah cara memaknai besaran tak hingga dan infinitesimal (tak hingga kecilnya tapi tidak nol). Hiperreal adalah perumuman dari himpunan bilangan real $ℝ$, dan mencakup bilangan-bilangan yang lebih besar daripada $1+1+\dots +1$ (untuk sembarang terhingga banyaknya suku). Pada sistem bilangan ini, turunan fungsi real $y=f(x)$ di titik real $x$ dapat didefinisikan sebagai bayangan perbandingan untuk infinitesimal , dengan . Perluasan (perumuman, ekstensi) alami fungsi $f$ untuk hiperreal masih dilambangkan sebagai $f$, dan turunannya dikatakan ada jika besar bayangan tidak bergantung pada pemilihan infinitesimal.

Perumuman

Konsep turunan dapat diperluas menjadi perumuman lainnya. Kaitan yang paling umumnya adalah turunan fungsi di sebuah titik disajikan sebagai hampiran linear dari fungsi pada titik tersebut.

• Perumuman penting mengenai turunan melibatkan fungsi kompleks dari variabel kompleks, seperti fungsi (dengan domain) bilangan kompleks $ℂ$ ke $ℂ$. Gagasan turunan fungsi kompleks diperoleh dengan menggantikan variabel real dengan variabel kompleks melalui definisi berikut: Jika $ℂ$ diidentifikasi sebagai ${ℝ}^2$ dengan menulis bilangan kompleks $z$ sebagai $x+iy$, maka sebuah fungsi terdiferensialkan dari $ℂ$ ke $ℂ$ pasti terdiferensialkan sebagai sebuah fungsi dari ${ℝ}^2$ ke ${ℝ}^2$ (dalam artian bahwa semua turunan parsial juga ada), tetapi kebalikannya tidak benar pada umumnya: turunan kompleks hanya ada jika turunan real merupakan linear kompleks dan turunan kompleks memaksakan kaitannya antara turunan parsial yang disebut sebagai persamaan Cauchy–Riemann – lihat fungsi holomorfik.
• Perumuman lainnya melibatkan fungsi antara manifold terdiferensialkan atau manifold mulus. Secara intuitif, manifold $M$ dikatakan sebagai ruang yang dapat dihampiri mendekati setiap titik $x$ melalui sebuah ruang vektor yang disebut sebagai ruang garis singgung: contoh prototipikalnya adalah permukaan mulus di ${ℝ}^3$. Turunan (atau diferensial) dari peta (terdiferensialkan) $f:M\to N$ di antara manifold, di sebuah titik $x$ di $M$, merupakan peta linear dari ruang singgung $M$ di $x$ ke ruang singgung $N$ di $f(x)$, sehingga turunan fungsi menjadi sebuah peta antara berkas garis singgung $M$ dan $N$. Definisi tersebut merupakan bentuk dasar dalam geometri diferensial, dan definisi tersebut mempunyai banyak kegunaan – lihat pushforward dan pullback.
• Diferensiasi juga dapat didefinisikan sebagai pemetaan antara ruang vektor dimensi takhingga, seperti ruang Banach dan ruang Fréchet. Perumuman dari turunan berarah disebut turunan Gateaux, dan perumuman dari diferensial disebut turunan Fréchet.
• Salah satu kekurangan turunan biasa adalah bahwa ada sangat banyak sekali fungsi yang tidak terdiferensialkan. Namun ada cara memperluas gagasan turunan sehingga semua fungsi kontinu dan fungsi lainnya dapat diturunkan melalui konsep yang dikenal sebagai turunan lemah. Tujuannya adalah agar memasukkan fungsi kontinu dalam sebuah ruang yang lebih besar yang disebut ruang distribusi, dan tujuan ini hanya mengharuskan bahwa fungsi "rata-rata" terdiferensialkan.
• Pengenalan dan studi mengenai banyak topik yang serupa dalam aljabar dan topologi diilhami melalui sifat-sifat turunan — sebagai contoh, lihat aljabar diferensial.
• Definisi turunan yang ekuivalen diskret adalah beda hingga. Dalam kalkulus skala waktu, studi mengenai kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.

Lihat pula

• Analisis matematis
• Aturan pendiferensialan
• Diferintegral
• Generalisasi turunan
• Integral
• Infinitesimal
• Invers perkalian
• Kelajuan (mathematika)
• Kelas keterdiferensialan
• Linearisasi
• Pendiferensialan numerik
• Pendiferensialan otomatik
• Penerapan turunan
• Sejarah kalkulus
• Teorema Radon–Nikodym
• Turunan aritmetika
• Turunan fraktal
• Turunan Hasse
• Turunan Schwarz
• Turunan simetrik

Pranala luar

• Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
• Online Derivative Calculator from Wolfram Alpha.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29435641 (2026-07-09T08:41:11Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.