Gabungan (teori himpunan)

Gabungan dari dua himpunan ~A \cup B

Dalam teori himpunan, gabungan () dari koleksi himpunan adalah himpunan semua anggota dalam koleksi. Gabungan merupakan salah satu operasi dasar, yang dapat menggabungkan atau mengaitkan anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Gabungan dilambangkan dengan ∪.

Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat tabel dari simbol matematika

Gabungan dari dua himpunan

Gabungan dari himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan anggota yang berada di $A$, atau $B$, atau bahkan kedua-duanya. Gabungan dari dua himpunan tersebut dituliskan dalam notasi ungkapan himpunan.$$A\cup B=\{x:x\in A\text{ atau }x\in B\}.$$Sebagai contoh, jika $A=\{1,3,5,7\}$ dan $B=\{1,2,4,6,7\}$, maka $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan tak terhingga) adalahː$$A=\{x\text{ adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daripada 1}\}$$$$B=\{x\text{ adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daripada 1}\}$$$$A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}.$$

Contoh lainnya, 9 tidak termasuk dalam gabungan dari himpunan bilangan prima $\{2,3,5,7,11,\dots \}$ dan juga himpunan dari bilangan genap $\{2,4,6,8,10.\dots \}$, sebab 9 bukanlah bilangan prima ataupun bilangan genap.

Himpunan tidak mempunyai anggota identik yang muncul lebih dari satu kali, karena itu gabungan dari $\{1,2,3\}$ dan $\{2,3,4\}$ adalah $\{1,2,3,4\}$. Banyaknya kemunculan anggota yang identik tersebut tidak memengaruhi kardinalitas himpunan ataupun isi himpunannya.

Sifat aljabar

Gabungan biner adalah operasi asosiatif. Hal ini berarti bahwa untuk setiap himpunan $A$, $B$, dan $C$, berlaku$$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.$$

Pada rumus di atas, tanda kurung dapat dihilangkan dalam rangka untuk menghindari keambiguan, sehingga dapat ditulis juga sebagai $A\cup B\cup C$. Gabungan merupakan operasi komutatif, sehingga himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan. Himpunan kosong adalah anggota identitas untuk operasi gabungan, dalam artian bahwa $A\cup \varnothing =A$, untuk setiap himpunan $A$. Secara analogi, semua sifat-sifat tersebut diikuti dari logika disjungsi.

Adapun sifat aljabar lainnya, yakni irisan distribusi atas gabungan$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),$$dan gabungan distribusi atas irisan$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$$Himpunan kuasa dari himpunan $U$, beserta operasi-operasinya, seperti gabungan, irisan, dan komplemen, merupakan aljabar Boole. Dalam aljabar Boole, gabungan dapat dinyatakan dengan rumus yang mengandung operasi irisan dan komplemen.$$A\cup B={(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}})}^{\text{c}},$$dengan superskrip C melambangkan komplemen dalam himpunan semesta $U$.

Gabungan terhingga

Beberapa himpunan dapat diambil secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan $A$, $B$, dan $C$ mengandung semua anggota dari $A$, semua anggota dari $B$, dan semua anggota dari $C$, dan tidak ada lagi. Dengan demikian, $x$ adalah anggota dari $A\cup B\cup C$ jika dan hanya jika $x$ setidaknya ada di dalam salah satu himpunan $A$, $B$, dan $C$.

Gabungan terhingga adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah himpunan terbatas.

Gabungan sebarang

Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari koleksi himpunan sebarang, yang kadangkala disebut gabungan tak terhingga. Jika $𝐌$ adalah himpunan atau kelas yang anggotanya ada di himpunan, maka $x$ adalah gabungan dari $𝐌$ jika dan hanya jika setidaknya ada satu anggota $A$ dari $𝐌$ sehingga $x$ anggota dari $A$. Ini dapat ditulis dengan menggunakan simbol$$x\in \bigcup 𝐌⟺\mathrm{\exists }A\in 𝐌,x\in A.$$Gagasan ini menggolongkan bagian sebelumnya, sebagai contoh, $A\cup B\cup C$ adalah gabungan dari koleksi $\{A,B,C\}$. Juga, jika $𝐌$ adalah koleksi kosong, maka gabungan dari $𝐌$ adalah himpunan kosong

Notasi

Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terhingga dari himpunan $S_1,S_2,S_3,\dots ,S_n$, acapkali ditulis sebagai $S_1\cup S_2\cup S_3\cup \dots \cup S_n$ atau$$\bigcup _{i=1}^n{S}_i.$$Terdapat bermacam-macam notasi untuk gabungan sembarang, seperti $\bigcup 𝐌$, ${\bigcup }_{A\in 𝐌}A$, atau ${\bigcup }_{i\in I}{A}_i$, yang mengacu pada gabungan dari koleksi $\{A_i:i\in I\}$, dengan $I$ adalah himpunan indeks, dan $A_i$ adalah himpunan untuk $i\in I$. Terdapat sebuah kasus bahwa untuk himpunan indeks $I$ yang merupakan himpunan bilangan asli, dapat menggunakan notasi$$\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i,$$yang mirip seperti jumlah tak terhingga dalam deret.

Lihat pula

• Aljabar dari himpunan
• Alternasi (teorema bahasa formal), gabungan dari himpunan dari benang.
• Aksioma dari gabungan
• Gabungan penguraian
• Irisan (teori himpunan)
• Operasi biner berulang
• Teori himpunan naif
• Beda setangkup

Pranala luar

• Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28117886 (2025-10-20T02:03:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.