Eksponensiasi

Expo02

Grafik untuk sebagai basis b: Setiap kurva melewati titik karena setiap bilangan bukan nol pangkat 0 adalah 1. Pada , nilai y sama dengan basis karena setiap bilangan yang dipangkatkan 1 adalah bilangan itu sendiri.

Eksponensiasi adalah sebuah operasi matematika, ditulis sebagai $b^n$, melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok $b$ dan eksponen atau pangkat $n$, diucapkan sebagai "$b$ pangkat $n$". Ketika $n$ adalah bilangan bulat positif, eksponensiasi adalah perkalian berulang dari basis: yaitu, $b^n$ adalah darab dari mengalikan basis $n$:

$b^n=\underset{\text{sebanyak }n\text{ kali}}{\underbrace{b\times \dots \times b}}.$

Satu memiliki , dan untuk nilai sembarang bilangan bulat positif dan , apabila memiliki . Untuk memperluas sifat ini ke eksponen bilangan bulat non-positif, didefinisikan sebagai , dan (dengan bilangan bulat positif dan bukan nol) didefinisikan sebagai . Khususnya, sama dengan , timbal balik dari .

Definisi eksponensial diperluas untuk memungkinkan eksponen real atau kompleks. Eksponen dengan eksponen bilangan bulat juga didefinisikan untuk berbagai macam struktur aljabar, termasuk matriks.

Eksponen digunakan secara luas di berbagai banyak bidang, yaitu ekonomi, biologi, kimia, fisika, dan ilmu komputer, dengan aplikasi seperti bunga majemuk, pertumbuhan populasi, kinetika reaksi kimia, perilaku gelombang, dan kriptografi kunci publik.

Terminologi

Ekspresi disebut "persegi dari b" atau "kuadrat b", karena luas persegi dengan panjang sisi adalah .

Demikian pula, ekspresi disebut "kubus dari b" atau "b pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk adalah .

Karena itu adalah bilangan bulat positif, eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya, . Basis muncul kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah . Maka, adalah pangkat ke-5 dari 3, atau 3 terpangkat ke-5.

Kata "pangkat" terkadang dihilangkan, jadi dapat dibaca "3 ke 5". Oleh karena itu, eksponensiasi dinyatakan sebagai "b untuk pangkat n", "b untuk pangkat ke-n", "b untuk ke-n", atau disingkat juga sebagai "b untuk n ".

Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti (yang berarti dan bukan ), disebut juga sebagai menara pangkat.

Eksponen bilangan bulat

Operasi eksponensial dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan langsung dari operasi aritmetika dasar.

Eksponen positif

Definisi eksponensial sebagai perkalian teriterasi dibuktikan secara formalisasi dengan menggunakan induksi, dan definisi ini digunakan segara untuk perkalian asosiasi:

Kasus dasarnya adalah

$b^1=b$

dan pengulangan adalah

$b^{n+1}=b^n\cdot b.$

Asosiasi perkalian menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positif dan , adalah

$b^{m+n}=b^m\cdot b^n,$

dan

$(b^m{)}^n=b^{mn}.$

Eksponen nol

Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol terpangkat ke pangkat adalah :

$b^0=1.$

Definisi ini adalah satu-satunya memungkinkan perluasan rumus

$b^{m+n}=b^m\cdot b^n$

ke nol eksponen. Ini digunakan pada setiap struktur aljabar dengan perkalian yang memiliki identitas.

Secara intuitif, $b^0$ diartikan sebagai darab kosong dari salinan . Jadi, persamaan $b^0=1$ adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.

Kasus adalah rumit. Dalam konteks di mana pangkat bilangan bulat yang dipertimbangkan, nilai umumnya ditetapkan ke $0^0,$ tetapi, jika tidak, pilihannya adalah apakah akan menetapkan nilai, dan nilai apa yang akan ditetapkan mungkin bergantung pada konteks. Untuk detail selengkapnya, lihat Nol ke pangkat nol.

Eksponen negatif

Eksponen dengan eksponen negatif didefinisikan oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat dan bukan nol :

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}.$

Menaikkan 0 ke eksponen negatif tidak ditentukan, tetapi dalam beberapa keadaan, maka ditafsirkan sebagai tak hingga ($\mathrm{\infty }$).

Definisi eksponen dengan eksponen negatif ini adalah satu-satunya yang memungkinkan perluasan identitas $b^{m+n}=b^m\cdot b^n$ ke eksponen negatif (pertimbangkan kasus $m=-n$).

Definisi yang sama berlaku untuk elemen terbalikkan dalam monoid perkalian, yaitu, struktur aljabar dengan perkalian asosiatif dan identitas perkalian yang dilambangkan (misalnya, matriks persegi dari dimensi tertentu). Secara khusus, dalam struktur ini, invers dari elemen terbalikkan secara standar dilambangkan sebagai $x^{-1}.$

Identitas dan sifat

Identitas berikut ini, sering disebut juga sebagai ', untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:

$\begin{array}{cc}{b}^{m+n}& =b^m\cdot b^n\\ {\left(b^m\right)}^n& =b^{m\cdot n}\\ (b\cdot c{)}^n& =b^n\cdot c^n\end{array}$

Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah komutatif (misalnya, ), dan juga tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah asosiatif (misalnya, , di mana ). Tanpa tanda kurung, urutan operasi konvensional untuk deret eksponensial dalam notasi superskrip adalah top-down (atau asosiatif-kanan), bukan bottom-up (atau asosiatif-kiri). Maka,

$b^{p^q}=b^{\left(p^q\right)},$

yang secara umum berbeda dengan

${\left(b^p\right)}^q=b^{pq}.$

Pangkat jumlah

pangkat jumlah biasanya dihitung dari pangkat penjumlahan dengan rumus binomial

$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^i{b}^{n-i}=\sum _{i=0}^n\frac{n!}{i!(n-i)!}{a}^i{b}^{n-i}.$

Namun, rumus ini hanya berlaku jika jumlah komuter (yaitu ), yang menyatakan apabila ia termasuk dalam struktur yaitu komutatif. Jika tidak, dan adalah matriks persegi dengan ukuran yang sama, rumus ini tidak digunakan. Oleh karena itu dalam aljabar komputer, banyak algoritma yang melibatkan eksponen bilangan bulat diubah ketika basis eksponensial tidak komuter. Beberapa tujuan umum sistem aljabar komputer menggunakan notasi yang berbeda (terkadang, sebagai gantinya adalah ) untuk eksponensial dengan basis non-komuter, yang kemudian disebut eksponensial non-komutatif.

Interpretasi kombinatorial

Untuk bilangan bulat tak-negatif dan , nilai dari adalah jumlah fungsi dari elemen himpunan ke elemen himpunan (lihat eksponensial kardinal). Fungsi tersebut diwakilankan sebagai rangkap- dari elemen himpunan- (atau sebagai kata huruf dari alfabet huruf ). Beberapa contoh untuk nilai dan tertentu diberikan dalam tabel berikut:

	yang merupakan rangkap- dari elemen himpunan
0 = 0
1 = 1	(1, 1, 1, 1)
2 = 8	(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
3 = 9	(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
4 = 4	(1), (2), (3), (4)
5 = 1	()

Basis khusus

Pangkat sepuluh

Dalam sistem bilangan basis sepuluh (desimal), pangkat bilangan bulat ditulis sebagai digit diikuti atau didahului oleh sejumlah nol yang ditentukan oleh tanda dan besaran eksponen. Misalnya, dan .

Eksponen dengan basis digunakan dalam notasi ilmiah untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya, (kecepatan cahaya dalam ruang hampa), dalam meter per detik) dapat ditulis sebagai dan kemudian perkiraan sebagai .

Awalan SI berdasarkan pangkat yang juga digunakan untuk menggambarkan jumlah kecil atau besar. Misalnya, awalan kilo berarti , jadi satu kilometer adalah .

Pangkat dua

pangkat negatif pertama biasanya digunakan, dan memiliki nama khusus, misalnya: setengah dan kuarterner.

pangkat muncul dalam teori himpunan, karena himpunan dengan anggota memiliki himpunan pangkat, himpunan dari semua himpunan bagian-nya, yang memiliki anggota .

pangkat bilangan bulat penting dalam ilmu komputer. Bilangan bulat positif pangkat memberikan jumlah bilangan untuk bit bilangan bulat bilangan biner; misalnya, bita mengambil nilai yang berbeda. Sistem bilangan biner menyatakan bilangan sebagai jumlah dari pangkat , dan menyatakannya sebagai urutan dan , dipisahkan oleh titik biner, di mana menunjukkan pangkat yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat ini: eksponen nonnegatif adalah pangkat sebelah kiri titik (mulai dari ), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.

Pangkat satu

pangkat satu adalah semua satu-satunya: .Ppangkat nol

Jika eksponen positif (), pangkat ke- dari nol adalah nol: .

Jikalau eksponen negatif (), pangkat ke- dari nol tidak ditentukan, maka dari itu harus sama dengan $1/0^{-n}$ dengan , dan ini sebagai menjadi $1/0$.

Ekspresi didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (lihat Nol pangkat nol).

Pangkat negatif satu

Jika adalah bilangan bulat genap, maka .

Jikalau adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah .

Oleh karena itu, pangkat berguna untuk menyatakan sebagai urutan bergantian. Untuk diskusi serupa tentang pangkat bilangan kompleks , lihat .

Eksponen besar

Limit barisan pangkat dari bilangan besar dari satu divergen; dengan kata lain, barisan tersebut terikat tanpa batas:

sebagai jika

Apabila dibaca sebagai "b pangkat n cenderung +∞ sebagai n cenderung tak hingga ketika b memiliki nilai besar daripada satu".

pangkat suatu bilangan dengan nilai absolut kurang dari satu cenderung nol:

sebagai jika

Setiap pangkat satu tetap satu:

untuk semua jika

pangkat berganti antara dan sebagai berganti antara genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan .

Jika , , berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan .

Jika bilangan eksponen berubah cenderung ke karena eksponen cenderung tak hingga, maka limitnya belum tentu salah satu atas. Kasus yang sangat penting adalah

sebagai

Lihat ' dibawah ini.

Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan bentuk antara, dijelaskan dalam dibawah.

Fungsi pangkat

Fungsi real dari bentuk $f(x)=c{x}^n$, di mana $c\ne 0$, terkadang disebut sebagai fungsi pangkat. Ketika $n$ adalah bilangan bulat dan $n\ge 1$, maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk $n$ genap, dan untuk $n$ ganjil. Secara umum untuk $c>0$, bila $n$ genap $f(x)=c{x}^n$ cenderung ke arah positif ketakterhinggaan dengan penambahan $x$, dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan $x$. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum $y=c{x}^2$, yang merata ditengah sebagai tingkatan $n$. Fungsi dengan simetri seperti ini disebut fungsi genap.

Ketika $n$ ganjil, perilaku asimptotik $f(x)$ berbalik dari $x$ positif ke $x$ negatif. Untuk $c>0$, $f(x)=c{x}^n$ juga cenderung ke arah positif ketakterhinggaan dengan tingkatan $x$, tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunan $x$. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat ganjil memiliki bentuk umum $y=c{x}^3$, merata ditengah ketika tingkatan $n$ dan kehilangan semua kerataan di garis lurus untuk $n=1$. Fungsi dengan simetri seperti ini disebut fungsi ganjil.

Untuk $c<0$, perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.

Daftar pangkat bilangan bulat

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729
4	16	64	256	1024
5	25	125	625	3125
6	36	216	1296
7	49	343	2401
8	64	512	4096
9	81	729	6561
10	100	1000

Eksponen rasional

Dari atas ke bawah: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸.

Jika adalah bilangan real nonnegatif, dan adalah bilangan bulat positif, $x^{\frac{1}{n}}$ atau $\sqrt[n]{x}$ menunjukkan real positif unik akar ke- dari , yaitu, bilangan real positif unik sehingga $y^n=x.$

Jika adalah bilangan real positif, dan $\frac{p}{q}$ adalah bilangan rasional, dengan dan bilangan bulat, maka $x^{\frac{p}{q}}$ didefinisikan sebagai

$x^{\frac{p}{q}}={\left(x^p\right)}^{\frac{1}{q}}=(x^{\frac{1}{q}}{)}^p.$

Persamaan sebelah kanan diturunkan dengan menetapkan $y=x^{\frac{1}{q}},$ dan menulis $(x^{\frac{1}{q}}{)}^p=y^p={((y^p{)}^q)}^{\frac{1}{q}}={((y^q{)}^p)}^{\frac{1}{q}}=(x^p{)}^{\frac{1}{q}}.$

Jika adalah bilangan rasional positif, $0^r=0,$ menurut definisi.

Semua definisi ini diperlukan untuk memperluas identitas $(x^r{)}^s$ ke eksponen rasional.

Di sisi lain, ada masalah dengan perluasan definisi ini ke basis yang bukan bilangan real positif. Misalnya, bilangan real negatif memiliki akar ke- real, yang negatif jika adalah ganjil, dan tidak memiliki akar real jika genap. Dalam kasus terakhir, kompleks mana pun akar ke- memilih satu untuk $x^{\frac{1}{n}},$ identitas $(x^a{)}^b=x^{ab}$. Misalnya,

${((-1{)}^2)}^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1\ne (-1{)}^{2\cdot \frac{1}{2}}=(-1{)}^1=-1.$

Lihat dan untuk detail tentang cara menangani masalah ini.

Eksponen real

Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk pangkat real dapat didefinisikan dalam dua cara yang setara, baik dengan memperluas pangkat rasional ke real dengan kontinuitas (, dibawah), atau dalam hal logaritma dari basis dan fungsi eksponensial (, dibawah). Hasilnya bilangan real positif, dan identitas dan sifat yang ditunjukkan atas untuk eksponen bilangan bulat tetap benar dengan definisi ini untuk eksponen real. Definisi kedua lebih umum digunakan, karena digeneralisasikan secara langsung ke kompleks eksponen.

Di sisi lain, eksponensial ke pangkat real dari bilangan real negatif jauh lebih sulit untuk didefinisikan secara konsisten, karena mungkin non-real dan memiliki beberapa nilai (lihat ). Apabila memilih salah satu dari nilai-nilai ini, yang disebut nilai utama, tetapi tidak ada pilihan nilai utama yang identitasnya

${\left(b^r\right)}^s=b^{rs}$

adalah benar; lihat . Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai fungsi multinilai.

Limit eksponen rasional

Karena bilangan irasional dapat dinyatakan sebagai limit barisan dari bilangan rasional, eksponen bilangan real positif dengan eksponen real sembarang didefinisikan oleh kontinuitas dengan kaidah

$b^x=\underset{r(\in \mathbb{Q})\to x}{lim}{b}^r(b\in {ℝ}^{+},x\in ℝ),$

di mana limitnya diambil alih nilai rasional saja. Limit ini ada untuk setiap positif dan setiap real.

Misalnya, jika , diwakilankan desimal tanpa dan monotonisitas dari pangkat rasional digunakan untuk mendapatkan interval dibatasi oleh pangkat rasional sekecil yang diinginkan, dan dilambangkan sebagai $b^{\pi }:$

$[b^3,b^4],[b^{3.1},b^{3.2}],[b^{3.14},b^{3.15}],[b^{3.141},b^{3.142}],[b^{3.1415},b^{3.1416}],[b^{3.14159},b^{3.14160}],\dots$

Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua barisan yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai $b^{\pi }.$

Apabila mendefinisikan $b^x$ untuk setiap positif dan positif sebagai fungsi kontinu dari dan .

Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial didefinisikan sebagai $x\mapsto e^x,$ di mana $e\approx 2,718$ adalah bilangan Euler. Untuk menghindari penalaran lingkar, definisi ini tidak dapat digunakan di sini. Jadi, diberikan definisi fungsi eksponensial, dinotasikan $\exp (x),$ dan dari bilangan Euler bebas dari eksponensial. Kemudian sebuah bukti dibuat sketsa, bahwa apabila jika menggunakan definisi eksponensial yang diberikan pada bagian sebelumnya, maka memiliki:

$\exp (x)=e^x.$

Terdapat banyak cara ekuivalen untuk mendefinisikan fungsi eksponensial, salah satunya adalah mendefinisikannya sebagai fungsi invers dari logaritma alami. Tepatnya, logaritma natural adalah antiturunan dari $1/x$ yang mengambil nilai untuk  :

$\ln x={\int }_1^x\frac{dt}{t}.$

Apabila mendefinisikan logaritma sebagai fungsi meningkat dari real positif ke bilangan real. Fungsi invers dan fungsi eksponensial dengan demikian merupakan fungsi naik dari bilangan real ke real positif, yang biasa dilambangkan . Satu satunya, memiliki

$\exp (0)=1,$

dan identitas eksponensial

$\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)$

untuk setiap dan .

Bilangan Euler didefinisikan sebagai $e=\exp (1)$. Maka, ini mengikuti dari persamaan sebelumnya bahwa $\exp (x)=e^x$ dengan adalah bilangan bulat (ini hasil dari definisi perkalian berulang dari eksponensial). Jika adalah real, $\exp (x)=e^x$ dihasilkan dari definisi yang diberikan pada bagian sebelumnya, dengan menggunakan identitas eksponensial jika adalah rasional, dan kontinuitas fungsi eksponensial sebaliknya.

Fungsi eksponensial memenuhi persamaan

$\exp (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}.$

Karena deret konvergen untuk setiap kompleks nilai dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula $e^z,$ untuk argumen kompleks . Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.

Pangkat melalui logaritma

Definisi sebagai fungsi eksponensial didefinisikan untuk setiap bilangan real positif , dalam hal fungsi eksponensial dan logaritmik. Secara khusus, bahwa logaritma natural adalah invers dari fungsi eksponensial maka ia memiliki

$b=\exp (\ln b)=e^{\ln b}$

untuk setiap . Untuk mempertahankan identitas $(e^x{)}^y=e^{xy},$ maka ia memiliki

$b^x={\left(e^{\ln b}\right)}^x=e^{x\ln b}$

Jadi, $e^{x\ln b}$ digunakan sebagai definisi alternatif dari untuk setiap real positif . Ini sesuai dengan definisi yang diberikan di atas menggunakan eksponen rasional dan kontinuitas, dengan memperluas secara langsung ke eksponen kompleks mana pun.

Eksponen kompleks dengan basis real positif

Jika adalah bilangan real positif, eksponen dengan basis dan kompleks eksponen didefinisikan melalui fungsi eksponensial dengan argumen kompleks (lihat dibagian akhir , diatas) sebagai

$b^z=e^{(z\ln b)},$

di mana $\ln b$ menunjukkan logaritma natural dari .

Maka, ini memenuhi identitas

$b^{z+t}=b^z{b}^t,$

Secara umum, ${\left(b^z\right)}^t$ tidak didefinisikan, karena bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat , dibawah), secara umum,

${\left(b^z\right)}^t\ne b^{zt},$

kecuali adalah real atau adalah bilangan bulat.

Rumus Euler $e^{iy}=\cos y+i\sin y,$ mengekspresikan bentuk polar dari $b^z$ dalam hal bagian real dan imajiner dari , yaitu

$b^{x+iy}=b^x(\cos (y\ln b)+i\sin (y\ln b)),$

di mana nilai absolut dari faktor trigonometri adalah satu. Maka, hasilnya adalah

$b^{x+iy}=b^x{b}^{iy}=b^x{e}^{iy\ln b}=b^x(\cos (y\ln b)+i\sin (y\ln b)).$

Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat

Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-, yaitu, dari eksponen $1/n,$ di mana adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan logaritma kompleks, dan karena itu lebih mudah dipahami.

Akar ke- pada bilangan kompleks

Setiap bilangan kompleks bukan nol dapat ditulis dalam bentuk polar sebagai

$z=\rho e^{i\theta }=r(cos\theta +i\sin \theta ),$

di mana $\rho$ adalah nilai absolut dari , dan $\theta$ adalah argumen. Argumen didefinisikan hingga bilangan bulat kelipatan ; ini berarti, jika $\theta$ adalah argumen dari bilangan kompleks, maka $\theta +2k\pi$ juga merupakan argumen dari bilangan kompleks yang sama.

Bentuk polar dari darab dua bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan nilai absolut dan menambahkan argumen. Oleh karena itu, bentuk kutub dari akar ke- dari bilangan kompleks diperoleh dengan mengambil akar ke- dari nilai absolut dan membagi argumennya dengan :

${\left(\rho e^{i\theta }\right)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{\rho }{e}^{\frac{i\theta }{n}}.$

Jika $2i\pi$ ditambahkan ke $\theta ,$ maka bilangan kompleks tersebut tidak berubah, tetapi ini menambahkan $2i\pi /n$ ke argumen akar ke-, dan diberikan akar ke- yang baru. Ini dilakukan kali , dan diberikan kepada akar ke- dari bilangan kompleks.

Biasanya memilih salah satu dari akar ke- sebagai akar utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke- sebagai $-\pi <\theta \le \pi ,$ yaitu, akar ke- yang memiliki bagian real terbesar, dan jika keduanya adalah dua dari bagian imajiner positif tersebut. Ini membuat akar ke- utama sebuah fungsi kontinu dalam seluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai real negatif dari radikan. Fungsi ini sama dengan akar ke- biasa untuk radikan real positif. Untuk radikan real negatif, dan eksponen ganjil, akar ke- utama bukanlah real, meskipun akar ke- yang biasa adalah real. Kelanjutan analitik menunjukkan bahwa prinsip akar ke- utama adalah fungsi unik diferensial kompleks yang memperluas fungsi akar ke- medan kompleks tanpa bilangan real yang bukan positif.

Jika bilangan kompleks dipindahkan sekitar nol dengan meningkatkan argumennya, setelah kenaikan $2\pi ,$ bilangan kompleks kembali ke posisi awal, dan akar ke--nya adalah permutasi lingkar (yang dikalikan dengan $e^{2i\pi /n}$). Ini menunjukkan bahwa tidak mungkin untuk mendefinisikan fungsi akar ke- yang tidak kontinu pada seluruh medan kompleks.

Akar satuan

Bilangan kompleks w sedemikian rupa sehingga untuk bilangan bulat positif n adalah akar satuan ke-n. Secara geometris, akar satuan ke-n terletak pada lingkaran satuan dari medan kompleks pada simpul-simpul dari gon-n beraturan dengan satu simpul pada bilangan real 1.

Jika akan tetapi untuk semua bilangan asli k sehingga , maka w disebut akar satuan ke-n primitif. Satuan negatif −1 adalah satu-satunya akar kuadrat primitif dari satuan. satuan imajiner i adalah salah satu dari dua akar ke-4 primitif dari satuan; yang lainnya adalah −i.

Bilangan e adalah akar satuan n primitif dengan argumen positif terkecil. Hal ini terkadang disebut akar kesatuan ke-n utama, meskipun terminologi ini tidaklah universal dan tidak boleh disamakan dengan nilai utama dari , yaitu 1.) Akar satuan ke-n yang lain dinyatakan sebagai bentuk akar ke-n utama, yaitu $${\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)}^k=e^{\frac{2\pi i}{n}k}$$ untuk .

Eksponensial kompleks

Mendefinisikan eksponensial dengan basis kompleks menyebabkan kesulitan serupa dengan yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, kecuali, bahwa, secara umum, ada banyak kemungkinan nilai untuk $z^w$. Jadi, salah satu nilai utama didefinisikan yang bukan kontinu untuk nilai real dan nonpositif, atau $z^w$ didefinisikan sebagai fungsi multinilai.

Dalam semua kasus, logaritma kompleks digunakan untuk mendefinisikan eksponensial kompleks, sebagai

$z^w=e^{w\log z},$

di mana $\log z$ adalah varian dari logaritma kompleks yang digunakan, yaitu, fungsi atau fungsi multinilai sedemikian rupa sehingga

$e^{\log z}=z$

untuk setiap dalam ranah definisi.

Nilai utama

Nilai utama dari logaritma kompleks adalah fungsi unik, biasanya dilambangkan $\log ,$ sehingga, untuk setiap bilangan kompleks bukan nol ,

$e^{\log z}=z,$

dan bagian imajiner dari memenuhi

$-\pi <\mathrm{I}\mathrm{m}\le \pi .$

Nilai utama dari logaritma kompleks tidak didefinisikan untuk $z=0,$ hal itu disebut juga sebagai tidak kontinu pada nilai real negatif , dan holomorfik (yaitu, terdiferensial kompleks) pada bagian lain. Jika adalah real dan positif, nilai utama dari logaritma kompleks adalah logaritma alami: $\log z=\ln z.$

Nilai utama $z^w$ didefinisikan sebagai $z^w=e^{w\log z},$ di mana $\log z$ adalah nilai utama dari logaritma.

Fungsi $(z,w)\to z^w$ adalah holomorfik kecuali di antara titik-titik di mana adalah real dan non-positif.

Jika adalah real dan positif, nilai utama $z^w$ sama dengan nilai biasa yang didefinisikan di atas. Jika $w=1/n,$ di mana adalah bilangan bulat, nilai utama ini sama dengan yang didefinisikan di atas.

Fungsi multinilai

Dalam beberapa konteks, terdapat masalah dengan diskontinuitas pada nilai-nilai utama $\log z$ dan $z^w$ pada nilai real negatif . Dalam hal ini, akan berguna untuk mempertimbangkan fungsi-fungsi ini sebagai fungsi multinilai.

Jika $\log z$ menunjukkan salah satu nilai dari logaritma multinilai (biasanya nilai utamanya), nilai lainnya adalah $2ik\pi +\log z,$ di mana adalah bilangan bulat. Demikian pula, jika $z^w$ adalah salah satu nilai eksponensial, maka nilai lainnya diberikan oleh

$e^{w(2ik\pi +\log z)}=z^w{e}^{2ik\pi w},$

di mana adalah bilangan bulat.

Nilai berbeda memberikan nilai $z^w$ yang berbeda kecuali adalah bilangan rasional, yaitu, apabila bilangan bulat sehingga adalah bilangan bulat. Maka hasil dari periodisitas ini dari fungsi eksponensial, bahwa $e^a=e^b$ jika dan hanya jika $a-b$ adalah kelipatan bilangan bulat dari $2\pi .$

Jika $w=\frac{m}{n}$ adalah bilangan rasional dengan dan bilangan bulat koprima dengan $n>0,$ maka $z^w$ memiliki nilai persis . Dalam kasus $m=1,$ nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam §akar ke- bilangan kompleks. Jika adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan .

pangkat multinilai adalah holomorfik untuk $z\ne 0,$ dalam arti bahwa grafik-nya terdiri dari beberapa lembar yang mendefinisikan setiap fungsi holomorfik pada sekitar setiap titik. Jika variasi terus menerus sepanjang lingkaran pada sekitar , maka, setelah titik balik, nilai $z^w$ berubah dari lapisan.

Komputasi

Bentuk kanonik $x+iy$ dari $z^w$ dihitung dari bentuk kanonik dan . Meskipun ini dapat dijelaskan dengan satu rumus, lebih jelas untuk membagi perhitungan dalam beberapa langkah.

• Bentuk polar dari . Jika $z=a+ib$ adalah bentuk kanonik dari ( dan sebagai real), maka bentuk polar-nya adalah $$z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),$$ di mana $\rho =\sqrt{a^2+b^2}$ dan $\theta =\mathrm{atan2}(a,b)$ (lihat atan2 untuk definisi fungsi ini).
• Logaritma dari . Nilai utama dari logaritma ini adalah $\log z=\ln \rho +i\theta ,$ di mana $\ln$ menunjukkan logaritma alami. Nilai logaritma lainnya diperoleh dengan menambahkan $2ik\pi$ untuk sembarang bilangan bulat .
• Bentuk kanonik dari $w\log z.$ Jika $w=c+di$ dengan real dan , nilai $w\log z$ adalah $$w\log z=(c\ln \rho -d\theta -2dk\pi )+i(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi ),$$ nilai utama yang sesuai dengan $k=0.$
• Hasil akhir. Menggunakan identitas $e^{x+y}{e}^x=e^y$ dan $e^{y\ln x}=x^y,$ satu-satunya menggunakan $$z^w={\rho }^c{e}^{-d(\theta +2k\pi )}(\cos (d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )+i\sin (d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )),$$ dengan $k=0$ untuk nilai utama.

Contoh

• $i^i$
  Bentuk polar adalah $i=e^{i\pi /2},$ dan dengan demikian nilai $\log i$ adalah $$\log i=i(\frac{\pi }{2}+2k\pi ).$$ Oleh karena itu $$i^i=e^{i\log i}=e^{-\frac{\pi }{2}}{e}^{-2k\pi }.$$ Jadi, semua nilai real $i^i$ utama adalah $$e^{-\frac{\pi }{2}}\approx \mathrm{0.2079.}$$
• $(-2{)}^{3+4i}$
  Demikian pula, bentuk polar dari adalah $-2=2e^{i\pi }.$ Jadi, metode yang dijelaskan di atas diberikan nilai $$\begin{array}{cc}(-2{)}^{3+4i}& =2^3{e}^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos (4\ln 2+3(\pi +2k\pi ))+i\sin (4\ln 2+3(\pi +2k\pi )))\\ & =-2^3{e}^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos (4\ln 2)+i\sin (4\ln 2)).\end{array}$$Dalam hal ini, semua nilai memiliki argumen $4\ln 2,$ yang sama dan nilai absolut yang berbeda.

Dalam kedua contoh, semua nilai $z^w$ memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika bagian real dari adalah bilangan bulat.

Kegagalan pangkat dan identitas logaritma

Beberapa identitas untuk pangkat dan logaritma untuk bilangan real positif akan gagal untuk bilangan kompleks, tidak peduli seberapa pangkat kompleks dan logaritma kompleks didefinisikan sebagai fungsi bernilai tunggal. Misalnya:

{(-1)^\frac{1}{2}} = \frac{1}{i}=-i</math>

Di sisi lain, ketika adalah bilangan bulat, identitas absah-nya untuk semua bilangan kompleks bukan nol.

Jika eksponensial dianggap sebagai fungsi multinilai maka nilai yang mungkin dari adalah }. Identitasnya berlaku, tetapi mengatakan } adalah salah. | Identitas berlaku untuk bilangan real dan , tetapi dengan asumsi kebenarannya untuk bilangan kompleks mengarah ke paradoks berikut, ditemukan pada tahun 1827 oleh Clausen:

Untuk sembarang bilangan bulat , memiliki:

1. $e^{1+2\pi in}=e^1{e}^{2\pi in}=e\cdot 1=e$
2. ${\left(e^{1+2\pi in}\right)}^{1+2\pi in}=e$ (mengambil ke-$(1+2\pi in)$ pangkat kedua sisi)
3. $e^{1+4\pi in-4{\pi }^2{n}^2}=e$ (menggunakan ${\left(e^x\right)}^y=e^{xy}$ dan memperluas eksponen)
4. $e^1{e}^{4\pi in}{e}^{-4{\pi }^2{n}^2}=e$ (menggunakan $e^{x+y}=e^x{e}^y$)
5. $e^{-4{\pi }^2{n}^2}=1$ (membagi dengan )

tetapi ini salah jika bilangan bulat adalah bukan nol.

Kesalahannya adalah sebagai berikut: menurut definisi, $e^y$ adalah notasi untuk $\exp (y),$ fungsi yang sebenarnya, dan $x^y$ adalah notasi untuk $\exp (y\log x),$ yang merupakan fungsi multinilai. Jadi notasi ambigunya ketika . Maka, sebelum memperluas eksponen, baris kedua seharusnya

$\exp ((1+2\pi in)\log \exp (1+2\pi in))=\exp (1+2\pi in).$

Oleh karena itu, ketika memperluas eksponen, apabila implisit menduga bahwa $\log \exp z=z$ untuk nilai kompleks adalah nilai salah, karena logaritma kompleksnya adalah multinilai. Dengan kata lain, identitas salah harus diganti dengan identitas

${\left(e^x\right)}^y=e^{y\log e^x},$

yang merupakan identitas hakiki antara fungsi multinilai. }}

Eksponen irasional

Jika b adalah real positif bilangan aljabar, dan x adalah bilangan rasional, telah ditunjukkan di atas bahwa b^x adalah bilangan aljabar. Ini sisa hakiki bahkan apabila jika menerima bilangan aljabar untuk b, dengan satu-satunya perbedaan bahwa b^x mengambil beberapa nilai (bilangan terbatas, lihat di bawah), yang merupakan aljabar. Teorema Gelfond–Schneider diberikan beberapa informasi tentang sifat b^x ketika x adalah irasional (yaitu, bukan rasional). Maka, ini menyatakan:

Pangkat bilangan bulat dalam aljabar

Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk operasi asosiatif apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian. Definisi $x^0$ memerlukan keberadaan identitas perkalian lebih lanjut.

Sebuah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi asosiatif yang dilambangkan dengan perkalian, dan identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1 adalah monoid. Dalam monoid, eksponensial elemen didefinisikan secara induktif oleh

• $x^0=1,$
• $x^{n+1}=x{x}^n$ untuk setiap bilangan bulat nonnegatif .

Jika adalah bilangan bulat negatif, $x^n$ didefinisikan hanya jika memiliki invers perkalian. Dalam hal ini, invers dari dinotasikan $x^{-1},$ dan $x^n$ didefinisikan sebagai ${\left(x^{-1}\right)}^{-n}.$

Eksponen dengan eksponen bilangan bulat mematuhi hukum berikut, untuk dan dalam struktur aljabar, dan dan bilangan bulat:

$\begin{array}{cc}{x}^0& =1\\ x^{m+n}& =x^m{x}^n\\ (x^m{)}^n& =x^{mn}\\ (xy{)}^n& =x^n{y}^n\text{jika }xy=yx,\text{dan, khususnya, jika perkaliannya adalah komutatif.}\end{array}$

Definisi ini banyak digunakan di banyak bidang matematika, terutama untuk geup, gelanggang, medan, matriks persegi (yang membentuk gelanggang). Mereka berlaku juga untuk fungsi dari himpunan ke diri-sendiri, yang membentuk monoid bawah komposisi fungsi. Ini termasuk, sebagai contoh spesifik, transformasi geometris, dan endomorfisme dari struktur matematika.

Ketika ada beberapa operasi ulangan, adalah umum untuk menunjukkan operasi berulang/ulangan dengan menempatkan simbolnya di superskrip, sebelum eksponen. Misalnya, jika adalah fungsi real yang nilainya dapat dikalikan, $f^n$ menunjukkan eksponensial terhadap perkalian, dan $f^{\circ n}$ ditunjukkan eksponensial sehubungan dengan komposisi fungsi. Yaitu,

$(f^n)(x)=(f(x){)}^n=f(x)f(x)\cdots f(x),$

dan

$(f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots )).$

Biasanya, $(f^n)(x)$ dinotasikan $f(x{)}^n,$ sedangkan $(f^{\circ n})(x)$ dilambangkan $f^n(x).$

Dalam sebuah grup

Sebuah grup perkalian adalah himpunan dengan operasi asosiatif dilambangkan sebagai perkalian, yang memiliki elemen identitas, dan setiap elemen memiliki invers.

Jadi, jika adalah grup, $x^n$ didefinisikan untuk setiap $x\in G$ dan setiap bilangan bulat .

Himpunan dari semua pangkat suatu elemen dari grup membentuk subgrup. Sebuah gruprup (atau subgrup) yang terdiri dari semua pangkat dari elemen tertentu adalah grup siklik yang dihasilkan oleh . Jika semua pangkat berbeda, grupnya adalah isomorfik pada grup aditif $\mathbb{Z}$ dari bilangan bulat. Jika tidak, grup siklik adalah hingga (memiliki jumlah elemen hingga), dan jumlah elemennya adalah urutan dari . Jika urutan adalah , maka $x^n=x^0=1,$ dan grup siklik yang dihasilkan oleh terdiri dari pangkat pertama (mulai dengan acuh tak acuh dari eksponen atau ).

Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam teori grup. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat teorema Sylow), dan dalam klasifikasi grup sederhana hingga.

Notasi superskrip juga digunakan untuk konjugasi; yaitu, , di mana g dan h adalah elemen dari grup. Notasi ini tidak diubah dengan eksponensial, karena superskrip bukan bilangan bulat. Motivasi dari notasi ini adalah bahwa konjugasi memenuhi beberapa hukum eksponensial, yaitu $(g^h{)}^k=g^{hk}$ dan $(gh{)}^k=g^k{h}^k.$

Dalam sebuah gelanggang

Dalam sebuah gelanggang, bahwa beberapa elemen bukan nol memenuhi $x^n=0$ untuk beberapa bilangan bulat . Unsur tersebut disebut juga nilpoten. Dalam gelanggang komutatif, unsur-unsur nilpoten membentuk ideal, disebut juga nilradikal dari gelanggang.

Jika nilradikal direduksi menjadi ideal nol (yaitu, jika $x\ne 0$ menyatakan $x^n\ne 0$ untuk setiap bilangan bulat positif ), ring komutatif dikatakan tereduksi. Gelanggang tereduksi penting dalam geometri aljabar, karena gelanggang koordinat dari himpunan aljabar Affin merupakan gelanggang tereduksi.

Lebih umum, diberikan ideal dalam gelanggang komutatif , himpunan elemen yang memiliki pangkat adalah ideal, yang disebut radikal dari . Nilradikal adalah radikal dari zero ideal. Sebuah ideal radikal adalah ideal yang sama dengan radikal-diri. Dalam gelanggang polinomial $k[x_1,\dots ,x_n]$ atas medan , sebuah ideal adalah radikal jika dan hanya jika itu adalah himpunan semua polinomial yang nol pada himpunan aljabar affin (ini adalah konsekuensi dari Hilbertscher Nullstellensatz).

Matriks dan operator linear

Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali A dengan n itu sendiri disebut pangkat matriks. Juga $A^0$ didefinisikan sebagai matriks identitas, dan jika A adalah invers, maka $A^{-n}={\left(A^{-1}\right)}^n$.

pangkat matriks sering muncul dalam konteks sistem dinamik diskret, di mana matriks A menyatakan transisi dari vektor keadaan x dari beberapa sistem ke keadaan berikutnya Ax dari sistem. Ini adalah interpretasi standar dari rantai Markov, misalnya, apabila $A^{2}x$ adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka, $A^{n}x$ adalah status sistem setelah langkah kali n. Matriks pangkat $A^n$ adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kali n ke depan. Jadi menghitung pangkat matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, pangkat matriks dihitung dengan menggunakan nilai eigen dan vektor eigen.

Selain matriks, operator linear yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah turunan operator kalkulus, $d/dx$ salah satu operator linear yang melakukan fungsi $f(x)$ untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu $(d/dx)f(x)=f^{\prime }(x)$. pangkat ke-n dari operator diferensiasi adalah turunan ke-n:

${\left(\frac{d}{dx}\right)}^{n}f(x)=\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)=f^{(n)}(x).$

Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan pangkat dari operator tersebut dengan eksponen kontinu. Ini adalah titik awal dari teori matematika semigrup. Sama seperti pangkat matriks komputasi dengan eksponen diskret memecahkan sistem dinamis diskret, begitu pula pangkat matriks komputasi dengan eksponen kontinu memecahkan sistem dengan dinamika kontinu. Contohnya termasuk pendekatan untuk menyelesaikan persamaan panas, persamaan Schrödinger, persamaan gelombang, dan persamaan diferensial parsial lainnya yang termasuk evolusi waktu. Kasus khusus eksponensial operator turunan ke pangkat non-bilangan bulat disebut turunan pecahan, yang bersama dengan integral pecahan, merupakan operasi dasar dari kalkulus pecahan.

Medan hingga

Sebuah medan adalah struktur aljabar di mana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalah asosiatif, dan setiap elemen bukan nol memiliki perkalian invers. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk pangkat nonpositif . Contoh umum adalah bilangan kompleks dan submedan, bilangan rasional dan bilangan real yang telah dibahas sebelumnya dalam artikel ini, dan semua tak hingga.

Sebuah medan hingga adalah medan dengan elemen bilangan hingga. Jumlah elemen ini adalah bilangan prima atau pangkat prima; yaitu, memiliki bentuk $q=p^k,$ di mana adalah bilangan prima, dan adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap tersebut, ada medan dengan elemen . Medan dengan elemen semuanya adalah isomorfik, yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemen , dilambangkan ${𝔽}_q.$

Satu-satunya adalah

$x^q=x$

untuk setiap $x\in {𝔽}_q.$

Sebuah elemen primitif di ${𝔽}_q$ adalah elemen seperti pada himpunan pangkat pertama (yaitu, $\{g^1=g,g^2,\dots ,g^{p-1}=g^0=1\}$) sama dengan himpunan elemen bukan nol dari ${𝔽}_q.$ Ada $\phi (p-1)$ elemen primitif dalam ${𝔽}_q,$ di mana $\phi$ adalah fungsi totient Euler.

Dalam ${𝔽}_q,$ identitas impian Fresman

$(x+y{)}^p=x^p+y^p$

adalah hakiki untuk eksponen . Seperti $x^p=x$ di peta ${𝔽}_q,$ maka

$\begin{array}{cc}F:& {𝔽}_q\to {𝔽}_q\\ & x\mapsto x^p\end{array}$

adalah linear atas ${𝔽}_q,$ dan merupakan automorfisme medan, disebut automorfisme Frobenius. Jika $q=p^k,$ medan ${𝔽}_q$ memiliki automorfisme, yang merupakan pangkat pertama (antara komposisi) dari . Dengan kata lain, grup Galois dari ${𝔽}_q$ adalah siklik urutan , yang dihasilkan oleh automorfisme Frobenius.

Pertukaran kunci Diffie–Hellman adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk komunikasi aman. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, logaritma diskret, secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika adalah elemen primitif dalam ${𝔽}_q,$ maka $g^e$ dihitung secara efisien dengan eksponensial dari kuadrat untuk , bahkan jika besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan dari $g^e$ jika nilai adalah besar.

Atas himpunan

Jika n adalah bilangan asli, dan A adalah himpunan sembarang, maka ekspresi Aⁿ sering digunakan untuk menyatakan himpunan dari rangkap-n elemen A. Apabila ditulis Aⁿ menyatakan himpunan fungsi dari himpunan ke himpunan A; rangkap-n mewakili fungsi i ke a_i.

Untuk bilangan kardinal tak hingga dan himpunan A, notasi A^κ juga digunakan untuk menyatakan himpunan semua fungsi dari himpunan ukuran hingga A. Ini terkadang ditulis ^κA untuk membedakannya dari eksponensial utama, yang didefinisikan di bawah ini.

Eksponensial umum ini juga didefinisikan untuk operasi pada himpunan atau untuk himpunan dengan struktur tambahan. Misalnya, dalam aljabar linear, untuk indeks jumlah langsung dari ruang vektor melalui himpunan indeks sembarang. Artinya, apabila berbicara tentang

$\underset{i\in \mathbb{N}}{⨁}{V}_i,$

di mana setiap V_i adalah ruang vektor.

Kemudian jika V_i = V untuk setiap i, jumlah langsung yang dihasilkan ditulis dalam notasi eksponensial sebagai V^⊕N, atau cukup V^N dengan pengertian bahwa jumlah langsung adalah bawaan. Maka, ini bisa diganti kembali himpunan N dengan bilangan kardinal n untuk mendapatkan Vⁿ, meskipun tanpa memilih himpunan standar tertentu dengan kardinalitas n, yang didefinisikan isomorfisme hingga saja. Diberikan V sebagai medan-R dari bilangan real (yang sebagai ruang vektor atas) dan n menjadi beberapa bilangan asli, maka, ini mendapatkan ruang vektor umum yang dipelajari dalam aljabar linear, dan ruang vektor real-Rⁿ.

Jika basis operasi eksponensial adalah himpunan, operasi eksponensial adalah darab Kartesius kecuali dinyatakan yang lain. Karena beberapa darab Cartesian menghasilkan rangkap-n, yang diwakili oleh suatu fungsi pada himpunan kardinalitas yang sesuai, S^N sebagai himpunan semua fungsi dari N hingga S dalam kasus ini:

$S^N\equiv \{f:N\to S\}.$

Ini cocok dengan eksponen bilangan kardinal, dalam arti bahwa , di mana adalah kardinalitas X. Ketika "2" didefinisikan sebagai }, maka memiliki , di mana 2^X, biasanya dilambangkan dengan P(X), adalah himpunan pangkat dari X; masing-masing himpunan bagian Y dari X berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada X yang mengambil nilai 1 untuk dan 0 untuk .

Dalam teori kategori

Dalam kategori tertutup Kartesius, operasi eksponensial digunakan untuk kenaikkan objek sembarang ke pangkat objek lain. Ini menggeneralisasi darab Kartesius dalam kategori himpunan. Jika 0 adalah objek awal dalam kategori tertutup Kartesius, maka objek eksponensial 0⁰ adalah isomorfik ke objek terminal 1.

Dari bilangan kardinal dan ordinal

Dalam teori himpunan, ada operasi eksponensial untuk kardinal dan bilangan ordinal.

Jika κ dan λ adalah bilangan kardinal, ekspresi κ^λ mewakili kardinalitas himpunan fungsi dari sembarang himpunan kardinalitas λ ke himpunan kardinalitas κ. Jika κ dan λ adalah hingga, maka ini sesuai dengan operasi eksponensial aritmetika biasa. Misalnya, himpunan rangkap-3 elemen dari himpunan elemen-2 memiliki kardinalitas . Dalam aritmetika kardinal, κ⁰ adalah 1 (bahkan jika κ adalah kardinal tak hingga atau nol).

Eksponen bilangan kardinal berbeda dari eksponensial bilangan kardinal, yang didefinisikan oleh proses batas yang melibatkan induksi transfinit.

Eksponensial berulang

Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut hiper-4 atau tetrasi. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama hiperoperasi. Urutan operasi ini dinyatakan oleh fungsi Ackermann dan notasi panah atas Knuth. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada , fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan masing-masing pada ().

Limit pangkat

Nol pangkat nol memberikan sejumlah contoh limit yang berbentuk bentuk tak tentu 0⁰. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabel tidak memiliki limit pada titik . Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.

Lebih tepatnya, perhatikan fungsi didefinisikan pada Kemudian dilihat sebagai himpunan bagian dari (yaitu, himpunan semua pasangan dengan , memiliki garis bilangan real diperluas , dengan darab topologi), yang berisi titik-titik di mana fungsi memiliki limit.

Faktanya, memiliki limit di semua titik akumulasi dari , kecuali , , dan . Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan pangkat dengan kontinuitas , , kecuali untuk 0⁰, (+∞)⁰, 1^+∞ dan 1^−∞, yang tetap bentuk tak tentu.

Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:

• dan , bila .
• dan , bila .
• dan , bila .
• dan , bila .

pangkat ini diperoleh dengan mengambil limit untuk nilai positif dari . Metode ini tidak mengizinkan definisi ketika , karena pasangan dengan bukan merupakan titik akumulasi dari .

Disisi lain, ketika adalah bilangan bulat, maka pangkat bermakna untuk semua nilai , termasuk yang negatif. Maka, ini membuat definisi yang diperoleh diatas untuk negatif menjadi bermasalah ketika nilainya adalah , karena dalam kasus ini karena cenderung melalui nilai positif, tetapi bukan nilai negatif.

Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat

Komputasi bⁿ menggunakan perkalian berulang membutuhkan operasi perkalian, tetapi itu dapat dihitung lebih efisien dari itu, seperti yang diilustrasikan oleh contoh berikut. Untuk menghitung 2¹⁰⁰, terapkan kaidah Horner ke eksponen 100 yang ditulis dalam biner:

$100=2^2+2^5+2^6=2^2(1+2^3(1+2))$.

Kemudian hitung suku-suku berikut secara berurutan, baca kaidah Horner dari kanan ke kiri.

22 = 4

2 * (22) = 23 = 8

(23)2 = 26 = 64

(26)2 = 212 =

(212)2 = 224 =

2 * (224) = 225 =

(225)2 = 250 =

(250)2 = 2100 =

Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.

Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung dikurangi menjadi $\mathrm{♯}n+{\lfloor }^2\log n\rfloor -1,$ dengan menggunakan pangkat dengan kuadrat, dengan $\mathrm{♯}n$ menunjukkan jumlah dalam wakilan biner dari . Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakan pangkat kaidah-tambahan minimal. Menemukan barisan perkalian minimal (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untuk adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihat Masalah jumlah himpunan bagian), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia. Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.

Fungsi teriterasi

Komposisi fungsi adalah operasi biner yang didefinisikan pada fungsi sehingga kodomain dari fungsi yang ditulis sebelah kanan termasuk dalam domain dari fungsi yang ditulis sebelah kiri. Ini dilambangkan $g\circ f,$ dan didefinisikan sebagai

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

untuk setiap dalam domain .

Jika domain suatu fungsi sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan pangkat ke- dari fungsi di bawah komposisi, biasanya disebut iterasi ke- dari fungsi tersebut. Jadi $f^n$ secara umum menunjukkan iterasi ke- dari ; misalnya, $f^3(x)$ berarti $f(f(f(x))).$

Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, perkalian sesetitik, yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan notasi fungsional, dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional sebelum tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik setelah tanda kurung. Jadi $f^2(x)=f(f(x)),$ dan $f(x{)}^2=f(x)\cdot f(x).$ Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya $f^{\circ 3}=f\circ f\circ f,$ dan $f^3=f\cdot f\cdot f.$ Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya fungsi trigonometri. Jadi, ${\sin }^{2}x$ dan ${\sin }^2(x)$ berarti keduanya $\sin (x)\cdot \sin (x)$ dan bukan $\sin (\sin (x)),$ yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.

Dalam konteks ini, eksponen $-1$ selalu menunjukkan fungsi invers, jika ada. Jadi ${\sin }^{-1}x={\sin }^{-1}(x)=\arcsin x.$ Untuk pecahan perkalian invers umumnya digunakan seperti pada $1/\sin (x)=\frac{1}{\sin x}.$

Dalam bahasa pemrograman

Bahasa pemrograman umumnya menyatakan eksponensial baik sebagai operator infiks atau sebagai fungsi (awalan), karena mereka adalah notasi linear yang tidak mendukung superskrip:

• x ↑ y: Algol, Komodor BASIC, TRS-80 Level II/III BASIC.
• x ^ y: AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram Language (Mathematica), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX (dan turunannya), TI-BASIC, bc (untuk eksponen bilangan bulat), Haskell (untuk eksponen bilangan bulat nonnegatif), Lua dan sebagian besar sistem aljabar komputer. Penggunaan simbol ^ yang bertentangan meliputi: XOR (dalam ekspansi aritmetika POSIX Shell, AWK, C, C++, C#, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby dan Tcl), Indirection (Pascal), dan rangkaian string (OCaml dan Standard ML).
• x ^^ y: Haskell (untuk basis pecahan, eksponen bilangan bulat), D.
• x ** y: Ada, Z shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, F#, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Haskell (untuk eksponen floating-point), Turing, VHDL.
• pown x y: F# (for integer base, integer exponent).
• x⋆y: APL.

Many other programming languages lack syntactic support for exponentiation, but provide library functions:

• pow(x, y): C, C++.
• Math.Pow(x, y): C#.
• math:pow(X, Y): Erlang.
• Math.pow(x, y): Java.
• [Math]::Pow(x, y): Windows PowerShell.
• (expt x y): Common Lisp.

Untuk eksponen tertentu ada cara khusus untuk menghitung x^y jauh lebih cepat daripada melalui eksponen umum. Kasus ini mencakup bilangan bulat positif dan negatif kecil (memilih x · x daripada x²; memilih 1/x daripada x⁻¹) dan root (memilih sqrt(x) daripada x^0.5, memilih cbrt(x) daripada x^{1/3</ sup>).}

Tidak semua bahasa pemrograman menggunakan konvensi asosiasi yang sama untuk eksponensial: sedangkan Wolfram Language, Google Search dan lainnya menggunakan pengaitan kanan (yaitu a^b^c dievaluasi sebagai a^(b^c)), banyak program komputer seperti Microsoft Excel dan MATLAB mengasosiasikan ke kiri (yaitu a^b^c dievaluasi sebagai (a^b)^c).

Lihat pula

• Fungsi eksponensial ganda
• Peluruhan eksponensial
• Medan eksponensial
• Pertumbuhan eksponensial
• Daftar topik eksponensial
• Eksponensial modular
• Notasi ilmiah
• Subskrip dan superskrip Unicode
• x^y = y^x
• Nol pangkat nol

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29450667 (2026-07-13T02:15:10Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.