Lompat ke isi

Kesamaan: Perbedaan antara revisi

Ensiklopedia Pengetahuan Universitas Islam Sultan Agung

Maintenance script (bicara | kontrib)

37.956 suntingan
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29056801; atribusi sumber disertakan.
Β 
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi
Β 
Baris 1: Baris 1:
[[File:Equals_sign_typewriter.svg|thumb|right|280px|Equals sign typewriter]]
Dalam [[matematika]], '''kesamaan''' adalah hubungan antara dua kuantitas, atau [[ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]] secara umum, yang menyatakan bahwa kedua kuantitas tersebut punya nilai yang sama, atau kedua ekspresi tersebut melambangkan [[objek matematika]] yang sama. Kesamaan antaraΒ  danΒ  ditulis dengan , dan dibacaΒ  sama dengan . Simbol "" disebut "[[tanda sama dengan]]".
Dalam [[matematika]], '''kesamaan''' adalah hubungan antara dua kuantitas, atau [[ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]] secara umum, yang menyatakan bahwa kedua kuantitas tersebut punya nilai yang sama, atau kedua ekspresi tersebut melambangkan [[objek matematika]] yang sama. Kesamaan antaraΒ  danΒ  ditulis dengan , dan dibacaΒ  sama dengan . Simbol "" disebut "[[tanda sama dengan]]".


== Simbol ==
== Simbol ==
Β 
SimbolΒ  kini sudah diterima secara universal dalam pengertian kesamaan dalam matematika. Simbol ini pertama kali dicatat oleh matematikawan Welsh [[Robert Recorde]] dalam ''[[The Whetstone of Witte]]'' (1557). Awal rupa simbol tersebut ditulis lebih panjang daripada bentuk yang saat ini. Dalam bukunya, Recorde menjelaskan simbolnya sbagai explains his symbol as "garis-garis Gemowe", namanya berasal dari bahasa Latin '''' ('kembar'), Digambarkan bahwa simbol itu menggunakan dua [[Garis sejajar|garis yang sejajar]] untuk menyatakan kesamaan, karena Recorde meyakini bahwa "tidak ada dua hal yang dapat lebih sama."<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kesamaan&oldid=29056801 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
Β 
SimbolΒ  kini sudah diterima secara universal dalam pengertian kesamaan dalam matematika. Simbol ini pertama kali dicatat oleh matematikawan Welsh [[Robert Recorde]] dalam ''[[The Whetstone of Witte]]'' (1557). Awal rupa simbol tersebut ditulis lebih panjang daripada bentuk yang saat ini. Dalam bukunya, Recorde menjelaskan simbolnya sbagai explains his symbol as "garis-garis Gemowe", namanya berasal dari bahasa Latin '''' ('kembar'), Digambarkan bahwa simbol itu menggunakan dua [[Garis sejajar|garis yang sejajar]] untuk menyatakan kesamaan, karena Recorde meyakini bahwa "tidak ada dua hal yang dapat lebih sama."


Simbol Recorde awalnya tidak begitu terkenal. Setelah pendahuluan, simbol tersebut tidak digunakan lagi dalam cetakan hingga pada tahun 1618 (61 tahun kemudian), dalam Apendiks tanpa nama dalam terjemahan bahasa Inggris [[Edward Wright (matematikawan)|Edward Wright]] dalam ''[[Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio|Descriptio]]'', karya [[John Napier]]. Hingga pada tahun 1631, simbol tersebut sudah diterima banyak kalangan matematikawan di Inggris, dan menggunakan simbol tersebut menyatakan kesamaan dalam beberapa karya yang berdampak. Seterusnya, simbol tersebut digunakan beberapa matematikawan terkenal, seperti [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz]]. Karena kelazinan [[History of calculus#Newton and Leibniz|kalkulus pada kala itu juga]] yang disematkan oleh kedua matematikawan tersebut, simbol tersebut dengan cepat menyebar di seluruh Eropa.
Simbol Recorde awalnya tidak begitu terkenal. Setelah pendahuluan, simbol tersebut tidak digunakan lagi dalam cetakan hingga pada tahun 1618 (61 tahun kemudian), dalam Apendiks tanpa nama dalam terjemahan bahasa Inggris [[Edward Wright (matematikawan)|Edward Wright]] dalam ''[[Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio|Descriptio]]'', karya [[John Napier]]. Hingga pada tahun 1631, simbol tersebut sudah diterima banyak kalangan matematikawan di Inggris, dan menggunakan simbol tersebut menyatakan kesamaan dalam beberapa karya yang berdampak. Seterusnya, simbol tersebut digunakan beberapa matematikawan terkenal, seperti [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz]]. Karena kelazinan [[History of calculus#Newton and Leibniz|kalkulus pada kala itu juga]] yang disematkan oleh kedua matematikawan tersebut, simbol tersebut dengan cepat menyebar di seluruh Eropa.


== Sifat dasar ==
== Sifat dasar ==
; [[Relasi refleksif|Refleksivitas]]
; [[Relasi refleksif|Refleksivitas]]
: Untuk setiap , maka berlaku .
: Untuk setiap , maka berlaku .<ref>Edwin F. Beckenbach. [https://archive.org/details/collegealgebra0000beck_d0s1 College Algebra]. Wadsworth. 1982. hlm. 7. ISBN 978-0-534-01007-2.</ref><ref>Joseph Landin. [https://archive.org/details/introductiontoal00land/ An Introduction to Algebraic Structures]. Dover. 1989. hlm. 5. ISBN 978-0-486-65940-4.</ref>
; [[Relasi simetris|Simetris]]
; [[Relasi simetris|Simetris]]
: Untuk setiapΒ  dan , jika , maka .
: Untuk setiapΒ  dan , jika , maka .<ref>Edwin F. Beckenbach. [https://archive.org/details/collegealgebra0000beck_d0s1 College Algebra]. Wadsworth. 1982. hlm. 7. ISBN 978-0-534-01007-2.</ref><ref>Joseph Landin. [https://archive.org/details/introductiontoal00land/ An Introduction to Algebraic Structures]. Dover. 1989. hlm. 5. ISBN 978-0-486-65940-4.</ref>
; [[Relasi transitif|Transitivitas]]
; [[Relasi transitif|Transitivitas]]
: Untuk setiap , , dan , jikaΒ  dan , maka .
: Untuk setiap , , dan , jikaΒ  dan , maka .<ref>Edwin F. Beckenbach. [https://archive.org/details/collegealgebra0000beck_d0s1 College Algebra]. Wadsworth. 1982. hlm. 7. ISBN 978-0-534-01007-2.</ref><ref>Joseph Landin. [https://archive.org/details/introductiontoal00land/ An Introduction to Algebraic Structures]. Dover. 1989. hlm. 5. ISBN 978-0-486-65940-4.</ref>
; [[Substitusi (logika)#Matematika|Substitusi]]
; [[Substitusi (logika)#Matematika|Substitusi]]
: Secara informal, ini hanya berarti bahwa jika , makaΒ  dapat menggantikanΒ  dalam bentuk [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] atau [[rumus]] apa saja tanpa mengubah maknanya. (Untuk penjelasan formalnya, lihat ). Sebagai contoh:
: Secara informal, ini hanya berarti bahwa jika , makaΒ  dapat menggantikanΒ  dalam bentuk [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] atau [[rumus]] apa saja tanpa mengubah maknanya.<ref>Edwin F. Beckenbach. [https://archive.org/details/collegealgebra0000beck_d0s1 College Algebra]. Wadsworth. 1982. hlm. 7. ISBN 978-0-534-01007-2.</ref><ref>Patrick Suppes. [https://web.mit.edu/gleitz/www/Introduction%20to%20Logic%20-%20P.%20Suppes%20(1957)%20WW.pdf#page=120 Introduction to Logic]. Van Nostrand Reinhold. 1957. hlm. 101–102.</ref><ref>Terence Tao. ''Analysis I''. ''Texts and Readings in Mathematics''. 2022. Vol. 37. hlm. 284. doi:10.1007/978-981-19-7261-4. ISBN 978-981-19-7261-4.</ref> (Untuk penjelasan formalnya, lihat ). Sebagai contoh:
; [[Penerapan fungsi|Penerapan operasi]]
; [[Penerapan fungsi|Penerapan operasi]]
: Untuk setiapΒ  dan , dengan [[Operasi (matematika)|operasi]] <math>f(x)</math>, jika , maka <math>f(a) = f(b)</math>. Sebagai contoh:
: Untuk setiapΒ  dan , dengan [[Operasi (matematika)|operasi]] <math>f(x)</math>, jika , maka <math>f(a) = f(b)</math>.<ref>V. N. Grishin. [https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837 Equality axioms]. Springer-Verlag. ISBN 1-4020-0609-8.</ref><ref>Terence Tao. ''Analysis I''. ''Texts and Readings in Mathematics''. 2022. Vol. 37. hlm. 284. doi:10.1007/978-981-19-7261-4. ISBN 978-981-19-7261-4.</ref> Sebagai contoh:


Tiga sifat pertama pada umumnya disematkan dengan [[Giuseppe Peano]], yang telah menyajikan pernyataan tersebut secara terang-terangan sebagai sifat-sifat kesamaan yang mendasar dalam '''' (1889). Namun gagasan dasarnya selalu ada, seperti [[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']] () yang [[Euclidean geometry#common notions|menyertaka 'gagasan umum']]: "Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama dengan hal yang lainnya" (transitif), "Hal yang bersamaan dengan satu sama lain sama dengan hal yang lain" (refleksif), di sepanjang beberapa sifat penerapan operasi untuk penambahan dan pengurangan. Sifat penerapan operasi juga dinyatakan dalam '''' Terlepas dari itu, sudah menjadi kelaziman dalam [[aljabar]] setidaknya semenjak pada masa Diophantus (). Sifat substitusi pada umumnya disematkan dengan [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] (), dan acapkali dinamai ''Hukum'' ''Leibniz''.
Tiga sifat pertama pada umumnya disematkan dengan [[Giuseppe Peano]], yang telah menyajikan pernyataan tersebut secara terang-terangan sebagai sifat-sifat kesamaan yang mendasar dalam '''' (1889).<ref>Giuseppe Peano. [https://books.google.com/books?id=z80GAAAAYAAJ Arithmetices principia: nova methodo]. Fratres Bocca. 1889. hlm. XIII.</ref> Namun gagasan dasarnya selalu ada, seperti [[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']] () yang [[Euclidean geometry#common notions|menyertaka 'gagasan umum']]: "Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama dengan hal yang lainnya" (transitif), "Hal yang bersamaan dengan satu sama lain sama dengan hal yang lain" (refleksif), di sepanjang beberapa sifat penerapan operasi untuk penambahan dan pengurangan.<ref>Thomas Little Heath. [https://archive.org/details/thirteenbooksofe0001eucl_e2h2/ The Thirteen Books of Euclid's Elements]. Dover. 1956. Vol. 1 (Books I and II). hlm. 222.</ref> Sifat penerapan operasi juga dinyatakan dalam ''''<ref>Giuseppe Peano. [https://books.google.com/books?id=z80GAAAAYAAJ Arithmetices principia: nova methodo]. Fratres Bocca. 1889. hlm. XIII.</ref> Terlepas dari itu, sudah menjadi kelaziman dalam [[aljabar]] setidaknya semenjak pada masa Diophantus ().<ref>Thomas Little Heath. [https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala/ Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek algebra]. Cambridge University Press. 1910.</ref> Sifat substitusi pada umumnya disematkan dengan [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] (), dan acapkali dinamai ''Hukum'' ''Leibniz''.<ref>Patrick Suppes. [https://web.mit.edu/gleitz/www/Introduction%20to%20Logic%20-%20P.%20Suppes%20(1957)%20WW.pdf#page=120 Introduction to Logic]. Van Nostrand Reinhold. 1957. hlm. 101–102.</ref><ref>Peter Forrest. [https://plato.stanford.edu/archives/win2024/entries/identity-indiscernible/ The Identity of Indiscernibles]. Metaphysics Research Lab, Stanford University. 1996.</ref>


== Persamaan ==
== Persamaan ==
[[Persamaan]] adalah kesamaan simbolik dari kedua [[Ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]] yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=).<ref>''Equation (n.), sense III.6.a''. 2023. doi:10.1093/OED/2918848458.</ref> [[Aljabar]] adalah cabang matematika yang melibatkan [[penyelesaian persamaan]]. Penyelesaian tersebut mencakup masalah mencari nilai suatu [[Variabel (matematika)|variabel]] yang tidak diketahui, supaya kesamaan yang dimaksud itu benar. Masing-masing nilai yang tidak diketahui supaya persamaan itu berlaku dinamakan ''solusi'' atau ''penyelesaian'', dan juga dikatakan ''memenuhi'' persamaan. Sebagai contoh, persamaan <math>x^2 - 6x + 5=0</math> memiliki nilai <math>x=1</math> dan <math>x=5</math> sebagai solusi persamaan itu. Istilah tersebut digunakan dengan serupa untuk persamaan yang tidak diketahui variabel-variabelnya.<ref>Sobolev, S. K. (originator). "[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Equation Equation]". ''Encyclopedia of Mathematics''. Springer. .</ref> Himpunan solusi persamaan atau [[sistem persamaan]] dinamakan [[himpunan solusi]].<ref>[https://www.merriam-webster.com/dictionary/solution%20set Solution set]. 2025-02-24.</ref>


[[Persamaan]] adalah kesamaan simbolik dari kedua [[Ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]] yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=). [[Aljabar]] adalah cabang matematika yang melibatkan [[penyelesaian persamaan]]. Penyelesaian tersebut mencakup masalah mencari nilai suatu [[Variabel (matematika)|variabel]] yang tidak diketahui, supaya kesamaan yang dimaksud itu benar. Masing-masing nilai yang tidak diketahui supaya persamaan itu berlaku dinamakan ''solusi'' atau ''penyelesaian'', dan juga dikatakan ''memenuhi'' persamaan. Sebagai contoh, persamaan <math>x^2 - 6x + 5=0</math> memiliki nilai <math>x=1</math> dan <math>x=5</math> sebagai solusi persamaan itu. Istilah tersebut digunakan dengan serupa untuk persamaan yang tidak diketahui variabel-variabelnya. Himpunan solusi persamaan atau [[sistem persamaan]] dinamakan [[himpunan solusi]].
Dalam [[pendidikan matematika]], murid-murid diajarkan untuk mengandalkan model-model konkret dan visualisasi persammaan, seperti analogi geometri, manipulasi batang ataupun gelas, dan "mesin fungsi" yang merepresentasikan persamaan seperti [[diagram aliran]]. Adapun metode yang menggunakan [[timbangan]] sebagai pendekatan ilustrasi untuk membantu murid-murid menangkap permasalahan dasar dalam aljabar. Massa benda tidak diketahui, sehingga dilambangkan sebagai variabel. Menyelesaikan persamaan sama saja seperti menambahkan atau membuang benda pada kedua sisi timbangan sehingga tetap seimbang. Hal tersebut terus berlanjut hingga menyisakan benda di sebelah sisi timbangan yang merupakan benda yang tidak diketahui massanya.<ref>Francis Gardella. [https://books.google.com/books?id=HBXFDwAAQBAJ&pg=PA19 Algebra for the Middle Grades]. IAP. 2020. hlm. 19. ISBN 978-1-64113-847-5.</ref>


Dalam [[pendidikan matematika]], murid-murid diajarkan untuk mengandalkan model-model konkret dan visualisasi persammaan, seperti analogi geometri, manipulasi batang ataupun gelas, dan "mesin fungsi" yang merepresentasikan persamaan seperti [[diagram aliran]]. Adapun metode yang menggunakan [[timbangan]] sebagai pendekatan ilustrasi untuk membantu murid-murid menangkap permasalahan dasar dalam aljabar. Massa benda tidak diketahui, sehingga dilambangkan sebagai variabel. Menyelesaikan persamaan sama saja seperti menambahkan atau membuang benda pada kedua sisi timbangan sehingga tetap seimbang. Hal tersebut terus berlanjut hingga menyisakan benda di sebelah sisi timbangan yang merupakan benda yang tidak diketahui massanya.
Persamaan sering kali dianggap seperti pernyataan, atau [[Relasi (matematika)|relasi]], yang dapat berarti [[benar atau salah]]. Sebagai contoh, <math>1+1=2</math> adalah benar, sedangkan <math>1+1=3</math> salah. Persamaan yang tidak diketahui variabelnya dianggap [[Syarat kebenaran|benar dengan syarat]], sebagai contoh <math>x^2 - 6x + 5=0</math> benar ketika <math>x=1</math> atau <math>x=5</math>, sedangkan nilai lainnya salah.<ref>Oscar Levin. [https://discrete.openmathbooks.org/pdfs/dmoi3-tablet.pdf Discrete Mathematics: An Open Introduction]. Oscar Levin. 2021. hlm. 5. ISBN 978-1-79290-169-0.</ref> Adapun berbagai istilah yang berbeda mengenai hal tersebut. Dalam [[logika matematika]], persamaan adalah [[Predikat (logika)|predikat]] biner (dalam artian [[Pernyataan (logika)|pernyataan logis]] yang dapat memiliki [[variabel bebas]]) yang memenuhi [[Kesamaan#Aksioma|sifat-sifat tertentu]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kesamaan&oldid=29056801 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Dalam [[ilmu komputer]], persamaan didefinisikan sebagai [[Ekspresi (ilmu komputer)|ekspresi]] bernilai [[Tipe data boolean|boolean]], atau [[operator relasi]], yang menghasilkan kembali 1 untuk benar dan 0 untuk salah.<ref>[https://www.ibm.com/docs/en/xl-c-and-cpp-aix/16.1?topic=expressions-equality-inequality-operators Equality and inequality operators == !=]. ''XL C/C++ for AIX Documentation''. IBM. 2025-02-25.</ref>
Β 
Persamaan sering kali dianggap seperti pernyataan, atau [[Relasi (matematika)|relasi]], yang dapat berarti [[benar atau salah]]. Sebagai contoh, <math>1+1=2</math> adalah benar, sedangkan <math>1+1=3</math> salah. Persamaan yang tidak diketahui variabelnya dianggap [[Syarat kebenaran|benar dengan syarat]], sebagai contoh <math>x^2 - 6x + 5=0</math> benar ketika <math>x=1</math> atau <math>x=5</math>, sedangkan nilai lainnya salah. Adapun berbagai istilah yang berbeda mengenai hal tersebut. Dalam [[logika matematika]], persamaan adalah [[Predikat (logika)|predikat]] biner (dalam artian [[Pernyataan (logika)|pernyataan logis]] yang dapat memiliki [[variabel bebas]]) yang memenuhi [[Kesamaan#Aksioma|sifat-sifat tertentu]]. Dalam [[ilmu komputer]], persamaan didefinisikan sebagai [[Ekspresi (ilmu komputer)|ekspresi]] bernilai [[Tipe data boolean|boolean]], atau [[operator relasi]], yang menghasilkan kembali 1 untuk benar dan 0 untuk salah.


=== Identitas ===
=== Identitas ===
[[Identitas (matematika)|Identitas]] adalah kesamaan yang benar untuk semua nilai dari variabel di domain yang diketahui. Suatu "persamaan" terkadang dapat berarti identitas, tetapi sering kali suatu persamaan ''menyajikan'' subhipunan ruang variabel menjadi subhimpunan yang persamaan tersebut itu benar. Sebagai contohnya adalah <math>\left(x + 1\right)\left(x + 1\right) = x^2 + 2 x + 1</math> yang berlaku benar untuk tiap [[bilangan real]] <math>x</math>. Tidak ada notasi standar yang membedakan persamaan dari identitas, atau penggunaan relasi kesamaan lainnya: seseorang harus menduga pandangan yang sesuai dari semantik ekspresi dan konteks. Kadangkala tapi tidak selalu, identitas ditulis dengan [[Triple bar|tiga garis yang sejajar]]: <math>\left(x + 1\right)\left(x + 1\right) \equiv x^2 + 2 x + 1.</math> Notasi tersebut diperkenalkan oleh [[Bernhard Riemann]] dalam pengajarannya pada tahun 1857 di '''' lectures (yang diterbitkan pada tahun 1899).
[[Identitas (matematika)|Identitas]] adalah kesamaan yang benar untuk semua nilai dari variabel di domain yang diketahui.<ref>V. N. Grishin. [http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613 Equation]. Springer-Verlag. ISBN 1-4020-0609-8.</ref><ref>Henry Sinclair Hall. [https://archive.org/details/algebraforbeginn00hall/ Algebra for Beginners]. Macmillan & Co. 1895. hlm. 52.</ref> Suatu "persamaan" terkadang dapat berarti identitas, tetapi sering kali suatu persamaan ''menyajikan'' subhipunan ruang variabel menjadi subhimpunan yang persamaan tersebut itu benar. Sebagai contohnya adalah <math>\left(x + 1\right)\left(x + 1\right) = x^2 + 2 x + 1</math> yang berlaku benar untuk tiap [[bilangan real]] <math>x</math>. Tidak ada notasi standar yang membedakan persamaan dari identitas, atau penggunaan relasi kesamaan lainnya: seseorang harus menduga pandangan yang sesuai dari semantik ekspresi dan konteks.<ref>Solomon Marcus. [https://www.academia.edu/3287674 What is an Equation?].</ref> Kadangkala tapi tidak selalu, identitas ditulis dengan [[Triple bar|tiga garis yang sejajar]]: <math>\left(x + 1\right)\left(x + 1\right) \equiv x^2 + 2 x + 1.</math><ref>Richard Earl. Oxford University Press. 2021. doi:10.1093/acref/9780198845355.001.0001. ISBN 978-0-19-884535-5.</ref> Notasi tersebut diperkenalkan oleh [[Bernhard Riemann]] dalam pengajarannya pada tahun 1857 di '''' lectures (yang diterbitkan pada tahun 1899).<ref>Leopold Kronecker. [https://archive.org/details/vorlesungenberz00krongoog/page/86/mode/2up?q=Biemann Vorlesungen ΓΌber Zahlentheorie]. Springer. 1978. hlm. 86. doi:10.1007/978-3-662-24731-0. ISBN 978-3-662-22798-5.</ref><ref>Bernhard Riemann. [https://archive.org/details/elliptischefunc00riemgoog/page/n17/mode/2up?q=%22Aus+der+letzten+Gleichung%22 Elliptische functionen]. B. G. Teubner. 1899.</ref>


Identitas dapat dipandang lain sebagai kesamaan [[Fungsi (matematika)|fungsi]]. Alih-alih menulis <math>f(a) = g(a) \text{ untuk semua } a</math>, seseorang dapat menulis dengan sederhana sebagai <math>f = g.</math> Ini dinamakan [[ekstensionalitas]] fungsi. Dalam hal ini, sifat penerapan-operasi mengacu pada [[Operator (matematika)|operator]], operasi pada [[ruang fungsi]] (fungsi yang memetakan di antara fungsi) seperti [[Komposisi fungsi|komposisi]] atau [[turunan]] yang umumnya digunakan dalam [[kalkulus operasional]]. Suatu identitas dapat memiliki fungsi yang "tidak diketahui", dan identitas tersebut dapat dieselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan biasanya. Persamaan itu dinamakan [[persamaan fungsional]]. Suatu persamaan fungsional melibatkan turunan yang dinamakan [[persamaan diferensial]].
Identitas dapat dipandang lain sebagai kesamaan [[Fungsi (matematika)|fungsi]]. Alih-alih menulis <math>f(a) = g(a) \text{ untuk semua } a</math>, seseorang dapat menulis dengan sederhana sebagai <math>f = g.</math><ref>Terence Tao. ''Analysis I''. Springer. 2022. Vol. 37. hlm. 42–43. doi:10.1007/978-981-19-7261-4. ISBN 978-981-19-7261-4.</ref> Ini dinamakan [[ekstensionalitas]] fungsi.<ref>[https://ncatlab.org/nlab/show/function+extensionality function extensionality in nLab]. ''ncatlab.org''.</ref> Dalam hal ini, sifat penerapan-operasi mengacu pada [[Operator (matematika)|operator]], operasi pada [[ruang fungsi]] (fungsi yang memetakan di antara fungsi) seperti [[Komposisi fungsi|komposisi]]<ref>D. S. Malik. [https://archive.org/details/fundamentals-of-abstract-algebra-d.-s.-malik-j.-m.-mordeson-m.-k.-sen/page/83/mode/2up Fundamentals of Abstract Algebra]. McGraw-Hill. 1997. hlm. 83. ISBN 0-07-040035-0.</ref> atau [[turunan]] yang umumnya digunakan dalam [[kalkulus operasional]]. Suatu identitas dapat memiliki fungsi yang "tidak diketahui", dan identitas tersebut dapat dieselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan biasanya. Persamaan itu dinamakan [[persamaan fungsional]].<ref>''Functional Equations and How to Solve Them''. Springer. 2007. hlm. 1. doi:10.1007/978-0-387-48901-8. ISBN 978-0-387-34534-5.</ref> Suatu persamaan fungsional melibatkan turunan yang dinamakan [[persamaan diferensial]].<ref>William A. Adkins. ''Ordinary Differential Equations''. Springer. 2012. hlm. 2–5. doi:10.1007/978-1-4614-3618-8. ISBN 978-1-4614-3617-1.</ref>


=== Definisi ===
=== Definisi ===
Persamaan kerapkali digunakan untuk memperkenalkan istilah atau simbol baru untuk konstanta, [[Pertimbangan (logika matematika)|menegaskan]] kesamaan, dan memperkenalkan singkatan untuk ekspresi yang rumit dilihat, yang dinamakan "''equal by definition''" atau "sama berdasarkan definisi", dan sering kali dilambangkan dengan (<math>:=</math>). Ini mirip seperti konsep [[Assignment (ilmu komputer)|assignment]] suatu [[Variabel (ilmu komputer)|variabel dalam ilmu komputer]]. Sebagai contoh, <math display="inline">\mathbb{e} := \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math> mendefinisikan [[E (konstanta matematika)|konstanta matematika yang kira-kira sama dengan 2,7182818...]], dan <math>i^2 = -1</math> mendefinisikan sifat-sifat [[bilangan imajiner]] <math>i.</math>
Persamaan kerapkali digunakan untuk memperkenalkan istilah atau simbol baru untuk konstanta, [[Pertimbangan (logika matematika)|menegaskan]] kesamaan, dan memperkenalkan singkatan untuk ekspresi yang rumit dilihat, yang dinamakan "''equal by definition''" atau "sama berdasarkan definisi", dan sering kali dilambangkan dengan (<math>:=</math>).<ref>Isaiah Lankham. [https://www.math.ucdavis.edu/~anne/WQ2007/mat67-Common_Math_Symbols.pdf Some Common Mathematical Symbols and Abbreviations (with History)]. University of California, Davis. January 21, 2007.</ref> Ini mirip seperti konsep [[Assignment (ilmu komputer)|assignment]] suatu [[Variabel (ilmu komputer)|variabel dalam ilmu komputer]]. Sebagai contoh, <math display="inline">\mathbb{e} := \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math> mendefinisikan [[E (konstanta matematika)|konstanta matematika yang kira-kira sama dengan 2,7182818...]],<ref>[https://www.britannica.com/science/e-mathematics e].</ref> dan <math>i^2 = -1</math> mendefinisikan sifat-sifat [[bilangan imajiner]] <math>i.</math><ref>Lynn Marecek. [https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-8-use-the-complex-number-system Intermediate Algebra 2e]. OpenStax. 2020-05-06. ISBN 978-1-975076-49-8.</ref>


Dalam [[logika matematika]], ini dinamakan [[ekstensi berdasarkan definisi]] (menurut kesamaan) yang merupakan [[ekstensi konservatif]] dengan [[sistem formal]]. Ini dilakukan dengan mengambil persamaan yang mendefinisikan simbol konstana baru sebagia [[aksioma]] suatu [[Teorema (logika matematika)|teorema]] yang baru. Simbol yang mengartikan "sama berdasarkan definisi" tercatat pertama kali pada ''Logica Matematica'' (1894), karya matematikawan Italia [[Cesare Burali-Forti]], yang menggunakan notasi (<math>=_\text{Def}Β  </math>).
Dalam [[logika matematika]], ini dinamakan [[ekstensi berdasarkan definisi]] (menurut kesamaan) yang merupakan [[ekstensi konservatif]] dengan [[sistem formal]]. Ini dilakukan dengan mengambil persamaan yang mendefinisikan simbol konstana baru sebagia [[aksioma]] suatu [[Teorema (logika matematika)|teorema]] yang baru. Simbol yang mengartikan "sama berdasarkan definisi" tercatat pertama kali pada ''Logica Matematica'' (1894), karya matematikawan Italia [[Cesare Burali-Forti]], yang menggunakan notasi (<math>=_\text{Def}Β  </math>).<ref>Cesare Burali-Forti. [https://books.google.com/books?id=F5xJAAAAIAAJ Logica matematica]. Ulrico Hoepli. 1894. hlm. 120.</ref><ref>Isaiah Lankham. [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Linear_Algebra/Book:_Linear_Algebra_(Schilling_Nachtergaele_and_Lankham)/13:_Appendices/13.03:_Some_Common_Mathematical_Symbols_and_Abbreviations#:~:text=:=%20(the%20equal%20by%20definition,especially%20common%20in%20applied%20mathematics. Linear Algebra]. Mathematics LibreTexts, University of California, Davis. 2013-11-07.</ref>


==Lihat pula==
==Lihat pula==
Baris 48: Baris 46:


== Catatan ==
== Catatan ==
== Referensi ==
==Pranala luar==
==Pranala luar==
*
*


== Referensi ==
<references />


== Sumber dan atribusi ==


== Sumber dan atribusi ==
Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kesamaan&oldid=29056801 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29056801 (2026-03-21T11:41:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kesamaan&oldid=29056801 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29056801 (2026-03-21T11:41:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.07

Equals sign typewriter

Dalam matematika, kesamaan adalah hubungan antara dua kuantitas, atau ekspresi matematika secara umum, yang menyatakan bahwa kedua kuantitas tersebut punya nilai yang sama, atau kedua ekspresi tersebut melambangkan objek matematika yang sama. Kesamaan antara dan ditulis dengan , dan dibaca sama dengan . Simbol "" disebut "tanda sama dengan".

Simbol

Simbol kini sudah diterima secara universal dalam pengertian kesamaan dalam matematika. Simbol ini pertama kali dicatat oleh matematikawan Welsh Robert Recorde dalam The Whetstone of Witte (1557). Awal rupa simbol tersebut ditulis lebih panjang daripada bentuk yang saat ini. Dalam bukunya, Recorde menjelaskan simbolnya sbagai explains his symbol as "garis-garis Gemowe", namanya berasal dari bahasa Latin ' ('kembar'), Digambarkan bahwa simbol itu menggunakan dua garis yang sejajar untuk menyatakan kesamaan, karena Recorde meyakini bahwa "tidak ada dua hal yang dapat lebih sama."[1]

Simbol Recorde awalnya tidak begitu terkenal. Setelah pendahuluan, simbol tersebut tidak digunakan lagi dalam cetakan hingga pada tahun 1618 (61 tahun kemudian), dalam Apendiks tanpa nama dalam terjemahan bahasa Inggris Edward Wright dalam Descriptio, karya John Napier. Hingga pada tahun 1631, simbol tersebut sudah diterima banyak kalangan matematikawan di Inggris, dan menggunakan simbol tersebut menyatakan kesamaan dalam beberapa karya yang berdampak. Seterusnya, simbol tersebut digunakan beberapa matematikawan terkenal, seperti Isaac Newton dan Gottfried Leibniz. Karena kelazinan kalkulus pada kala itu juga yang disematkan oleh kedua matematikawan tersebut, simbol tersebut dengan cepat menyebar di seluruh Eropa.

Sifat dasar

Refleksivitas
Untuk setiap , maka berlaku .[2][3]
Simetris
Untuk setiap dan , jika , maka .[4][5]
Transitivitas
Untuk setiap , , dan , jika dan , maka .[6][7]
Substitusi
Secara informal, ini hanya berarti bahwa jika , maka dapat menggantikan dalam bentuk ekspresi atau rumus apa saja tanpa mengubah maknanya.[8][9][10] (Untuk penjelasan formalnya, lihat ). Sebagai contoh:
Penerapan operasi
Untuk setiap dan , dengan operasi f(x), jika , maka f(a)=f(b).[11][12] Sebagai contoh:

Tiga sifat pertama pada umumnya disematkan dengan Giuseppe Peano, yang telah menyajikan pernyataan tersebut secara terang-terangan sebagai sifat-sifat kesamaan yang mendasar dalam ' (1889).[13] Namun gagasan dasarnya selalu ada, seperti Euclid's Elements () yang menyertaka 'gagasan umum': "Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama dengan hal yang lainnya" (transitif), "Hal yang bersamaan dengan satu sama lain sama dengan hal yang lain" (refleksif), di sepanjang beberapa sifat penerapan operasi untuk penambahan dan pengurangan.[14] Sifat penerapan operasi juga dinyatakan dalam '[15] Terlepas dari itu, sudah menjadi kelaziman dalam aljabar setidaknya semenjak pada masa Diophantus ().[16] Sifat substitusi pada umumnya disematkan dengan Gottfried Leibniz (), dan acapkali dinamai Hukum Leibniz.[17][18]

Persamaan

Persamaan adalah kesamaan simbolik dari kedua ekspresi matematika yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=).[19] Aljabar adalah cabang matematika yang melibatkan penyelesaian persamaan. Penyelesaian tersebut mencakup masalah mencari nilai suatu variabel yang tidak diketahui, supaya kesamaan yang dimaksud itu benar. Masing-masing nilai yang tidak diketahui supaya persamaan itu berlaku dinamakan solusi atau penyelesaian, dan juga dikatakan memenuhi persamaan. Sebagai contoh, persamaan x2βˆ’6x+5=0 memiliki nilai x=1 dan x=5 sebagai solusi persamaan itu. Istilah tersebut digunakan dengan serupa untuk persamaan yang tidak diketahui variabel-variabelnya.[20] Himpunan solusi persamaan atau sistem persamaan dinamakan himpunan solusi.[21]

Dalam pendidikan matematika, murid-murid diajarkan untuk mengandalkan model-model konkret dan visualisasi persammaan, seperti analogi geometri, manipulasi batang ataupun gelas, dan "mesin fungsi" yang merepresentasikan persamaan seperti diagram aliran. Adapun metode yang menggunakan timbangan sebagai pendekatan ilustrasi untuk membantu murid-murid menangkap permasalahan dasar dalam aljabar. Massa benda tidak diketahui, sehingga dilambangkan sebagai variabel. Menyelesaikan persamaan sama saja seperti menambahkan atau membuang benda pada kedua sisi timbangan sehingga tetap seimbang. Hal tersebut terus berlanjut hingga menyisakan benda di sebelah sisi timbangan yang merupakan benda yang tidak diketahui massanya.[22]

Persamaan sering kali dianggap seperti pernyataan, atau relasi, yang dapat berarti benar atau salah. Sebagai contoh, 1+1=2 adalah benar, sedangkan 1+1=3 salah. Persamaan yang tidak diketahui variabelnya dianggap benar dengan syarat, sebagai contoh x2βˆ’6x+5=0 benar ketika x=1 atau x=5, sedangkan nilai lainnya salah.[23] Adapun berbagai istilah yang berbeda mengenai hal tersebut. Dalam logika matematika, persamaan adalah predikat biner (dalam artian pernyataan logis yang dapat memiliki variabel bebas) yang memenuhi sifat-sifat tertentu.[24] Dalam ilmu komputer, persamaan didefinisikan sebagai ekspresi bernilai boolean, atau operator relasi, yang menghasilkan kembali 1 untuk benar dan 0 untuk salah.[25]

Identitas

Identitas adalah kesamaan yang benar untuk semua nilai dari variabel di domain yang diketahui.[26][27] Suatu "persamaan" terkadang dapat berarti identitas, tetapi sering kali suatu persamaan menyajikan subhipunan ruang variabel menjadi subhimpunan yang persamaan tersebut itu benar. Sebagai contohnya adalah (x+1)(x+1)=x2+2x+1 yang berlaku benar untuk tiap bilangan real x. Tidak ada notasi standar yang membedakan persamaan dari identitas, atau penggunaan relasi kesamaan lainnya: seseorang harus menduga pandangan yang sesuai dari semantik ekspresi dan konteks.[28] Kadangkala tapi tidak selalu, identitas ditulis dengan tiga garis yang sejajar: (x+1)(x+1)≑x2+2x+1.[29] Notasi tersebut diperkenalkan oleh Bernhard Riemann dalam pengajarannya pada tahun 1857 di ' lectures (yang diterbitkan pada tahun 1899).[30][31]

Identitas dapat dipandang lain sebagai kesamaan fungsi. Alih-alih menulis f(a)=g(a) untuk semua a, seseorang dapat menulis dengan sederhana sebagai f=g.[32] Ini dinamakan ekstensionalitas fungsi.[33] Dalam hal ini, sifat penerapan-operasi mengacu pada operator, operasi pada ruang fungsi (fungsi yang memetakan di antara fungsi) seperti komposisi[34] atau turunan yang umumnya digunakan dalam kalkulus operasional. Suatu identitas dapat memiliki fungsi yang "tidak diketahui", dan identitas tersebut dapat dieselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan biasanya. Persamaan itu dinamakan persamaan fungsional.[35] Suatu persamaan fungsional melibatkan turunan yang dinamakan persamaan diferensial.[36]

Definisi

Persamaan kerapkali digunakan untuk memperkenalkan istilah atau simbol baru untuk konstanta, menegaskan kesamaan, dan memperkenalkan singkatan untuk ekspresi yang rumit dilihat, yang dinamakan "equal by definition" atau "sama berdasarkan definisi", dan sering kali dilambangkan dengan (:=).[37] Ini mirip seperti konsep assignment suatu variabel dalam ilmu komputer. Sebagai contoh, 𝕖:=βˆ‘n=0∞1n! mendefinisikan konstanta matematika yang kira-kira sama dengan 2,7182818...,[38] dan i2=βˆ’1 mendefinisikan sifat-sifat bilangan imajiner i.[39]

Dalam logika matematika, ini dinamakan ekstensi berdasarkan definisi (menurut kesamaan) yang merupakan ekstensi konservatif dengan sistem formal. Ini dilakukan dengan mengambil persamaan yang mendefinisikan simbol konstana baru sebagia aksioma suatu teorema yang baru. Simbol yang mengartikan "sama berdasarkan definisi" tercatat pertama kali pada Logica Matematica (1894), karya matematikawan Italia Cesare Burali-Forti, yang menggunakan notasi (=Def).[40][41]

Lihat pula

Catatan

Pranala luar

Referensi

  1. ↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
  2. ↑ Edwin F. Beckenbach. College Algebra. Wadsworth. 1982. hlm. 7. ISBN 978-0-534-01007-2.
  3. ↑ Joseph Landin. An Introduction to Algebraic Structures. Dover. 1989. hlm. 5. ISBN 978-0-486-65940-4.
  4. ↑ Edwin F. Beckenbach. College Algebra. Wadsworth. 1982. hlm. 7. ISBN 978-0-534-01007-2.
  5. ↑ Joseph Landin. An Introduction to Algebraic Structures. Dover. 1989. hlm. 5. ISBN 978-0-486-65940-4.
  6. ↑ Edwin F. Beckenbach. College Algebra. Wadsworth. 1982. hlm. 7. ISBN 978-0-534-01007-2.
  7. ↑ Joseph Landin. An Introduction to Algebraic Structures. Dover. 1989. hlm. 5. ISBN 978-0-486-65940-4.
  8. ↑ Edwin F. Beckenbach. College Algebra. Wadsworth. 1982. hlm. 7. ISBN 978-0-534-01007-2.
  9. ↑ Patrick Suppes. Introduction to Logic. Van Nostrand Reinhold. 1957. hlm. 101–102.
  10. ↑ Terence Tao. Analysis I. Texts and Readings in Mathematics. 2022. Vol. 37. hlm. 284. doi:10.1007/978-981-19-7261-4. ISBN 978-981-19-7261-4.
  11. ↑ V. N. Grishin. Equality axioms. Springer-Verlag. ISBN 1-4020-0609-8.
  12. ↑ Terence Tao. Analysis I. Texts and Readings in Mathematics. 2022. Vol. 37. hlm. 284. doi:10.1007/978-981-19-7261-4. ISBN 978-981-19-7261-4.
  13. ↑ Giuseppe Peano. Arithmetices principia: nova methodo. Fratres Bocca. 1889. hlm. XIII.
  14. ↑ Thomas Little Heath. The Thirteen Books of Euclid's Elements. Dover. 1956. Vol. 1 (Books I and II). hlm. 222.
  15. ↑ Giuseppe Peano. Arithmetices principia: nova methodo. Fratres Bocca. 1889. hlm. XIII.
  16. ↑ Thomas Little Heath. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek algebra. Cambridge University Press. 1910.
  17. ↑ Patrick Suppes. Introduction to Logic. Van Nostrand Reinhold. 1957. hlm. 101–102.
  18. ↑ Peter Forrest. The Identity of Indiscernibles. Metaphysics Research Lab, Stanford University. 1996.
  19. ↑ Equation (n.), sense III.6.a. 2023. doi:10.1093/OED/2918848458.
  20. ↑ Sobolev, S. K. (originator). "Equation". Encyclopedia of Mathematics. Springer. .
  21. ↑ Solution set. 2025-02-24.
  22. ↑ Francis Gardella. Algebra for the Middle Grades. IAP. 2020. hlm. 19. ISBN 978-1-64113-847-5.
  23. ↑ Oscar Levin. Discrete Mathematics: An Open Introduction. Oscar Levin. 2021. hlm. 5. ISBN 978-1-79290-169-0.
  24. ↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
  25. ↑ Equality and inequality operators == !=. XL C/C++ for AIX Documentation. IBM. 2025-02-25.
  26. ↑ V. N. Grishin. Equation. Springer-Verlag. ISBN 1-4020-0609-8.
  27. ↑ Henry Sinclair Hall. Algebra for Beginners. Macmillan & Co. 1895. hlm. 52.
  28. ↑ Solomon Marcus. What is an Equation?.
  29. ↑ Richard Earl. Oxford University Press. 2021. doi:10.1093/acref/9780198845355.001.0001. ISBN 978-0-19-884535-5.
  30. ↑ Leopold Kronecker. Vorlesungen ΓΌber Zahlentheorie. Springer. 1978. hlm. 86. doi:10.1007/978-3-662-24731-0. ISBN 978-3-662-22798-5.
  31. ↑ Bernhard Riemann. Elliptische functionen. B. G. Teubner. 1899.
  32. ↑ Terence Tao. Analysis I. Springer. 2022. Vol. 37. hlm. 42–43. doi:10.1007/978-981-19-7261-4. ISBN 978-981-19-7261-4.
  33. ↑ function extensionality in nLab. ncatlab.org.
  34. ↑ D. S. Malik. Fundamentals of Abstract Algebra. McGraw-Hill. 1997. hlm. 83. ISBN 0-07-040035-0.
  35. ↑ Functional Equations and How to Solve Them. Springer. 2007. hlm. 1. doi:10.1007/978-0-387-48901-8. ISBN 978-0-387-34534-5.
  36. ↑ William A. Adkins. Ordinary Differential Equations. Springer. 2012. hlm. 2–5. doi:10.1007/978-1-4614-3618-8. ISBN 978-1-4614-3617-1.
  37. ↑ Isaiah Lankham. Some Common Mathematical Symbols and Abbreviations (with History). University of California, Davis. January 21, 2007.
  38. ↑ e.
  39. ↑ Lynn Marecek. Intermediate Algebra 2e. OpenStax. 2020-05-06. ISBN 978-1-975076-49-8.
  40. ↑ Cesare Burali-Forti. Logica matematica. Ulrico Hoepli. 1894. hlm. 120.
  41. ↑ Isaiah Lankham. Linear Algebra. Mathematics LibreTexts, University of California, Davis. 2013-11-07.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29056801 (2026-03-21T11:41:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Diperoleh dari "https://wiki.unissula.ac.id/index.php?title=Kesamaan&oldid=8351"