Pi: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 9 September 2026 06.27

Bilangan ' (; dieja "'pi") adalah konstanta matematika yang merepresentasikan rasio antara keliling sebuah lingkaran dengan diameternya. Nilai secara mendekati adalah 3,14159. Sebagai bilangan yang istimewa, banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu seperti matematika dan fisika. dikenal sebagai bilangan irasional, artinya bilangan ini tidak dapat dinyatakan secara persis sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Meskipun demikian, bilangan pecahan sederhana seperti Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \ frac{22}{7}} sering digunakan untuk mendekati nilai π. Keunikan juga terletak pada desimalnya yang tak pernah berakhir dan tidak memiliki pola berulang. Selain itu, merupakan bilangan transenden. Hal ini berarti bahwa tidak dapat menjadi solusi dari persamaan polinomial apa pun dengan koefisien bilangan bulat. Sifat transendental ini menjelaskan mengapa masalah kuno mengkuadratkan lingkaran menggunakan jangka dan penggaris tidak mungkin diselesaikan. Digit desimal bilangan π tampaknya terdistribusi secara acak. Meskipun demikian, hingga saat ini belum ada pembuktian matematis yang mendukung anggapan tersebut.

Sejak ribuan tahun silam, para matematikawan dari berbagai peradaban telah mempelajari . Bangsa Mesir dan Babilonia kuno, digunakan dalam perhitungan praktis. Sekitar tahun 250 SM, Archimedes dari Yunani memperkenalkan algoritma untuk menghitung nilai dengan presisi tinggi. Pada abad ke-5 M, matematikawan Tiongkok berhasil mendekati nilai hingga tujuh angka desimal, sementara matematikawan India mencapai lima angka desimal, keduanya menggunakan metode geometris. Ribuan tahun kemudian, penemuan deret tak hingga untuk menghitung membuka babak baru dalam pemahaman nilai ini.^[1] Simbol Yunani π pertama kali digunakan oleh William Jones pada tahun 1706.^[2]

Penemuan kalkulus pada abad ke-17 memberikan langkah penting dalam penghitungan bilangan hingga ratusan digit, cukup untuk keperluan ilmiah praktis pada masanya. Namun, pada abad ke-20 dan ke-21, ahli matematika dan ilmuwan komputer mengembangkan metode baru dengan memanfaatkan peningkatan daya komputasi dan berhasil memperluas representasi desimal hingga triliunan digit.^[3]^[4] Motivasi di balik pencapaian ini melibatkan pengembangan algoritma yang efisien untuk menghitung deret numerik, sekaligus memenuhi ambisi manusia untuk mencetak rekor baru.^[5] Perhitungan masif ini juga digunakan untuk menguji kinerja superkomputer dan perangkat keras komputer konsumen.

Sebagai konstanta yang mendasari lingkaran, banyak muncul dalam rumus matematika, fisika, dan teknik, terutama dalam trigonometri and geometri. Misalnya, rumus untuk luas lingkaran dan volume bola merupakan aplikasi fundamental. Bilangan ini juga berperan dalam bidang ilmu lain, seperti kosmologi, fraktal, termodinamika, mekanika, dan elektromagnetisme. Lebih jauh lagi, muncul dalam cabang ilmu yang tampaknya tidak berhubungan dengan geometri, seperti teori bilangan dan statistika. Dalam analisis matematika modern, bahkan dapat didefinisikan tanpa referensi langsung terhadap geometri. adalah salah satu konstanta matematika paling terkenal, baik di dalam maupun di luar komunitas ilmu pengetahuan. Buku-buku yang mengupas tentang bilangan ini banyak diterbitkan, dan penghitungan rekornya sering menjadi berita utama.

Tinjauan dasar

Nama

Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah huruf Yunani "". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi pi menggunakan huruf latin.^[6] Dalam matematika, huruf kecil Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} berbeda dengan huruf besar Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\prod} , yang mewakili perkalian barisan, mirip seperti Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\sum} yang mewakili penjumlahan.

Pemilihan simbol Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} dibahas pada bagian .

Definisi

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} umumnya didefinisikan sebagai rasio keliling lingkaran $C$ dengan diameternya $d$ :^[7]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi = \\frac{C}{d}}

Dalam geometri Euklides, rasio Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{C}{d}} selalu bernilai tetap atau konstan, terlepas dari apapun ukuran lingkaran tersebut. Sebagai contoh, apabila suatu lingkaran mempunyai dua kali diameter suatu lingkaran, maka kelilingnya juga dua kali lipat dari lingkaran tersebut. Dengan demikian, rasio Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{C}{d}} tetaplah sama.^[8]

Keliling lingkaran adalah panjang lengkungan busur yang dapaat didefinisikan secara formal dalam kalkulus menggunakan limit.^[9] Sebagai contoh, panjang busur setengah lingkaran di atas sumbu horizontal dalam sistem Kartesius dapat dihitung langsung melalui persamaan $x^{2} + y^{2} = 1$ , sebab berdasarkan perhitungan integral: Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi = \\int_{-1}^1 \\frac{dx}{\\sqrt{1-x^2}}.} Integral tersebut sebelumnya merupakan usulan sebagai definisi dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} oleh Karl Weierstrass, yang mendefinisikannya secara langsung sebagai integral pada tahun 1841. Namun, pengintegrasian tidak lagi digunakan dalam definisi secara analitik. mengungkapkan bahwa kalkulus diferensial lazimnya mendahului kalkulus integral dalam kurikulum universitas, sehingga dapat bebas mendefinisikan tanpa harus bergantung pada cara sebelumnya. Definisi tersebut disematkan oleh Richard Baltzer^[10] dan dipopulerkan oleh Edmund Landau,^[11] yang berbunyi, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} merupakan bilangan yang bernilai dua kali lipat bilangan bulat positif terkecil yang menyebabkan fungsi kosinus sama dengan 0.^[12] Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} juga merupakan bilangan bulat positif terkecil yang menyebabkan fungsi sinus menjadi nol, sekaligus merupakan selisih antara akar fungsi yang berturut-turut. Fungsi kosinus maupun sinus masing-masing dapat didefinisikan sebagai deret kuasa,^[13] atau sebagai solusi persamaan diferensial.^[14]

Dengan cara yang serupa, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} dapat didefinisikan menggunakan sifat-sifat fungsi eksponensial dari suatu variabel kompleks Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\exp(z)} . Sama seperti fungsi sinus, fungsi eksponensial dari suatu variabel kompleks dapat didefinisikan dalam berbagai cara. Himpunan bilangan kompleks yang menyebabkan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\exp(z)} menjadi sama dengan satu adalah suatu barisan aritmetika berupa bilangan imajiner dalam bentuk Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\{\\dots,-2\\pi i, 0, 2\\pi i, 4\\pi i,\\dots\\} = \\{2\\pi ki\\mid k\\in\\mathbb Z\\}} dan terdapat suatu bilangan real positif tunggal Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} yang terkandung pada sifat demikian.^[15]

Sebagai bilangan irasional dan dugaan sebagai bilangan normal

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat. Pecahan seperti Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{22}{7}} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{355}{113}} seringkali digunakan untuk mengaproksimasi nilai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} , tetapi tidak ada pecahan sederhana (rasio bilangan cacah) yang dapat menjadi nilai eksak Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} .^[16] Karena Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} irasional, maka Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} memiliki tak terhingga banyaknya digit bilangan desimal dalam representasi desimal, dan tidak terdapat pola yang berulang. Ada beberapa bukti bahwa irasional, yang umumnya merupakan pembuktian melalui kontradiksi dan memerlukan kalkulus. Sejauh mana bilangan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} dapat didekati menggunakan bilangan rasional tidaklah diketahui. Namun, terdapat estimasi yang didirikan bahwa ukuran keirasionalan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} lebih besar atau setidaknya sama dengan ukuran $e$ (konstanta yang kira-kira 2.718...), tetapi lebih kecil daripada ukuran bilangan Liouville.^[17]

Digit-digit Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} tidak memiliki pola apa pun dan telah melewati uji keacakan statistis meliputi uji normalitas. Suatu bilangan dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya.^[18] Dugaan bahwa Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah.^[19]

Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. Yasumasa Kanada telah menganalisis secara detail digit-digit desimal Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Sebagai contoh, frekuensi dari sepuluh digit dari 0 sampai dengan ke 9 menjadi percobaan melalui uji signifikansi statistik, dan belum terbukti pola sedemikian ditmukan.^[20] Suatu barisan acak digit mengandung sebarang subbarisan yang panjang yang tampaknya tidak terlihat acak melalui teorema monyet tak terhingga. Dengan demikian, karena digit-digit Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} telah melewati uji keacakan statistik, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak yang dimulai dari desimal ke-762 Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} .^[21]

Sebagai bilangan transendental

Selain sebagai bilangan irasional, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} adalah bilangan transendental, yang berarti bahwa Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} bukanlah penyelesaian dari suatu persamaan polinom non-konstan berkoefisien rasional seperti Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{x^5}{120} - \\frac{x^3}{6} + x = 0} . Hasil tersebut berasal dari teorema Lindemann–Weierstrass, yang mendirikan transendensi konstanta $e$ .

Transendensi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} mempunyai dua konsekuensi penting. Yang pertama, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} tidak dapat diekspresikan menggunakan sebarang kombinasi terhingga dari bilangan rasional dan akar kuadrat ataupun akar pangkat ke-n (seperti Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\sqrt[3]{31}} atau Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\sqrt[2]{10}} ). Yang kedua, karena tiada bilangan transendental apa pun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan mistar, tidaklah dimungkinkan untuk "mempersegikan lingkaran". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan mistar.^[22] Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman era klasik.^[23] Matematikawan amatiran pada zaman modern kadangkala masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini mustahil dilakukan.^[24]^[25]

Terdapat suatu masalah matematika yang belum terpecahkan yang hingga saat ini mempertanyakan apakah bilangan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} dan $e$ bebas aljabar ("transendental secara keseluruhan"). Pertanyaan ini diselesaikan dengan konjektur Schanuel,^[26] yakni bentuk perumuman teorema Lindemann–Weierstrass yang belum terbukti saat ini.^[27]

Representasi sebagai pecahan kontinu

Sebagai bilangna irasional, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana. Namun, sama seperti bilangan irasional, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} dapat direpresentasikan menggunakan kumpulan tak terhingga banyaknya pecahan bersarang yang disebut sebagai pecahan kontinu:Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi = 3+\ extstyle \\cfrac{1}{7+\ extstyle \\cfrac{1}{15+\ extstyle \\cfrac{1}{1+\ extstyle \\cfrac{1}{292+\ extstyle \\cfrac{1}{1+\ extstyle \\cfrac{1}{1+\ extstyle \\cfrac{1}{1+\\ddots}}}}}}}.}

Menghentikan pecahan kontinu pada titik pembagian manapun memberikan nilai pendekatan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} : empat pecahan pertama adalah $3$ , Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{22}{7}} , Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{333}{106}} , dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{355}{113}} . Menurut sejarah, keempat bilangan tersebut sangat dikenal, hampir sering digunakan sebagai pendekatan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} . Tiap-tiap pendekatan yang dihasilkan dengan cara tersebut merupakan pendekatan rasional terbaik. Artinya, tia-tiap pecahan semakin dekat dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} daripada pecahan sebarang lainnya dengan penyebut yang sama ataupun lebih kecil. Karena Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} transendental, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} berdasarkan definisi bukan bilangan aljabar, sehingga tidak dapat berupa suatu bilangan irasional kuadratik. Akibatnya, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} tidak dapat memiliki pecahan kontinu periodik. Walauapun pecahan kontinu yang sederhana (dengan semua pembilangnya 1, seperti pada contoh di atas) juga tidak memiliki pola-pola tertentu,^[28] beberapa pecahan kontinu yang tak sederhana malah memiliki pola tertentu, seperti:^[29]Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} \\pi &= 3+ \\cfrac {1^2}{6+ \\cfrac {3^2}{6+ \\cfrac {5^2}{6+ \\cfrac {7^2}{6+ \\ddots}}}} = \\cfrac {4}{1+ \\cfrac {1^2}{2+ \\cfrac {3^2}{2+ \\cfrac {5^2}{2+ \\ddots}}}} = \\cfrac {4}{1+ \\cfrac {1^2}{3+ \\cfrac {2^2}{5+ \\cfrac {3^2}{7+ \\ddots}}}} \\end{align}.}

Nilai pendekatan dan digit

Beberapa pendekatan ' meliputi:

Bilangan bulat: 3
Pecahan: Pendekatan pecahan meliputi: (diurutkan berdasarkan kenaikan akurasi) , , , , , dan . (Disarikan dari and .)
Desimal: Limapuluh desimal pertama adalah ^[30]

Digit di sistem bilangan lain

Pendekatan hingga 48 digit dalam basis 2, sistem bilangan biner, adalah
Pendekatan hingga 36 digit dalam basis 3, sistem bilangan ternary, adalah (see )
Pendekatan hingga 20 digitt dalam basis 16, sistem bilangan heksadesimal, adalah ^[31]
Lima digit pertama dalam basis 60, sistem bilangan seksagesimal, adalah 3;8,29,44,0,47^[32]^[33]

Bilangan kompleks dan identitas Euler

Suatu bilangan kompleks, katakan $z$ , dapat dinyatakan menggunakan pasangan bilangan real. Dalam sistem koordinat polar, jari-jari (dilambangkan $r$ ) digunakan untuk menyatakan jarak $z$ dari titik pusat ke pusat bidang kompleks, sedangkan sudut (dilambangkan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\varphi} ) menyatakan putaran berlawanan arah jarum jam dari garis bilangan real positif:^[34]Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle z = r\\cdot(\\cos\\varphi + i\\sin\\varphi).} Pada rumus ini, $i$ adalah unit imajiner dari $i^{2} = - 1$ . Kemunculan penggunaan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi} dalam analisis kompleks dapat dihubungkan dengan perilaku fungsi eksponensial variabel kompleks, yang dijelaskan oleh rumus Euler:^[35]Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle e^{i\\varphi} = \\cos \\varphi + i\\sin \\varphi.} Konstanta adalah basis logaritma natural. Rumus ini menghasilkan hubungan antara $e$ pangkat bilangan imajiner dan titik-titik pada lingkaran satuan yang berpusat pada titik pusat di bidang kompleks. Substitusi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\varphi = \\pi} dalam rumus Euler menghasilkan identitas Euler, disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima konstanta matematika paling penting:^[36]^[37]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle e^{i \\pi} + 1 = 0} .

Sebanyak $n$ bilangan kompleks $z$ yang berbeda yang memenuhi persamaan $z^{n} = 1$ . Bilangan kompleks tersebut dinamakan "akar satuan pangkat- $n$ ". Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle e^\\frac{2 \\pi i k}{n} \\qquad (k = 0, 1, 2, \\dots, n - 1)} .

Sejarah

Zaman kuno

Piramida Giza Mesir yang dibangun pada tahun 2589–2566 SM, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760 kubit dan tinggi sekitar 280 kubit. Perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah ≈ 6,2857. Nilai ini mendekati 2 ≈ 6,2832. Berdasarkan rasio ini, beberapa ahli Mesir kuno menyimpulkan bahwa pendiri bangunan piramida ini memiliki pengetahuan akan dan dengan sengaja mendesain piramida dengan rasio seperti ini.^[38]^[39]^[40]^[41]^[42] Beberapa ahli menyanggah hal tersebut dan menyimpulkan hal ini hanyalah kebetulan belaka karena tiada bukti lain apa pun yang mendukungnya.^[43]^[44]^[45]^[46]

Pendekatan tertulis terhadap nilai paling awal ditemukan di Mesir dan Babilonia, dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang 1 persen dari nilai sebenarnya. Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan sebagai 25/8 = 3,1250.^[47] Di Mesir, Papirus Rhind yang berasal dari tahun 1650 SM (papirus ini sendiri merupakan salinan dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai sebagai ()² ≈ 3,1605.^[48]

Di India sekitar tahun 600 SM, catatan Sutra Shulba dalam bahasa Sanskerta memuat nilai sebesar ()² ≈ 3,088.^[49] Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan sama dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\scriptstyle \\sqrt{10}} ≈ 3,1622.^[50]

Zaman pendekatan poligon

Algoritma paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai adalah pendekatan geometri menggunakan poligon. Algoritma ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani Archimedes.^[51] Algoritma poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes".^[52] Archimedes menghitung batas atas dan bawah dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa < < (3,1408 < < 3,1429).^[53] Batas atas Archimedes sekitar membuat banyak orang percaya bahwa sama dengan .^[54] Sekitar tahun 150, Ptolemaeus dalam Almagest-nya, memberikan nilai sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari Apollonius dari Perga.^[55]^[56] Para matematikawan kemudian menggunakan algoritma ini dan mencapai rekor 39 digit pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.^[57]^[58]

Pada zaman Cina kuno, nilai adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi), Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\scriptstyle \\sqrt{10}} (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556).^[59] Sekitar tahun 265, matematikawan dari Kerajaan Wei, Liu Hui, menemukan algoritma iteratif berbasis poligon yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai sebesar 3,1416.^[60]^[61] Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon.^[62] Matematikawan Cina Zu Chongzhi sekitar tahun 480 menghitung bahwa ≈ (pecahan ini dinamakan pecahan Milü dalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritma Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.^[63]

Astronom India Aryabhata menggunakan nilai 3,1416 dalam Āryabhaṭīya (tahun 499).^[64] Fibonacci pada tahun 1220 menghitung nilai dan mendapatkan hasil 3,1418 menggunakan metode poligon.^[65]

Astronom Persia Jamshīd al-Kāshī menghasilkan 16 digit nilai pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×2²⁸,^[66]^[67]. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.^[68] Matematikawan Prancis François Viète pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×2¹⁷.^[69] Matematikawan Flandria mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593.^[70] Pada tahun 1596, matematikawan Belanda Ludolph van Ceulen mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit.^[71] Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit pada tahun 1621,^[72] dan astronom Austria Christoph Grienberger mencapai 38 digit pada tahun 1630,^[73]^[74] adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.^[75]

Deret takhingga

Perhitungan direvolusi oleh berkembangnya teknik deret takhingga pada abad ke-16 dan 17. Deret takhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya.^[76] Hal ini memungkinkan matematikawan menghitung nilai dengan presisi yang melebihi metode Archimedes.^[77] Walaupun metode deret takhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilai , pendekatan ini pertama kali ditemukan di India antara tahun 1400 dan 1500.^[78]^[79] Deskripsi tertulis pertama mengenai deret takhingga yang dapat digunakan untuk menghitung terdapat dalam ayat Sanskerta yang ditulis oleh astronom India Nilakantha Somayaji dalam buku Tantrasamgraha sekitar tahun 1500.^[80] Deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalam Yuktibhāṣā sekitar tahun 1530. Nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan India Madhava dari Sangamagrama yang hidup antara tahun 1350 – c. 1425.^[81] Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai deret Madhava atau deret Gregory-Leibniz.^[82] Madhava menggunakan deret takhingga untuk memperkirakan nilai sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan Persia Jamshīd al-Kāshī pada tahun 1430 menggunakan algoritma poligon.^[83]

Deret takhingga yang ditemukan di Eropa pertama kali adalah perkalian takhingga (daripada penjumlahan takhingga), yang ditemukan oleh matematikawan Prancis François Viète pada tahun 1593:^[84]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac2\\pi = \\frac{\\sqrt2}2 \\cdot \\frac{\\sqrt{2+\\sqrt2}}2 \\cdot \\frac{\\sqrt{2+\\sqrt{2+\\sqrt2}}}2 \\cdots}

Deret takhingga kedua yang ditemukan di Eropa oleh John Wallis pada tahun 1655 juga merupakan perkalian takhingga.^[85] Penemuan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1660-an mendorong perkembangan banyak deret takhingga untuk menghitung nilai . Newton sendiri menggunakan deret arka sinus untuk menghitung sampai dengan 15 digit pada tahun 1665 atau 1666.^[86]

Di Eropa, rumus Madhava ditemukan ulang oleh matematikawan Skotlandia James Gregory pada tahun 1671, dan oleh Leibniz pada tahun 1674:^[87]^[88]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\arctan z = z - \\frac {z^3} {3} +\\frac {z^5} {5} -\\frac {z^7} {7} +\\cdots }

Rumus ini, yang disebut deret Gregory-Leibniz, sama dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\scriptstyle \\pi/4} ketika dievaluasi bersama dengan = 1.^[89] Pada tahun 1699, matematikawan Inggris Abraham Sharp menggunakan deret ini untuk menghitung sampai dengan 71 digit, dan memecahkan rekor 39 digit sebelumnya.^[90] Deret Gregory-Leibniz cukup sederhana, tetapi konvergen sangat lambat, sehingga ia tidak digunakan pada zaman modern untuk menghitung .^[91]

Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkan algoritma yang berkonvergen lebih cepat:^[92]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac{\\pi}{4} = 4 \\, \\arctan \\frac{1}{5} - \\arctan \\frac{1}{239}}

Machin mencapai 100 digit dengan rumus ini.^[93] Beberapa matematikawan kemudian menciptakan beberapa varian yang digunakan untuk memecahkan rekor digit secara suksesif.^[94] Rumus bak-Machin ini merupakan metode perhitungan digit yang terbaik sebelum ditemukannya komputer. Rekor penemuan digit terus dipecahkan menggunakan rumus ini selama 250, sampai dengan 620 digit oleh Daniel Ferguson pada tahun 1946. Nilai pendekatan ini dihasilkan tanpa menggunakan alat hitung apa pun.^[95]

Matematikawan Britania William Shanks terkenal akan usahanya selama 15 tahun untuk menghitung nilai sampai dengan 707 digit. Namun ia membuat kesalahan pada digit ke-528, membuat digit-digit selanjutnya salah.^[96]

Laju konvergensi

Beberapa deret takhingga untuk berkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya. Matematikawan biasanya akan menggunakan deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghemat waktu sampai dengan tingkat akurasi tertentu.^[97] Deret tak terhingga untuk yang sederhana misalnya deret Gregory-Leibniz:^[98]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi = \\frac{4}{1} - \\frac{4}{3} + \\frac{4}{5} - \\frac{4}{7} + \\frac{4}{9} - \\frac{4}{11} + \\frac{4}{13} - \\cdots}

akan perlahan-lahan mendekati . Nilainya berkonvergen sangat lambat. Sampai dengan suku ke 500.000, deret ini hanya menghasilkan lima digit desimal yang benar untuk .^[99]

Deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh Nilakantha pada abad ke-15):^[100]^[101]^[102]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi = 3 + \\frac{4}{2\ imes3\ imes4} - \\frac{4}{4\ imes5\ imes6} + \\frac{4}{6\ imes7\ imes8} - \\frac{4}{8\ imes9\ imes10} + \\cdots }

Perbandingan konvergensi kedua deret di atas adalah sebagai berikut:

Deret takhingga untuk	Setelah suku ke-1	Setelah suku ke-2	Setelah suku ke-3	Setelah suku ke-4	Setelah suku ke-5	Berkonvergen ke:
Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\scriptstyle \\pi = \\frac{4}{1} - \\frac{4}{3} + \\frac{4}{5} - \\frac{4}{7} + \\frac{4}{9} - \\frac{4}{11} + \\frac{4}{13} \\cdots.}	4,0000	2,6666...	3,4666...	2,8952...	3,3396...	= 3,1415...
Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\scriptstyle \\pi = + \\frac{2\ imes3\ imes4} - \\frac{4\ imes5\ imes6} + \\frac{6\ imes7\ imes8} \\cdots.}	3,0000	3,1666...	3,1333...	3,1452...	3,1396...	= 3,1415...

Setelah lima suku, jumlah deret Gregory-Leibniz akurat dengan selisih 0,2 dari nilai sebenarnya, manakala pada deret Nilakantha, selisihnya 0,0002. Deret Nilakantha berkonvergen lebih cepat dan lebih berguna dalam perhitungan . Deret lainnya yang berkonvergen lebih cepat meliputi deret Machin dan deret Chudnovsky. Deret Chudnovsky mampu menghasilkan 14 digit desimal yang benar setiap suku.^[103]

Irasionalitas dan transendensi

Tidak semua penelitian matematika yang berhubungan dengan ditujukan pada peningkatan akurasi nilai pendekatan . Ketika Euler menyelesaikan masalah Basel pada tahun 1735, ia berhasil menurunkan hubungan antra dengan bilangan prima yang kemudian berkontribusi pada berkembangnya kajian mengenai fungsi zeta Riemann:^[104]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac{\\pi^2}{6} = \\frac{1}{1^2} + \\frac{1}{2^2} + \\frac{1}{3^2} + \\frac{1}{4^2} + \\cdots}

Ilmuwan Swiss Johann Heinrich Lambert pada tahun 1761 membuktikan bahwa adalah irasional, yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun.^[105] Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen.^[106] Matematikawan Prancis Adrien-Marie Legendre pada tahun 1794 membuktikan bahwa ² jugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan Jerman Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa adalah transendental, yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh Legendre dan Euler.^[107]

Penggunaan simbol

Huruf Yunani paling awal diketahui digunakan untuk mewakili rasio keliling lingkaran dengan diameternya oleh matematikawan William Jones dalam karya tahun 1706 "Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics".^[108] Huruf Yunani ini pertama kali muncul dalam frasa "1/2 Periphery " (1/2 keliling ) dalam mendiskusikan suatu lingkaran berjari-jari satu. Jones mungkin memilih simbol karena adalah huruf pertama dari kata "keliling" dalam bahasa Yunani.^[109] Namun ia menulis bahwa persamaan untuk tersebut berasal dari John Machin.^[110] Simbol ini sebenarnya pernah digunakan lebih awal sebagai konsep geometri.^[111] William Oughtred menggunakan dan δ, huruf Yunani yang setara dengan p dan d, untuk mengekspresikan rasio keliling dengan diameter pada tahun 1647.

Setelah Jones memperkenalkan penggunaan huruf Yunani ini pada tahun 1706, simbol ini tidak digunakan secara luas oleh matematikawan lain sampai dengan Euler yang mulai menggunakannya pada karya tahun 1736-nya, Mechanica. Sebelumnya, matematikawan kadang-kadang menggunakan simbol c atau p.^[112] Karena Euler memiliki banyak koneksi dengan matematikawan-matematikawan lainnya di Eropa, penggunakan huruf meluas dengan cepat.^[113] Pada tahun 1748, Euler menggunakan simbol dalam karyanya Introductio in analysin infinitorum (dia menulis: "untuk mempersingkat penulisan, kita akan menulis bilangan ini sebagai ; sehingga sama dengan setengah keliling lingkaran berjari-jari 1"). Hal ini kemudian memicu penggunaan yang universal di Barat.^[114]

Pencarian digit yang lebih banyak pada zaman modern

Zaman komputer dan algoritma iteratif

Perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimal . Matematikawan Amerika John Wrench dan Levi Smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja.^[115] Dengan menggunakan deret tak terhingga invers tangen (arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh George Reitwiesner dan John von Neumann pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer ENIAC dengan lama perhitungan selama 70 jam.^[116] Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.^[117]

Perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasi . Pertama, penemuan algoritme iteratif baru yang lebih cepat daripada deret tak terhingga; dan kedua, penemuan algoritme perkalian cepat yang mampu mengalikan bilangan besar dengan sangat cepat.^[118] Algoritma ini sangat penting karena waktu yang dihabiskan oleh komputasi komputer kebanyakan berkutat pada perkalian.^[119] Algoritma seperti ini contohnya algoritme Karatsuba, perkalian Toom–Cook, dan metode berbasis transformasi Fourier.^[120]

Algoritma iteratif secara independen dipublikasikan pada tahun 1975-1976 oleh fisikawan Amerika Eugene Salamin dan ilmuwan Australia Richard Brent.^[121] Algoritma ini membuat komputasi digit pi bebas dari deret tak terhingga. Algoritma iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan.

Algoritma iteratif digunakan secara meluas setelah tahun 1980 karena algoritma ini lebih cepat daripada algoritma deret tak terhingga. Manakala algoritma deret tak terhingga meningkatkan jumlah digit yang benar setiap suku, algoritma iteratif pada umumnya melipatgandakan jumlah digit yang benar pada setiap iterasi. Sebagai contohnya, algoritma Brent-Salamin menggandakan jumlah digit yang benar pada tiap iterasi. Pada tahun 1984, John dan Peter Borwein berhasil menemukan algoritma iteratif yang menggandaempatkan jumlah digit pada tiap iterasi; dan pada tahun 1987 berhasil menggandalimakan jumlah digit pada tiap iterasi.^[122]^[123] Metode iteratif digunakan oleh matematikawan Yasumasa Kanada untuk memecahkan beberapa rekor komputasi antara tahun 1995 sampai dengan tahun 2002.^[124] Konvergensi yang sangat cepat ini memiliki kelemahannya sendiri, yakni memerlukan memori komputer yang jauh lebih besar daripada yang diperlukan oleh deret tak terhingga.^[125]

Motivasi komputasi

Dalam perhitungan numeris yang melibatkan , biasanya kita hanya memerlukan beberapa digit desimal untuk mencapai tingkat presisi yang cukup tinggi. Menurut Jörg Arndt dan Christoph Haenel, 39 digit sudah mencukupi untuk menghitung kebanyakan perhitungan kosmologi, karena ini merupakan jumlah digit yang diperlukan untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan satu atom.^[126] Walau demikian, banyak orang telah bekerja keras untuk mengkomputasi sampai dengan ribuan dan jutaan digit.^[127] Usaha ini sebagian dikarenakan dorongan manusia untuk memecahkan rekor, dan biasanya pencapaian seperti ini sering masuk ke dalam tajuk berita seluruh dunia.^[128]^[129] Perhitungan seperti ini juga memiliki kegunaan praktisnya, yaitu untuk menguji superkomputer, menguji algoritma analisis numeris; dan dalam lingkup matematika murni sendiri, data yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengevaluasi keacakan digit-digit .^[130]

Deret konvergen cepat

Kalkulator modern tidak menggunakan algoritma iteratif secara eksklusif. Deret tak terhingga baru yang ditemukan pada tahun 1980-an dan 1990-an mampu berkonvergen secepat algoritma iteratif, tetapi lebih sederhana dan memerlukan memori yang lebih sedikit.^[131] Penemuan algoritma iteratif cepat terdahului oleh penemuan deret konvergen cepat pada tahun 1914, ketika matematikawan India Srinivasa Ramanujan memublikasikan lusinan rumus-rumus baru untuk yang berkonvergen sangat cepat.^[132] Salah satu rumusnya yang didasarkan pada persamaan modular adalah sebagai berikut:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac{1}{\\pi} = \\frac{2 \\sqrt 2}{9801} \\sum_{k=0}^\\infty \\frac{(4k)!(1103+26390k)}{k!^4(396^{4k})}}

Deret ini berkonvergen lebih cepat daripada kebanyakan deret-deret arctan, meliputi rumus Machin.^[133] Bill Gosper adalah orang yang pertama kali menggunakan rumus ini untuk menghitung dan memecahkan rekor 17 juta digit pada tahun 1985.^[134] Penemuan rumus-rumus Ramanjuan mendahului penemuan algoritma-algoritma modern yang dikembangkan Borwein bersaudara dan Chudnovsky bersaudara.^[135] Rumus Chudnovsky yang dikembangkan pada tahun 1987 adalah sebagai berikut

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac{426880 \\sqrt{10005}}{\\pi} = \\sum_{k=0}^\\infty \\frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}}

Rumus ini menghasilkan 14 digit setiap sukunya,^[136] dan telah digunakan dalam berbagai perhitungan yang memecahkan rekor, meliputi yang pertama kali memecahkan 10⁹ digit pada tahun 1989 oleh Chudnovsky bersaudara, 2,7 triliun (2.7×10¹²) digit oleh Fabrice Bellard pada tahun 2009, dan 10 triliun (10¹³) digit pada tahun 2011 oleh Alexander Yee dan Shigeru Kondo.^[137]^[138]^[139]

Pada tahun 2006, matematikawan Kanada Simon Plouffe menggunakan algoritme relasi integer PSLQ^[140] untuk menghasilkan beberapa rumus baru untuk , yang memiliki bentuk acuan sebagai berikut:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi^k = \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{n^k} \\left(\\frac{a}{q^n-1} + \\frac{b}{q^{2n}-1} + \\frac{c}{q^{4n}-1}\ ight)}

dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathit{q}} adalah (konstanta Gelfond), Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathit{k}} adalah bilangan ganjil, dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\mathit{a, b, c}} adalah bilangan rasional tertentu yang dikomputasi Plouffe.^[141]

Metode Monte Carlo

Metode Monte Carlo, yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi .^[142] Jarum Buffon adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang dijatuhkan kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar satuan, dan jika dari kali ia jatuh melintasi garis ( > 0), maka aproksimasi dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:^[143]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi \\approx \\frac{2n\\ell}{xt}}

Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan .^[144]^[145]

Metode Monte Carlo untuk memperkirakan sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.^[146]^[147]

Algoritma keran

Dua algoritma baru yang ditemukan pada tahun 1995 membuka jalan baru bagi riset . Algoritma ini dinamakan algoritme keran, karena seperti air yang menetes dari sebuah keran, algoritma ini menghasikan satu digit tunggal yang tidak akan digunakan kembali setelah dihitung.^[148]^[149] Algoritma ini berbeda dari algoritma-algoritma deret tak terhingga dan iteratif yang menyisakan dan menggunakan semua digit-digit intermediat sampai penyelesaian akhirnya dihasilkan.^[150]

Matematikawan Amerika Stan Wagon dan Stanley Rabinowitz menemukan algoritma keran sederhana pada tahun 1995.^[151]^[152]^[153]^[154] Kecepatan konvergensi algoritma ini sebanding dengan algoritma arctan, tetapi tidak secepat algoritma iteratif.^[155]

Algoritma keran lainnya, algoritme ekstraksi digit BBP ditemukan pada tahun 1995 oleh Simon Plouffe:^[156]^[157]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi = \\sum_{i=0}^\\infty \\frac{1}{16^i} \\left( \\frac{4}{8i + 1} - \\frac{2}{8i + 4} - \\frac{1}{8i + 5} - \\frac{1}{8i + 6}\ ight)}

Rumus ini, tidak seperti rumus lainnya, dapat menghasilkan digit heksadesimal individu tanpa menghitung digit-digit sebelumnya.^[158] Digit-digit individu oktal maupun biner dapat diektraksi dari digit-digit heksadesimal. Variasi algoritma ini telah ditemukan, tetapi tiada satupun algoritma ekstraksi digit yang dapat menghasilkan digit desimal dengan cepat.^[159]^[160] Aplikasi penting dari algoritma ekstraksi digit ini adalah untuk memvalidasi klaim rekor komputasi yang baru; Setelah suatu rekor baru diklaim, hasil bilangan desimal ini kemudian diubah menjadi bilangan heksadesimal, dan kemudian algoritma ekstraksi digit digunakan untuk menghitung beberapa digit heksadesimal tersebut secara acak dekat bagian akhir digit yang terhitung; apabila hasilnya cocok, maka dapat digunakan sebagai tolok ukur keyakinan bahwa perhitungan yang dilakukan telah benar^[161]

Antara tahun 1998 dan 2000, proyek komputasi terdistribusi PiHex menggunakan rumus Bellard (modifikasi algoritma BBP) untuk mengkomputasi bit ke-kuadriliun (ke-10¹⁵) , yang hasilnya adalah 0.^[162]^[163] Pada bulan September 2010, seorang karyawan Yahoo! menggunakan aplikasi Hadoop perusahaan dalam seribu komputer selama 23 hari untuk menghitung 256 bit pada bit ke-dua kuadriliun (ke-2×10¹⁵), yang hasilnya juga nol.^[164]

Kegunaan

Karena berhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips. juga ditemukan dalam berbagai cabang ilmu lainnya meliputi statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, kosmologi, teori bilangan, dan elektromagnetisme.

Geometri dan trigonometri

muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya elips, bola, kerucut, dan torus. Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan  misalnya:^[165]

Keliling lingkaran dengan jari-jari adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 2 \\pi r}
Luas lingkaran dengan jari-jari adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi r^2}
Volume bola dengan jari-jari adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \ frac43\\pi r^3}
Luas permukaan bola dengan jari-jari adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 4 \\pi r^2}

muncul dalam integral tertentu yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran. Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:^[166]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\int_{-1}^1 \\sqrt{1-x^2}\\,dx = \\frac{\\pi}{2}}

Dalam integral tersebut, fungsi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\scriptstyle \\sqrt{1-x^2}} mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\scriptstyle \\int_{-1}^1 } menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbu x.

Fungsi trigonometri bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut. memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam radian, yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2 radian.^[167] Hal ini berarti 180° sama dengan radian, dan 1° = /180 radian.^[168]

Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari , sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2,^[169] sehingga untuk suautu sudut θ dan suatu bilangan bulat , Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sin\ heta = \\sin\\left(\ heta + 2\\pi k \ ight)} dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\cos\ heta = \\cos\\left(\ heta + 2\\pi k \ ight).} ^[170]

Rumus integral Cauchy

Rumus integral Cauchy mengelola fungsi integral kompleks dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:^[171]^[172]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle f (z_{0}) = \\frac{1}{ 2\\pi i } \\oint_\\gamma { f(z) \\over z-z_0 }\\,dz}

Himpunan Mandelbrot

Keberadaan dalam fraktal himpunan Mandelbrot ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991.^[173] Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat "leher" pada $(- 0, 75; 0)$ . Jika dianggap titik dengan koordinat Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (-0,75;\\varepsilon)} , dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\varepsilon} cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\varepsilon} konvergen menuju . Titik Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle (0,25;\\varepsilon)} di titik puncak "lembah" besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\varepsilon} cenderung mendekati .^[174]^[175]

Fungsi gamma

Fungsi gamma memperluas konsep faktorial (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat taknegatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat real negatif. Ketika fungsi gamma dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi ; sebagai contoh

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\Gamma(1/2) = \\sqrt{\\pi} }

dan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\Gamma(5/2) = \\frac {3 \\sqrt{\\pi}} {4} } .^[176]

Fungsi gamma dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti untuk besar:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle n! \\sim \\sqrt{2 \\pi n} \\left(\\frac{n}{e}\ ight)^n}

yang dikenal sebagai aproksimasi Stirling.^[177]

Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta Riemann digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada , fungsi ini dapat ditulis sebagai:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\zeta(2) = \\frac{1}{1^2} + \\frac{1}{2^2} + \\frac{1}{3^2} + \\cdots}

Menemukan penyelesaian sederhana untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut masalah Basel. Leonhard Euler memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{\\pi^2}{6}} .^[178] Hasil Euler mengarah pada teori bilangan yaitu probabilitas dua angka acak yang relatif prima (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{6}{\\pi^2}} .^[179]^[180] Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang dapat dibagi dengan suatu bilangan prima $p$ adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{1}{p}} (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle \\frac{1}{p^2}} , dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\textstyle 1 - \\frac{1}{p^2}} . Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:^[181]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\prod_p^{\\infty} \\left(1-\\frac{1}{p^2}\ ight) = \\left( \\prod_p^{\\infty} \\frac{1}{1-p^{-2}} \ ight)^{-1} = \\frac{1}{1 + \\frac{1}{2^2} + \\frac{1}{3^2} + \\cdots } = \\frac{1}{\\zeta(2)} = \\frac{6}{\\pi^2} \\approx 61\\% }

Probabilitas ini dapat digunakan bersamaan dengan generator bilangan acak untuk memperkirakan menggunakan pendekatan Monte Carlo.^[182]

Probabilitas dan statistik

Bidang probabilitas dan statistik sering kali menggunakan distribusi normal sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal.^[183] Fungsi Gauss (yang merupakan fungsi kepekatan probabilitas distribusi normal) dengan rata-rata dan simpangan baku , pada dasarnya adalah :^[184]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle f(x) = {1 \\over \\sigma\\sqrt{2\\pi} }\\,e^{-(x-\\mu)^2/(2\\sigma^2)}}

Agar ini dapat menjadi kepekatan probabilitas, wilayah di bawah grafik f harus sama dengan satu. Hal ini diperoleh dari perubahan variabel dalam integral Gauss:^[185]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\int_{-\\infty}^\\infty e^{-x^2} \\, dx=\\sqrt{\\pi}} ,

sehingga luas daerah yang berada di bawah kurva lonceng sederhana sama dengan akar kuadrat π.

Di luar matematika

Penggambaran fenomena fisika

Meskipun bukan konstanta fisika, hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara dengan lingkaran dan dengan sistem koordinat sferis. Rumus sederhana dari bidang mekanika klasik memberikan aproksimasi periode pendulum sederhana dengan panjang , yang mengayun dengan amplitudo adalah percepatan gravitasi bumi):^[186]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle T \\approx 2\\pi \\sqrt\\frac{L}{g}}

Salah satu rumus kunci dalam mekanika kuantum adalah Prinsip ketidakpastian Heisenberg, yang menunjukkan bahwa ketidakpastian dalan pengukuran posisi suatu partikel (Δ) dan momentum (Δ) keduanya tidak dapat sama persis pada saat yang bersamaan (dengan adalah tetapan Planck):^[187]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\Delta x\\, \\Delta p \\ge \\frac{h}{4\\pi}}

Dalam ranah kosmologi, muncul dalam persamaan medan Einstein, suatu rumus fundamental yang menjadi dasar teori relativitas umum dan menjelaskan interaksi fundamental gravitasi sebagai hasil pelengkungan ruang waktu oleh materi dan energi:^[188]^[189]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle R_{ik} - {g_{ik} R \\over 2} + \\Lambda g_{ik} = {8 \\pi G \\over c^4} T_{ik}}

dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle R_{\\mu\ u}} adalah tensor lengkungan Ricci, adalah lengkungan skalar, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle g_{\\mu\ u}} adalah tensor metrik, adalah tetapan kosmologi, adalah tetapan gravitasi Newton, adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle T_{\\mu\ u}} adalah tensor energi tegangan.

Hukum Coulomb, dari disiplin ilmu elektromagnetisme, menjelaskan medan listrik antara dua muatan listrik ( dan ) yang dipisahkan oleh jarak (dengan mewakili permitivitas ruang hampa:^[190]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle F = \\frac{\\left|q_1q_2\ ight|}{4 \\pi \\varepsilon_0 r^2}}

Fakta bahwa nilai mendekati 3 memainkan peran dalam ortopositronium dalam waktu yang relatif panjang. Kebalikannya hingga orde paling rendah dalam tetapan struktur halus adalah^[191]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\frac{1}{\ au} = 2\\frac{\\pi^2 - 9}{9\\pi}m\\alpha^{6},}

dengan adalah massa elektron.

hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus buckling yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial  maksimum dengan panjang kolom , elastisitas modulus , dan momen inersia area  dapat mengangkut tanpa buckling:^[192]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle F =\\frac{\\pi^2EI}{L^2}}

Bidang dinamika fluida menyertakan dalam hukum Stokes, yang mengaproksimasi gaya friksi yang muncul pada objek sferis kecil dengan radius , bergerak dengan kecepatan dalam fluida yang mempunyai viskositas dinamis :^[193]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle F =6 \\, \\pi \\, \\eta \\, R \\, v }

Transformasi Fourier, dijelaskan di bawah, adalah operasi matematika yang menyatakan waktu sebagai fungsi dari frekuensi, dikenal karena spektrum frekuensinya. Ini mempunyai banyak aplikasi dalam fisika dan rekayasa, terutama dalam pemrosesan sinyal.^[194]

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\hat{f}(\\xi) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x)\\ e^{- 2\\pi i x \\xi}\\,dx}

Mengingat digit

Banyak orang telah mengingat sejumlah besar digit angka , suatu praktik yang disebut pifilologi.^[195] Satu teknik umum untuk mengingat adalah melalui cerita atau puisi yang mana panjang kata-kata mewakili angka digit : Kata pertama terdiri dari tiga huruf, kata kedua memiliki satu huruf, kata ketiga empat huruf, kata keempat satu huruf, kata kelima lima huruf, dan seterusnya. Contoh awal cara mengingat, diprakarsai oleh ilmuwan Inggris James Jeans, adalah How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.^[196] Ketika sebuah puisi (poem) digunakan, itu terkadang dirujuk sebagai piem. Puisi untuk mengingat telah digubah dalam beberapa bahasa selain bahasa Inggris.^[197]

Rekor mengingat digit , yang dicatat oleh Guinness World Records, adalah 70.000 digit, dibacakan di India oleh Rajveer Meena selama 9 jam 27 menit pada tanggal 21 Maret 2015.^[198] Pada tahun 2006, Akira Haraguchi, seorang pensiunan insinyur Jepang, mengklaim telah membacakan 100.000 desimal , tetapi klaim tersebut tidak diverifikasi oleh Guinness World Records.^[199] Peraturan rekor pengingat biasanya tidak berdasarkan puisi, tetapi malahan menggunakan metode semacam mengingat pola angka dan metode loci.^[200]

Beberapa penulis telah menggunakan digit sebagai dasar bentuk baru tulisan terbatas (), di mana diperlukan panjang kata yang mereprentasikan digit . Cadaeic Cadenza mengandung 3.835 digit pertama ,^[201] dan satu buku penuh berjudul Not a Wake mengandung 10.000 kata, yang masing-masing mereprentasikan satu digit .^[202]

Lihat pula

Pranala luar

Referensi

↑ R. C. Gupta. On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series. Ganita Bharati. 1992. Vol. 14 (1–4). hlm. 68–71.
↑ William Jones. Synopsis Palmariorum Matheseos. J. Wale. 1706. hlm. 243, 263. - \ frac13\\overline{\ frac{16}{5^3} - \ frac4{239^3}} + \ frac15\\overline{\ frac{16}{5^5} - \ frac4{239^5}} -,\\, \\&c. = . This Series (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. John Machin; and by means thereof, Van Ceulens Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.|author-link=William Jones (mathematician)|quote-page=263}} Reprinted in David Eugene Smith. A Source Book in Mathematics. McGraw–Hill. 1929. hlm. 346–347.
↑ π e trillion digits of π. pi2e.ch.
↑ Emma Haruka Iwao. Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud. Google Cloud Platform. 14 March 2019.
↑ David H. Bailey. The quest for PI. The Mathematical Intelligencer. 1997. Vol. 19 (1). hlm. 50–56. doi:10.1007/BF03024340.
↑ David Holton. Greek: an Essential Grammar of the Modern Language. Routledge. 2004. ISBN 0-415-23210-4., p. xi.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Tom Apostol. Calculus. Wiley. 1967. Vol. 1. hlm. 102.
↑ Richard Baltzer. Die Elemente der Mathematik. Hirzel. 1870. hlm. 195.
↑ Edmund Landau. Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung. Noordoff. 1934. hlm. 193.
↑ Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. 1976. hlm. 183. ISBN 978-0-07-054235-8.
↑ Walter Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill. 1986. hlm. 2.
↑ Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. 1976. hlm. 183. ISBN 978-0-07-054235-8.
↑ Lars Ahlfors. Complex analysis. McGraw-Hill. 1966. hlm. 46.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ V. Salikhov. On the Irrationality Measure of pi. Russian Mathematical Survey. 2008. Vol. 53 (3). hlm. 570. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543.
↑ Paul Preuss. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key. Lawrence Berkeley National Laboratory. 23 July 2001.
↑ Paul Preuss. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key. Lawrence Berkeley National Laboratory. 23 July 2001.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Neil Schlager. Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. 2001. ISBN 0-7876-3933-8., p 185.
↑ M. Ram Murty. Transcendental Numbers. Springer. 2014. doi:10.1007/978-1-4939-0832-5. ISBN 978-1-4939-0831-8.Michel Waldschmidt. Schanuel's Conjecture: algebraic independence of transcendental numbers. 2021.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ R. A. Mollin. Continued fraction gems. Nieuw Archief voor Wiskunde. 1999. Vol. 17 (3). hlm. 383–405.
↑ L. J. Lange. An Elegant Continued Fraction for. The American Mathematical Monthly. 1999. Vol. 106 (5). hlm. 456–458. doi:10.2307/2589152.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ E. S. Kennedy. Abu-r-Raihan al-Biruni, 973-1048. Journal for the History of Astronomy. Vol. 9. hlm. 65. doi:10.1177/002182867800900106..
↑ Ptolemaeus menggunakan pendekatan tiga-digit-seksagesimal, dan Jamshīd al-Kāshī mengembangkan pendekatan ini hingga sembilan digit; lihat Asger Aaboe. Episodes from the Early History of Mathematics. Random House. 1964. Vol. 13. hlm. 125..
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ ("lima tetapan terpenting").
↑ "Kita dapat menyimpulkan bahwa meskipun bangsa Mesir kuno tidak dapat mendefinisikan nilai dengan tepat, dalam praktiknya mereka menggunakannya".
↑ M. Verner. The Pyramids: Their Archaeology and History. 2003., p. 70.
↑ Petrie. Wisdom of the Egyptians. 1940., p. 30.
↑ J. A. R. Legon. On Pyramid Dimensions and Proportions. Discussions in Egyptology. 1991. Vol. 20. hlm. 25–34..
↑ W. M. F. Petrie. Surveys of the Great Pyramids. Nature Journal. 1925. Vol. 116 (2930). hlm. 942–942. doi:10.1038/116942a0.
↑ Egyptologist: Rossi, Corinna, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2004, pp 60–70, 200, ISBN 978-0-521-82954-0.
↑ Skeptics: Shermer, Michael, The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience, ABC-CLIO, 2002, pp 407–408, ISBN 978-1-57607-653-8.
↑ Fagan, Garrett G., Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public, Routledge, 2006, ISBN 978-0-415-30593-8.
↑ Untuk sederetan penjelasan mengenai bentuk piramida yang tak melibatkan , lihat Roger Herz-Fischler. The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. 2000. hlm. 67–77, 165–166. ISBN 9780889203242.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes–File Exchange–MATLAB Central. Mathworks.com.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ .
↑ Grienberger mencapai 39 digit pada tahun 1630; Sharp 71 digit pada tahun 1699.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Mohammad K. Azarian. al-Risāla al-muhītīyya: A Summary. Missouri Journal of Mathematical Sciences. 2010. Vol. 22 (2). hlm. 64–85. doi:10.35834/mjms/1312233136.
↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi. MacTutor History of Mathematics archive. 1999.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Grienberger, Christoph (1960), Elementa Trigonometrica (PDF) (dalam bahasa Latin) Diarsipkan dari aslinya (PDF) pada tanggal 1 Februari 2014. Pendekatannya adalah 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
↑ Nilai evaluasinya sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ . Newton quoted by Arndt.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ J. M. Borwein. Ramanujan and Pi. Scientific American. 1988. Vol. 256 (2). hlm. 112–117. doi:10.1038/scientificamerican0288-112.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ J. M. Borwein. Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions. American Mathematical Monthly. 1989. Vol. 96 (8). hlm. 681–687. doi:10.2307/2324715.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ (formula 16.10). Perhatikan bahwa (n − 1)n(n + 1) = n 3 − n.
↑ David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin. 1997. hlm. 35. ISBN 978-0-140-26149-3.
↑ J. M. Borwein. Ramanujan and Pi. Scientific American. 1988. Vol. 256 (2). hlm. 112–117. doi:10.1038/scientificamerican0288-112.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ .
↑ Dalam : William Oughtred menggunakan huruf untuk mewakili keliling suatu lingkaran.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ . See also .
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ .
↑ untuk detail algoritme.
↑ David H. Bailey. Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation. 16 May 2003.
↑ David H. Bailey. Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation. 16 May 2003.
↑ . "39 digit cukup untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan taraf atom." Dengan mempertimbangkan digit tambahan yang diperlukan untuk mengkompensasikan pembulatan, Arndt menyimpulkan bahwa beberapa ratus digit sudah mencukupi untuk perhitungan-perhitungan ilmiah apapun.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Matt Schudel. John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi. The Washington Post. 25 March 2009. hlm. B5.
↑ The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?. The Independent. 8 January 2010.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ David H. Bailey. Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation. 16 May 2003.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi", NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Bellard, Fabrice, "Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer", 11 Feb 2010.
↑ PSLQ singkatan dari Partial Sum of Least Squares.
↑ Simon Plouffe. Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2). April 2006.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ J. F. Ramaley. Buffon's Noodle Problem. The American Mathematical Monthly. October 1969. Vol. 76 (8). hlm. 916–918. doi:10.2307/2317945.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Gibbons, Jeremy, "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi", 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Gibbons, Jeremy, "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi", 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Stanley Rabinowitz. A spigot algorithm for the digits of Pi. American Mathematical Monthly. 1995. Vol. 102 (3). hlm. 195–203. doi:10.2307/2975006.
↑ Sebuah program komputer juga telah diciptakan untuk mengimplementasikan algoritme keran Wagon tersebut hanya dalam perangkat lunak berjumlah karakter 120.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Bailey, David H.; Borwein, Peter B.; and Plouffe, Simon. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. Mathematics of Computation. 1997. Vol. 66 (218). hlm. 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ .
↑ Plouffe sebenarnya juga menemukan algoritme ektraksi digit desimal, tetapi algoritme ini lebih lambat daripada komputasi langsung semua digit-digit .
↑ "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi", NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Bellards formula in: Fabrice Bellard. A new formula to compute the n th binary digit of pi.
↑ Palmer, Jason. Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit. BBC News. 16 September 2010.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ .
↑ Aaron Klebanoff. Pi in the Mandelbrot set. Fractals. 2001. Vol. 9 (4). hlm. 393–402. doi:10.1142/S0218348X01000828.
↑ Aaron Klebanoff. Pi in the Mandelbrot set. Fractals. 2001. Vol. 9 (4). hlm. 393–402. doi:10.1142/S0218348X01000828.
↑ Peitgen, Heinz-Otto, Chaos and fractals: new frontiers of science, Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Teorema ini dibuktikan oleh Ernesto Cesàro pada tahun 1881. Untuk lebih jelasnya, lihat Hardy, G. H., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, teorema 332.
↑ Ogilvy, C. S.; Anderson, J. T., Excursions in Number Theory, Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN 0-486-25778-9.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley, 1968, hlm. 174–190.
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ James M Imamura. Heisenberg Uncertainty Principle. University of Oregon. 17 August 2005.
↑ .
↑ .
↑ C. Rod Nave. Coulomb's Constant. HyperPhysics. Georgia State University. 28 June 2005.
↑ .
↑ .
↑ .
↑ .
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
↑ "Most Pi Places Memorized", Guinness World Records.
↑ Tomoko Otake. How can anyone remember 100,000 numbers?. The Japan Times. 17 Desember 2006.
↑ A. Raz. A slice of pi: An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist. Neurocase. 2009. Vol. 15. hlm. 361–372. doi:10.1080/13554790902776896.
↑ Mike Keith. Cadaeic Cadenza Notes & Commentary.
↑ Michael Keith. Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for 10000 decimals. Vinculum Press. February 17, 2010. ISBN 978-0963009715.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29530471 (2026-08-06T00:55:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] R. C. Gupta. On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series. Ganita Bharati. 1992. Vol. 14 (1–4). hlm. 68–71.

[2] William Jones. Synopsis Palmariorum Matheseos. J. Wale. 1706. hlm. 243, 263. - \ frac13\\overline{\ frac{16}{5^3} - \ frac4{239^3}} + \ frac15\\overline{\ frac{16}{5^5} - \ frac4{239^5}} -,\\, \\&c. = . This Series (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. John Machin; and by means thereof, Van Ceulens Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.|author-link=William Jones (mathematician)|quote-page=263}} Reprinted in David Eugene Smith. A Source Book in Mathematics. McGraw–Hill. 1929. hlm. 346–347.

[3] π e trillion digits of π. pi2e.ch.

[4] Emma Haruka Iwao. Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud. Google Cloud Platform. 14 March 2019.

[5] David H. Bailey. The quest for PI. The Mathematical Intelligencer. 1997. Vol. 19 (1). hlm. 50–56. doi:10.1007/BF03024340.

[6] David Holton. Greek: an Essential Grammar of the Modern Language. Routledge. 2004. ISBN 0-415-23210-4., p. xi.

[7] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[8] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[9] Tom Apostol. Calculus. Wiley. 1967. Vol. 1. hlm. 102.

[10] Richard Baltzer. Die Elemente der Mathematik. Hirzel. 1870. hlm. 195.

[11] Edmund Landau. Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung. Noordoff. 1934. hlm. 193.

[12] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. 1976. hlm. 183. ISBN 978-0-07-054235-8.

[13] Walter Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill. 1986. hlm. 2.

[14] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. 1976. hlm. 183. ISBN 978-0-07-054235-8.

[15] Lars Ahlfors. Complex analysis. McGraw-Hill. 1966. hlm. 46.

[16] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[17] V. Salikhov. On the Irrationality Measure of pi. Russian Mathematical Survey. 2008. Vol. 53 (3). hlm. 570. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543.

[18] Paul Preuss. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key. Lawrence Berkeley National Laboratory. 23 July 2001.

[19] Paul Preuss. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key. Lawrence Berkeley National Laboratory. 23 July 2001.

[20] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[21] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[22] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[23] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[24] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[25] Neil Schlager. Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. 2001. ISBN 0-7876-3933-8., p 185.

[26] M. Ram Murty. Transcendental Numbers. Springer. 2014. doi:10.1007/978-1-4939-0832-5. ISBN 978-1-4939-0831-8.Michel Waldschmidt. Schanuel's Conjecture: algebraic independence of transcendental numbers. 2021.

[27] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[28] R. A. Mollin. Continued fraction gems. Nieuw Archief voor Wiskunde. 1999. Vol. 17 (3). hlm. 383–405.

[29] L. J. Lange. An Elegant Continued Fraction for. The American Mathematical Monthly. 1999. Vol. 106 (5). hlm. 456–458. doi:10.2307/2589152.

[30] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[31] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[32] E. S. Kennedy. Abu-r-Raihan al-Biruni, 973-1048. Journal for the History of Astronomy. Vol. 9. hlm. 65. doi:10.1177/002182867800900106..

[33] Ptolemaeus menggunakan pendekatan tiga-digit-seksagesimal, dan Jamshīd al-Kāshī mengembangkan pendekatan ini hingga sembilan digit; lihat Asger Aaboe. Episodes from the Early History of Mathematics. Random House. 1964. Vol. 13. hlm. 125..

[34] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[35] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[36] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[37] ("lima tetapan terpenting").

[38] "Kita dapat menyimpulkan bahwa meskipun bangsa Mesir kuno tidak dapat mendefinisikan nilai dengan tepat, dalam praktiknya mereka menggunakannya".

[39] M. Verner. The Pyramids: Their Archaeology and History. 2003., p. 70.

[40] Petrie. Wisdom of the Egyptians. 1940., p. 30.

[41] J. A. R. Legon. On Pyramid Dimensions and Proportions. Discussions in Egyptology. 1991. Vol. 20. hlm. 25–34..

[42] W. M. F. Petrie. Surveys of the Great Pyramids. Nature Journal. 1925. Vol. 116 (2930). hlm. 942–942. doi:10.1038/116942a0.

[43] Egyptologist: Rossi, Corinna, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2004, pp 60–70, 200, ISBN 978-0-521-82954-0.

[44] Skeptics: Shermer, Michael, The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience, ABC-CLIO, 2002, pp 407–408, ISBN 978-1-57607-653-8.

[45] Fagan, Garrett G., Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public, Routledge, 2006, ISBN 978-0-415-30593-8.

[46] Untuk sederetan penjelasan mengenai bentuk piramida yang tak melibatkan , lihat Roger Herz-Fischler. The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. 2000. hlm. 67–77, 165–166. ISBN 9780889203242.

[47] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[48] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[49] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[50] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[51] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[52] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[53] The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes–File Exchange–MATLAB Central. Mathworks.com.

[54] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[55] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[56] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[57] .

[58] Grienberger mencapai 39 digit pada tahun 1630; Sharp 71 digit pada tahun 1699.

[59] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[60] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[61] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[62] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[63] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[64] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[65] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[66] Mohammad K. Azarian. al-Risāla al-muhītīyya: A Summary. Missouri Journal of Mathematical Sciences. 2010. Vol. 22 (2). hlm. 64–85. doi:10.35834/mjms/1312233136.

[67] O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi. MacTutor History of Mathematics archive. 1999.

[68] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[69] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[70] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[71] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[72] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[73] Grienberger, Christoph (1960), Elementa Trigonometrica (PDF) (dalam bahasa Latin) Diarsipkan dari aslinya (PDF) pada tanggal 1 Februari 2014. Pendekatannya adalah 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.

[74] Nilai evaluasinya sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.

[75] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[76] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[77] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[78] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[79] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[80] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[81] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[82] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[83] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[84] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[85] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[86] . Newton quoted by Arndt.

[87] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[88] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[89] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[90] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[91] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[92] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[93] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[94] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[95] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[96] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[97] J. M. Borwein. Ramanujan and Pi. Scientific American. 1988. Vol. 256 (2). hlm. 112–117. doi:10.1038/scientificamerican0288-112.

[98] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[99] J. M. Borwein. Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions. American Mathematical Monthly. 1989. Vol. 96 (8). hlm. 681–687. doi:10.2307/2324715.

[100] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[101] (formula 16.10). Perhatikan bahwa (n − 1)n(n + 1) = n 3 − n.

[102] David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin. 1997. hlm. 35. ISBN 978-0-140-26149-3.

[103] J. M. Borwein. Ramanujan and Pi. Scientific American. 1988. Vol. 256 (2). hlm. 112–117. doi:10.1038/scientificamerican0288-112.

[104] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[105] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[106] Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in

[107] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[108] .

[109] Dalam : William Oughtred menggunakan huruf untuk mewakili keliling suatu lingkaran.

[110] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[111] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[112] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[113] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[114] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[115] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[116] . See also .

[117] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[118] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[119] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[120] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[121] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[122] .

[123] untuk detail algoritme.

[124] David H. Bailey. Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation. 16 May 2003.

[125] David H. Bailey. Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation. 16 May 2003.

[126] . "39 digit cukup untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan taraf atom." Dengan mempertimbangkan digit tambahan yang diperlukan untuk mengkompensasikan pembulatan, Arndt menyimpulkan bahwa beberapa ratus digit sudah mencukupi untuk perhitungan-perhitungan ilmiah apapun.

[127] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[128] Matt Schudel. John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi. The Washington Post. 25 March 2009. hlm. B5.

[129] The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?. The Independent. 8 January 2010.

[130] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[131] David H. Bailey. Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation. 16 May 2003.

[132] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[133] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[134] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[135] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[136] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[137] "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi", NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.

[138] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[139] Bellard, Fabrice, "Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer", 11 Feb 2010.

[140] PSLQ singkatan dari Partial Sum of Least Squares.

[141] Simon Plouffe. Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2). April 2006.

[142] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[143] J. F. Ramaley. Buffon's Noodle Problem. The American Mathematical Monthly. October 1969. Vol. 76 (8). hlm. 916–918. doi:10.2307/2317945.

[144] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[145] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[146] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[147] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[148] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[149] Gibbons, Jeremy, "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi", 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.

[150] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[151] Gibbons, Jeremy, "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi", 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.

[152] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[153] Stanley Rabinowitz. A spigot algorithm for the digits of Pi. American Mathematical Monthly. 1995. Vol. 102 (3). hlm. 195–203. doi:10.2307/2975006.

[154] Sebuah program komputer juga telah diciptakan untuk mengimplementasikan algoritme keran Wagon tersebut hanya dalam perangkat lunak berjumlah karakter 120.

[155] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[156] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[157] Bailey, David H.; Borwein, Peter B.; and Plouffe, Simon. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. Mathematics of Computation. 1997. Vol. 66 (218). hlm. 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.

[158] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[159] .

[160] Plouffe sebenarnya juga menemukan algoritme ektraksi digit desimal, tetapi algoritme ini lebih lambat daripada komputasi langsung semua digit-digit .

[161] "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi", NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.

[162] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[163] Bellards formula in: Fabrice Bellard. A new formula to compute the n th binary digit of pi.

[164] Palmer, Jason. Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit. BBC News. 16 September 2010.

[165] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[166] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[167] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[168] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[169] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[170] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[171] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[172] .

[173] Aaron Klebanoff. Pi in the Mandelbrot set. Fractals. 2001. Vol. 9 (4). hlm. 393–402. doi:10.1142/S0218348X01000828.

[174] Aaron Klebanoff. Pi in the Mandelbrot set. Fractals. 2001. Vol. 9 (4). hlm. 393–402. doi:10.1142/S0218348X01000828.

[175] Peitgen, Heinz-Otto, Chaos and fractals: new frontiers of science, Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.

[176] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[177] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[178] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[179] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[180] Teorema ini dibuktikan oleh Ernesto Cesàro pada tahun 1881. Untuk lebih jelasnya, lihat Hardy, G. H., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, teorema 332.

[181] Ogilvy, C. S.; Anderson, J. T., Excursions in Number Theory, Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN 0-486-25778-9.

[182] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[183] Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley, 1968, hlm. 174–190.

[184] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[185] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[186] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[187] James M Imamura. Heisenberg Uncertainty Principle. University of Oregon. 17 August 2005.

[188] .

[189] .

[190] C. Rod Nave. Coulomb's Constant. HyperPhysics. Georgia State University. 28 June 2005.

[191] .

[192] .

[193] .

[194] .

[195] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[196] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[197] sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia

[198] "Most Pi Places Memorized", Guinness World Records.

[199] Tomoko Otake. How can anyone remember 100,000 numbers?. The Japan Times. 17 Desember 2006.

[200] A. Raz. A slice of pi: An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist. Neurocase. 2009. Vol. 15. hlm. 361–372. doi:10.1080/13554790902776896.

[201] Mike Keith. Cadaeic Cadenza Notes & Commentary.

[202] Michael Keith. Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for 10000 decimals. Vinculum Press. February 17, 2010. ISBN 978-0963009715.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

Maintenance script (bicara | kontrib)